精品解析：北京 清华大学附属中学2025-2026学年下学期八年级期中试卷 数学（一）

初二第二学期期中试卷数学（一） 一、选择题（本题共24分，每题3分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 要使代数式有意义，的取值应满足（ ） A. B. C. D. 2. 若最简二次根式与可以合并，则，的值为（） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 如图，中间的直角三角形由三个正方形的顶点相连构成．则图中三个正方形的面积可能取值为（ ） A. 4，5，6 B. 5，7，12 C. 5，9，16 D. 6，12，15 4. 如图，在中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 6. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（    ） A. B. C. D. 7. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ） A. 直角三角形的面积 B. 最大正方形的面积 C. 较小两个正方形重叠部分的面积 D. 最大正方形与直角三角形的面积和 8. 等腰三角形中，，记，周长为，定义为这个三角形的坐标．如图所示，直线将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，正确结论的序号是（ ） ①对于任意等腰三角形，其坐标不可能位于区域Ⅰ中； ②对于任意等腰三角形，其坐标不可能位于区域Ⅳ中； ③若三角形是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅱ中； ④图中点所对应等腰三角形的底边比点所对应等腰三角形的底边长． A. ①③ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题（本题共24分，每题3分） 9. 已知函数是正比例函数，则_____________． 10. 若，则的取值范围是________． 11. 如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为____________． 12. 如图，在中，若、，，则_________度． 13. 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺随箭壶中的水位匀速上浮，通过读取箭尺读数可指示时间（如图），观察、记录数据如下表（未记录完整）： 箭尺读数 1 6 21 31 指示时间 ？ 则箭尺读数为时，指示时间应为______． 14. 如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，，则的长为_______． 15. 如图，直线的解析式为分别与，轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且．在轴上方存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为_______． 16. 如图，在“探索一次函数中与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内且满足，若一次函数图象经过，给出下面四个结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．上述结论中，正确结论的序号有___________． 三、解答题（共52分，第17、19、20、22题每题5分，第18、21、23、24题每题6分，第25题8分） 17. 计算：． 18. 在中，为边上一点，且， （1）求证：； （2）若，求的面积． 19. 已知． （1）求的值； （2）若的小数部分是，的小数部分是，求的值． 20. 如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为． （1）则______，______，______； （2）关于x，y的二元一次方程组的解为______； （3）求四边形的面积． 21. 在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离，（定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既不小于函数的值，也不小于函数的值，直接写出的取值范围． 23. 如图．在中，，点在上，．过点分别作的平行线交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 24. 某地正在推进“智慧农业”建设，农业科技站为了研究两种不同营养液对某类番茄幼苗生长的影响，选取了若干组长势相近的幼苗进行对比实验．在相同光照、温度和浇水条件下，技术人员发现：幼苗一周后的平均株高增长量与营养液中某种核心成分的浓度有关．设成分的浓度为，甲液对应的平均株高增长量为（单位：），乙液对应的平均株高增长量为（单位：）．实验数据如下： 成分的浓度 20 30 40 50 60 70 80 甲液的平均株高增长量 11 14 20 23 26 29 乙液的平均株高增长量 15 19 21 20 17 12 5 进一步研究发现：与近似满足一次函数关系，也可以用函数刻画与之间的关系． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全表格； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）技术人员准备了核心成分共，全部用于配制甲液和乙液，根据以上数据与函数图象，解决下列问题： 假设两种营养液中核心成分的质量均为，则两种营养液的平均株高增长量之差约为_________（结果保留整数）； 经研究发现，在此实验条件下，当使用营养液甲时，环境温度每升高，平均株高增长量会下降．若将配制好的甲液对应的环境温度提高，可使得两种液体对应的番茄幼苗平均株高增长量相同，则乙液中的核心成分的质量约为_________g（结果保留整数）． 25. 如图，在正方形中，为边上一点，连接，点为线段的中点，连接、． （1）证明：； （2）连接与、交于点，过点作交于点，连接，若有，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 四、附加题（本题共20分，第26~29题，每题3分，第30题8分） 26. 如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为_______． 27. 如图，将函数的图象位于x轴下方的部分，沿x轴翻折至其上方，所得的折线是函数的图象，与直线的图象交点的横坐标x均满足，则b的取值范围为_____． 28. 如果，那么的值是_________． 29. 如图，在中，若，则面积为_________． 30. 对于平面直角坐标系中的点（不与原点重合），通过点和的直线上的任意一点称为的控制点．设． （1）点是中_________的控制点（填入所有满足要求的点）； （2）若点是线段上一点，点是的控制点，则线段长度的最小值是_________； （3）设，将线段向左平移个单位长度，向上平移个单位长度后得到线段．若存在点在正方形内（含边界），点在线段上，使得是的控制点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二第二学期期中试卷数学（一） 一、选择题（本题共24分，每题3分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 要使代数式有意义，的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件可知，计算求解即可． 【详解】解：由题意知 即 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．解题的关键在于熟练掌握二次根式、分式有意义的条件． 2. 若最简二次根式与可以合并，则，的值为（） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的定义，代数式求值，二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． 两个根式可以合并，需满足根指数相同且被开方数相同．由第二个根式为二次根式，知根指数为2，故第一个根式的根指数；再令被开方数相等，得，解得，代入得．验证符合条件． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴它们为同类二次根式，根指数相同，且被开方数相同， ∴， 解得，， 经验证，当，时，，，为同类二次根式，可以合并． 故选D． 3. 如图，中间的直角三角形由三个正方形的顶点相连构成．则图中三个正方形的面积可能取值为（ ） A. 4，5，6 B. 5，7，12 C. 5，9，16 D. 6，12，15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由正方形的面积结合勾股定理可知，图中两个较小正方形的面积等于最大正方形的面积，据此可得答案． 【详解】解：由正方形的面积结合勾股定理可知，图中两个较小正方形的面积等于最大正方形的面积， A项：，不满足要求，不符合题意； B项：，满足要求，符合题意； C项：，不满足要求，不符合题意； D项：，不满足要求，不符合题意， 故选：B． 4. 如图，在中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，， ∴． ∵点E、F分别是BD、CD的中点， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键． 5. 如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】通过平行四边形性质，可计算得；再结合AB⊥AC推导得为直角三角形，通过勾股定理计算得，再结合平行四边形性质，计算得到答案． 【详解】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ∴BO＝DO，AO＝CO， ∵AB⊥AC，AB＝4，AC＝6， ∴∠BAO＝90°，OA＝3 ∴， ∴BD＝2BO＝10， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形、勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形和勾股定理的性质． 6. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， 由长方形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 7. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ） A. 直角三角形的面积 B. 最大正方形的面积 C. 较小两个正方形重叠部分的面积 D. 最大正方形与直角三角形的面积和 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理得到c2=a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可． 【详解】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a， 由勾股定理得，c2=a2+b2， 阴影部分的面积=c2-b2-a（c-b）=a2-ac+ab=a（a+b-c）， 较小两个正方形重叠部分的长=a-（c-b），宽=a， 则较小两个正方形重叠部分底面积=a（a+b-c）， ∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积， 故选C． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 8. 等腰三角形中，，记，周长为，定义为这个三角形的坐标．如图所示，直线将第一象限划分为4个区域．下面四个结论中，正确结论的序号是（ ） ①对于任意等腰三角形，其坐标不可能位于区域Ⅰ中； ②对于任意等腰三角形，其坐标不可能位于区域Ⅳ中； ③若三角形是等腰直角三角形，其坐标位于区域Ⅱ中； ④图中点所对应等腰三角形的底边比点所对应等腰三角形的底边长． A. ①③ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，，，根据不等式结合图像可知①；根据三角形任意两边之和大于第三边判断②；根据等腰直角三角形的性质、不等式的性质判断③；分别求出点、点所对应等腰三角形的底边范围，即可判断④． 【详解】解：在等腰三角形中，，记，周长为， 设， 则，，， ①∵， ∴其坐标在的上方， ∴其坐标不可能位于区域Ⅰ中； 故结论①正确； ②∵三角形任意两边之和大于第三边， ∴， ∴， ∴其坐标位于直线的下方，不可能位于区域Ⅳ中， 故结论②正确； ③若三角形是等腰直角三角形，则， ∴， ∴， ∴， ∴其坐标位于区域Ⅲ中， 故结论③错误； ④图中点位于区域Ⅲ中，则 ∴ ∴， 点位于区域Ⅱ中，则， ∴， ∴， ∴图中点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长， 故结论④正确， 故结论①②④正确． 二、填空题（本题共24分，每题3分） 9. 已知函数是正比例函数，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为． 根据正比例函数的定义列出方程求解即可． 【详解】解：是正比例函数， 且， 解得：； 故答案为：． 10. 若，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可得：，再结合绝对值的性质，即可求解． 【详解】解：∵，根据题意得： ， ∴ ， 解得： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和绝对值的性质，理解并掌握 是解题的关键． 11. 如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，利用函数图象确定不等式的解集是解题的关键．先将交点代入直线：求出的值，再结合函数图象，找出直线在直线上方（含交点）时对应的的取值范围，进而得到不等式的解集． 【详解】解：将点坐标代入直线，得， 从图中直接看出，当时，， 故答案为：． 12. 如图，在中，若、，，则_________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握平行四边形对角相等，等腰三角形等边对等角，直角三角形两锐角互余．先根据平行四边形的性质得出，再由得出，最后根据，即可解答． 【详解】解： 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13. 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺随箭壶中的水位匀速上浮，通过读取箭尺读数可指示时间（如图），观察、记录数据如下表（未记录完整）： 箭尺读数 1 6 21 31 指示时间 ？ 则箭尺读数为时，指示时间应为______． 【答案】 【解析】 【分析】以为时间起点，设经过x小时后，箭尺读数为，根据“箭尺随箭壶中的水位匀速上浮”并结合表格，列出函数关系式，进而进行计算即可求解． 【详解】解：由表格可得，至，读数从变成了； 至，读数从变成了， ∴箭尺每小时匀速上升， 以为时间起点，设经过x小时后，箭尺读数为， ∴ 设当箭尺读数为时， 解得． ∴从经过8小时后，指示时间为． 14. 如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】延长DC交EF于点M（图见详解），根据平行四边形与等边三角形的性质，可证△CFM是等边三角形，BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C、G是DM和DE的中点，根据中位线的性质，可得出CG=，代入数值即可得出答案． 【详解】解：如下图所示，延长DC交EF于点M，，， 平行四边形的顶点C在等边的边上， ， 是等边三角形， ． 在平行四边形中，，， 又是等边三角形， ， ． G为的中点，， 是的中点，且是的中位线， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点，延长DC交EF于点M，利用平行四边形、等边三角形性质求出相应的线段长，证出是的中位线是解题的关键． 15. 如图，直线的解析式为分别与，轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴负半轴于点，且．在轴上方存在点，使以点，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，涉及到三角形全等、平行线的性质、勾股定理的运用等，并注意分类求解，题目难度较大． 求出、点，分平行x轴、不平行x轴两种情况，作出图形，结合图形分别求解即可． 【详解】解：将点的坐标代入函数表达式得：， 解得：， 故直线的表达式为：， ∴点， ∴， ∵， ∴， 即点； ①如图，当平行x轴时， 点，，为顶点的三角形与全等，则四边形为平行四边形， 则，则点， ②当不平行x轴时，如下图所示，， ∵， ∴， ∴， ∴轴，且， ∴， 故答案为：或． 16. 如图，在“探索一次函数中与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内且满足，若一次函数图象经过，给出下面四个结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．上述结论中，正确结论的序号有___________． 【答案】①② 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性可判断①和②，把代入，求出与的关系，解不等式可判断③与④． 【详解】解：∵点在第一象限且满足， ∴点在线段(不包括端点)上， ∴一次函数图象经过， 随的增大而增大， 结论①：当时，，当时，；①正确； 结论②：当时，，时，同理，随增大而增大，因此时，，②正确； 结论③：当时，，由，时，，因此，即，与结论矛盾，③错误； 结论④：当时，， 题目规定在第一象限，因此，，不存在满足的符合条件的一次函数，该结论不成立，④错误； 综上，正确结论的序号是． 三、解答题（共52分，第17、19、20、22题每题5分，第18、21、23、24题每题6分，第25题8分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】分别根据负整数指数幂、算术平方根、绝对值和零指数幂的运算法则化简每一项，再合并同类项计算结果． 【详解】解： ． 18. 在中，为边上一点，且， （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，再证明，然后根据可证； （2）求出得，根据勾股定理求出，即可根据平行四边形的面积公式解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 已知． （1）求的值； （2）若的小数部分是，的小数部分是，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）运用完全平方公式计算即可； （）根据无理数的估算得到的值，代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ， ∴ ． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴小数部分， ，， ∴小数部分， ∴， ∴． 20. 如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为． （1）则______，______，______； （2）关于x，y的二元一次方程组的解为______； （3）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）把点D的坐标为代入，求出的值，待定系数法求出的值即可； （2）图象法解二元一次方程组即可； （3）连接，分割法求出四边形的面积即可． 【小问1详解】 解：把代入，得； ∴， 把，代入，得，解得； 故答案为：3；；2． 【小问2详解】 解：∵直线和直线的交点坐标为， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为． 【小问3详解】 解：连接， ∵， ∴当时，， ∴， 由（1）知：， 当时，， ∴， ∵， ∴四边形的面积． 21. 在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离，（定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【答案】（1）绳子的总长度为 （2）滑块B向左滑动了，此时物体C升高了 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解“绳子总长度固定”的条件是解题关键． （1）利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长即可进一步求解． 【小问1详解】 解：根据题意可知，，，， 则 故绳子的总长度是． 答：绳子的总长度为； 【小问2详解】 解：滑块B向左滑动了 ， 据（1）知绳子总长为 物体C上升高度为． 答：滑块B向左滑动了，此时物体C升高了 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既不小于函数的值，也不小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）用待定系数法，将已知两点代入一次函数，列方程组求解和，得到函数解析式； （）先作差比较时两个一次函数的大小，确定更大；再将“不小于两个函数”转化为时恒成立，整理得，分析在的取值范围，得出． 【小问1详解】 解：∵一次函数过点和， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由（）得： ， ， 当时，作差比较两个函数的大小：， ∴时， ， ∵不小于两个函数， ∴只要满足时，恒成立即可， 整理得：， ∵， ∴， ∴​对所有恒成立， ∴． 23. 如图．在中，，点在上，．过点分别作的平行线交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先得出四边形是平行四边形，再得出，则，根据菱形的判定即可得证； （2）过点作于点，先求出的长，则可得的长，再在中，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：由题意得：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴在中，， 由（1）已证：， ∴， ∴在中，． 24. 某地正在推进“智慧农业”建设，农业科技站为了研究两种不同营养液对某类番茄幼苗生长的影响，选取了若干组长势相近的幼苗进行对比实验．在相同光照、温度和浇水条件下，技术人员发现：幼苗一周后的平均株高增长量与营养液中某种核心成分的浓度有关．设成分的浓度为，甲液对应的平均株高增长量为（单位：），乙液对应的平均株高增长量为（单位：）．实验数据如下： 成分的浓度 20 30 40 50 60 70 80 甲液的平均株高增长量 11 14 20 23 26 29 乙液的平均株高增长量 15 19 21 20 17 12 5 进一步研究发现：与近似满足一次函数关系，也可以用函数刻画与之间的关系． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全表格； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）技术人员准备了核心成分共，全部用于配制甲液和乙液，根据以上数据与函数图象，解决下列问题： 假设两种营养液中核心成分的质量均为，则两种营养液的平均株高增长量之差约为_________（结果保留整数）； 经研究发现，在此实验条件下，当使用营养液甲时，环境温度每升高，平均株高增长量会下降．若将配制好的甲液对应的环境温度提高，可使得两种液体对应的番茄幼苗平均株高增长量相同，则乙液中的核心成分的质量约为_________g（结果保留整数）． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（）求出 ，当时，求出即可； （）根据画函数图象方法步骤即可求解； （）求出 ， ，然后相减即可；由甲温度升高，总下降量为 ，升温后增长量等于乙的增长量，可知 向下平移个单位，即，画出的图象，观察图象即可求解． 【小问1详解】 解：∵与近似满足一次函数关系， ∴设， 当时，；当时，， ∴，解得：， ∴ ， ∴当时， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图， 【小问3详解】 解：两种营养液中核心成分的质量均为， ∴ ，， ∴两种营养液的平均株高增长量之差约为； ∵甲温度升高，总下降量为 ，升温后增长量等于乙的增长量， ∴ 向下平移个单位，得， 如图，由图象可知与得，当或时，两种液体对应的番茄幼苗平均株高增长量相同， 则乙液中的核心成分的质量约为或 ． 25. 如图，在正方形中，为边上一点，连接，点为线段的中点，连接、． （1）证明：； （2）连接与、交于点，过点作交于点，连接，若有，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）先连接，利用正方形的性质得到边相等、角为直角，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得出，进而推出 ；最后通过证明 ，由全等三角形对应边相等证得； （）先通过证，得到；再结合等腰三角形性质与平行线的内错角相等，证得；接着利用正方形对角线的对称性，证，推出，进而得到；再通过角度等量代换，证明是等腰直角三角形，由勾股定理得，最后通过等量代换，得出． 【小问1详解】 证明：连接， ∵ 四边形是正方形， ∴， ， ∵， ∴是直角三角形， ∵是中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， 即 ， 在和 中： ， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 解：与的数量关系为： ， 证明如下：连接分别交于点，交于点， ∵， ∴， 正方形中， ∴， 在和 中： ​， ∴ ， ∴， 由()得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵是对角线， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在和 中： ​， ∴ ， ∴， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵正方形中，对角线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴.即， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 四、附加题（本题共20分，第26~29题，每题3分，第30题8分） 26. 如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为_______． 【答案】##0.375 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，先根据平行线间的距离处处相等得出，继而得出，通过解直角三角形得出，即可求解． 【详解】解：过点F分别作，垂足为M，N，连接，则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵，垂足为F，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 27. 如图，将函数的图象位于x轴下方的部分，沿x轴翻折至其上方，所得的折线是函数的图象，与直线的图象交点的横坐标x均满足，则b的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】当时，直线解析式为，当时，直线解析式为， 根据与直线的图象交点的横坐标x均满足，解答即可． 本题考查了一次函数的图象，交点问题，图象翻折问题，熟练掌握翻折问题是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得当时，直线解析式为， 当时，直线解析式为， 根据与直线的图象交点的横坐标x均满足， 故当时，，此时交点坐标为， 把代入，解得； 当时，，此时交点坐标为， 把代入，解得； 当时，，此时交点坐标为， 把代入，解得； 综上所述，当时，， 故答案为：． 28. 如果，那么的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】通过换元法，令​，，​（），将原方程中的用表示后代入等式，再通过配方将方程整理为三个平方项相加等于的形式，利用“非负数之和为则每一项均为”的性质求出的值，进而反推得到的值，最后计算的结果． 【详解】解：令​，，​（）， ∴，，， ∵， ∴， 移项整理得：， ， 即：， ∴， ∴， ∴，，， ∴． 29. 如图，在中，若，则面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】通过作辅助线构造等腰和含角的，将 转化为；接着设，用表示出的长度，利用的勾股定理列方程求出的值；再通过的两种面积表示方法，算出点到的高；最后用三角形面积公式求出的面积． 【详解】解：过点作交于点，使 ，过作于，过作于， ∵ ， ∴， ∵， ∴， 设， 在 中，， ∴， ∵，， ∴， 在 中，由勾股定理， ， 解得：， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∴． 30. 对于平面直角坐标系中的点（不与原点重合），通过点和的直线上的任意一点称为的控制点．设． （1）点是中_________的控制点（填入所有满足要求的点）； （2）若点是线段上一点，点是的控制点，则线段长度的最小值是_________； （3）设，将线段向左平移个单位长度，向上平移个单位长度后得到线段．若存在点在正方形内（含边界），点在线段上，使得是的控制点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）B、D （2） （3） 【解析】 【分析】（1）因为点的控制点是在过点和的直线上，所以先分别求出A、B、C、D四点对应的直线方程；如果给定的点满足某条直线方程，那么该点就是对应点的控制点． （2）因为P是线段上的点，所以先设出P点坐标，再根据控制点定义写出Q点所在直线的方程；要求长度的最小值，可利用面积法求直角三角形斜边上的高，结合P点坐标的范围，求出距离的最小值． （3）先根据平移规则求出、的坐标；因为Q是P的控制点，所以Q点满足P对应的直线方程，结合P在正方形内（含边界）的条件，分类讨论点P在四个顶点处的解析式逐一验证，确定t的取值范围． 【小问1详解】 解：对于点，其控制点在直线为过和的直线上， 设直线解析式为： 把代入得， 解得， ∴直线解析式为 ∴对：过的直线为， 点代入得，不满足； 对：过的直线为， 点代入得，满足； 对：过的直线为， 点代入得，不满足； 对：过的直线为， 点代入得，满足． 故点的控制点是B、D． 【小问2详解】 解：∵线段上的点满足，， 对应直线解析式为，设交x轴于点M，交y轴于N， 令，则； 令，则； ∴， ∴， ∴， ∵原点到直线的距离就是的最小值，设为d， ∴， ​​∴， 平方得​， ∵随增大而减小， ∴随增大而增大，即随增大而增大， ∴当时最小： ． 【小问3详解】 解：∵线段向左平移个单位、向上平移个单位，得到线段， ∴，， 对：过的直线为， 点代入， 得 ， 解得； 点代入， 得 ， 解得； ∴． 对：过的直线为， 点代入， 得 ， 解得； 点代入， 得 ， 解得； ∴； 对：过的直线为， 点代入， 得 ， 解得； 点代入， 得 ， 解得；∴． 对：过的直线为， 点代入， 得 ， 解得； 点代入， 得 ， 解得； ∴． 综上，的范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $