第18章 矩形、菱形与正方形（单元自测·提升卷）数学新教材华东师大版八年级下册

2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第18章 矩形、菱形与正方形（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C A B B D D D A B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（答案不唯一） 12．4 13． 14． 15． 16．①②④⑤ 三、解答题（共7小题，共72分） 17．（8分）如图所示，在四边形中，，，为的中点，连接，，．连接，若，，求的长． 【详解】解：∵，E是的中点， ∴，（1分） ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，（2分） ∵， ∴四边形为菱形；（3分） ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，（5分） ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴．（8分） 18．（10分）如图，在等腰中，． (1)尺规作图：作关于所在直线对称的（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，交于点，若，四边形周长为，求四边形的面积． 【详解】（1）解：即为所求， （5分） 由作图可知：， ∵ ∴ ∴四边形为菱形， ∴与关于直线对称； （2）解：如图， 由（1）知四边形为菱形，（6分） ∴，，，（7分） ∵四边形周长为， ∴，（8分） 由勾股定理，得， ∴． ∴四边形的面积．（10分） 19．（10分）勾股定理是初中数学中的一个重要定理，它是沟通几何与代数的桥梁． (1)定理证明：我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图1，直角三角形的两直角边长为，斜边长为．请你写出赵爽弦图验证勾股定理的过程． (2)定理应用：如图2，一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为米，将踏板往前推送3米（米），此时秋千的踏板离地的垂直高度为米．已知秋千的绳索始终保持拉直的状态，求秋千的长度． 【详解】（1）证明：由题意得：小正方形的边长为， ，（1分） ∴（3分） 即；（5分） （2）解：由题意得：米，米，米， ， ∴四边形是矩形，（6分） 米， （米），（7分） 设秋千的长度为米， 则米，米， 在Rt中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即秋千的长度是5米．（10分） 20．（10分）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 【详解】（1）证明：如图，过作于点，过作于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，（1分） ∴， ∵是正方形对角线的一点， ∴， ， ∴， ∴四边形是正方形，（2分） ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形；（4分） （2）解：是定值，定值为，（5分）理由如下： ∵矩形为正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，定值为．（7分） （3）解：∵矩形为正方形， ∴， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为， 此时，有最小值， 由（2）知， ∴的最小值为．（10分） 21．（10分）如图①，在矩形中，点A在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在第一象限，，． （1）直接写出点的坐标：________； （2）如图②，点在边上，连接，将沿折叠，点恰好与线段上一点重合，求线段的长度； （3）如图③，是直线上一点，交线段于．若在第一象限，且，试求符合条件的所有点的坐标． 【详解】解：（1）∵矩形中，， ∴点的坐标为： 故答案为：；（2分） （2）∵， ∴， ，（3分） 由题意知，，， ， ∴ ∴（5分） ∴；（6分） （3）设点， 当点在下方时，如图③， 过点作交轴于，交于， ， ， ， ， ， ， ， ∴点； （8分） 当点在的上方时，如图④， 过点作交轴于，交的延长线于， 同理可证， ， ， ， ∴点， 综上，点坐标为或．（10分） 22．（12分）在平面直角坐标系中,四边形OBCD是正方形,且D(0,2),点E是线段OB延长线上一点,M是线段OB上一动点(不包括点O、B)，作MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线于点N. (1)写出点C的坐标； (2)求证：MD=MN； (3)连接DN交BC于点F，连接FM，下列两个结论：①FM的长度不变；②MN平分∠FMB，其中只有一个结论是正确的，请你指出正确的结论，并给出证明 【详解】（1）∵四边形是正方形，， ∴ ∴点的坐标为    （2分） (2)在OD上取OH=OM，连接HM， ∵OD=OB，OH=OM， ∴HD=MB，∠OHM=∠OMH， ∴∠DHM=180°−45°=135°， ∵NB平分∠CBE， ∴∠NBE=45°，（4分） ∴∠NBM=180°−45°=135°， ∴∠DHM=∠NBM， ∵∠DMN=90°， ∴∠DMO+∠NMB=90°， ∵∠HDM+∠DMO=90°， ∴∠HDM=∠NMB，（5分） 在△DHM和△MBN中， ， ∴△DHM≌△MBN(ASA)， ∴DM=MN.（7分） (3)MN平分∠FMB成立．证明如下： 在BO延长线上取OA=CF,可证△DOA≌△DCF,△DMA≌△DMF， FM=MA=OM+CF(不为定值)，∠DFM=∠DAM=∠DFC， 过M作MP⊥DN于P，则∠FMP=∠CDF， 由(2)可知∠NMF+∠FMP=∠PMN=45°， ∠NMB=∠MDH,∠MDO+∠CDF=45°， 进一步得∠NMB=∠NMF，即MN平分∠FMB.（12分） 23．（12分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN． (1)求证：四边形AMDN是平行四边形； (2)填空： ①当AM的值为　　 时，四边形AMDN是矩形； ②当AM的值为　　 时，四边形AMDN是菱形． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB∥CD（1分） ∴∠DNE＝∠AME，∠NDE＝∠MAE ∵点E是AD边的中点 ∴AE＝DE ∴△NDE≌△MAE（AAS）（4分） ∴NE＝ME（5分） ∴四边形AMDN是平行四边形（6分） （2）解：①当四边形AMDN是矩形时 ∠AMD=90° 在菱形ABCD中AD＝AB＝6 ∵∠DAB＝60° ∴∠ADM=30° ∴AM=AD=3 故答案为：3．（9分） ②当四边形AMDN是菱形时，AM=DM ∵∠DAB＝60° ∴△AMD为等边三角形 ∴AM=AD 在菱形ABCD中AD＝AB＝6 ∴AM=6 故答案为：6．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第18章 矩形、菱形与正方形 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，由边长相同的9个小正方形组成的图形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了网格中的度数、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、角的和差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 如图：先判定可得，进而得到，由正方形的性质可得，然后求和即可解答． 【详解】解：如图： 根据题意和图形可知可看作两个全等矩形的对角线， ∴， 由图可知， ∴ ∴ ， ∴， ∵可以看作是正方形对角线和边构成的角， ∴ ∴． 故选B． 2．将两个完全相同的菱形和按如图方式放置，点在边上，边和边交于点，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、平行线的性质，熟练掌握菱形的性质、平行线的性质，是解题的关键． 由题意可得，由菱形的性质可得，，由平行线的性质可得，进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：， 四边形为菱形， ，， ， ， ， 故选：C． 3．如图，在菱形中，对角线与交于点，延长至点，连接交于点．若为的中点，，则菱形的面积为（    ） A． B．6 C．12 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的性质，根据证明得，由勾股定理得，最后由菱形的性质可求面积． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又为的中点， ∴， 在和中， ， ∴ ∴； ∵四边形是菱形， ∴，， 在中，由勾股定理得： ∴, ∴； ∴菱形的面积， 故选：A． 4．数学社团课上，学习小组从我国古代数学家刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，开展“剪拼正方形”活动，将如图所示两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片，过程要求无损耗、无重叠．若，，则等于（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及正方形的性质．根据题意求得，，再利用勾股定理计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 故选：B． 5．如图，依据尺规作图的痕迹，计算（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图—角平分线和线段垂直平分线，矩形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据痕迹得出平分，垂直平分，然后得出角之间的关系和直角，然后确定四边形为矩形，根据平行线的性质得出相等的角，最后利用角平分线的性质和直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：各交点如图所示， 根据作图痕迹可得，平分，垂直平分， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．如图，在矩形中，．，把矩形绕点C旋转，得到矩形且点B恰好落在上，连接交于点H．则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质及勾股定理等知识点，作于点L，由矩形的性质得，，，则，，由旋转得，，， 则，可证明，得，，再证明，则，求得，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点L，则， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴，， 由旋转得，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7．如图，已知菱形的面积为20，边长为5，点、分别是边、上的动点，且，连接、，、和点不重合，则的最小值为（   ） A． B． C．10 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，图形与坐标，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 过点作于点，延长到点，使，根据菱形的性质和勾股定理可得，以点为原点，为轴，垂直于方向为轴，建立平面直角坐标系，可得，，，，，然后证明，可得，连接，，，由，可得，，三点共线时，取最小值，所以的最小值的最小值，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点，延长到点，使， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积为20，边长为5， ， 在中，根据勾股定理得： ， 以点为原点，为轴，垂直于方向为轴，建立平面直角坐标系， ，，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 连接，，， ， ，，三点共线时，取最小值， 的最小值的最小值． 但是当，，三点共线时，点不在边上， ． 故选：D． 8．数学家贾宪提出，从矩形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两矩形面积相等（如图所示）．根据这一推论，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解决此题的关键． 由题意可得四边形、四边形、四边形、四边形均是矩形，矩形的对角线将矩形平分为两个面积相等的三角形，由此逐项论证即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形均是矩形． ∵是对角线，且点在上， ∴，，，故A，B选项不符合题意； ∵，， ∴，故C选项不符合题意； 只有当时，， ∴当点位置变化时，和不一定相等，故D选项符合题意． 故选：D． 9．如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是，，点，在坐标轴上，点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题重点考查菱形的性质、勾股定理、轴对称——最短路线问题等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 作点关于直线的对称点，连接交的延长线于点，连接，当点与点重合时，的值最小． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交的延长线于点，连接，连接交于点， 则，，， ． ∴当点与点重合时，的值最小． ∵四边形为菱形，，， ，． ，． ． ， ，解得． ． ． 故选：A． 10．如图，在菱形中，，，分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于两点，作直线与交于点，如果点为线段上一动点，那么的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】先证明，推出，推出当点与点重合时，的值最小，求出即可． 【详解】解：如图，连接，，，设交于点，，交于点O． ∵四边形是菱形， ∴，，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，都是等边三角形， ∵， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由作图可知垂直平分， ∴，， ∴在直线上， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴（负值舍去）， ∵D，B关于对称， ∴， ∴， ∴当点P与点重合时，的值最小，此时， 根据垂直平分， ∴此时， ∴的值最小为． 故选：B． 【点睛】本题考查了利用菱形的性质求线段长，等边三角形的判定和性质，用勾股定理解三角形，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，，是上的两点，，连接，，，．为使得四边形是矩形，可以添加的一个条件是 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 由平行四边形的性质可知，，，再证，则四边形是平行四边形，添加，由矩形的判定可得出结论． 【详解】解：添加的一个条件是：． 理由如下：∵四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形，添加的条件符合要求． 故答案为：（答案不唯一）． 12．如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 时，四边形是菱形． 【答案】4 【分析】本题主要考查了菱形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定，先由三角形中位线定理证明，则可证明四边形是平行四边形，故当时，四边形是菱形，则当时，四边形是菱形． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴当时，四边形是菱形， 故答案为：4． 13．如图，将一张正方形纸片折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的折叠变换及其性质、正方形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 设，，，由折叠性质得，，根据和求解即可． 【详解】解：由题意知， 设，，， ，， 由折叠性质得：，， ∵， ， ， 又， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 14．如图，边长为15的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交BC于点．若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】先参考第一张题目的解法，利用全等三角形和等腰三角形的性质求出的长度，再求出的长度，接着过点作于，利用等腰三角形三线合一得到和的长度，最后根据三角形面积公式计算的面积． 【详解】解：如图，过点作于，令交于点， ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． 由题意得：， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 设，则，． 在中，由勾股定理得： 解得， ∴． 在中，，，由勾股定理得：即， 解得， ∵，， ∴． 在中， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形的面积计算，熟练掌握这些几何知识并依据题意恰当地添加辅助线是解题的关键． 15．将正方形A的一个顶点与正方形B的对角线交叉重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积的，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的 ． 【答案】 【详解】试题分析：将正方形A的一个顶点与正方形B的对角线交叉重合，如图1位置，阴影部分恰是正方形B的，阴影部分面积是正方形A面积的，即；将正方形A与B按图2放置，则阴影部分正方形A的，所以阴影部分面积是正方形B面积的= 考点：正方形 点评：本题考查正方形，解答本题的关键是要求考生对正方形的性质要熟悉，然后找出阴影部分与正方形的关系 16．如图，将等边沿翻折得，连接交于点，，点为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转的角度后得到对应的线段（即），交于点，则下列结论：①；②；③当为线段的中点时，则；④四边形的面积为；⑤连接、，当的长度最小时，的面积为．则说法正确的是 ．（只填写序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，由题意可证四边形是菱形，可得，，可判断①②，由菱形的面积公式可求菱形的面积，可判断④，由“”可证，可得，可判断③，由“”可证，可得，则当上时，有最小值，由全等三角形的性质和面积关系可求的面积，可得判断⑤，即可求解． 【详解】解：将等边沿翻折得， ，， 四边形是菱形， ，，故①②正确； 四边形是菱形， ， ，， ，， 四边形的面积，故④正确； 将线段绕点顺时针旋转的角度后得到对应的线段， ，， ， 当为线段的中点，， ，，， ， 在和中， ， ， ， ，故③错误； 如图，连接，， ， ， 在和中， ， ， ， 当有最小值时，有最小值， 当时，有最小值， 如图，过点作，交的延长线于，过点作于， ，，是等边三角形， ，， ， ，， ， ，， ， ，故⑤正确， 故答案为：①②④⑤． 三、解答题（共7小题，共72分） 17．（8分）如图所示，在四边形中，，，为的中点，连接，，．连接，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．先证出四边形为菱形，得出，，再由勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵，E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 18．（10分）如图，在等腰中，． (1)尺规作图：作关于所在直线对称的（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，交于点，若，四边形周长为，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查尺规作三角形，轴对称的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，菱形的面积．熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）分别以点A、C为圆心，为半径画弧，两弧相交于点D，连接、即可； （2）先根据菱形得，，则可求得，根据菱形的周长可求得，由勾股定理，可求出，从而求得，然后由菱形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：即为所求， 由作图可知：， ∵ ∴ ∴四边形为菱形， ∴与关于直线对称； （2）解：如图， 由（1）知四边形为菱形， ∴，，， ∵四边形周长为， ∴， 由勾股定理，得， ∴． ∴四边形的面积． 19．（10分）勾股定理是初中数学中的一个重要定理，它是沟通几何与代数的桥梁． (1)定理证明：我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图1，直角三角形的两直角边长为，斜边长为．请你写出赵爽弦图验证勾股定理的过程． (2)定理应用：如图2，一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为米，将踏板往前推送3米（米），此时秋千的踏板离地的垂直高度为米．已知秋千的绳索始终保持拉直的状态，求秋千的长度． 【答案】(1)见解析 (2)秋千的长度是5米 【分析】本题考查勾股定理的应用，矩形的判定和性质等知识，数形结合，熟练运用勾股定理是解决问题的关键． （1）根据，即可解答； （2）证明四边形是矩形，可得米，设秋千的长度为米，则米，米，在Rt中，由勾股定理求出x的值，即可． 【详解】（1）证明：由题意得：小正方形的边长为， ， ∴ 即； （2）解：由题意得：米，米，米， ， ∴四边形是矩形， 米， （米）， 设秋千的长度为米， 则米，米， 在Rt中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即秋千的长度是5米． 20．（10分）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)是定值，6 (3) 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）过作于点，过作于点，可证四边形是正方形，得，进而证明，得到，即可求证； （）证明，可得，即得，即可求解； （3）由矩形为正方形，得到，根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为，此时，有最小值，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过作于点，过作于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是正方形对角线的一点， ∴， ， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：是定值，定值为，理由如下： ∵矩形为正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，定值为． （3）解：∵矩形为正方形， ∴， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为， 此时，有最小值， 由（2）知， ∴的最小值为． 21．（10分）如图①，在矩形中，点A在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在第一象限，，． （1）直接写出点的坐标：________； （2）如图②，点在边上，连接，将沿折叠，点恰好与线段上一点重合，求线段的长度； （3）如图③，是直线上一点，交线段于．若在第一象限，且，试求符合条件的所有点的坐标． 【答案】（1）；（2）3；（3）或 【分析】（1）结合题意，根据矩形、直角坐标系的性质分析，即可得到答案； （2）结合矩形和勾股定理性质，计算得；根据轴对称性质，得，，，从而得；根据勾股定理性质列方程并求解，即可得到答案； （3）当点在下方时，过点作交轴于，交于；结合矩形性质，通过证明，得，，通过计算即可得到点坐标；当点在的上方时，过点作交轴于，交的延长线于，同理证明，通过计算得到点坐标，即可完成求解． 【详解】解：（1）∵矩形中，， ∴点的坐标为： 故答案为：； （2）∵， ∴， ， 由题意知，，， ， ∴ ∴ ∴； （3）设点， 当点在下方时，如图③， 过点作交轴于，交于， ， ， ， ， ， ， ， ∴点； 当点在的上方时，如图④， 过点作交轴于，交的延长线于， 同理可证， ， ， ， ∴点， 综上，点坐标为或． 【点睛】本题考查了直角坐标系、矩形、轴对称、勾股定理、全等三角形、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、直角坐标系、轴对称、勾股定理、全等三角形的性质，从而完成求解． 22．（12分）在平面直角坐标系中,四边形OBCD是正方形,且D(0,2),点E是线段OB延长线上一点,M是线段OB上一动点(不包括点O、B)，作MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线于点N. (1)写出点C的坐标； (2)求证：MD=MN； (3)连接DN交BC于点F，连接FM，下列两个结论：①FM的长度不变；②MN平分∠FMB，其中只有一个结论是正确的，请你指出正确的结论，并给出证明 【答案】（1）点的坐标为；（2）见解析；（3）MN平分∠FMB成立，证明见解析 【分析】（1）根据四边形OBCD是正方形所以点C的坐标应该是C（2，2）； （2）可通过构建全等三角形来求解．在OD上取OH=OM，通过证三角形DHM和MBN全等来得出DM=MN． （3）本题也是通过构建全等三角形来求解的．在BO延长线上取OA=CF，通过三角形OAD，FDC和三角形DAM，DMF这两对全等三角形来得出FM和OM，CF的关系，从而得出FM是否是定值．然后再看∠FMN是否与∠NME相等． 【详解】（1）∵四边形是正方形，， ∴ ∴点的坐标为     (2)在OD上取OH=OM，连接HM， ∵OD=OB，OH=OM， ∴HD=MB，∠OHM=∠OMH， ∴∠DHM=180°−45°=135°， ∵NB平分∠CBE， ∴∠NBE=45°， ∴∠NBM=180°−45°=135°， ∴∠DHM=∠NBM， ∵∠DMN=90°， ∴∠DMO+∠NMB=90°， ∵∠HDM+∠DMO=90°， ∴∠HDM=∠NMB， 在△DHM和△MBN中， ， ∴△DHM≌△MBN(ASA)， ∴DM=MN. (3)MN平分∠FMB成立．证明如下： 在BO延长线上取OA=CF,可证△DOA≌△DCF,△DMA≌△DMF， FM=MA=OM+CF(不为定值)，∠DFM=∠DAM=∠DFC， 过M作MP⊥DN于P，则∠FMP=∠CDF， 由(2)可知∠NMF+∠FMP=∠PMN=45°， ∠NMB=∠MDH,∠MDO+∠CDF=45°， 进一步得∠NMB=∠NMF，即MN平分∠FMB. 【点睛】此题考查角平分线的性质，正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线 23．（12分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN． (1)求证：四边形AMDN是平行四边形； (2)填空： ①当AM的值为　　 时，四边形AMDN是矩形； ②当AM的值为　　 时，四边形AMDN是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)①3；②6 【分析】（1）利用AAS证△NDE≌△MAE，得出NE＝ME，进而得出结论； （2）①当四边形AMDN是矩形时∠AMD=90°，由菱形的性质得AD=6，进而求出AM的值； ②当四边形AMDN是菱形时，AM=DM，由∠DAB＝60°，得出△AMD为等边三角形，进而求出AM的值． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB∥CD ∴∠DNE＝∠AME，∠NDE＝∠MAE ∵点E是AD边的中点 ∴AE＝DE ∴△NDE≌△MAE（AAS） ∴NE＝ME ∴四边形AMDN是平行四边形 （2）解：①当四边形AMDN是矩形时 ∠AMD=90° 在菱形ABCD中AD＝AB＝6 ∵∠DAB＝60° ∴∠ADM=30° ∴AM=AD=3 故答案为：3． ②当四边形AMDN是菱形时，AM=DM ∵∠DAB＝60° ∴△AMD为等边三角形 ∴AM=AD 在菱形ABCD中AD＝AB＝6 ∴AM=6 故答案为：6． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，矩形和菱形的性质，等边三角形的性质，30°的直角三角形的性质，熟练地掌握平行四边的判定方法和矩形菱形的性质是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第18章 矩形、菱形与正方形 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，由边长相同的9个小正方形组成的图形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．将两个完全相同的菱形和按如图方式放置，点在边上，边和边交于点，若，，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，对角线与交于点，延长至点，连接交于点．若为的中点，，则菱形的面积为（    ） A． B．6 C．12 D． 4．数学社团课上，学习小组从我国古代数学家刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，开展“剪拼正方形”活动，将如图所示两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片，过程要求无损耗、无重叠．若，，则等于（   ） A． B． C． D．3 5．如图，依据尺规作图的痕迹，计算（   ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，．，把矩形绕点C旋转，得到矩形且点B恰好落在上，连接交于点H．则的长为（　　） A． B． C． D． 7．如图，已知菱形的面积为20，边长为5，点、分别是边、上的动点，且，连接、，、和点不重合，则的最小值为（   ） A． B． C．10 D． 8．数学家贾宪提出，从矩形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两矩形面积相等（如图所示）．根据这一推论，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是，，点，在坐标轴上，点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在菱形中，，，分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于两点，作直线与交于点，如果点为线段上一动点，那么的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，，是上的两点，，连接，，，．为使得四边形是矩形，可以添加的一个条件是 （写出一种情况即可）． 12．如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 时，四边形是菱形． 13．如图，将一张正方形纸片折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为 ． 14．如图，边长为15的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交BC于点．若，则的面积为 ． 15．将正方形A的一个顶点与正方形B的对角线交叉重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积的，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的 ． 16．如图，将等边沿翻折得，连接交于点，，点为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转的角度后得到对应的线段（即），交于点，则下列结论：①；②；③当为线段的中点时，则；④四边形的面积为；⑤连接、，当的长度最小时，的面积为．则说法正确的是 ．（只填写序号） 三、解答题（共7小题，共72分） 17．（8分）如图所示，在四边形中，，，为的中点，连接，，．连接，若，，求的长． 18．（10分）如图，在等腰中，． (1)尺规作图：作关于所在直线对称的（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，交于点，若，四边形周长为，求四边形的面积． 19．（10分）勾股定理是初中数学中的一个重要定理，它是沟通几何与代数的桥梁． (1)定理证明：我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图1，直角三角形的两直角边长为，斜边长为．请你写出赵爽弦图验证勾股定理的过程． (2)定理应用：如图2，一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为米，将踏板往前推送3米（米），此时秋千的踏板离地的垂直高度为米．已知秋千的绳索始终保持拉直的状态，求秋千的长度． 20．（10分）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 21．（10分）如图①，在矩形中，点A在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在第一象限，，． （1）直接写出点的坐标：________； （2）如图②，点在边上，连接，将沿折叠，点恰好与线段上一点重合，求线段的长度； （3）如图③，是直线上一点，交线段于．若在第一象限，且，试求符合条件的所有点的坐标． 22．（12分）在平面直角坐标系中,四边形OBCD是正方形,且D(0,2),点E是线段OB延长线上一点,M是线段OB上一动点(不包括点O、B)，作MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线于点N. (1)写出点C的坐标； (2)求证：MD=MN； (3)连接DN交BC于点F，连接FM，下列两个结论：①FM的长度不变；②MN平分∠FMB，其中只有一个结论是正确的，请你指出正确的结论，并给出证明 23．（12分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN． (1)求证：四边形AMDN是平行四边形； (2)填空： ①当AM的值为　　 时，四边形AMDN是矩形； ②当AM的值为　　 时，四边形AMDN是菱形． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第18章 矩形、菱形与正方形 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，由边长相同的9个小正方形组成的图形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．将两个完全相同的菱形和按如图方式放置，点在边上，边和边交于点，若，，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，对角线与交于点，延长至点，连接交于点．若为的中点，，则菱形的面积为（    ） A． B．6 C．12 D． 4．数学社团课上，学习小组从我国古代数学家刘徽设计的“青朱出入图”受到启发，开展“剪拼正方形”活动，将如图所示两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片，过程要求无损耗、无重叠．若，，则等于（   ） A． B． C． D．3 5．如图，依据尺规作图的痕迹，计算（   ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，．，把矩形绕点C旋转，得到矩形且点B恰好落在上，连接交于点H．则的长为（　　） A． B． C． D． 7．如图，已知菱形的面积为20，边长为5，点、分别是边、上的动点，且，连接、，、和点不重合，则的最小值为（   ） A． B． C．10 D． 8．数学家贾宪提出，从矩形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两矩形面积相等（如图所示）．根据这一推论，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是，，点，在坐标轴上，点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在菱形中，，，分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于两点，作直线与交于点，如果点为线段上一动点，那么的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，，是上的两点，，连接，，，．为使得四边形是矩形，可以添加的一个条件是 （写出一种情况即可）． 12．如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 时，四边形是菱形． 13．如图，将一张正方形纸片折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为点、，若，则的度数为 ． 14．如图，边长为15的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交BC于点．若，则的面积为 ． 15．将正方形A的一个顶点与正方形B的对角线交叉重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积的，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的 ． 16．如图，将等边沿翻折得，连接交于点，，点为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转的角度后得到对应的线段（即），交于点，则下列结论：①；②；③当为线段的中点时，则；④四边形的面积为；⑤连接、，当的长度最小时，的面积为．则说法正确的是 ．（只填写序号） 三、解答题（共7小题，共72分） 17．（8分）如图所示，在四边形中，，，为的中点，连接，，．连接，若，，求的长． 18．（10分）如图，在等腰中，． (1)尺规作图：作关于所在直线对称的（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，交于点，若，四边形周长为，求四边形的面积． 19．（10分）勾股定理是初中数学中的一个重要定理，它是沟通几何与代数的桥梁． (1)定理证明：我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图1，直角三角形的两直角边长为，斜边长为．请你写出赵爽弦图验证勾股定理的过程． (2)定理应用：如图2，一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为米，将踏板往前推送3米（米），此时秋千的踏板离地的垂直高度为米．已知秋千的绳索始终保持拉直的状态，求秋千的长度． 20．（10分）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 21．（10分）如图①，在矩形中，点A在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在第一象限，，． （1）直接写出点的坐标：________； （2）如图②，点在边上，连接，将沿折叠，点恰好与线段上一点重合，求线段的长度； （3）如图③，是直线上一点，交线段于．若在第一象限，且，试求符合条件的所有点的坐标． 22．（12分）在平面直角坐标系中,四边形OBCD是正方形,且D(0,2),点E是线段OB延长线上一点,M是线段OB上一动点(不包括点O、B)，作MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线于点N. (1)写出点C的坐标； (2)求证：MD=MN； (3)连接DN交BC于点F，连接FM，下列两个结论：①FM的长度不变；②MN平分∠FMB，其中只有一个结论是正确的，请你指出正确的结论，并给出证明 23．（12分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN． (1)求证：四边形AMDN是平行四边形； (2)填空： ①当AM的值为　　 时，四边形AMDN是矩形； ②当AM的值为　　 时，四边形AMDN是菱形． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $