第17章 平行四边形单元复习（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

该初中数学讲义通过框架图和对比表格系统构建平行四边形单元知识体系，涵盖定义、性质、判定、相关计算及辅助线技巧，以核心性质与判定方法的表格化呈现，清晰梳理边、角、对角线关系及数学思想应用，突出性质与判定综合运用等重难点内在联系。 讲义亮点在于分层递进的题型设计，如“平行四边形与全等三角形综合证明”“动点问题中方程思想应用”等，结合“即学即练”和变式训练，培养几何直观与逻辑推理素养。辅助线技巧总结帮助学生转化复杂问题，基础题巩固知识，综合题提升建模能力，助力教师精准分层教学，支持学生自主复习。

第17章 平行四边形 教学目标 1.系统掌握平行四边形的定义、性质与判定方法，能灵活运用。 2.熟练进行平行四边形的周长、面积计算，解决对角线相关问题。 3.掌握辅助线构造技巧，运用数学思想解决综合几何问题。 4.能综合运用平行四边形的性质与判定，进行推理证明和实际应用。 5.提升几何直观、逻辑推理和综合建模能力。 教学重难点 重点 （1）平行四边形的性质与判定方法的综合运用。 （2）平行四边形的周长、面积计算及对角线相关结论的应用。 （3）辅助线的构造技巧（连对角线、作平行线等）。 （4）方程思想、转化思想在几何问题中的应用。 难点 （1）复杂图形中平行四边形的判定与性质的灵活切换。 （2）辅助线的合理构造，实现问题的转化与简化。 （3）平行四边形与全等三角形、等腰三角形的综合证明。 （4）结合动点、最值等问题的综合分析与求解。 知识点01：平行四边形的定义与性质 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作“”。 2.核心性质（边、角、对角线、对称性）： 性质维度 具体内容 符号语言 边 对边平行且相等 四边形是平行四边形，，，， 角 对角相等，邻角互补 四边形是平行四边形，，， 对角线 互相平分 四边形是平行四边形，， 对称性 中心对称图形，对称中心为对角线交点 绕对角线交点旋转后与自身重合 3. 衍生性质：平行线间的距离处处相等。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，在与中，点，，，在同一条直线上，连接，，且，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 知识点02：平行四边形的判定方法 1.核心判定（定义+4个定理+拓展）： 判定依据 具体方法 符号语言 边 定义法：两组对边分别平行 ，，四边形是平行四边形 边 判定定理1：两组对边分别相等 ，，四边形是平行四边形 边 判定定理2：一组对边平行且相等 且，四边形是平行四边形 对角线 判定定理3：对角线互相平分 ，，四边形是平行四边形 角 拓展判定：两组对角分别相等 ，，四边形是平行四边形 2. 判定方法选择策略：根据已知条件（边、角、对角线）灵活匹配，避免“一组对边平行，另一组对边相等”的错误判定。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，在平行四边形中，平分交的延长线于点E，平分交的延长线于点F．求证：四边形是平行四边形． 知识点03：平行四边形的相关计算 1.周长公式：（对边之和的2倍）。 2.面积公式：（底为任意一边，高为该边对应的平行线间距离）。 3.对角线相关结论：平行四边形的对角线把四边形分成4个面积相等的三角形，且。 【即学即练】 1．（24-25八年级下·河南濮阳·期末）【问题提出】 数学课堂上，王老师给同学们提出这样的问题：“能不能画一条直线把一个平行四边形的面积平分”？ 【问题解决】 (1)小明说可以做到．如图1，中，，相交于点，过点画直线，则直线平分的面积．请证明小明的说法是正确的； (2)王老师提出一个新问题，如图2，，请你用无刻度的直尺画一条直线，使直线平分六边形的面积（保留作图痕迹，不写作法）． 知识点04：平行四边形的辅助线与数学思想 1.常用辅助线技巧： 连对角线：将平行四边形转化为全等三角形； 作平行线：构造新的平行四边形或等腰三角形； 倍长中线：延伸线段构造平行四边形，转移线段或角的关系。 2.核心数学思想： 转化思想：将四边形问题转化为三角形、平行线问题求解； 方程思想：求线段长、角度时，设未知数列方程（组）； 整体思想：将分散的线段、面积视为整体分析。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·山东烟台·期末）点是的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点，若，求的长． 题型01平行四边形性质的基础应用 方法技巧：直接运用“对边相等、对角相等、对角线平分”的性质，结合已知条件计算；求角度时注意邻角互补的关系。 【典例1】. （25-26八年级下·全国·课后作业）平行四边形中，的值可以是（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级下·全国·课后作业）平行四边形中，对角线，，交点为点O，则边的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，的周长为60，对角线、交于点O，交于点E，则的周长为______． 【变式3】. （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，平分，则的度数为____________． 题型02平行四边形的判定 方法技巧：根据已知条件选择对应判定方法，边的条件优先用“一组对边平行且相等”或“两组对边分别相等”，对角线条件用“互相平分”。 【典例2】. （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，小明借助直尺和三角尺，作，然后再作，进而得到，四边形是平行四边形的依据是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】. （25-26八年级上·上海·假期作业）如图，已知：四边形的对角线相交于点，且．求证：四边形是一个平行四边形． 【变式2】. （25-26八年级下·全国·周测）如图，已知是等边三角形，点，分别在边，上，且，连接并延长至点，使，连接，和． (1)求证：． (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【变式3】. （25-26八年级上·山东日照·期末）如图，的对角线，相交于点O，点E，F在对角线上，且，连接，，，． 求证：四边形是平行四边形． 题型03平行四边形的周长与面积计算 方法技巧：周长计算直接套用；面积计算需找准“底”对应的“高”，利用“平行线间距离处处相等”转换底和高。 【典例3】. （24-25八年级下·江苏常州·月考）ABCD的周长为40，如果的周长比的周长小2，___________． 【变式1】. （24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在中，点E在边上，以为折痕，将向上翻折，使点A恰好落在边上的点F处．若的周长为8，的周长为32，则的周长为 ______． 【变式2】. （24-25九年级下·江西抚州·期中）如图，在中，点E为的中点，请只用无刻度的直尺作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图1，在上找点F，使得四边形的面积是面积的； (2)如图2，作（点G在上），使得的面积是面积的． 【变式3】. （2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，于点，于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、，若的面积等于四边形面积的3倍，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使每个三角形的面积等于四边形的面积． 题型04平行四边形性质与判定的综合证明 方法技巧：先判定四边形是平行四边形，再利用性质推导结论；或先利用性质得到条件，再判定平行四边形，形成“判定→性质”的逻辑链。 【典例4】. （25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移，使点与点对应，点与点对应． (1)写出点的坐标：________； (2)连接、、，在坐标轴上是否存在点，使得？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式1】. （25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，为的中点，连接交于点．若，则的长为______． 【变式2】. （2026八年级下·全国·专题练习）如下图，四边形中，，，把沿折叠，使落在边上，是点的对应点，过点作． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【变式3】. （25-26八年级下·全国·课后作业）在中，，P为所在平面内的一点，过点P作交于点E，作交于点D，交于点F．如图①，若点P在边上，此时P、D两点重合，易证、、与之间满足的数量关系是． (1)如图②，当点P在的内部时，猜想、、与之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； (2)如图③，当点P在的外部时，若，，求平行四边形的周长 题型05平行四边形与全等三角形的综合应用 方法技巧：利用平行四边形的性质得到全等所需的边相等、角相等条件，证明三角形全等后，反向补充平行四边形的判定依据。 【典例5】. （25-26八年级上·上海·假期作业）如图，已知：在中，对角线相交于点．求证：． 【变式1】. （25-26九年级上·湖北荆门·期末）如图，在中，点A，E，F，C在同一条直线上，且．求证：． 【变式2】. （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形的对角线、交于点，过点作直线，交于点，交于点．若，且，求证：四边形为平行四边形． 【变式3】. （25-26九年级上·四川广元·期末）如图，在平行四边形中，点H是边上一点，连接． (1)尺规作图：请作出的角平分线，分别交于点G、E，交的延长线于点F．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若点G恰好是线段的中点，求证：四边形是平行四边形． 题型06平行四边形的中心对称性应用 方法技巧：利用“对称中心平分对应线段”的性质，推导线段相等或中点关系，简化计算与证明。 【典例6】. （18-19八年级下·云南文山·期末）如图，各顶点的坐标分别为，将绕点O旋转得到（A点的对应点为）． (1)请画出关于O点形成的中心对称图形，并写出的坐标． (2)分别连接，直接写出四边形是何种特殊的四边形． 【变式1】. （25-26八年级上·山东淄博·期末）（1）如图1，与相交于点过点O，且分别交于点E，F，且．判断四边形的形状，并加以证明． （2）如图2，在中，点D，E分别为边的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为的中点． ①求证：四边形为平行四边形； ②若，求的长． 【变式2】. （2026八年级下·江苏·专题练习）已知：如图，在四边形中，，垂足分别为E，F，延长，分别交于点H，交于点G，若，．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的长． 【变式3】. （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，要在平行四边形的边所在直线上找点，，使四边形为平行四边形，下面的两种方案中正确的方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．两种都正确 D．两种都不正确 题型07平行四边形与线段垂直、平分的综合 方法技巧：通过平行四边形的对角线平分性质，结合垂直条件证明线段垂直平分，或利用垂直平分的性质补充平行四边形的判定条件。 【典例7】. （2026·河北秦皇岛·一模）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面上的点处，与交于点． (1)求证：； (2)若平行四边形的对角线与的交点为点，连接，求证：． 【变式1】. （25-26八年级下·江苏南京·开学考试）如图，中，，，为线段上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)求证：； (2)连接，取的中点，连接，． ①依题意补全图形； ②求． 【变式2】. （25-26九年级上·河南周口·期末）在中，，点在上，且，的平分线交于，点是的中点，连接． (1)求证：； (2)若四边形的面积为，求的面积． 【变式3】. （25-26九年级上·重庆·期中）学习了矩形之后，小明进行了拓展性研究，他发现：矩形对角线将矩形分成了四个小三角形，选择其中一组相对的三角形，作一组互为内错角的锐角的角平分线与所对的对角线相交，将这两个交点分别与另一条对角线的端点相连，所形成的四边形是平行四边形．探究过程如下： (1)用直尺和圆规，作的角平分线交于点F，连接、（保留作图痕迹，不写结论）； (2)已知：在矩形中，点O是对角线，的交点，平分，平分． 求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是矩形， ，， ， 平分， ① ， 平分， ， ② ， 在与中， ， ④ ， 四边形是平行四边形． 题型08利用三角形中位线性质解决平行四边形相关问题 方法技巧：先识别三角形中位线（中点连线），利用“中位线平行于第三边且等于第三边一半”推导线段平行或长度关系；结合平行四边形判定条件（如一组对边平行且相等），或通过构造辅助线转化线段，求解角度、长度或证明结论。 【典例8】. （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】. （2025·江西·模拟预测）如图，已知是等腰三角形，，点D是边的中点，E是边上一点，连接．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹)． (1)若点E是边中点，如图(1)，作平行四边形； (2)若点E是边的四等分点，如图(2)，在上作一点P，使得． 【变式2】. （25-26八年级上·山东淄博·期末）已知：如图，在四边形中，分别是的中点．求证： (1)； (2)． 【变式3】. （2025·广东河源·模拟预测）如图，在四边形中，，，，F为上一点，连接，使，若E为的中点，连接，则的长为______． 题型09平行四边形的实际应用（方案设计/测量） 方法技巧：将实际问题转化为几何图形，提炼平行四边形的边、角关系，利用性质与判定设计方案或计算未知量（如测量长度、高度）。 【典例9】. （24-25八年级下·广东佛山·期末）【项目主题】测量距离 【项目背景】如图1，、两点被大山阻隔（、两点距离不可直接测得）．为了改善山区的交通，现拟开凿一条贯穿、的隧道，修建一条高速公路． 【实践操作】 方案一：如图2，某工程队分别以、两点为起点，朝同一方向行进相同距离，分别到达点、．测量、两点之间线段的长度，即为、两点的距离． 【问题解决】 (1)请你说明方案一的合理性； (2)请你设计与方案一不同的方案，在答题卡上画出几何图形，并表示出、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 【变式1】. （24-25八年级下·全国·期末）如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由． 【变式2】. （23-24八年级下·山西朔州·期末）阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【变式3】. （23-24八年级下·河南安阳·月考）综合与实践 在综合实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：将两个大小相同的等腰直角三角板两斜边重合，按如图所示放置； 操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图所示位置． 根据以上操作，填空： 图2中与的数量关系是__________；四边形的形状是__________； (2)迁移探究 小宇将两个大小相同的等腰直角三角板换成两个大小相同的含角的直角三角板，继续探究． 已知三角板的边的长为，过程如下： 将三角板按（1）中的方式操作，如图，在平移过程中，四边形'的形状是否能为菱形？若能，请求出此时的长；若不能，请说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究过程中，当为等腰三角形时，的长是__________． 题型10平行四边形中的动点问题 方法技巧：设动点运动时间为，用含的代数式表示相关线段长度，结合平行四边形的判定条件（如对边相等、对角线平分）列方程，验证结果的合理性。 【典例10】. （23-24九年级下·广西梧州·月考）如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒．    (1)当点Q在线段延长线上时，用含t的代数式表示线段的长； (2)连结，是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请求出t的值． 【变式1】. （24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在四边形ABCD中，，，，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为（秒），以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（   ）秒． A．2或 B． C．或 D． 【变式2】. （22-23八年级下·吉林长春·月考）如图，中，，，动点M从点D出发，按折线方向以的速度运动，动点N从点D出发，按折线方向以的速度运动，两点均运动到点D停止． (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？ (2)在相遇前，是否存在过点M和N的直线将的面积平分？若存在，请求出所需时间：若不存在，请说明理由． (3)若点E在线段上，，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、E、N恰好能组成平行四边形？ 【变式3】. （2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，的面积为36，动点P从A点出发，以1个单位长度的速度沿线段向终点D运动，同时动点Q从点B出发以3个单位长度的速度在间往返运动，当点P到达点D时，动点P、Q同时停止运动，连结．设运动时间为t秒． (1)则和之间的距离为___________； (2)当平分的面积时，则___________． 题型11平行四边形中的最值问题 方法技巧：结合平行四边形的对边平行且相等的性质，利用“垂线段最短”“三角形三边关系”等，求解线段长度或面积的最值。 【典例11】. （25-26九年级上·北京西城·期中）如图，在中，，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作交的延长线于，在线段上取一点使得，连接 (1)依题意补全图形； (2)判断与的数量关系，并证明； (3)在变化过程中，当的面积最大时，求线段的长用，表示 【变式1】. （24-25九年级上·吉林长春·期中）【定理】三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 【应用】 如图①，在中，点P、Q分别是边、的中点，连结，若，则线段的长为________． 【探究】 如图②，在应用的条件下，点为平面上的一点（与不平行），点M为线段的中点，连结、，当时，求的长． 【拓展】 如图②，在探究的条件下，若，当的面积最大时，直接写出的度数． 【变式2】. （24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图1，矩形中，，动点E，F分别在边上，连结，以为边向上作，连结， (1)如图2，点F与D重合时， ①求的面积． ②当最短时，求的长． (2)如图3，当时，连结，若，求的长． 【变式3】. （24-25七年级下·湖南湘西·月考）已知、两点的坐标分别为，，将线段水平向右平移了6个单位长度到，连接，得四边形． (1)点的坐标为_________，点的坐标为________； (2)如图1，为轴上一点，若平分，且于，，求与的数量关系； (3)如图2，直线轴于，直线上有一动点，连接、，求最小时点的坐标，并说明理由． 题型12平行四边形的探究型问题 方法技巧：根据题目现有条件，分析缺少的判定要素或可推导的结论，结合平行四边形的性质与判定，补充条件或验证结论的合理性。 【典例12】. （24-25九年级下·湖南衡阳·月考）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明； 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【变式1】. （2025·贵州铜仁·三模）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点、分别为、上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小李发现：将绕点顺时针旋转得到，连接，则，请思考并证明； 【类比探究】（2）小强尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点顺时针旋转得到，连接．求证：； 【拓展延伸】（3）潘老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接、，求的最小值． 【变式2】. （24-25八年级下·山西太原·月考）问题情境：为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图． 探究实践1： 老师引导同学操作：把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为，再将，分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，如图．老师让同学们探究： （1）的度数是 ． 探究实践2： 完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题．经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现： （2）小虎发现：“如图，将平行四边形沿着BF（F为的中点）所在直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交于点G，则与相等．” 请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由． 【变式3】. （2025·江苏南京·一模）小明学习了平行四边形的知识后，想利用平行四边形的相关知识探究下列问题． (1)【问题探究】探究一 利用平行四边形的判定方法作平行四边形，作法是：如图①，在中，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧在下方交于点，连接，，则四边形是平行四边形．小明判定四边形是平行四边形的依据是__________； (2)探究二 “在四边形中，若，对角线与交于点，且，四边形是平行四边形吗？” ①在图②中作出符合条件的图形（尺规作图，保留作图痕迹）； ②结合所作图形，符合条件的四边形__________（填写“是”“不是”或“不一定是”）平行四边形； (3)【问题应用】如图③，在中，E是的中点，连接AE，EB，F是AE的中点，连接交于点G．若，求的长． 一、单选题 1．以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点P是边上的动点，连接，，E，F分别是，的中点．点P从点B向点C运动的过程中，的长度（    ） A．保持不变 B．逐渐增大 C．先增大再减小 D．先减小再增大 3．如图，在一次数学实践活动中，同学们为估测被花坛隔开的，两处之间的距离，先在外取一点，然后步测出，的中点，，并步测出的长约为，由此估测，之间的距离约为（     ） A． B． C． D． 4．如图，的对角线与相交于点，若，，则的长为（　　） A． B．9 C．4 D．5 5．如图，直线，，，，E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，在中，是的延长线上的一点．若，则的度数为____________． 7．如图，在中，若，，，则______． 8．如图，过的顶点分别作、的平分线的垂线、，垂足分别为，，连接．若，，，则______． 9．如图，在四边形中，，，，分别是，，，边的中点，连接，，，得到四边形，若四边形的对角线，，则四边形的周长为__________． 10．如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，M为边的中点．若，则的长为_____． 三、解答题 11．如图，中，点E，F分别是对角线上的两点，且．求证：． 12．如图，在中，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且．求证：四边形EBFD为平行四边形． 证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 ，AD∥ ． 因为， 所以 + ， 即 ． 又因为DE∥ ， 所以四边形EBFD为平行四边形． 13．如图，在中，对角线，交于点，平分，交于点． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：四边形是平行四边形． 14．请将下列题目的证明过程补充完整：如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形． 证明：如图，延长，，并截取，， ，，即， …… 15．如图，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于坐标原点O的中心对称图形． (2)画出绕逆时针旋转的图形． (3)直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为__________． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17章 平行四边形 教学目标 1.系统掌握平行四边形的定义、性质与判定方法，能灵活运用。 2.熟练进行平行四边形的周长、面积计算，解决对角线相关问题。 3.掌握辅助线构造技巧，运用数学思想解决综合几何问题。 4.能综合运用平行四边形的性质与判定，进行推理证明和实际应用。 5.提升几何直观、逻辑推理和综合建模能力。 教学重难点 重点 （1）平行四边形的性质与判定方法的综合运用。 （2）平行四边形的周长、面积计算及对角线相关结论的应用。 （3）辅助线的构造技巧（连对角线、作平行线等）。 （4）方程思想、转化思想在几何问题中的应用。 难点 （1）复杂图形中平行四边形的判定与性质的灵活切换。 （2）辅助线的合理构造，实现问题的转化与简化。 （3）平行四边形与全等三角形、等腰三角形的综合证明。 （4）结合动点、最值等问题的综合分析与求解。 知识点01：平行四边形的定义与性质 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作“”。 2.核心性质（边、角、对角线、对称性）： 性质维度 具体内容 符号语言 边 对边平行且相等 四边形是平行四边形，，，， 角 对角相等，邻角互补 四边形是平行四边形，，， 对角线 互相平分 四边形是平行四边形，， 对称性 中心对称图形，对称中心为对角线交点 绕对角线交点旋转后与自身重合 3. 衍生性质：平行线间的距离处处相等。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，在与中，点，，，在同一条直线上，连接，，且，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质是解题的关键． （1）根据得出，则，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，进而证明四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 知识点02：平行四边形的判定方法 1.核心判定（定义+4个定理+拓展）： 判定依据 具体方法 符号语言 边 定义法：两组对边分别平行 ，，四边形是平行四边形 边 判定定理1：两组对边分别相等 ，，四边形是平行四边形 边 判定定理2：一组对边平行且相等 且，四边形是平行四边形 对角线 判定定理3：对角线互相平分 ，，四边形是平行四边形 角 拓展判定：两组对角分别相等 ，，四边形是平行四边形 2. 判定方法选择策略：根据已知条件（边、角、对角线）灵活匹配，避免“一组对边平行，另一组对边相等”的错误判定。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，在平行四边形中，平分交的延长线于点E，平分交的延长线于点F．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．先证明和，再根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”即可判断． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴． 又∵， ∴，． ∴． ∴四边形是平行四边形． 知识点03：平行四边形的相关计算 1.周长公式：（对边之和的2倍）。 2.面积公式：（底为任意一边，高为该边对应的平行线间距离）。 3.对角线相关结论：平行四边形的对角线把四边形分成4个面积相等的三角形，且。 【即学即练】 1．（24-25八年级下·河南濮阳·期末）【问题提出】 数学课堂上，王老师给同学们提出这样的问题：“能不能画一条直线把一个平行四边形的面积平分”？ 【问题解决】 (1)小明说可以做到．如图1，中，，相交于点，过点画直线，则直线平分的面积．请证明小明的说法是正确的； (2)王老师提出一个新问题，如图2，，请你用无刻度的直尺画一条直线，使直线平分六边形的面积（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，，，，分别证明，，即可得出结论； （2）分别连接两个矩形对角线交点所在的直线即为所求． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形 ，，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 直线平分的面积； （2）解：连接两个矩形对角线交点所在的直线即为所求，如图： 知识点04：平行四边形的辅助线与数学思想 1.常用辅助线技巧： 连对角线：将平行四边形转化为全等三角形； 作平行线：构造新的平行四边形或等腰三角形； 倍长中线：延伸线段构造平行四边形，转移线段或角的关系。 2.核心数学思想： 转化思想：将四边形问题转化为三角形、平行线问题求解； 方程思想：求线段长、角度时，设未知数列方程（组）； 整体思想：将分散的线段、面积视为整体分析。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·山东烟台·期末）点是的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的性质证明，，由“对边平行且相等的四边形为平行四边形”即可得到结论； （2）连接，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线相互平分，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴为的中位线， ，， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ，， ，， ∴四边形为平行四边形； （2）解：连接， ，， ∴是的中位线， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ， ． 题型01平行四边形性质的基础应用 方法技巧：直接运用“对边相等、对角相等、对角线平分”的性质，结合已知条件计算；求角度时注意邻角互补的关系。 【典例1】. （25-26八年级下·全国·课后作业）平行四边形中，的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，牢记“平行四边形的对角相等”是解题的关键，根据该性质得到，，进而判断出角度比值的特征． 【详解】解：四边形是平行四边形， 平行四边形对角相等，即， 中，比值的第一项与第三项相等，第二项与第四项相等， 观察选项，只有选项满足，，符合平行四边形的性质， 故选：． 【变式1】. （25-26八年级下·全国·课后作业）平行四边形中，对角线，，交点为点O，则边的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到的两条边长，再结合三角形三边关系即可求出的取值范围． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形，对角线，，交点为， ∴，， ∵， ∴，即． 【变式2】. （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，的周长为60，对角线、交于点O，交于点E，则的周长为______． 【答案】30 【分析】根据题意可知为的垂直平分线，结合平行四边形的性质求的周长即可． 【详解】解：且在中，， 为的垂直平分线， ， ， 即的周长为30． 【变式3】. （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，平分，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质，可得，，再结合平行线的性质以及角平分线的定义可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴． 题型02平行四边形的判定 方法技巧：根据已知条件选择对应判定方法，边的条件优先用“一组对边平行且相等”或“两组对边分别相等”，对角线条件用“互相平分”。 【典例2】. （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，小明借助直尺和三角尺，作，然后再作，进而得到，四边形是平行四边形的依据是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【变式1】. （25-26八年级上·上海·假期作业）如图，已知：四边形的对角线相交于点，且．求证：四边形是一个平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及平行四边形的判定．先证明三角形全等得到对应边相等和对应角相等，再根据平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：在和中 ． ． ． 四边形是一个平行四边形． 【变式2】. （25-26八年级下·全国·周测）如图，已知是等边三角形，点，分别在边，上，且，连接并延长至点，使，连接，和． (1)求证：． (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形．理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和平行四边形的判定，熟练掌握两种图形的判定方法是解题的关键； （1）利用等边三角形的性质推导边和角的关系，再通过SAS证明三角形全等； （2）根据（1）的结论推导边平行且相等，依据平行四边形判定定理判定形状． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． ， 是等边三角形， ，， ． ， 是等边三角形， ． ， ， ， ． 在与中， ． （2）解：四边形是平行四边形． 理由：由（1）知和都为等边三角形， ， ． ， 四边形为平行四边形． 【变式3】. （25-26八年级上·山东日照·期末）如图，的对角线，相交于点O，点E，F在对角线上，且，连接，，，． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键． 根据平行四边形的性质，得，，再根据，可得，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可求证． 【详解】证明： ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形． 题型03平行四边形的周长与面积计算 方法技巧：周长计算直接套用；面积计算需找准“底”对应的“高”，利用“平行线间距离处处相等”转换底和高。 【典例3】. （24-25八年级下·江苏常州·月考）ABCD的周长为40，如果的周长比的周长小2，___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到，根据题意可得，再由周长，即可求得的长． 【详解】解：由平行四边形的性质知：， 又∵的周长比的周长小2， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【变式1】. （24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在中，点E在边上，以为折痕，将向上翻折，使点A恰好落在边上的点F处．若的周长为8，的周长为32，则的周长为 ______． 【答案】40 【分析】本题考查了平行四边形的性质及图形翻折的性质．利用平行四边形的性质和折叠的性质，分别找出、与平行四边形边长的关系，进而求出平行四边形的周长． 【详解】解：由题意知， ，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵由翻折得到， ∴，， ∴，， ∴， 即平行四边形的周长为40． 故答案为：40． 【变式2】. （24-25九年级下·江西抚州·期中）如图，在中，点E为的中点，请只用无刻度的直尺作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图1，在上找点F，使得四边形的面积是面积的； (2)如图2，作（点G在上），使得的面积是面积的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、两点确定一条直线等知识： （1）根据题意即作点是的中点，连接、交于点，作直线交于，点即为所求； （2）根据题意即作点与点D重合，在图1的基础上，连接，点即为所求． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求； 作法：连接、交于点，作直线交于，点即为所求； 由作法可得点是的中点，则， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 设中边上的高为，则四边形的面积为， ∴四边形的面积是面积的； （2）解：如图所示，点即为所求； ∵的面积是面积的，由（1）知四边形的面积是面积的，且四边形是平行四边形， ∴两点重合， 作法：在图1的基础上，连接，点即为所求． 【变式3】. （2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，于点，于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、，若的面积等于四边形面积的3倍，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使每个三角形的面积等于四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题考查了平行四边形性质，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）结合平行四边形性质证明，再利用全等三角形性质即可证明； （2）结合平行四边形性质得到四边形面积，再结合全等三角形性质得到，即可推出与四边形面积相等的三角形． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，． ． ，， ． ． ． （2）解： 的面积等于四边形面积的3倍， 的面积等于面积的3倍，的面积等于面积的3倍， ， ， ， 四边形面积， 又，， 等于四边形面积的三角形有，，，． 题型04平行四边形性质与判定的综合证明 方法技巧：先判定四边形是平行四边形，再利用性质推导结论；或先利用性质得到条件，再判定平行四边形，形成“判定→性质”的逻辑链。 【典例4】. （25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移，使点与点对应，点与点对应． (1)写出点的坐标：________； (2)连接、、，在坐标轴上是否存在点，使得？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）根据平移的规律解答即可； （2）根据平移的性质可得四边形为平行四边形，从而得到，可得，进而得到，分两种情况求点：①若在轴上：以为底、的纵坐标为高，列方程求的横坐标；②若在轴上：以为底、的横坐标绝对值为高，列方程求的纵坐标；最后综合两种情况，即可得到所有满足条件的点坐标． 【详解】（1）解：∵平移后点与点对应，，， ∴点B先向右平移1个单位，再向下平移4个单位到达点B， ∵， ∴点的坐标为； （2）解：存在， 如图， 由平移的性质得：， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 分两种情况讨论： ①当点在轴上时，设点的坐标为， ， 解得， ∴点的坐标为或； ②当点在轴上时，设点的坐标为， ， 解得， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】点在坐标轴上，坐标轴包含轴和轴，必须分两种情况讨论． 【变式1】. （25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，为的中点，连接交于点．若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，中位线定理，取中点，连接，则，由平行四边形性质可得，，通过中位线定理可得，，，从而可证明四边形是平行四边形，所以，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取中点，连接，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵为的中点，为的中点， ∴是中位线，是中位线，是中位线， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】. （2026八年级下·全国·专题练习）如下图，四边形中，，，把沿折叠，使落在边上，是点的对应点，过点作． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质、平行线的判定以及角度计算，掌握利用平行四边形的角相等性质、折叠的角平分线性质，结合平行线和垂直的角度关系进行推导是解题的关键． （1）先判定四边形为平行四边形，利用平行四边形的角相等性质，结合折叠的角相等，推出同位角相等从而证平行． （2）利用平行线同旁内角互补求出，结合折叠的角平分线性质求出，再由垂直关系计算． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ． 由折叠知， ， ． （2）解：， ， ． 由折叠知， ． ， ． 【变式3】. （25-26八年级下·全国·课后作业）在中，，P为所在平面内的一点，过点P作交于点E，作交于点D，交于点F．如图①，若点P在边上，此时P、D两点重合，易证、、与之间满足的数量关系是． (1)如图②，当点P在的内部时，猜想、、与之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； (2)如图③，当点P在的外部时，若，，求平行四边形的周长 【答案】(1)．证明见解析 (2)14 【分析】（1）如图①，过点P作分别交，于点M，N，先证明四边形是平行四边形，得到，再证明，，即可得出结论； （2）如图②，过点P作交的延长线于点，交的延长线于点，先证明四边形是平行四边形，，再结合（1）的结论，即可求得答案． 【详解】（1）解：；证明如下： 如图①，过点P作分别交，于点M，N， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ； （2）解：如图②，过点P作交的延长线于点，交的延长线于点， 由（1）得， ，， 四边形是平行四边形， ， 又， ， 平行四边形的周长为． 题型05平行四边形与全等三角形的综合应用 方法技巧：利用平行四边形的性质得到全等所需的边相等、角相等条件，证明三角形全等后，反向补充平行四边形的判定依据。 【典例5】. （25-26八年级上·上海·假期作业）如图，已知：在中，对角线相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质． 根据平行四边形的性质证明，即可得到． 【详解】证明：如图， ∵四边形是一个平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 由此可得． 【变式1】. （25-26九年级上·湖北荆门·期末）如图，在中，点A，E，F，C在同一条直线上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，则有，再证出，根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【变式2】. （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形的对角线、交于点，过点作直线，交于点，交于点．若，且，求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】要证明四边形是平行四边形，所以可考虑证明一组对边平行且相等，或对角线互相平分，或两组对边分别相等/平行；已知，可考虑构造全等三角形，结合条件，可通过在直线上取点、，使，，进而得到；若能证明，再结合及对顶角相等，可证明，得到，从而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形完成证明． 【详解】证明：如图，在直线上取点、，使，，连接、． ， ， ，， ， ，， 由作图，知、都是等腰三角形， ∴ ∴ ∴ ∴， 即 ， ∴ 在和中 ∴， 同理可证， ， ∴四边形为平行四边形． 【变式3】. （25-26九年级上·四川广元·期末）如图，在平行四边形中，点H是边上一点，连接． (1)尺规作图：请作出的角平分线，分别交于点G、E，交的延长线于点F．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若点G恰好是线段的中点，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别以点D为圆心，任意长为半径画弧，分别交于一点，分别以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于内部一点，连接此点与点D，分别交于点G、E，交的延长线于点F． （2）利用平行四边形的性质得到，，，证明，得到，由此得到结论． 【详解】（1）解：如图，DF即为所求； ； （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∵G是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定及性质，作角的平分线，正确掌握平行四边形的性质是解题的关键． 题型06平行四边形的中心对称性应用 方法技巧：利用“对称中心平分对应线段”的性质，推导线段相等或中点关系，简化计算与证明。 【典例6】. （18-19八年级下·云南文山·期末）如图，各顶点的坐标分别为，将绕点O旋转得到（A点的对应点为）． (1)请画出关于O点形成的中心对称图形，并写出的坐标． (2)分别连接，直接写出四边形是何种特殊的四边形． 【答案】(1)图见解析；， (2)平行四边形 【分析】（1）找到点关于O点的中心对称点，再依次连接即可，并写出点的坐标即可； （2）由旋转的性质及平行四边形的判定即可得到四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：如图，关于O点形成的中心对称图形， 点的坐标分别为，； （2）解：如图，由旋转知，， 则四边形是平行四边形． 【变式1】. （25-26八年级上·山东淄博·期末）（1）如图1，与相交于点过点O，且分别交于点E，F，且．判断四边形的形状，并加以证明． （2）如图2，在中，点D，E分别为边的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为的中点． ①求证：四边形为平行四边形； ②若，求的长． 【答案】（1）四边形的形状为平行四边形，证明见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）利用全等三角形的判定及性质可证，，结合对角线互相平分的四边形为平行四边形即可求解； （2）①根据三角形中位线的性质可得，且，再结合平行四边形的判定即可证明；②由平行四边形的性质结合勾股定理先求出，再根据为中点即可求答案． 【详解】（1）解：四边形的形状为平行四边形，证明如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 同理：， ∴， 即对角线互相平分， ∴四边形为平行四边形； （2）①证明：∵点D、E分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∵点G、F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； ②解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∵点G为的中点， ∴． 【变式2】. （2026八年级下·江苏·专题练习）已知：如图，在四边形中，，垂足分别为E，F，延长，分别交于点H，交于点G，若，．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）证明，可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题； （2）根据平行四边形的性质证明，然后根据勾股定理可得，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 【变式3】. （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，要在平行四边形的边所在直线上找点，，使四边形为平行四边形，下面的两种方案中正确的方案是（    ） A．方案1 B．方案2 C．两种都正确 D．两种都不正确 【答案】C 【分析】对于方案一，根据平行四边形的性质证明，得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；对于方案二，通过证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】解：方案一：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 方案二：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形． 综上所述，两个方案都正确． 题型07平行四边形与线段垂直、平分的综合 方法技巧：通过平行四边形的对角线平分性质，结合垂直条件证明线段垂直平分，或利用垂直平分的性质补充平行四边形的判定条件。 【典例7】. （2026·河北秦皇岛·一模）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面上的点处，与交于点． (1)求证：； (2)若平行四边形的对角线与的交点为点，连接，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由折叠得，，由四边形是平行四边形得，，即可得，，结合对顶角即可证明； （2）由得，由平行四边形的对角线与的交点为点得为中点，由等腰三角形三线合一可得为中边上的高，即可证明． 【详解】（1）证明：由折叠得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵平行四边形的对角线与的交点为点， ∴为中点， ∴为中边上的高， ∴． 【点睛】折叠的本质是轴对称变换，折叠前后的图形关于折痕成轴对称，因此对应边相等、对应角相等，这一性质是解决此类折叠问题的核心依据． 【变式1】. （25-26八年级下·江苏南京·开学考试）如图，中，，，为线段上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)求证：； (2)连接，取的中点，连接，． ①依题意补全图形； ②求． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得出，利用旋转的性质及角度的和与差即可求证； （2）①根据题意补全图形即可； ②延长到点，使，连接、、、，可证明四边形是平行四边形，得出，，证明，得出，根据等腰三角形“三线合一”即可得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴． （2）解：①图形如图所示： ②如图，延长到，使得，连接，，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由（1）知， ∴ ∵， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】. （25-26九年级上·河南周口·期末）在中，，点在上，且，的平分线交于，点是的中点，连接． (1)求证：； (2)若四边形的面积为，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形中位线定理的运用； （1）依据等腰三角形的性质，即可得到是的中点，再根据三角形中位线定理，即可得到； （2）依据是的中位线，即可得到，，进而得到，再依据是的中点，继而得出，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴； （2）解：∵是的中位线， ∴，， 如图，连接，则， 又∵四边形的面积为6， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴的面积为． 【变式3】. （25-26九年级上·重庆·期中）学习了矩形之后，小明进行了拓展性研究，他发现：矩形对角线将矩形分成了四个小三角形，选择其中一组相对的三角形，作一组互为内错角的锐角的角平分线与所对的对角线相交，将这两个交点分别与另一条对角线的端点相连，所形成的四边形是平行四边形．探究过程如下： (1)用直尺和圆规，作的角平分线交于点F，连接、（保留作图痕迹，不写结论）； (2)已知：在矩形中，点O是对角线，的交点，平分，平分． 求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是矩形， ，， ， 平分， ① ， 平分， ， ② ， 在与中， ， ④ ， 四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，矩形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先作出作的角平分线交于点F， （2）结合平行四边形的性质得，，根据角平分线的定义得，，证明，得到，即可证明． 【详解】（1）解：依题意，点F如图所示： （2）解：证明：四边形是矩形， ，， ， 平分， ① ， 平分， ， ② ， 在与中， ， ④， 四边形是平行四边形． 故答案为：；；；． 题型08利用三角形中位线性质解决平行四边形相关问题 方法技巧：先识别三角形中位线（中点连线），利用“中位线平行于第三边且等于第三边一半”推导线段平行或长度关系；结合平行四边形判定条件（如一组对边平行且相等），或通过构造辅助线转化线段，求解角度、长度或证明结论。 【典例8】. （25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形的内角和定理，结合三角形中位线定理可得，由平行线的性质可得的度数，根据三角形的内角和定理以及等边对等角，计算即可得的度数． 【详解】解：∵是对角线的中点，点、分别是、的中点， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】. （2025·江西·模拟预测）如图，已知是等腰三角形，，点D是边的中点，E是边上一点，连接．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹)． (1)若点E是边中点，如图(1)，作平行四边形； (2)若点E是边的四等分点，如图(2)，在上作一点P，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查无刻度的直尺作图，平行四边形的判定，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定与性质，平行线间的线段成比例，掌握知识点是解题的关键． （1）根据三角形的中线的性质作图即可； （2）先连接，交于点O，连接并延长，交于点F，连接，与的交点，即为点P，即可解答． 【详解】（1）解：如图(1)，平行四边形即为所求．理由如下： ∵E是边中点，点D是边的中点， ∴F是边的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形． （2）如图(2)，点P即为所求．理由如下： ∵，点D是边的中点，， ∴，，， 即是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点E是边的四等分点， ∴ ∴． 【变式2】. （25-26八年级上·山东淄博·期末）已知：如图，在四边形中，分别是的中点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． （1）连接并延长交于点，先证明，然后得到是的中位线，即可证明； （2）根据是的中位线得到，再由得到，再等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点， ∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴； （2）解：由（1）知是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】. （2025·广东河源·模拟预测）如图，在四边形中，，，，F为上一点，连接，使，若E为的中点，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，中位线的性质，勾股定理，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质． 过点D作于点G，取的中点H，连接，证明四边形是正方形，进而证明，得出，则，根据中位线的性质可得，，然后由勾股定理即可求解． 【详解】解：过点D作于点G，取的中点H，连接， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵H为的中点， ∴ ∴， ∵E为的中点，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型09平行四边形的实际应用（方案设计/测量） 方法技巧：将实际问题转化为几何图形，提炼平行四边形的边、角关系，利用性质与判定设计方案或计算未知量（如测量长度、高度）。 【典例9】. （24-25八年级下·广东佛山·期末）【项目主题】测量距离 【项目背景】如图1，、两点被大山阻隔（、两点距离不可直接测得）．为了改善山区的交通，现拟开凿一条贯穿、的隧道，修建一条高速公路． 【实践操作】 方案一：如图2，某工程队分别以、两点为起点，朝同一方向行进相同距离，分别到达点、．测量、两点之间线段的长度，即为、两点的距离． 【问题解决】 (1)请你说明方案一的合理性； (2)请你设计与方案一不同的方案，在答题卡上画出几何图形，并表示出、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查的是平行四边形的判定和性质，全等三角形的应用． （1）证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质即可得到结论； （2）在大山外取一点O，连接，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：如图，在大山外取一点O，连接， 延长到D，使，延长到E，使，测量D、E两点之间线段的长度，即为A、B两点的距离． 在和中，， ∴， ∴． 【变式1】. （24-25八年级下·全国·期末）如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由． 【答案】我认为小明的说法正确，见解析 【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 根据题意可得，再由，得到，继而得到四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】解：我认为小明的说法正确．理由如下： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴的长度就是篮板的高度． 【变式2】. （23-24八年级下·山西朔州·期末）阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见解析；③全等三角形对应边相等 【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可； （2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可． 【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等； “智慧”小组：∵D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第三边的一半； （2）①如图， ②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使， ，最后量出的距离就是的距离； ③在和中， ， ∴， ∴， ∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质． 【变式3】. （23-24八年级下·河南安阳·月考）综合与实践 在综合实践课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：将两个大小相同的等腰直角三角板两斜边重合，按如图所示放置； 操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图所示位置． 根据以上操作，填空： 图2中与的数量关系是__________；四边形的形状是__________； (2)迁移探究 小宇将两个大小相同的等腰直角三角板换成两个大小相同的含角的直角三角板，继续探究． 已知三角板的边的长为，过程如下： 将三角板按（1）中的方式操作，如图，在平移过程中，四边形'的形状是否能为菱形？若能，请求出此时的长；若不能，请说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究过程中，当为等腰三角形时，的长是__________． 【答案】(1)，平行四边形 (2) (3)或 【分析】本题是四边形综合题,考查了正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，平移的性质，利用等腰三角形的性质分类讨论是解题的关键． （1）由平移的性质可得, ，可得结论四边形为平行四边形； （2）先证四边形为平行四边形，当时，四边形可以是菱形，即可求解； （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解； 【详解】（1）和是等腰三角形， ， ，， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ，， 将三角板沿方向平移， ，，， ， 四边形为平行四边形 （2）四边形可以是菱形， 如图，连接，， ，，， ，，， 将三角板沿方向平移， ，， ∵四边形为菱形， 当，， 为等边三角形， ， （3）①当时，为等腰三角形，如图， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ②当时，为等腰三角形； ③当时，为等腰三角形， 如图，过点作于， ，， ，， ，， ， 不符合题意舍去， 综上所述，的长为或 题型10平行四边形中的动点问题 方法技巧：设动点运动时间为，用含的代数式表示相关线段长度，结合平行四边形的判定条件（如对边相等、对角线平分）列方程，验证结果的合理性。 【典例10】. （23-24九年级下·广西梧州·月考）如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒．    (1)当点Q在线段延长线上时，用含t的代数式表示线段的长； (2)连结，是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请求出t的值． 【答案】(1) (2)存在，当的值为时；与互相平分 (3)2或8 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质及勾股定理即可解答． （2）连接、，根据题意得到四边形是平行四边形，，列式求解即可． （3）分两种情况∶①当点P关于直线对称的点恰好落在点A下方时；②当点P关于直线对称的点恰好落在点A上方时，根据平行四边形的性质即可解答 【详解】（1）解： 四边形是平行四边形， ， ， ， 当点在线段延长线上时， （2）存在，理由如下： 如图1，连接、，   与互相平分，则四边形是平行四边形， ， ， 解得：， 当t的值为时；与互相平分； （3）分两种情况： ①当点P关于直线对称的点恰好落在点A下方时，如图2，    由对称的性质得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 即，解得：； ②当点P关于直线对称的点恰好落在点A上方时，如图3，    由对称的性质得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 即，解得：； 综上所述，t的值为2或8． 【变式1】. （24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在四边形ABCD中，，，，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为（秒），以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（   ）秒． A．2或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角梯形的性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 由题意已知，，要使P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形，则只需要让即可，列出等式可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 当P从B运动到C时，且P在上， ，， ， 解得， 当秒时，四边形是平行四边形； 当点P在延长线上时， 如图： ， 解得， 秒或秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形． 故选：C． 【变式2】. （22-23八年级下·吉林长春·月考）如图，中，，，动点M从点D出发，按折线方向以的速度运动，动点N从点D出发，按折线方向以的速度运动，两点均运动到点D停止． (1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？ (2)在相遇前，是否存在过点M和N的直线将的面积平分？若存在，请求出所需时间：若不存在，请说明理由． (3)若点E在线段上，，动点M、N同时出发且相遇时均停止运动，那么点M运动到第几秒钟时，与点A、E、N恰好能组成平行四边形？ 【答案】(1)动点同时出发，经过8秒钟两点相遇 (2)当经过4秒钟，过点和的直线将的面积平分 (3)点运动到第2秒或6秒钟时，点、、、组成平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，难度较大，点的运用会使学生感觉有一定的困难，但仔细分析后会发现考查的还是一些基本性质的运用． （1）相遇时，和所经过的路程正好是矩形的周长，在速度已知的情况下，只需列方程即可解答． （2）存在，当经过的中心时，过点和的直线将的面积平分，根据四边形是平行四边形，得到，推出，根据全等三角形的性质得到，同理，推出，列方程即可得到结论； （3）因为按照的速度和所走的路程，在相遇时包括相遇前，—直在上运动，当点运动到边上的时候，点、才可能组成平行四边形，其中有两种情况，即当到点时以及在上时，所以要分情况讨论． 【详解】（1）解：设秒时两点相遇， ∵在中，， ， ∴的周长， ∴，解得， ∴动点同时出发，经过8秒钟两点相遇； （2）解：存在，当经过的中心时，过点和的直线将的面积平分，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵，即， ∴， ∴当经过4秒钟，过点和的直线将的面积平分； （3）解：由（1）知，点一直在上运动，所以当点运动到边上的时候，点、、、才可能组成平行四边形，所以， 设经过秒，四点可组成平行四边形． 分两种情形： ①当点在点右侧， 如图2：此时，则四边形是平行四边形， ， ， ， 解得， ②当点在点与点之间，，解得， ∴点运动到第2秒或6秒钟时，点、、、组成平行四边形． 【变式3】. （2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，的面积为36，动点P从A点出发，以1个单位长度的速度沿线段向终点D运动，同时动点Q从点B出发以3个单位长度的速度在间往返运动，当点P到达点D时，动点P、Q同时停止运动，连结．设运动时间为t秒． (1)则和之间的距离为___________； (2)当平分的面积时，则___________． 【答案】(1)4 (2)或或 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由平行四边形的面积公式即可求解； （2）由平行四边形的性质，中心对称的性质得到，分三种情况讨论即可解决问题． 【详解】（1）解：设和之间的距离为h， ∵的面积为36， ∴， ∴， ∴和之间的距离为4； （2）解：如图，连接交于点O， ∵平分的面积，是中心对称图形， ∴经过的中心，即， 在中，， ∴， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴． ∴当平分的面积时，或或． 题型11平行四边形中的最值问题 方法技巧：结合平行四边形的对边平行且相等的性质，利用“垂线段最短”“三角形三边关系”等，求解线段长度或面积的最值。 【典例11】. （25-26九年级上·北京西城·期中）如图，在中，，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作交的延长线于，在线段上取一点使得，连接 (1)依题意补全图形； (2)判断与的数量关系，并证明； (3)在变化过程中，当的面积最大时，求线段的长用，表示 【答案】(1)见解析； (2)，证明见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 依据题意补全图形即可； 易证，利用对角互补构造全等三角形，延长至，使，易证，再过作交于，易证四边形是平行四边形，据此即可得证； 在上截取点，使得，连接，易证，可得在以为圆心，为半径的半圆上运动，据此求解即可． 【详解】（1）解：补全图形如下图所示： （2）解：， 证明如下： ，， ， ， 四边形是对角互补的四边形， ， 延长至，使，连接， 则， ， 由旋转可知， 在和中，， ， ，， 过作交于， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 即； （3）解：如下图所示，在上截取点，使得，连接， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 在以为圆心，为半径的半圆上运动， 当，即落在图中位置时，的面积有最大值， 最大值为， 此时， 当的面积最大时，线段的长为． 【变式1】. （24-25九年级上·吉林长春·期中）【定理】三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 【应用】 如图①，在中，点P、Q分别是边、的中点，连结，若，则线段的长为________． 【探究】 如图②，在应用的条件下，点为平面上的一点（与不平行），点M为线段的中点，连结、，当时，求的长． 【拓展】 如图②，在探究的条件下，若，当的面积最大时，直接写出的度数． 【答案】6； 6；或 【分析】此题重点考查三角形的中位线定理的应用、垂线段最短、等腰三角形的判定与性质． 应用：由点、分别是边、的中点，得，于是得到问题的答案； 探究：由，得，因为，，所以，则； 拓展：作交的延长线于点，则，由“垂线段最短”证明当时，，此时，再分两种情况讨论，一是点在直线的下方，设交于点，则，，得，，则；二是点在直线的上方，延长交于点，则，，所以． 【详解】解：应用：∵，点、分别是边、的中点， ∴是中位线， ∴， 线段的长为6， 故答案为：6； 探究：， ， 点为线段的中点，点为线段的中点， ∴是中位线， ， ， ， ， 的长是6； 拓展：如图②，作交的延长线于点， ，且， 当时，， 当的面积最大时，， 分以下两种情况讨论： 如图③，点在直线的下方，设交于点， 、、分别为、、的中点， ∴，， ，， ； 如图④，点在直线的上方，延长交于点， 、、分别为、、的中点， ∴，， ，， ， 综上所述，的度数为或． 【变式2】. （24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图1，矩形中，，动点E，F分别在边上，连结，以为边向上作，连结， (1)如图2，点F与D重合时， ①求的面积． ②当最短时，求的长． (2)如图3，当时，连结，若，求的长． 【答案】(1)①15；② (2) 【分析】（1）①根据平行四边形的面积即可解决问题； ②当时，最小，即为最小，此时四边形为矩形，进而可以解决问题； （2）连结交于点O，连结，记与交于点H，证明是等边三角形，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）解：①∵， ∴矩形面积15， ∵， ∴； ②记与交点为O， ∵， ∴， 当时，最小，即为最小， 此时四边形为矩形， ∴； （2）解：连结交于点O，连结，记与交于点H， ∵， ∴， ∴为矩形， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的面积，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【变式3】. （24-25七年级下·湖南湘西·月考）已知、两点的坐标分别为，，将线段水平向右平移了6个单位长度到，连接，得四边形． (1)点的坐标为_________，点的坐标为________； (2)如图1，为轴上一点，若平分，且于，，求与的数量关系； (3)如图2，直线轴于，直线上有一动点，连接、，求最小时点的坐标，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)最小时点的坐标为，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平面直角坐标系，图形的平移，三角形内角和定理． （1）根据点平移的性质即可得点、点的坐标； （2）先根据平移的性质得四边形是平行四边形，进而得，，，再根据三角形内角和定理可得出与的数量关系； （3）由两点间线段最短可知，当B、D、Q三点共线时最小，即可得出Q点坐标． 【详解】（1）解：∵、两点的坐标分别为，，将线段水平向右平移了6个单位长度到， ∴，， 故答案为：，； （2）解：设交于F，交于P， 由平移可知，，且， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：最小时点的坐标为，理由如下： 连接交于，由两点间线段最短可知，当B、D、Q三点共线时最小， 即Q在位置时最小， ∵直线轴于， ∴G的横坐标2， 设Q点坐标为，， ∴， 解得， ， ∴， 即最小时点的坐标为． 题型12平行四边形的探究型问题 方法技巧：根据题目现有条件，分析缺少的判定要素或可推导的结论，结合平行四边形的性质与判定，补充条件或验证结论的合理性。 【典例12】. （24-25九年级下·湖南衡阳·月考）综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明； 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）四边形为平行四边形，理由见解析；（3） 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证； （3）如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，可得四边形是平行四边形，可证，得到，则，当点三点共线时，，此时的值最小，根据题意可得，由勾股定理可得，则，在中，由勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】（1）证明∵为等边三角形， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下， ∵，， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形； （3）∵， ∴，， 如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，， ， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 当点三点共线时，，此时的值最小， 如图所示，过点作延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理与最短路径的计算，掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【变式1】. （2025·贵州铜仁·三模）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点、分别为、上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小李发现：将绕点顺时针旋转得到，连接，则，请思考并证明； 【类比探究】（2）小强尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点顺时针旋转得到，连接．求证：； 【拓展延伸】（3）潘老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接、，求的最小值． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，利用同角的余角相等可得，同理（1）证明，可得，进而得到，易证，根据平行四边形的判定即可得证； （3）如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，可得四边形是平行四边形，可证，得到，则，当点三点共线时，，此时的值最小，根据题意可得，由勾股定理可得，则，在中，由勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】（1）证明∵为等边三角形， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由旋转的性质可得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理（1）证明， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （3）解：∵， ∴，， 如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，， ， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 当点三点共线时，，此时的值最小， 如图所示，过点作延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理与最短路径的计算，掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【变式2】. （24-25八年级下·山西太原·月考）问题情境：为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图． 探究实践1： 老师引导同学操作：把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为，再将，分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，如图．老师让同学们探究： （1）的度数是 ． 探究实践2： 完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题．经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现： （2）小虎发现：“如图，将平行四边形沿着BF（F为的中点）所在直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交于点G，则与相等．” 请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由． 【答案】（1）；（2）小虎的结论正确，见解析 【分析】本题主要考查折叠的性质，平行四边形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据折叠的性质得到 ，再由平角的定义即可求解； （2）根据折叠的性质得出，再由平行四边形的判定和性质得出四边形为平行四边形，，即可证明； 【详解】（1）解：由折叠得： ∴故答案为： （2）小虎的结论正确，理由如下： ∵将沿着所在直线折叠，点C的对应点为， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴． 【变式3】. （2025·江苏南京·一模）小明学习了平行四边形的知识后，想利用平行四边形的相关知识探究下列问题． (1)【问题探究】探究一 利用平行四边形的判定方法作平行四边形，作法是：如图①，在中，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧在下方交于点，连接，，则四边形是平行四边形．小明判定四边形是平行四边形的依据是__________； (2)探究二 “在四边形中，若，对角线与交于点，且，四边形是平行四边形吗？” ①在图②中作出符合条件的图形（尺规作图，保留作图痕迹）； ②结合所作图形，符合条件的四边形__________（填写“是”“不是”或“不一定是”）平行四边形； (3)【问题应用】如图③，在中，E是的中点，连接AE，EB，F是AE的中点，连接交于点G．若，求的长． 【答案】(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形 (2)①见解析；②不一定是 (3)4 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）根据平行四边形的判定方法即可求解； （2）①根据题意作出符合条件的图形即可回答问题；②由①解答即可； （3）根据三角形中位线定理以及平行四边形的性质可得，，可得到四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】（1）解：由作法得：， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）； 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （2）解：①如图①，四边形，四边形，即为符合条件的图形； ②由①得：四边形不是平行四边形， 则符合条件的四边形不一定是平行四边形； 故答案为：不一定是； （3）解：如图②，取的中点，连接，． 是的中点，是的中点， 是的中位线， 且， 是的中点， ， ， ， 又， ， 四边形是平行四边形， ， ． 一、单选题 1．以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． 根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A：由，，可以推出四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B：由，，可以推出四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C：由，，可以推出四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； D：由，，不可以推出四边形是平行四边形，可能是等腰梯形，故该选项符合题意． 故选：D ． 2．如图，在中，点P是边上的动点，连接，，E，F分别是，的中点．点P从点B向点C运动的过程中，的长度（    ） A．保持不变 B．逐渐增大 C．先增大再减小 D．先减小再增大 【答案】A 【分析】本题考查考查三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得，可知点P从点B向点C运动的过程中，的长度保持不变，于是得到问题的答案． 【详解】解：，F分别是，的中点， 是的中位线， ， 点P从点B向点C运动的过程中，的长度保持不变， 故选： A． 3．如图，在一次数学实践活动中，同学们为估测被花坛隔开的，两处之间的距离，先在外取一点，然后步测出，的中点，，并步测出的长约为，由此估测，之间的距离约为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟记三角形的中位线定理是解题的关键． 根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵点，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：C ． 4．如图，的对角线与相交于点，若，，则的长为（　　） A． B．9 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，根据平行四边形的对角线互相平分即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 故选：A． 5．如图，直线，，，，E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定与性质，结合平行四边形性质推导线段关系是解题的关键． 结合平行与垂直的已知条件，通过判定平行四边形、利用平行线间距离相等的性质，逐一分析每个选项的推导逻辑，判断结论是否一定成立，从而找出不一定成立的选项． 【详解】解：A、由题意可证得四边形是平行四边形，所以，故A选项成立，不符合题意． B、由两条平行线间的平行线段相等可知，故B选项成立，不符合题意． C、，， ； ， ∴四边形是平行四边形， ，故C选项成立，不符合题意． D、与的大小关系不确定，故D选项不一定成立，符合题意． 故选：D． 二、填空题 6．如图，在中，是的延长线上的一点．若，则的度数为____________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，邻补角的定义知识点，掌握平行四边形对角相等的性质是解题的关键． 先利用邻补角的定义求出的度数，再根据平行四边形对角相等的性质得到的度数． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ∴ ∵ 点在的延长线上， ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 7．如图，在中，若，，，则______． 【答案】/23度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，由平行四边形的性质得，即得，进而根据等腰三角形的性质得，再根据三角形的外角性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，过的顶点分别作、的平分线的垂线、，垂足分别为，，连接．若，，，则______． 【答案】 【分析】分别延长与直线交于点，证明，所以，，同理可得，，故有是的中位线，然后通过中位线性质定理可得，再求出的长即可求解． 【详解】解：如图，分别延长与直线交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得：，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 9．如图，在四边形中，，，，分别是，，，边的中点，连接，，，得到四边形，若四边形的对角线，，则四边形的周长为__________． 【答案】40 【分析】由三角形中位线定理计算四边形各边长即可． 【详解】是的中点， 为的中位线， ， 同理可得分别为的中位线， ， 则四边形的周长为． 10．如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，M为边的中点．若，则的长为_____． 【答案】8 【分析】利用平行四边形的性质得出点是中点，结合是中点，得出是的中位线，进而即可得解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，对角线与交于点O， ∴点是中点， ∵是中点， ∴是的中位线， ∵， ∴． 三、解答题 11．如图，中，点E，F分别是对角线上的两点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，由平行四边形的性质得到，再由平行线的性质得到，，则可证明，得到． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．如图，在中，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且．求证：四边形EBFD为平行四边形． 证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 ，AD∥ ． 因为， 所以 + ， 即 ． 又因为DE∥ ， 所以四边形EBFD为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法． 根据一组对边平行且相等判断四边形是平行四边形即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，． ， ， 即． 又， ∴四边形为平行四边形． 13．如图，在中，对角线，交于点，平分，交于点． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了基本尺规作图—角平分线，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用角平分线的作法进行作图即可； （2）根据平行四边形的性质得出相等的角，根据角平分线得出，证明，得出相等的边，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 14．请将下列题目的证明过程补充完整：如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形． 证明：如图，延长，，并截取，， ，，即， …… 【答案】见解析 【分析】先证明四边形是平行四边形，得到，，再由等边对等角得到，，即可证明，从而有，再证明即可得证． 【详解】解：补充证明过程如下： ∵，即， 四边形是平行四边形， ，． ，， ，， ． 在和中， ， ． ， ， 四边形是平行四边形． 15．如图，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于坐标原点O的中心对称图形． (2)画出绕逆时针旋转的图形． (3)直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为__________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)或或 【分析】（1）利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用平行四边形的定义得出对应点位置进而得出答案． 【详解】（1）解：即为所求作； （2）解：即为所求作； （3）解：如下图， 则以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为或或． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $