2026年逐梦卷 广东中考数学试卷1

**基本信息** 以中国高铁里程、新能源充电桩建设等时代热点和宋代建筑“举折法”文化传承为情境，通过项目式学习（古建筑数学建模）和“友好函数”新定义设计，考查抽象能力、推理意识与模型观念，适配中考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|正负数、科学记数法、三视图|结合健康关注（体重变化）、科技成就（高铁里程）| |填空题|5/15|因式分解、位似、一元二次方程根的判别式|引入“关联函数”新定义，考查创新理解| |解答题（一）|3/21|分式方程、圆的切线、抛物线应用|分式方程解题过程纠错，强调严谨性| |解答题（二）|3/27|平行四边形证明、统计调查、项目式学习|项目式学习探究古建筑屋面结构，融合几何与文化| |解答题（三）|2/27|勾股数组、函数与几何综合|勾股数组规律探究，定义“友好函数”考查综合应用|

2026年逐梦卷 广东中考数学试卷1 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．2025年，人们对健康的关注度越来越高．用正负数表示体重的变化量，体重上升为正，体重下降为负．元旦前小明体重下降了，元旦后小明体重增加了，若将元旦时小明体重记为0，则元旦后，小明体重变化情况可记为（   ） A． B． C． D． 2．截至2025年12月，中国高铁营业里程突破，位居世界第1位，超过世界上其他国家高铁营业里程的总和．数据50000用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 3．计算 的结果是（  ） A．6 B． C．3 D． 4．如图是由6个大小相同的立方体搭成的几何体，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点，分别是，的中点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．小明记录了自己10分钟内每分钟的心跳次数，并绘制成如图所示的条形统计图，下列结论错误的是（　　） A．中位数是80次 B．平均数是79次 C．众数是5次 D．10分钟内心跳总次数是790 7．某省大力推进新能源汽车充电桩建设，助力绿色交通发展．截至2025年底，全省公共充电桩总数量已从2023年底的15万个增长至万个．设全省公共充电桩数量的年平均增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．某学习小组在“测量小灯泡的电阻”实验中，根据实验数据，得到了通过灯泡的电流与灯泡两端的电压的函数图象如图所示．已知电阻，功率，则下列说法错误的是（   ） A．当时，通过灯泡的电流随灯泡两端电压的增大而增大 B．当灯泡两端的电压为时，通过灯泡的电流是 C．当通过灯泡的电流为时，灯泡的电阻是 D．当灯泡的功率为时，灯泡两端的电压为 9．如图，点A，B，C在上．若的半径为1，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，P（与点A，B不重合）是边上一动点，连接，过点D作，交的延长线于点E．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题:本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．分解因式：________． 12．如图，，原点是它们的位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则________． 13．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围_______． 14．计算：______． 15．二次项系数之和为1，且顶点关于x轴对称的两个二次函数称作互为“关联函数”，那么函数的“关联函数”的解析式是______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。 16．解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第__________步开始出现错误的，错误的原因是__________________________________； 任务二：请直接写出分式方程正确的解． 17．如图所示，是的直径，与相切于点，与相交于点，连接，，求的度数． 18．近年来，云南在公路与隧道建设方面成绩显著，已建成通车的公路隧道数量及长度均居全国第一．现有一座隧道的截面由抛物线和长方形构成．在长方形中，长为，长为，隧道最高点位于的中央且距地面，以为轴，为轴建立如图所示的坐标系，若一辆货车高，宽，能否从隧道通过？为什么？ 四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分。 19．如图，在中，连接对角线，分别作和的中线、． (1)求证：； (2)从下列条件中任选一个作为已知条件，判断四边形的形状，并证明你的结论． ①；②． 我选择的条件： ，（填写序号）．（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分） 20．某中学为丰富校园体育活动，成立了跑步、跳绳、篮球、乒乓球、羽毛球共五个社团．为了解全校学生对五个社团的喜爱情况，现随机抽取部分学生进行问卷调查，并形成如下调查报告（不完整）： 调查主题 某中学学生对五个社团的喜爱情况 调查方式 抽样调查 调查对象 该中学的学生 调查方案 方案一：抽取七年级的部分学生进行调查； 方案二：抽取每个班的体育委员进行调查； 方案三：按各年级人数比例，分别抽取合适人数的学生进行调查． 调查问卷 您最喜爱的社团是（只选一项，在其后的括号内打“√”） A．跑步社团（   ）；B．跳绳社团（   ）；C．篮球社团（   ）； D．乒乓球社团（   ）；E．羽毛球社团（   ）． 调查结果 将所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下两幅统计图（不完整）： 请根据调查报告，解答下列问题： (1)上述调查方案中，最合理的是方案______（填“一”，“二”或“三”）； (2)本次抽样调查的总人数共有多少人？ (3)根据调查结果直接补全条形统计图； (4)若该校共有1000名学生，所有学生都只选择了一项社团，请通过计算估计该校参加篮球社团的学生有多少名？ 21．【项目式学习】 探究古代建筑，屋檐之上的数学密码——探究屋面结构与建筑高度的关系 背景介绍 在世界的历史长河中，中国的古建筑最具有视觉美感，历史源远流长、绵延不绝．大诗人李白的诗句：“危楼高百尺，手可摘星辰”，表述了他对建筑、数学以及宇宙星辰的认知． 而中国古建筑屋顶是我国传统建筑造型艺术中非常重要的构成因素，不仅样式多，而且组成部分也很繁杂．中国屋顶多为坡屋面，从顶上屋脊或宝顶到下边的屋檐是一个向下弯曲的凹弧面，表达出顺应自然的谦卑，似与天空恰当而友善的对话．而弯曲屋面的出现，经历了漫长的过程．其中最具代表的就是两宋的建筑成就． 建筑高度是建筑设计中的一个重要参数．学习小组的同学想要更全面具体地了解宋代建筑与数学的关系，来到了宋代建筑代表作——山西太原的晋祠圣母殿．想通过建模的方式探究屋面结构与建筑高度的关系． 实践任务 以晋祠圣母殿为例，通过建模的方式，探究屋面结构与建筑高度的关系． 资料查阅 1、晋祠圣母殿是常见的坡屋面式结构之一，在《建筑设计防火规范》（GB50016-2014）（2018年版）A．0.1条中，建筑高度应为建筑室外设计地面至其檐口与屋脊的平均高度，即：建筑高度室外设计地面至檐口的高度檐口至屋脊的高度（h2）． 如图1，建筑高度． 2、如图2，根据晋祠圣母殿和《营造法式》中的几个典型的屋面剖面图的资料总结得出，从檐口到屋脊，坡屋面竖直高度/半坡宽度．数据表达了古人的审美情趣，现代仿古建筑，如庑殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶等建筑，均宜参照这个建筑密码营造． 模型初建 将晋祠圣母殿的屋面近似成平面结构，其剖面图可以简化成数学几何图形（简化为一层房檐)．如图3，为等腰三角形， ，假定米，米．                 图3 模型优化 屋面除了审美需求，也要便于房屋采光和排水．晋祠圣母殿的屋面正是中国古建筑中最具代表的凹曲屋面，使建筑物产生独特而强烈的视觉效果和艺术感染力． 学习小组通过查阅资料可知，屋面可以近似看作圆心角为30o的圆弧．如图所示，弧和弧是半径为、圆心角为30o的圆弧，檐口B到地面的距离为． 补充模型 从对屋顶曲线进行数学模拟时，却发现圆弧的拟合度并非最佳．学习小组的同学经过探索，发现运用到了最速降线的理论．最速降线可以使得物体下滑所需时间最短，达到排水的目的．古人如何造出“最速降线”的呢？查阅资料得知，宋朝古人利用“举折法”测定屋顶坡度及屋盖曲面线． 如图5所示，折线为宋代常见的一种屋顶建筑．是中边上的四等分点，过作交于，将降低米得到，连接；重复上述步骤，过作交于，将降低米得到，连接；过作交于，将降低米得到，连接； “举之峻慢，折之圆和”，求此曲面线，谓之定侧样．这就是古代的“举折法”．               图5 问题解决 任务1 模型初建 （1）根据“资料查阅”第一条，求出简易图中的建筑高度； 任务2 模型优化 （2）根据“资料查阅”两条内容，直接写出屋脊A与檐口B的竖直高度h2和建筑高度h（结果保留整数部分，）； 任务3 补充模型 （3）若，求出屋脊与檐口竖直高度． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。 22．阅读材料： 勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组，关于勾股数组的研究我国历史上有非常辉煌的成就，根据《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦），即知道了勾股数组．类似地，还可以得到下列勾股数组：，，，…，等等，这些数组也叫做毕达哥拉斯勾股数组，上述勾股数组的规律，可以用下面表格直观表示： 勾股数组 各数组的和 和的另一表示法 和与最小数的差 股 弦 3，4，5 12 5，12，13 30 7，24，25 56 观察分析上述勾股数组，可以看出它们具有如下特点： 特点1：最小的勾股数的平方等于另两个勾股数的和； 特点2：______． … 回答问题： (1)请你再写出上述勾股数组的一个特点：______； (2)如果n表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为； (3)请你证明（2）中的三个式子是勾股数组． 23．在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． (1)如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的解析式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； (2)矩形A在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A．且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3．当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为L，求L关于k的函数解析式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2026年逐梦卷 广东中考数学试卷1》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D D D C D D A A 1．D 【分析】本题考查正负数的实际意义，熟练掌握正负数表示具有相反意义的量进行分析求解即可． 【详解】解：由题意体重上升为正，体重下降为负． 可得，元旦后小明体重增加了，小明体重变化情况可记为． 故选：D． 2．B 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于的数，解题关键是掌握科学记数法的定义． 利用科学记数法的表示方法． 【详解】解：， 故选：B． 3．D 【分析】此题考查了二次根式的乘法．根据进行计算即可． 【详解】解： 故选：D 4．D 【分析】根据俯视图的定义即可判断． 本题考查了三视图，解题的关键是明确俯视图是从物体的上边观察得到的图形． 【详解】解：俯视图是： 故选：D． 5．D 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行线的性质定理，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．先证明，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案. 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选D 6．C 【分析】本题考查了求一组数据的算术平均数，中位数和众数．中位数是将一组数据由小到大（由大到小）排序后，位于中间位置的数据，当有偶数个数据时，取中间两数的平均数；众数是一组数据出现次数最多的数．算术平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．根据算术平均数的定义，中位数的定义和众数的定义分别求解即可． 【详解】解：A．将10个数据按从小到大排列后，第5、第6个数据都是80，所以中位数是80次，故本选项结论正确，不符合题意； B．平均数为（次），故本选项结论正确，不符合题意； C．在这10个数据中，80出现的次数最多，共5次，所以众数是80次，故本选项结论错误，符合题意； D．因为（次），所以10分钟内心跳总次数为790（次），故本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 7．D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及年平均增长率的计算，从2023年底到2025年底经过两年，根据年平均增长率的增长模型列方程即可． 【详解】解：∵2023年底全省公共充电桩数量为万个，年平均增长率为， ∴2024年底的数量为万个， ∴2025年底的数量为万个， 又∵2025年底数量为万个， ∴可列方程：， 故选：D． 8．D 【分析】根据函数图象可判断A、B；当通过灯泡的电流为时，灯泡两端的电压为，求出此时的电阻可判断C；当通过灯泡的电流为时，灯泡两端的电压为，此时灯泡的功率为，据此可判断D． 【详解】解：A、由函数图象可知，当时，通过灯泡的电流随灯泡两端电压的增大而增大，原说法正确，不符合题意； B、由函数图象可知，当灯泡两端的电压为时，通过灯泡的电流是，原说法正确，不符合题意； C、由函数图象可知，当通过灯泡的电流为时，灯泡两端的电压为，则灯泡的电阻是，原说法正确，不符合题意； D、由函数图象可知，当通过灯泡的电流为时，灯泡两端的电压为，此时灯泡的功率为，故当灯泡的功率为时，灯泡两端的电压为，原说法错误，符合题意； 9．A 【分析】本题主要考查了圆周角定理，扇形面积计算，由圆周角定理得到，再根据扇形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 10．A 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 如图：过点E作，易得四边形是矩形得到，然后证明，证明，然后代入相关数据即可解答． 【详解】解：如图：过点E作， ∵矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 11． 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式即可分解因式． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．/ 【分析】本题考查了利用位似图形点的坐标求相似比，利用位似是特殊的相似，求出相似比是，进而即可解答． 【详解】解：∵，点O是位似中心，点A的坐标为，点的坐标为，且， ∴和的位似比为，则和的相似比为， ∴． 故答案为：． 13．且 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，一元二次方程的根与与系数的关系，熟练掌握根的判别式是解题的关键； 根据一元二次方程的定义，可得，再根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， 故，则， ，，， 则， 解得：； 综上所述，可得且； 故答案为：且 14． 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再计算减法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题关键是准确理解互为“关联函数”的定义，根据两个函数顶点坐标的关系确定函数的“关联函数”的解析式即可． 【详解】解：∵二次项系数之和为1，且顶点关于x轴对称的两个二次函数称作互为“关联函数”， ∴函数的“关联函数”的二次项系数为2， ∵， ∴它的顶点坐标为，则它的“关联函数”的顶点坐标为， ∴函数的“关联函数”的解析式是，即， 故答案为：． 16．任务一：①等式的基本性质2；②二，利用完全平方公式展开错误；任务二：． 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 任务一：①利用等式的基本性质判断即可；②观察解方程步骤，找出错误的步骤，分析其原因即可；任务二：写出分式方程的正确的解即可． 【详解】解：任务一：①上述解题过程中第一步的依据是等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质； ②上述解题过程是从第二步开始出现错误的，错误的原因是完全平方式展开错误； 故答案为：二，完全平方式展开错误； 任务二：， ， ， ， ． 经检验，是原分式方程的解． 17． 【分析】本题主要考查了切线的性质，直角三角形两锐角互余，圆周角定理，掌握以上知识的综合计算是关键． 根据切线的性质得到，由直角三角形两锐角互余得到，根据圆周角即可求解． 【详解】解：∵与切于点， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．能，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，理解题意，确定抛物线解析式为解题关键．设抛物线的方程为，利用待定系数法解得该抛物线解析式，令，解得的值，即可获得答案． 【详解】解：由题意可知抛物线的顶点坐标，设抛物线的方程为， 又∵点在抛物线上， ∴可有，解得， ∴该抛物线的解析式为， 令，则有， 解得，， ∵， ∴该货车可以通过． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定、矩形的判定、菱形的判定、斜边中线定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质得到，，由中线的定义得到，，得出，再利用平行四边形的性质与判定即可证明； （2）根据矩形、菱形的判定即可解答． 【详解】（1）证明：， ，， 、分别是和的中线， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ． （2）解：若选择条件①，则四边形是矩形．理由如下： ，是的中线， ， ， 由（1）得，四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形； 若选择条件②，则四边形是菱形．理由如下： ，是的中线， ， 由（1）得，四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形． 20．(1)三 (2)50 (3)图见解析 (4)估计该校参加篮球社团的学生有400名 【分析】本题考查了抽样调查、条形统计图和扇形统计图的信息关联、利用样本估计总体等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）根据抽样调查的可靠性进行选择即可求解； （2）利用最喜欢乒乓球球社团的人数除以其所占的百分比可得本次抽样调查的总人数； （3）利用本次抽样调查的总人数乘以最喜爱篮球社团的人数所占的百分比可求出最喜爱篮球社团的人数，据此补全条形统计图即可得； （4）利用该校学生的总人数乘以最喜欢篮球社团的人数所占的百分比即可得． 【详解】（1）解：因为方案三抽查的对象最具有代表性和广泛性， 所以上述调查方案中，最合理的是方案三， 故答案为：三． （2）解：本次抽样调查的总人数为（人）， （3）解：最喜爱篮球社团的人数为（人）， 则补全条形统计图如下： ． （4）解：（名）， 答：估计该校参加篮球社团的学生有400名． 21．（1）建筑高度为11；（2）（米）；（3）竖直高度是6米 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，构造直角三角形是解题的关键． （1）过A作于H,则,然后利用勾股定理求出,解题即可； （2）在上找到一点M，使得，得到△是等边三角形，即可得到，过A作上的高，可知，利用勾股定理得到，代入数值计算即可； （3）根据题意得到，进而得到，求出，同理可以得到和的值即可求出的长． 【详解】（1）过A作于H, 由知，, 在中，, ∴， 由勾股定理得，， ∴, 根据资料信息可得：建筑高度（米） 答：建筑高度为11米； （2）的值为4米；H的高度为17米 在上找到一点M，使得 所以 ∵， ∴△是等边三角形， 所以可得 在△中，， 过A作上的高，可知， 则 在中，， ∴ 由资料可得，檐口B与屋脊A的竖直高度/檐口B与屋脊A的水平宽度， 所以，即 所以建筑高度（米） （3）由题知 则 又因为是公共角 那么， 所以， 同理可得， ∴，， 因为是线段的四等分点，所以 可得， 则， 同理可得， 则， 同理可得， 则， 解得：， 答：竖直高度是6米． 22．(1)勾股数组的和等于最小的勾股数与比它大1的整数的乘积；（答案不唯一） (2)，； (3)见解析 【分析】本题考查了勾股数的概念，整式的混合运算，熟记勾股数的概念是解题关键． （1）根据勾股数组的特点解答即可； （2）根据已知表格，先求出勾股数组的和，进而得到勾股数组的和与最小数的差，再求出股和弦即可； （3）根据正数的混合运算法则计算即可证明． 【详解】（1）解：上述勾股数组的一个特点：勾股数组的和等于最小的勾股数与比它大1的整数的乘积； 故答案为：勾股数组的和等于最小的勾股数与比它大1的整数的乘积； （2）解：为最小的勾股数， 勾股数组的和为， 勾股数组的和与最小数的差为， 股为，弦为， 勾股数组可以表示为， 故答案为：，； （3）证明： ， 即是勾股数组． 23．(1)是矩形的“友好函数” (2)①；② 【分析】（1）求出反比例函数解析式，并判断D在反比例函数图像上，根据“友好函数”的概念即可得出结论； （2）求出正比例函数，设点， 则，则，根据折叠的性质得，，，延长交y轴与F，根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定可得，，，根据勾股定理列方程并求出m，求出B点坐标，即可求出k； 分两种情况讨论，当时，即，当时，即，再根据矩形周长公式求解即可． 【详解】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 反比例函数的表达式为：， 当时，， 点D在反比例函数图像上， 该函数为矩形的“友好函数”； （2）解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得， 正比例函数表达式为， 正比例函数是矩形的“友好函数”， 点C在直线上， 设点， 则， ； 将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上， ，，， 延长交y轴于F， 四边形是矩形， ，， 轴， ，， ， ， ， ， 轴， ，， ， ， 在中，， ， 解得：或， , ， ， ， 当时，， 把代入反比例函数得，； ②当时，即， 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即， ， ， ， ， 当时，， 当时，即时，如图， 设点， 则， ； 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ， ， 当时，， 综上所述，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数，一次函数，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，理解“友好函数”，综合运用以上知识求解，运用分类讨论思想是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $