第18章 矩形、菱形与正方形单元复习（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

第18章 矩形、菱形与正方形 教学目标 1.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定。 2.理清四类图形的区别与联系，构建知识体系。 3.能进行角度、线段、面积计算及几何证明。 4.提升逻辑推理、分类讨论与方程思想应用能力。 教学重难点 重点 （1）矩形、菱形、正方形的性质与判定 （2）特殊四边形的面积、周长计算 （3）对角线性质的综合运用 难点 （1）性质与判定的灵活选择 （2）折叠、旋转、动点综合问题 （3）分类讨论与多解问题 知识点01：平行四边形 1.定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2.性质：对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分；中心对称图形。 3.判定：两组对边分别平行/相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分；两组对角分别相等。 【即学即练】 1．下列说法中错误的是（   ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．有两对邻角互补的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质和判定定理，逐个判断选项正误即可． 【详解】解：A、根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，该说法正确，不符合题意； B、在四边形中，若且，仅能推出，无法推出，例如等腰梯形满足两对邻角互补，但不是平行四边形，该说法错误，符合题意； C、根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，该说法正确，不符合题意； D、设四边形中，，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，该说法正确，不符合题意； 故选B． 知识点02：矩形 1.定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2.性质：四个角都是直角；对角线相等且互相平分；轴对称+中心对称。 3.判定：平行四边形+一个直角；三个角是直角；平行四边形+对角线相等。 4.推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 【即学即练】 1．下列说法不正确的是（   ） A．矩形是平行四边形 B．平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．平行四边形具有的性质矩形都具有 【答案】B 【分析】本题考查矩形与平行四边形的区别与联系，矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形． 【详解】解：A选项：矩形是有一个角是直角的平行四边形， 故A选项正确； B选项：平行四边形的内角不一定是直角， 平行四边形不一定是矩形， 故B选项错误； C选项：矩形的定义是：有一个角是直角的平行四边形是矩形， 故C选项正确； D选项：矩形是特殊的平行四边形， 矩形具有平行四边形的所有性质， 故D选项正确． 故选：B． 知识点03：菱形 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.性质：四条边相等；对角线互相垂直平分，且平分一组对角；轴对称+中心对称。 3.判定：平行四边形+一组邻边相等；四条边相等；平行四边形+对角线垂直。 4.面积：。 【即学即练】 1．下列命题，是真命题的是（   ） A．邻边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．四边相等的四边形是菱形 D．对角线互相平分的平行四边形是菱形 【答案】C 【分析】根据菱形的判定定理分别判断即可． 【详解】解：A、邻边相等的四边形不一定是菱形，只有邻边相等的平行四边形才是菱形，故A错误； B、对角线互相垂直的四边形，对角线不一定互相平分，无法判定是菱形，只有对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，故B错误； C、∵四边相等的四边形符合菱形的判定定理，∴四边相等的四边形是菱形，故C正确； D、对角线互相平分是平行四边形本身的性质，对角线互相垂直平分的平行四边形才是菱形，故D错误． 知识点04：正方形 1.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 2.性质：四边相等；四角为直角；对角线相等、垂直、平分、平分对角；4条对称轴。 3.判定：矩形+邻边相等/对角线垂直；菱形+一个直角/对角线相等。 【即学即练】 1．平行四边形，矩形，菱形，正方形共有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线平分内角 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质，根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、对角线相等，只有矩形和正方形共有的性质，该选项不合题意； 、对角线互相垂直，只有菱形和正方形共有的性质，该选项不合题意； 、对角线互相平分，平行四边形，矩形，菱形，正方形都共有的性质，该选项符合题意； 、对角线平分内角，只有菱形和正方形共有的性质，该选项不合题意； 故选：． 知识点05：特殊平行四边形关系 1.包含关系：平行四边形⊃矩形/菱形⊃正方形。 2.转化关系：矩形+邻边相等→正方形；菱形+直角→正方形。 【即学即练】 1．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（　　）． A．①对角相等 B．②对角线互相垂直 C．③有一条对角线平分一组对角 D．④对角线相等 【答案】A 【分析】本题考查矩形，菱形，正方形的判定，关键是熟练掌握矩形，菱形，正方形的判定方法．由矩形，菱形，正方形的判定，即可判断． 【详解】解：平行四边形的对角相等，故①错误； 对角线垂直的平行四边形是菱形，故②正确： 有一条对角线平分一组对角的矩形是正方形，故③正确； 对角线相等的菱形是正方形，故④正确， 故选：A． 题型01特殊四边形性质辨析 方法技巧：对比边、角、对角线、对称性，区分矩形、菱形、正方形。 【典例1】. （25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列说法错误的是（　） A．平行四边形的对边相等 B．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形 C．矩形的对角线互相垂直平分 D．菱形的每条对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】根据平行四边形、正方形、矩形、菱形的性质逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】∵平行四边形的性质为对边相等， ∴A说法正确，不符合题意， ∵正方形存在对称轴，且绕对角线交点旋转后与原图形重合， ∴正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，B说法正确，不符合题意， ∵矩形的对角线性质是互相平分且相等，不互相垂直， ∴C说法错误，符合题意， ∵菱形的性质包含每条对角线平分一组对角， ∴D说法正确，不符合题意． 【变式1】. （25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（   ） A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分 C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等 【答案】C 【详解】解：平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等. 故只有选项C正确. 【变式2】. （25-26八年级下·重庆·月考）下列说法中不正确的是（  　　 ） A．四条边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．正方形的对角线相等 D．矩形的对角线互相垂直且平分 【答案】D 【详解】A、B、C选项的说法均正确． 对于D选项，只有特殊的矩形（正方形）的对角线互相垂直且平分，其他的矩形的对角线互相平分但不垂直． 【变式3】. （25-26八年级下·重庆·月考）下列说法错误的是（    ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．菱形的每一条对角线平分一组对角 C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的对角线相等、互相垂直且平分 【答案】C 【分析】根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质逐一判断，即可找出错误说法． 【详解】∵A选项，平行四边形的基本性质是对角线互相平分， ∴A说法正确； ∵B选项，菱形的性质包含每一条对角线平分一组对角， ∴B说法正确； ∵C选项，矩形的对角线性质是相等且互相平分，不互相垂直， ∴C说法错误； ∵D选项，正方形同时具备矩形和菱形的对角线性质，即对角线相等、互相垂直且平分， ∴D说法正确． 题型02特殊四边形判定证明 方法技巧：先判平行四边形，再补直角/邻边相等/对角线条件。 【典例2】. （25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示，点E是的边的中点，且．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质得，，证明，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，则，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，， ∵E是的中点， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， ， ∴四边形为矩形． 【变式1】. （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，对角线和相交于点，过作，交于，交于，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用已知条件和矩形的性质易证，进而可得四边形是平行四边形，又因为，从而结论得证； （2）设，由已知和矩形的性质可得，在中，利用勾股定理可求出的值，进而可求出菱形的周长． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，对角线和相交于点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：设， ∵四边形是菱形， ∴， ∵矩形中，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴菱形的周长． 【变式2】. （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，菱形的对角线相交于点O，在上截取，顺次连接B，F，D，E四点．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】由菱形性质得 ，；由 及 ，得 ，即 与 互相平分且相等，故四边形 是矩形；再由 ，得矩形 是正方形． 【详解】证明： 四边形 是菱形， ，． ， ． 与 互相平分，且 ． 四边形 是矩形． 又， 矩形 是正方形． 【变式3】. （25-26八年级下·江苏·期中）如图，在中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交的外角的平分线于点F． (1)探究线段与的数量关系，并说明理由； (2)当运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由； (3)当点在边上运动时，四边形 是菱形或正方形（填“可能”或“不可能”）．请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)当点运动到的中点，且满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形，理由见解析 (3)不可能，理由见解析 【分析】（1）由直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点，易证得与是等腰三角形，则可证得，则可得出答案； （2）正方形的判定问题，若是正方形，则必有对角线，所以为的中点，同样在中，当时，可满足其为正方形； （3）菱形的判定问题，若是菱形，则必有四条边相等，对角线互相垂直，进而可判断出不可能为菱形，再通过正方形是有一个角是的菱形，进而可判断出也不可能为正方形． 【详解】（1）解：． 理由如下： 是的角平分线， ， 又∵， ， ， ， 同理可得：， ； ． （2）解：当点运动到的中点，且满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形．理由如下： 当点运动到的中点时，， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ，即， 四边形是矩形． 已知，当，则 ， ， 四边形是正方形； （3）解：不可能．理由如下： 如图，平分，平分， ， 若四边形是菱形，则， 但在中，不可能存在两个角为，所以不存在其为菱形． ∵四边形不可能是菱形， 又∵正方形是有一个角为的菱形， ∴四边形也不可能是正方形． 题型03矩形性质与计算 方法技巧：用直角、对角线相等，结合勾股定理与斜中半定理。 【典例3】. （25-26九年级上·辽宁锦州·月考）如图，在四边形中，，，，，点E，F分别是的中点，连接，则线段的长为（   ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】连接，先证四边形，是平行四边形，再证四边形是矩形，根据直角三角形斜边中线的性质得出，结合，可得是等边三角形，由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理计算出，再证，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，F是的中点， ， 又， 四边形是平行四边形， 同理，四边形是平行四边形． 平行四边形中，， 四边形是矩形， ， 又 E是的中点， ， ， ，是等边三角形， ． 四边形是平行四边形， ， ， ， ，F是的中点， ， ， ， ，， ， 又，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等，涉及知识点较多，难度一般，能够综合应用上述知识是解题的关键． 【变式1】. （24-25九年级下·江苏无锡·月考）如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形与平行四边形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理和矩形的性质是解题的关键， （1）根据平行四边形的性质得到，从而得，再利用全等三角形的判定定理即可证得； （2）根据矩形的性质得到，即可推出，再根据平行四边形的性质即可求得的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 【变式2】. （2026·河南周口·一模）如图，在中，将沿对角线折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用折叠和平行四边形的性质可得，，，即可得，四边形是矩形，再根据矩形的性质解答即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ，， ∵点在的延长线上，即、、三点共线， ， ， ∵四边形是平行四边形， ，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴． 【变式3】. （25-26八年级下·辽宁营口·月考）如图，矩形的对角线交于点，为中点，在射线上，且，连接．若，，则的长为多少？ 【答案】 【分析】根据矩形的性质，求出的长，证明四边形为矩形，进而得到即可. 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴. 题型04菱形性质与计算 方法技巧：用四边相等、对角线垂直，面积用对角线乘积的一半计算。 【典例4】. （湖北武汉市东西湖区2025~2026学年下学期期中考试八年级数学试卷）如图，以的顶点为圆心，任意长为半径作弧．分别交的两边，于点，，再分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点（非点）．连接，，连接，交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图痕迹可得，从而判定四边形 为菱形，利用菱形的性质及等腰三角形的性质求出 ∠AOB 的度数，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】由作图可知,， ∴， ∴四边形 为菱形， ∴， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查尺规作图推导出图形的特征，熟练掌握菱形的性质和判定方法，等腰三角形的性质以及平行线的性质是解决本题的关键． 【变式1】. （2026年辽宁省中考数学模拟试卷）如图，O为菱形的对角线，的交点，M，N 分别为边，的中点，连接，若，，则菱形的周长为______． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理得到，根据菱形的性质得到，，，再根据勾股定理求出的长，最后利用菱形的周长公式即可求解． 【详解】解：∵M，N 分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，，． 在中，根据勾股定理，得 ， ∴菱形的周长为． 【变式2】. （北京市人大附中教育集团2025-2026学年第二学期八年级数学期中练习）如图，已知菱形，对角线，交于，点为上方一点，且满足． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，过点作于，交于，请你补全图形，并求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质可得，，，结合已知即可证明，，即可得四边形为矩形； （2）先根据题意补全图形，勾股定理求得，进而根据菱形的面积公式求得，根据勾股定理求得，再根据角平分线的性质，勾股定理，三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，对角线，交于， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形； （2）解：如图， ∵四边形为矩形，， ∴， 则 在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴ 在中， 设， ∵四边形是菱形，对角线，交于， ∴ ∴到的距离等于 ∴ ∴ 在中， ∴ 解得： ∴ ∴ 【变式3】. （2026·山东青岛·一模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，延长到点，使得，连接，点是的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)条件：①四边形是矩形； ②四边形是菱形． 请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形的形状（两个都写以第一个为准）． 【答案】(1)见解析 (2)选择①：四边形为菱形，证明见解析；选择②：四边形为矩形，证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得，再由，可得，即可求证； （2）选择①：根据矩形的性质可得，再由三角形中位线定理可得，从而得到，可得到四边形为平行四边形，即可解答；选择②：根据菱形的性质可得，再由三角形中位线定理可得，从而得到，可得到四边形为平行四边形，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：选择①：四边形为菱形，证明如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵，点是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； 选择②：四边形为矩形，证明如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∵，点是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 题型05正方形性质与计算 方法技巧：用、、等腰直角三角形、对角线全特征解题。 【典例5】. （2026年辽宁省中考数学一模测试模拟卷）如图，在正方形中，为边上一点，交对角线于点，连接，若，则的度数为_______． 【答案】/83度 【分析】首先根据正方形的性质得到，，继而证明，根据全等三角形对应角相等得到，根据三角形外角的性质得到，继而得到． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】. （25-26八年级下·上海闵行·期中）如图，在正方形中，点是对角线上一点，作于点，连接，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质，关键是连接，由正方形的性质求得，进而求得与，再由勾股定理求得，最后根据轴对称性质求得． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵正方形关于对称， ∴． 【变式2】. （24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，四边形中，，，，，作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是正方形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)144 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，垂直的定义，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据垂直得出直角，证明四边形为矩形，利用证明，得出，即可得出结论； （2）借助（1）的结论得出四边形的面积等于正方形的面积，求出，即可求出面积． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：由（1）得四边形是正方形，且， ∴四边形的面积等于正方形的面积，， ∵，， ∴， ∴正方形的面积为， 即四边形的面积为144． 【变式3】. （2026·山东聊城·一模）【模型建立】 (1)如图1，已知和，．用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 (2)如图2，在正方形中，点分别在对角线和边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见详解 (2)，理由见详解 【分析】（1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，结合，即可证明结论； （2）过点作于点，过点作于点，由正方形的性质可得，且平分，进而可知均为等腰直角三角形，易得，进一步可得，再证明，由全等三角形的性质可得；证明四边形是正方形，进而可得，，，即，结合，即可证明结论． 【详解】（1），理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 过点作于点，过点作于点，如图， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，且平分， ∴，即均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形，是该正方形的对角线， ∴，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 题型06特殊四边形折叠问题 方法技巧：折叠前后边角相等，设未知数列勾股方程。 【典例6】. （25-26八年级下·江苏无锡·期中）在矩形纸片中，，． (1)将矩形纸片沿折叠，使点落在点处（如图①所示），连接，和相交于点F，请你连接，试说明四边形为等腰梯形； (2)将矩形纸片折叠，使B与D重合（如图②所示），求折痕的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）利用折叠和矩形的性质可得，，即得，得到，确定，得出，再由等腰梯形的定义即可求证； （）过点作于点，由矩形和折叠的性质可得，，，，设，则，利用勾股定理可得，即得，，再证明，得，进而由四边形是矩形得，，最后利用勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接，由折叠得，， ∵在矩形中，， ∴， 由折叠得，，， ∵矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 由图得与不平行， ∴四边形为等腰梯形； （2）解：如图，过点作于点，则， ∵矩形， ∴，， 由折叠可得，，，，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 【变式1】. （24-25八年级下·福建福州·期中）在数学活动课上，老师要求利用矩形纸片的折叠作出特殊角和特殊的四边形． 小明采用下面的方法： （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； （2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到了线段，如图1； （3）将图1纸片沿所在直线折叠，得到折痕交于点，再将纸片沿所在直线折叠，得到折痕交于，把纸片再次展平，按照所得到的点、折出线段HG，如图2． 请解答下列问题： (1)请在图1中分别求出，和的度数； (2)试判断图2中四边形是什么形状？并说明理由． 【答案】(1)均为； (2)四边形为菱形，理由见解析． 【分析】（1）连接，由对折得：，，，得到，，证明出是等边三角形，然后求出，然后结合矩形的性质求解即可； （2）证明出是等边三角形，得到，然后证明出四边形是平行四边形，进而求解即可． 【详解】（1）连接， 由对折得：， ∴， 由对折得 ∴， ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ 又∵四边形是矩形， ∴ ∴； （2）四边形为菱形，理由如下， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴． ∴四边形是平行四边形 又∵ ∴四边形是菱形． 【点睛】此题考查了矩形和折叠问题，等边三角形的性质和判定，菱形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式2】. （25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为16，边分别在x轴、y轴上，点D在上．连接，将四边形沿折叠得到四边形，点E恰好落在x轴上，则点D的坐标为________． 【答案】 【分析】连接，求出正方形的边长为4，由正方形的性质可得，则，由折叠的性质可得，，可证明是等腰直角三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵正方形的面积为16， ∴； 如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∵将四边形沿折叠得到四边形，点E恰好落在x轴上， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【变式3】. （25-26八年级下·西藏·期中）折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形．同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． (1)折纸1：如图1，将正方形沿对折，使点A落在平面内的点处，连接，若，则= ． (2)折纸2：如图2，操作一：将边长为4的正方形纸片对折，使点B、C分别与点A，D重合，再展开得到折痕；操作二：将正方形纸片沿着折叠，使得点D落在平面内点处，延长交于点P，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由邻补角的性质先求解再由对折的性质求解结合正方形的性质解答即可； （2）连接，证明，可得，再由勾股定理可得． 【详解】（1）解： ， 由折叠可得：， 正方形， ∴， ； （2）解：如图，连接， ∵由边长为4的正方形纸片对折，再沿对折， 正方形纸片沿着折叠再展开，折痕与边交于点P， ， ， ∵， ， ， 由勾股定理得：， ， 解得：． 题型07特殊四边形旋转问题 方法技巧：旋转得全等，转化线段与角度，证垂直或相等。 【典例7】. （25-26九年级上·广东江门·期末）如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转，得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，于点，其中，． (1)求证：． (2)连接，交于点，求的长． (3)过点作，交于点．求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定定理、勾股定理、熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由矩形的性质可得，，由平行线的性质可得，由旋转得．再证明得出，即可得证； （2）证明得出，，由勾股定理得出，求出，最后再由勾股定理计算即可得出结果； （3）先证明四边形是矩形．再求出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ，， ． ，， ． 由旋转，得．             在和中， ， ，         ． ， ． （2）解：在和中， ， ， ，．         在中，由勾股定理，得．     ， ． 在中，由勾股定理，得， ． （3）证明：∵四边形是矩形，， ∴四边形是矩形． ， ， ∴四边形是正方形． 【变式1】. （24-25八年级下·上海静安·期末）操作  现有两张完全相同的长方形纸条，它们的长为25厘米，宽为5厘米，将其交叠摆放（如图所示），使它们对角线的交点重合．现固定其中一张纸片，将另一张纸片绕对角线交点旋转一定角度，使它们的重叠部分始终形成四边形． (1)重叠部分四边形是什么形状的四边形？请说明理由， (2)重叠部分图形的最小面积和最大面积分别是多少？请直接填写：最小面积________，最大面积________． 【答案】(1)四边形是菱形（特殊位置时为正方形），见解析 (2)， 【分析】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，勾勾股定理，正确理解题意是解题的关键： （1）先证明四边形是平行四边形，过点A分别作，，垂足分别是点E、F，证明，得出，即可得出结论；（特殊的，当，即时，菱形是正方形） （2）当两张纸条垂直时，重叠部分为正方形（此时菱形邻边与长方形宽重合 ），面积最小，设菱形 的边长为，根据勾股定理得出，最大面积是以长方形宽 为高，菱形边长 为底的四边形即可得出答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形（特殊位置时为正方形）． 证明：两张完全相同的长方形纸条， ，， 四边形是平行四边形 过点A分别作，，垂足分别是点E、F， ，， ， ， ， ， 平行四边形是菱形． （特殊的，当，即时，菱形是正方形） （2）解：当两张纸条垂直时，重叠部分为正方形（此时菱形邻边与长方形宽重合 ），面积最小，正方形边长等于长方形纸条的宽，即， 所以最小面积为； 设菱形 的边长为，在由长方形长的剩余部分与宽构成的直角三角形中，一条直角边为长方形的宽 5cm，另一条直角边为，斜边为菱形边长， 根据勾股定理， 解得： 最大面积是以长方形宽 为高，菱形边长为底的四边形，最大面积为 ． 【变式2】. （24-25九年级上·河南开封·期末）【问题情景】 数学实践小组的同学利用两个正方形进行了如下的探究与操作： 将正方形的点D和正方形的点E重合，并旋转正方形同时确保点H在正方形内部，在旋转中同学们尝试对此情景进行画图，提出了不同的研究方向． (1)【思考尝试】 如图1，同学们发现，连接、后，随着旋转，和有着一定的数量关系，请在图1中补全图形，并证明和的数量关系； (2)【应用迁移】 如图2，励志小组继续旋转，发现三点共线时，可以由正方形和正方形的边长求出的长，若，，请你思考并求的长． (3)【拓展探究】励志小组在旋转正方形时，发现并提出新的探究点：如图3，连接、，当正方形旋转时，的形状和面积也随之改变，若，，直接写出的面积的取值范围． 【答案】(1)补全图形见解析，，证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）根据题意补全图形，利用证明即可证明； （2）连接，，利用正方形的性质求得，，由，推出，，证明，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； （3）当点运动到线段上时，有最小值，当点运动到延长线上时，有最大值，据此画出图形，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： .证明如下： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，， ∵正方形和正方形，，，， ∴，， 由（1）得， ∴，， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 解得， ∴； （3）解：如图， 当点运动到线段上时，有最小值， 最小值， ∴的最小值， 如图， 当点运动到延长线上时，有最大值， 最大值， ∴的最在值， ∴的面积的取值范围为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，解一元二次方程．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 【变式3】. （25-26九年级上·山东淄博·月考）如图1，已知点D是等边内一点，且，，． （1）求的度数； 以下是甲，乙，丙三位同学的谈话： 甲：我认为这道题的解决思路是借助旋转，我选择将绕点C顺时针旋转或绕B逆时针旋转； 乙：我也赞成旋转，不过我是将进行旋转； 丙：我是将进行旋转． 请你借助甲，乙，丙三位同学的提示，选择适当的方法求的度数； （2）若改成，，，的度数________°，点A到的距离为________； 类比迁移： （3）如图2，已知，，，，，，求的度数． 【答案】（1）；（2）150，4；（3） 【分析】（1）甲：将绕点逆时针旋转，得到，连接，分别计算与的度数即可得到的度数．乙：将绕点顺时针旋转，得到，连接，分别计算与的度数即可得到的度数．丙：将绕点A顺时针旋转，得到，连接，分别计算与的度数即可得到的度数． （2）利用（1）中的方法，同理可得，再由30度直角三角形性质可求点到的距离； （3）利用（1）中的方法，将绕着点顺时针旋转，得到，同理可得，，由此即可求出． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴，． 选择甲：如图1，将绕点B逆时针旋转，得到，连接， ∴，，， ∴是等边三角形， ，， ∵， ∴是直角三角形，， ； 选择乙：如图2，将绕点B顺时针旋转，得到，连接， ∴，，， ∴是等边三角形， ，， ∵， ∴是直角三角形，， ， ∴由旋转可得； 选择丙：如图3，将绕点A顺时针旋转，得到，连接， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是直角三角形，， ； （2）将绕点B逆时针旋转，得到，连接， ∴，，， ∴是等边三角形， ，， ∵， ∴是直角三角形，， ； 如图4，过点作的垂线，垂足为， ∴， ∴， 故答案为：，4． （3）如图5，将绕着点顺时针旋转，得到，连接， ∴， ，， ∴， ， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，正方形的性质以及勾股定理的逆定理的综合应用，利用旋转的性质进行求解是解题的关键． 题型08特殊四边形动点问题 方法技巧：动中取静，用表示线段，分类讨论形状。 【典例8】. （25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，在四边形中，，，，、分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_________秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】或 【分析】根据平行四边形的性质可知当直线将四边形截出一个平行四边形时，或，设运动时间为，可得，，根据或列方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为， ∵， ∴当直线将四边形截出一个平行四边形时，或， ∵、的速度分别为和， ∴，， ∵，， ∴当时，， 解得：， 当时，， 解得：． 综上所述：经过或秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【变式1】. （2025·贵州遵义·三模）如图，在矩形中，是对角线上的两个动点，两点分别从点同时出发，相向而行，速度均为每秒个单位长度，运动时间为，其中． (1)若分别是的中点，则四边形一定是怎样的四边形？请说明理由． (2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值． (3)在（1）的条件下，若两点运动的同时，点向点运动，点向点运动，且与点的速度相同，点运动到点时，四点都停止运动．当四边形是菱形时，求的值． 【答案】(1)四边形一定是平行四边形，理由见解析 (2) (3)当时，四边形为菱形 【分析】（1）由题意得，由矩形的性质得，，所以，由分别是的中点得，证明得，所以，进而得，即可得解； （2）如图，连接，证明四边形是矩形得，当四边形是矩形时，，所以，解出即可； （3）如图，连接与相交于点，由四边形为菱形，得垂直平分，，，进而得，由题意得，所以，证明出平行四边形为菱形，所以，设，则，由勾股定理，得，即，解得，所以，解出即可． 【详解】（1）解：四边形一定是平行四边形，理由： 由题意，得， 四边形是矩形， ，， ， 分别是的中点， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， 由（1）得，，， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形，， ， 当四边形是矩形时，， ， ， 解得：； （3）解：如图，连接与相交于点， 四边形为菱形， 垂直平分，，， ， 又是对角线上的两个动点，两点分别从点同时出发，相向而行，速度均为每秒个单位长度，运动时间为， ， ， ， 平行四边形为菱形， ， 设，则， 由勾股定理，得， 即， 解得， ， 解得：， 当时，四边形为菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 【变式2】. （24-25八年级下·河北唐山·期中）在四边形中，，，，，，点从点以的速度向点运动，点从点以的速度同时向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)求为何值时，四边形是平行四边形？ (2)求为何值时，四边形是矩形？ (3)在整个运动过程中，_________（答“存在”或“不存在”）t值，使得四边形是菱形； (4)若只改变线段的长度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形是正方形时，请你求出的值和线段的长度． 【答案】(1) (2) (3)不存在 (4)， 【分析】（1）根据时，四边形是平行四边形，列出方程进行求解即可； （2）根据，，得到当时四边形是矩形，列出方程进行求解即可； （3）根据菱形的性质可得，结合（1）的结论，分别求得的长，即可得出结论； （4）当四边形是正方形时，，进而求得，，根据，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得：，，秒， ∴，， ∵，则 当时，四边形是平行四边形； ∴ 解得： （2）解：∵，， ∴当时，四边形是矩形； ∵，， ∴ 解得： （3）解：不存在，理由如下， 由（1）可得，当时，四边形是平行四边形； ∴若此时，则四边形是菱形， 如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 而， ∴， ∴四边形不是菱形， 故答案为：不存在． （4）解：当四边形是正方形时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当四边形是正方形时，，． 【点睛】本题考查四边形中的动点问题．解题的关键是掌握矩形的判定和性质，正方形，平行四边形，矩形，菱形的性质与判定，及勾股定理解三角形，熟练掌握特殊四边形的性质是解题的关键． 【变式3】. （24-25八年级下·吉林·期中）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为（单位：s），解答下列问题． (1)______________．（用含的代数式表示） (2)当点停止运动时，的长度为______________． (3)当四边形为矩形时，求此时的值． (4)当时，直接写出此时的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查四边形上动点问题，矩形的判定与性质及平行四边形的判定与性质，解题的关键是根据性质列方程求解． （1）根据时间乘以速度即可解答； （2）求点停止运动时的时间，即可解答； （3）当四边形为矩形时，，列方程即可解答； （4）分类讨论，当四边形为平行四边形或等腰梯形，分别计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，， 故答案为：； （2）解：， 则， 故答案为：； （3）解：， 当四边形为矩形时，， 可得， 解得； （4）解：如图，当四边形为平行四边形时，此时， ， 则， 可得方程， 解得； 如图，当四边形为等腰梯形时，此时，过点作交于点， ， 则四边形都为矩形， ，， ， ，， ， ， 根据，可列方程， 解得， 综上所述，或． 题型09最短路径与最值问题 方法技巧：利用轴对称转化线段和，用两点之间线段最短。 【典例9】. （25-26八年级下·重庆·期中）如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，，则的最小值为______ ． 【答案】 【分析】连接，可得，四边形是矩形，即得，当时，可知最短，再利用三角形的面积解答即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形中，，， ∴， ∵于点，于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值即为的最小值， ∵是对角线上一点， ∴当时，最短，此时， ∴， ∴的最小值为． 【变式1】. （2026·黑龙江佳木斯·一模）如图，在菱形中，对角线，， 点E、F 分别是边、的中点， 点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是________ 【答案】 【分析】设交于O，作E关于的对称点N，连接，交于P，则此时的值最小，根据菱形的性质推出N是中点，P与O重合，推出，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：设交于O，作E关于的对称点N，连接，交于P，则此时的值最小， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵E为的中点， ∴N在上，且N为的中点， ∵， ∴， ∵，N为中点，F为中点， ∴， ∴， ∴， 即P为中点， ∵O为中点， ∴P、O重合， 即过O点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， 由勾股定理得：， 所以，的最小值为． 【变式2】. （25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，菱形的两条对角线分别为6和8，M，N分别是边的中点，P是对角线上一动点，则的最小值为_____． 【答案】5 【分析】根据菱形的性质，轴对称性质，勾股定理，直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：取的中点Q， 因为菱形的两条对角线分别为6和8，M，N分别是边的中点， ，， 连接交于点G， ∴， ∴关于对称， 连接交于点P， 则点P就是使得值最小的位置点，最小值为的长度， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故点P是的中点， 连接，则与交于点P， 因为菱形的两条对角线分别为6和8， 故，， ， ， ， 故的最小值为5； 【变式3】. （25-26九年级上·山东济南·期中）如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，，则的最小值为________________ ． 【答案】 【分析】连接，结合正方形性质、勾股定理求出，证明四边形是矩形即可得，再根据垂线段最短即可得解． 【详解】解：连接，如下图： 正方形中，，， ， 又，， 四边形是矩形， ， 则的最小值即为的最小值， 当时，最短， 此时， ， 即的最小值为． 题型10特殊四边形面积计算 方法技巧：平行四边形底乘高；菱形对角线乘积一半；正方形边长平方。 【典例10】. （23-24七年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形面积的计算，作出三角形的高，并表示出三角形与长方形的面积是解题的关键．过点作，垂足为，由图形可知，既是的高，也是的高，设，，根据三角形的面积公式可得，，接着可得，即可得出阴影部分占长方形面积的比例． 【详解】如图所示，过点作，垂足为， 设，， 则， ， ，， ， ， ， ，即阴影部分面积是长方形面积的． 故选：C． 【变式1】. （24-25八年级下·广东中山·期末）【阅读理解】中国古代数学家刘徽在《九章算术》中，给出了证明三角形面积公式的“出入相补法”，原理如下：如图，在中，点D，E分别是，的中点，连接，过点A作于点F，延长至点M，使，连接，延长至点N，使，连接，则易证四边形的面积等于的面积，进一步可证三角形面积公式． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)24． 【分析】（1）证明出，得到，，推出，，即可得到四边形为矩形； （2）证明出是的中位线，得到，然后利用矩形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵点D是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，． 同理可得，． ∴，． ∴四边形为平行四边形． 又∵， ∴四边形为矩形． （2）解：∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线． ∴． ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形中位线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式2】. （24-25九年级下·河北沧州·期中）如图，乙矩形的面积是甲矩形面积的，它们的长宽比也都是，乙矩形的长是15厘米． (1)求甲矩形的面积是多少？ (2)把图①中乙矩形向左平移得到图②，重叠部分又是一个长宽比为的矩形，这个矩形的面积是多少平方厘米？ (3)如果把这两个矩形随意重叠放置，如图③，求甲、乙两矩形未重叠部分的面积差． 【答案】(1)225平方厘米 (2)48.6平方厘米 (3)90平方厘米 【分析】（1）根据长宽比求出乙矩形的宽，再求出乙矩形的面积根据面积比可求得甲矩形的面积． （2）乙矩形的宽作为重叠部分的矩形的长根据长宽比求出宽，即可求出重叠部分的矩形的面积． （3）重叠部分都在两个矩形里，未重叠部分面积差实际等于两个矩形面积的差． （平方厘米） 【详解】（1）解：乙矩形的宽为（厘米）， 乙矩形的面积为（平方厘米）， 根据题意，得甲矩形的面积为（平方厘米）， 答：甲矩形的面积是225平方厘米． （2）解：（厘米），（平方厘米）， 答：重叠部分矩形的面积是48.6平方厘米． （3）解：假设重叠部分的面积是平方厘米， （平方厘米）， 答：甲、乙两矩形未重叠部分的面积之差是90平方厘米． 【点睛】本题考查了矩形相关计算．熟练掌握矩形性质，长宽比计算，面积公式，面积比计算，平移、叠合性质，是解题的关键． 【变式3】. （25-26八年级上·广东清远·月考）（1）填空：如图①，若，则___________；若，则___________． （2）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法．这是一种重要的数学方法．美国第20任总统詹姆斯结合如图②所示的图形用等面积法验证了勾股定理，其中两个相同的直角三角形边在同一条直线上． ①请用两种不同的方式表示四边形的面积： 方式一：___________； 方式二：___________； ②请利用几何图形的面积关系，说明． （3）如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，求的长． 【答案】（1），7；（2）①；；②见详解；（3）3 【分析】本题主要勾股定理的证明，几何图形面积的计算，矩形与折叠中勾股定理的运用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）运用勾股定理求解即可； （2），又，由此即可求解； （3）根据折叠，矩形的性质，在中，运用勾股定理，可得，设，则，在中，运用勾股定理得即可求解． 【详解】（1）解：根据勾股定理得，， ， 故答案为：，7． （2）①方式一：； 方式二：； ②根据①可得， ， ． （3）解：由折叠的性质得：， ∵四边形是矩形， ， 在 中，，即， 解得：， ， ， 设，则， ， 在 中，， 即， 解得：， ． 题型11特殊四边形中点四边形 方法技巧：中点四边形由原四边形对角线决定，平行→矩形→菱形→正方形。 【典例11】. （25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，四边形中，，，，分别是边，，，的中点．若四边形为菱形，则四边形应满足条件（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形，进而得到即可． 【详解】解：∵四边形中，，，，分别是边，，，的中点， ∴在中，为的中位线，所以且； 同理且；，， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴应满足条件，即， ∴． 【变式1】. （25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是矩形，需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理可得且，且，且，且，易证四边形为平行四边形，再由矩形的判定，即可求解． 【详解】解：、、、分别是线段、、、的中点， ∴在中，为的中位线， 且；同理且，且，且， 则且，且， ∴四边形为平行四边形， 要使四边形是矩形，则需，即， ，， 当时，，此时四边形是矩形． 【变式2】. （25-26八年级下·江苏·期中）综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． (1)作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形．请你画出图2、图3、图4中四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可）； (2)观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定．请填写下表： 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， (3)证明与表达：根据表中对图2，图3，图4的画图和猜想，选择其中一个进行证明．（写出已知，求证，再证明） 选择图 ，已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点， ．求证：四边形是 ． 【答案】(1)见解析 (2)菱形；矩形；正方形 (3)2；对角线，与不垂直；菱形（答案不唯一）；见解析 【分析】（1）依题意画出图形即可： （2）图2中的中点四边形EFGH是菱形，图3中的中点四边形EFGH是矩形，图4中的中点四边形EFGH是正方形，然后填入表格即可； （3）根据中位线定理得，，，，，，结合已知条件即可判定四边形是菱形、矩形、正方形即可． 【详解】（1）解：依题意画出图形如图所示： （2）解：如下表： 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 菱形 图3 ， 矩形 图4 ， 正方形 （3）解：选择图2时：已知四边形中，对角线，与不垂直，点E，F，G，H分别，，，的中点，求证：四边形是菱形； 证明：∵点E，F分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理：是的中位线， ，， ，， ∴四边形是平行四边形， 同理：是的中位线， ，， ， ， 又，，与不垂直， 与不垂直， ∴平行四边形是菱形； 选择图3时，已知四边形中，对角线，，点E，F，G，H分别，，，的中点，求证：四边形是矩形； 证明：∵点E，F分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理：是的中位线， ，，， ，， ∴四边形是平行四边形， 同理：是的中位线， ，， ， ， 又，，， ， ， ∴平行四边形是矩形； 选择图4时，已知四边形ABCD中，对角线AC＝BD，AC⊥BD，点E，F，G，H分别AD，AB，BC，CD的中点，求证：四边形EFGH是正方形． 证明：∵点E，F分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理：是的中位线， ，，， ，， ∴四边形是平行四边形， 同理：是的中位线， ，， ， ， ∴平行四边形是菱形， 又，，， ， ， ∴菱形是正方形． 【变式3】. （25-26九年级上·甘肃兰州·期中）综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①________； ②________； 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用： （4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）D；（2）①，②；（3），；（4），理由见解析 【分析】（1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案； （2）由中位线的性质可得，结合正方形的性质可得结论； （3）取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （4）设的中点分别为E、F，并顺次连接，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论． 【详解】解：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直， 所以其中点四边形是正方形； 故选：D； （2）①，②；理由如下： 如图1，∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∵E、F、G、H分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图，取四边形边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的位置关系为，数量关系为； （4），理由如下： 如图，设的中点分别为E、F，并顺次连接， ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵F，N分别是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 题型12特殊四边形综合证明 方法技巧：先判定再用性质，结合全等、相似、勾股定理。 【典例12】. （25-26八年级下·河南开封·期中）教材呈现课本88页第15题：如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点． (1)观察发现：请直接写出和数量关系________． (2)探究证明：如图2，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”其余条件不变，那么结论是否成立呢？若成立，请你证明这一结论，若不成立，请你说明理由． (3)综合运用：在（2）条件下，若正方形的边长为4，线段的长为1，连接．请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】（1）取的中点，连接，根据正方形的性质得到、，进而得到为等腰直角三角形，结合角平分线的性质得到，再利用余角的性质得到，进而证明，从而得出结论； （2）在上取一点，使，连接，则，进而得到，同（1）证明，从而得出结论； （3）根据勾股定理得到，利用求解即可． 【详解】（1）解：取的中点，连接， 四边形是正方形， 、， 点、分别是边、的中点， 、， ， 为等腰直角三角形， ， ， 为正方形外角平分线， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）成立，证明如下： 证明：在上取一点，使，连接， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 由（1）知，， ， 、， ， 在和中， ， ， ； （3）解：连接， 在中，由勾股定理得：， 由（2）知，， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理、正确作出辅助线是解题的关键． 【变式1】. （25-26八年级下·上海闵行·期中）已知在四边形中，，，平分，交边于点． (1)如图1，如果点与点重合，，求证：四边形是正方形； (2)如果， ①如图2，当时，求的长； ②当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②的长为或． 【分析】（1）根据已知条件得出，根据平行线的性质以及角平分线的定义得出，则，得出四边形是矩形，根据，即可得出四边形是正方形； （2）①解：如图所示，过点作于点，则四边形是矩形，中，勾股定理求得，取的中点，则，得出是等边三角形，则，根据角平分线的定义，即可求解； ②当时，如图所示，过点作交的延长线于点，则四边形是矩形，设，则，在中，勾股定理求得，∴中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解；当时，如图所示，过点作于点，根据角平分线的性质得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形； （2）①解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∵， ∴ 在中，， 取的中点，则 ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵平分， ∴； ②当时，如图所示，过点作交的延长线于点，则四边形是矩形， ∵， ∴， ∵平分， ∴ 在和中， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴ ∴中， 即 解得： ∴； 当时，如图所示，过点作于点， 设，则, ∴ ∵ ∴，， ∴， ∴是的角平分线 ∴ 在和中， ∴ ∴ 又是的角平分线， ∴ ∴ 综上所述当是直角三角形时，的长为或． 【点睛】本题考查了角平分线的定义以及性质，正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的性质与判定是解题的关键． 【变式2】. （25-26八年级下·吉林四平·期中）如图①，在矩形中，，，，分别是，上的点，，是对角线上的两个动点，分别从点，同时出发相向而行，始终保持，连接，，，．已知点，的速度均为每秒1个单位长度，设运动时间为． (1)若，分别是，中点． ①求证：； ②求证：四边形是平行四边形； ③若四边形为矩形，求的值； (2)如图②，若点，以每秒1个单位长度的速度分别从、的中点与点、同时出发，分别向点，运动，当四边形为菱形时，直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析；③或 (2) 【分析】（1）①矩形中，可得，，则，进而证明，由，即可证明； ②由，可得，，可得，证明，从而可得结论； ③连接，证明四边形是矩形，可得，求解，分为当点E，F相遇前，当点E，F相遇后，逐步分析解答即可； （2）设M，N分别为、的中点，连接，，，令与相交于点O，证明四边形为菱形，可得，设，则，再利用勾股定理进一步求解即可． 【详解】（1）解：①∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵，分别是，中点， ∴,， ∴， ∵， ∴． ②∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； ③连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， 如图1，当点E，F相遇前， ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴， 解得； 如图2，当点E，F相遇后， ∵四边形是矩形， 又∵，， ∴， 解得, 综上所述，四边形为矩形时，或； （2）如图，设M，N分别为、的中点，连接，，，令与相交于点O， ，， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则， 由勾股定理，可得， 即， 解得， ∵，即， 当四边形为菱形时，t的值为． 【变式3】. （25-26八年级下·福建福州·期中）已知，正方形的边长为，E为边上一点，且，连接．M为边上一个动点，过点M作垂足为F，交射线于点N． (1)如图1，当点M与点D重合时．求证：； (2)如图2，当点F为中点时，连接交于点G．求线段的长； (3)如图3，当点M与点A重合时，连接，取中点P，连接．求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，根据同角的余角相等得到，从而证得，根据全等三角形的性质即可得证结论； （2）连接，，，由垂直平分线的性质得到，又由，，可证得，得到，，从而，根据“等边对等角”得出，结合，得到，因此在四边形中，，从而，根据勾股定理求出，即可解答； （3）在上截取，连接，根据三角形中位线的性质得到．由（1）同理可得，因此，即有，因此，从而得到，从而． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ （2）解：连接，，， ∵，F为中点， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵在正方形中，，， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在四边形中，， ∵点F是的中点， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴． （3）解：在上截取，连接 ∵P为中点 ∴ 由（1）同理可得， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴，即， ∵在中，， ∴， ∴． 一、单选题 1．如图所示，在正方形中，是上的一点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在正方形中，平分， ． ， ． 又， ． 2．如图，在正方形中，对角线的长为，则该正方形的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】根据正方形的性质可得，再利用勾股定理即可解答． 【详解】解：正方形， ， 在中，，， ∴， ∴， ∴该正方形的面积为． 3．如图，正方形的边长为，点在边上，且，点是对角线上一动点，则线段的最小值为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】C 【分析】连接、，根据对称性可得，当、、在一条直线上时，最小，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图，连接、． 四边形是正方形， 、关于对称， ， ， 当、、在一条直线上时，最小． 在中，， ． 4．顺次连接菱形各边的中点得到的四边形是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】A 【分析】连接菱形的两条对角线，利用三角形中位线定理先证明所得四边形是平行四边形，再结合菱形对角线互相垂直的性质，证明平行四边形有一个内角为直角，根据矩形的判定定理得到结果． 【详解】解：设菱形中，，，，分别是，，，的中点，连接，． ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，． 同理可得：，，，． ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ∴， 又∵，， ∴，即， ∴平行四边形是矩形． 二、填空题 5．如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是______． 【答案】/度 【分析】根据矩形对角线相等而且互相平分可得，推出，由求出，再根据即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 6．如图，在菱形中，，，则菱形的面积为________． 【答案】 20 【详解】解：∵是菱形， ∴， ∴． 7．如图，正方形中，对角线和相交于点，，分别是边，上的点，若，且，则的长为_______． 【答案】5 【分析】连接，根据证明得，再求出，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， 又， ∴，即， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又， ∴， 在中，． 8．已知菱形的周长为20，两条对角线之比为，则菱形的面积为_______． 【答案】24 【分析】先根据菱形周长求出菱形边长，再利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出两条对角线的长度，最后根据菱形面积等于两条对角线乘积的一半计算面积． 【详解】解：如图所示，在菱形中，对角线交于点O，且， 设， 由菱形的性质可得， ， ∵菱形的周长为20， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴菱形的面积． 三、解答题 9．在矩形中，的平分线交于点F，的平分线交于点E，连接并延长交于点G． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，用等式表示线段的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵的平分线交于点F，的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：，证明如下： 过点E作于点M，交于点N，于点P，则， ∵的平分线交于点F，的平分线交于点E， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴． 10．如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为30，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形．再结合直角三角形的性质可得，即可得证； （2）设，．则，，由勾股定理可得，求出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：点是的中点， ． ， ∴四边形是平行四边形． 是直角三角形，点是的中点， ． 四边形是菱形． （2）解：设，． 的周长为，． ，． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴． ∵点、分别是、的中点， ∴， ∵， ∴． ∴． 答：四边形的面积为30． 11．已知：如图，在正方形中，点在边上，点在边的延长线上，且．求的度数 【答案】 【分析】先证明，再证明是等腰直角三角形即可 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴．， ∴，， ∴， ∴． 12．“无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段等．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题． (1)如图，四边形为正方形，点为边的中点，请仅用无刻度的直尺画出边的中点（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)如图，四边形为菱形，点，分别是，的中点，请仅用无刻度的直尺作以为边的矩形（保留作图痕迹，不写作法）； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接、，交于点，连接，延长交于，根据正方形的性质及三角形中位线的性质得出四边形是矩形，得出，即可得出，点即为所求； （2）连接、，交于点，连接并延长，交于，连接并延长，交于，根据菱形的性质及中位线的性质得出，，，即可得出四边形是矩形． 【详解】（1）解：如图，连接、，交于点，连接，延长交于，点即为所求． ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵点为边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴点即为所求． （2）解：如图，连接、，交于点，连接并延长，交于，连接并延长，交于，则四边形即为所求． ∵四边形为菱形，点，分别是，的中点， ∴，，，，， ∴， ∴四边形是平行四边形，，， ∴为中点， 同理可得，点为中点，，，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18章 矩形、菱形与正方形 教学目标 1.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定。 2.理清四类图形的区别与联系，构建知识体系。 3.能进行角度、线段、面积计算及几何证明。 4.提升逻辑推理、分类讨论与方程思想应用能力。 教学重难点 重点 （1）矩形、菱形、正方形的性质与判定 （2）特殊四边形的面积、周长计算 （3）对角线性质的综合运用 难点 （1）性质与判定的灵活选择 （2）折叠、旋转、动点综合问题 （3）分类讨论与多解问题 知识点01：平行四边形 1.定义：两组对边 的四边形是平行四边形。 2.性质：对边 ； ； ；中心对称图形。 3.判定：两组对边分别平行/相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分；两组对角分别相等。 【即学即练】 1．下列说法中错误的是（   ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．有两对邻角互补的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 故选B． 知识点02：矩形 1.定义：有一个角 的平行四边形是矩形。 2.性质：四个角都是 ；对角线 ；轴对称+中心对称。 3.判定：平行四边形+ ；三个角是 ；平行四边形+ 。 4.推论：直角三角形斜边上的中线等于 。 【即学即练】 1．下列说法不正确的是（   ） A．矩形是平行四边形 B．平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．平行四边形具有的性质矩形都具有 知识点03：菱形 1.定义：有一组 的平行四边形是菱形。 2.性质：四条边 ； ，且平分一组对角；轴对称+中心对称。 3.判定：平行四边形+ ；四条边相等；平行四边形+ 。 4.面积：。 【即学即练】 1．下列命题，是真命题的是（   ） A．邻边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．四边相等的四边形是菱形 D．对角线互相平分的平行四边形是菱形 知识点04：正方形 1.定义：有一组邻边 且有一个角是 的平行四边形是正方形。 2.性质：四边 ；四角为 ；对角线 、垂直、平分、平分对角；4条对称轴。 3.判定：矩形+ ；菱形+ 。 【即学即练】 1．平行四边形，矩形，菱形，正方形共有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线平分内角 知识点05：特殊平行四边形关系 1.包含关系：平行四边形⊃矩形/菱形⊃正方形。 2.转化关系：矩形+邻边相等→正方形；菱形+直角→正方形。 【即学即练】 1．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（　　）． A．①对角相等 B．②对角线互相垂直 C．③有一条对角线平分一组对角 D．④对角线相等 题型01特殊四边形性质辨析 方法技巧：对比边、角、对角线、对称性，区分矩形、菱形、正方形。 【典例1】. （25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列说法错误的是（　） A．平行四边形的对边相等 B．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形 C．矩形的对角线互相垂直平分 D．菱形的每条对角线平分一组对角 【变式1】. （25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（   ） A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分 C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等 【变式2】. （25-26八年级下·重庆·月考）下列说法中不正确的是（  　　 ） A．四条边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．正方形的对角线相等 D．矩形的对角线互相垂直且平分 【变式3】. （25-26八年级下·重庆·月考）下列说法错误的是（    ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．菱形的每一条对角线平分一组对角 C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的对角线相等、互相垂直且平分 题型02特殊四边形判定证明 方法技巧：先判平行四边形，再补直角/邻边相等/对角线条件。 【典例2】. （25-26八年级下·全国·课后作业）如图所示，点E是的边的中点，且．求证：四边形是矩形． 【变式1】. （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形中，对角线和相交于点，过作，交于，交于，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 【变式2】. （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，菱形的对角线相交于点O，在上截取，顺次连接B，F，D，E四点．求证：四边形是正方形． 【变式3】. （25-26八年级下·江苏·期中）如图，在中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交的外角的平分线于点F． (1)探究线段与的数量关系，并说明理由； (2)当运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由； (3)当点在边上运动时，四边形 是菱形或正方形（填“可能”或“不可能”）．请说明理由． 题型03矩形性质与计算 方法技巧：用直角、对角线相等，结合勾股定理与斜中半定理。 【典例3】. （25-26九年级上·辽宁锦州·月考）如图，在四边形中，，，，，点E，F分别是的中点，连接，则线段的长为（   ） A． B． C． D．8 【变式1】. （24-25九年级下·江苏无锡·月考）如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F．连接． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 【变式2】. （2026·河南周口·一模）如图，在中，将沿对角线折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26八年级下·辽宁营口·月考）如图，矩形的对角线交于点，为中点，在射线上，且，连接．若，，则的长为多少？ 题型04菱形性质与计算 方法技巧：用四边相等、对角线垂直，面积用对角线乘积的一半计算。 【典例4】. （湖北武汉市东西湖区2025~2026学年下学期期中考试八年级数学试卷）如图，以的顶点为圆心，任意长为半径作弧．分别交的两边，于点，，再分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点（非点）．连接，，连接，交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （2026年辽宁省中考数学模拟试卷）如图，O为菱形的对角线，的交点，M，N 分别为边，的中点，连接，若，，则菱形的周长为______． 【变式2】. （北京市人大附中教育集团2025-2026学年第二学期八年级数学期中练习）如图，已知菱形，对角线，交于，点为上方一点，且满足． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，过点作于，交于，请你补全图形，并求出的面积． 【变式3】. （2026·山东青岛·一模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点，延长到点，使得，连接，点是的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)条件：①四边形是矩形； ②四边形是菱形． 请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形的形状（两个都写以第一个为准）． 题型05正方形性质与计算 方法技巧：用、、等腰直角三角形、对角线全特征解题。 【典例5】. （2026年辽宁省中考数学一模测试模拟卷）如图，在正方形中，为边上一点，交对角线于点，连接，若，则的度数为_______． 【变式1】. （25-26八年级下·上海闵行·期中）如图，在正方形中，点是对角线上一点，作于点，连接，若，，则的长为______． 【变式2】. （24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，四边形中，，，，，作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是正方形； (2)求四边形的面积． 【变式3】. （2026·山东聊城·一模）【模型建立】 (1)如图1，已知和，．用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 (2)如图2，在正方形中，点分别在对角线和边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 题型06特殊四边形折叠问题 方法技巧：折叠前后边角相等，设未知数列勾股方程。 【典例6】. （25-26八年级下·江苏无锡·期中）在矩形纸片中，，． (1)将矩形纸片沿折叠，使点落在点处（如图①所示），连接，和相交于点F，请你连接，试说明四边形为等腰梯形； (2)将矩形纸片折叠，使B与D重合（如图②所示），求折痕的长． 【变式1】. （24-25八年级下·福建福州·期中）在数学活动课上，老师要求利用矩形纸片的折叠作出特殊角和特殊的四边形． 小明采用下面的方法： （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； （2）再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到了线段，如图1； （3）将图1纸片沿所在直线折叠，得到折痕交于点，再将纸片沿所在直线折叠，得到折痕交于，把纸片再次展平，按照所得到的点、折出线段，如图2． 请解答下列问题： (1)请在图1中分别求出，和的度数； (2)试判断图2中四边形是什么形状？并说明理由． 【变式2】. （25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为16，边分别在x轴、y轴上，点D在上．连接，将四边形沿折叠得到四边形，点E恰好落在x轴上，则点D的坐标为________． 【变式3】. （25-26八年级下·西藏·期中）折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形．同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． (1)折纸1：如图1，将正方形沿对折，使点A落在平面内的点处，连接，若，则= ． (2)折纸2：如图2，操作一：将边长为4的正方形纸片对折，使点B、C分别与点A，D重合，再展开得到折痕；操作二：将正方形纸片沿着折叠，使得点D落在平面内点处，延长交于点P，求线段的长度． 题型07特殊四边形旋转问题 方法技巧：旋转得全等，转化线段与角度，证垂直或相等。 【典例7】. （25-26九年级上·广东江门·期末）如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转，得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，于点，其中，． (1)求证：． (2)连接，交于点，求的长． (3)过点作，交于点．求证：四边形是正方形． 【变式1】. （24-25八年级下·上海静安·期末）操作  现有两张完全相同的长方形纸条，它们的长为25厘米，宽为5厘米，将其交叠摆放（如图所示），使它们对角线的交点重合．现固定其中一张纸片，将另一张纸片绕对角线交点旋转一定角度，使它们的重叠部分始终形成四边形． (1)重叠部分四边形是什么形状的四边形？请说明理由， (2)重叠部分图形的最小面积和最大面积分别是多少？请直接填写：最小面积________，最大面积________． 【变式2】. （24-25九年级上·河南开封·期末）【问题情景】 数学实践小组的同学利用两个正方形进行了如下的探究与操作： 将正方形的点D和正方形的点E重合，并旋转正方形同时确保点H在正方形内部，在旋转中同学们尝试对此情景进行画图，提出了不同的研究方向． (1)【思考尝试】 如图1，同学们发现，连接、后，随着旋转，和有着一定的数量关系，请在图1中补全图形，并证明和的数量关系； (2)【应用迁移】 如图2，励志小组继续旋转，发现三点共线时，可以由正方形和正方形的边长求出的长，若，，请你思考并求的长． (3)【拓展探究】励志小组在旋转正方形时，发现并提出新的探究点：如图3，连接、，当正方形旋转时，的形状和面积也随之改变，若，，直接写出的面积的取值范围． 【变式3】. （25-26九年级上·山东淄博·月考）如图1，已知点D是等边内一点，且，，． （1）求的度数； 以下是甲，乙，丙三位同学的谈话： 甲：我认为这道题的解决思路是借助旋转，我选择将绕点C顺时针旋转或绕B逆时针旋转； 乙：我也赞成旋转，不过我是将进行旋转； 丙：我是将进行旋转． 请你借助甲，乙，丙三位同学的提示，选择适当的方法求的度数； （2）若改成，，，的度数________°，点A到的距离为________； 类比迁移： （3）如图2，已知，，，，，，求的度数． 题型08特殊四边形动点问题 方法技巧：动中取静，用表示线段，分类讨论形状。 【典例8】. （25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，在四边形中，，，，、分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_________秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【变式1】. （2025·贵州遵义·三模）如图，在矩形中，是对角线上的两个动点，两点分别从点同时出发，相向而行，速度均为每秒个单位长度，运动时间为，其中． (1)若分别是的中点，则四边形一定是怎样的四边形？请说明理由． (2)在（1）的条件下，若四边形为矩形，求的值． (3)在（1）的条件下，若两点运动的同时，点向点运动，点向点运动，且与点的速度相同，点运动到点时，四点都停止运动．当四边形是菱形时，求的值． 【变式2】. （24-25八年级下·河北唐山·期中）在四边形中，，，，，，点从点以的速度向点运动，点从点以的速度同时向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)求为何值时，四边形是平行四边形？ (2)求为何值时，四边形是矩形？ (3)在整个运动过程中，_________（答“存在”或“不存在”）t值，使得四边形是菱形； (4)若只改变线段的长度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形是正方形时，请你求出的值和线段的长度． 【变式3】. （24-25八年级下·吉林·期中）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为（单位：s），解答下列问题． (1)______________．（用含的代数式表示） (2)当点停止运动时，的长度为______________． (3)当四边形为矩形时，求此时的值． (4)当时，直接写出此时的值． 题型09最短路径与最值问题 方法技巧：利用轴对称转化线段和，用两点之间线段最短。 【典例9】. （25-26八年级下·重庆·期中）如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，，则的最小值为______ ． 【变式1】. （2026·黑龙江佳木斯·一模）如图，在菱形中，对角线，， 点E、F 分别是边、的中点， 点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是________ 【变式2】. （25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，菱形的两条对角线分别为6和8，M，N分别是边的中点，P是对角线上一动点，则的最小值为_____． 【变式3】. （25-26九年级上·山东济南·期中）如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，，则的最小值为________________ ． 题型10特殊四边形面积计算 方法技巧：平行四边形底乘高；菱形对角线乘积一半；正方形边长平方。 【典例10】. （23-24七年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（   ） A． B． C． 【变式1】. （24-25八年级下·广东中山·期末）【阅读理解】中国古代数学家刘徽在《九章算术》中，给出了证明三角形面积公式的“出入相补法”，原理如下：如图，在中，点D，E分别是，的中点，连接，过点A作于点F，延长至点M，使，连接，延长至点N，使，连接，则易证四边形的面积等于的面积，进一步可证三角形面积公式． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【变式2】. （24-25九年级下·河北沧州·期中）如图，乙矩形的面积是甲矩形面积的，它们的长宽比也都是，乙矩形的长是15厘米． (1)求甲矩形的面积是多少？ (2)把图①中乙矩形向左平移得到图②，重叠部分又是一个长宽比为的矩形，这个矩形的面积是多少平方厘米？ (3)如果把这两个矩形随意重叠放置，如图③，求甲、乙两矩形未重叠部分的面积差． 【变式3】. （25-26八年级上·广东清远·月考）（1）填空：如图①，若，则___________；若，则___________． （2）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法．这是一种重要的数学方法．美国第20任总统詹姆斯结合如图②所示的图形用等面积法验证了勾股定理，其中两个相同的直角三角形边在同一条直线上． ①请用两种不同的方式表示四边形的面积： 方式一：___________； 方式二：___________； ②请利用几何图形的面积关系，说明． （3）如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，求的长． 题型11特殊四边形中点四边形 方法技巧：中点四边形由原四边形对角线决定，平行→矩形→菱形→正方形。 【典例11】. （25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，四边形中，，，，分别是边，，，的中点．若四边形为菱形，则四边形应满足条件（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是矩形，需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级下·江苏·期中）综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． (1)作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形．请你画出图2、图3、图4中四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可）； (2)观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定．请填写下表： 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， (3)证明与表达：根据表中对图2，图3，图4的画图和猜想，选择其中一个进行证明．（写出已知，求证，再证明） 选择图 ，已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点， ．求证：四边形是 ． 【变式3】. （25-26九年级上·甘肃兰州·期中）综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解： （1）下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形            B．矩形            C．菱形            D．正方形 性质探究： （2）如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论： ①________； ②________； 问题解决： （3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形ACFG，连接，问有什么位置关系和数量关系？直接写出结果． 拓展应用： （4）如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点．试探索与的数量关系，并说明理由． 题型12特殊四边形综合证明 方法技巧：先判定再用性质，结合全等、相似、勾股定理。 【典例12】. （25-26八年级下·河南开封·期中）教材呈现课本88页第15题：如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点． (1)观察发现：请直接写出和数量关系________． (2)探究证明：如图2，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”其余条件不变，那么结论是否成立呢？若成立，请你证明这一结论，若不成立，请你说明理由． (3)综合运用：在（2）条件下，若正方形的边长为4，线段的长为1，连接．请直接写出的面积． 【变式1】. （25-26八年级下·上海闵行·期中）已知在四边形中，，，平分，交边于点． (1)如图1，如果点与点重合，，求证：四边形是正方形； (2)如果， ①如图2，当时，求的长； ②当是直角三角形时，求的长． 【变式2】. （25-26八年级下·吉林四平·期中）如图①，在矩形中，，，，分别是，上的点，，是对角线上的两个动点，分别从点，同时出发相向而行，始终保持，连接，，，．已知点，的速度均为每秒1个单位长度，设运动时间为． (1)若，分别是，中点． ①求证：； ②求证：四边形是平行四边形； ③若四边形为矩形，求的值； (2)如图②，若点，以每秒1个单位长度的速度分别从、的中点与点、同时出发，分别向点，运动，当四边形为菱形时，直接写出的值． 【变式3】. （25-26八年级下·福建福州·期中）已知，正方形的边长为，E为边上一点，且，连接．M为边上一个动点，过点M作垂足为F，交射线于点N． (1)如图1，当点M与点D重合时．求证：； (2)如图2，当点F为中点时，连接交于点G．求线段的长； (3)如图3，当点M与点A重合时，连接，取中点P，连接．求的值． 一、单选题 1．如图所示，在正方形中，是上的一点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，对角线的长为，则该正方形的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 3．如图，正方形的边长为，点在边上，且，点是对角线上一动点，则线段的最小值为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 4．顺次连接菱形各边的中点得到的四边形是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 二、填空题 5．如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是______． 6．如图，在菱形中，，，则菱形的面积为________． 7．如图，正方形中，对角线和相交于点，，分别是边，上的点，若，且，则的长为_______． 8．已知菱形的周长为20，两条对角线之比为，则菱形的面积为_______． 三、解答题 9．在矩形中，的平分线交于点F，的平分线交于点E，连接并延长交于点G． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当时，用等式表示线段的数量关系，并证明． 10．如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为30，且，求四边形的面积． 11．已知：如图，在正方形中，点在边上，点在边的延长线上，且．求的度数 12．“无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段等．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题． (1)如图，四边形为正方形，点为边的中点，请仅用无刻度的直尺画出边的中点（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)如图，四边形为菱形，点，分别是，的中点，请仅用无刻度的直尺作以为边的矩形（保留作图痕迹，不写作法）； 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $