精品解析：湖南张家界市慈利县2025-2026学年七年级下学期期中教学质量监测数学试卷

二零二六春季期中教学质量监测 七年级 数学 考生注意：全卷共有三道大题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题：每小题3分，共10道小题，合计30分 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. 3.14159 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项． 本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等数． 【详解】解：A、3.14159是分数，是有理数，故该选项不符合题意； B、是有理数，故该选项不符合题意； C、是开方开不尽的数，故该选项符合题意； D、是分数，是有理数，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查指数运算规则，包括幂的乘方、同底数幂相乘、积的乘方和合并同类项． 根据指数运算规则逐项判断即可． 【详解】对于选项A，， 该选项是错误的，不符合题意； 对于选项B，， 该选项是正确的，符合题意； 对于选项C，， 该选项是错误的，不符合题意； 对于选项D，， 该选项是错误的，不符合题意． 故选B． 3. 下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式：两个数的和乘两个数的差，等于两个数的平方差，字母表示为：（a＋b）（a−b）＝，找出整式中的a和b，进行判定即可． 【详解】解：A、（x＋2）（x＋2）＝ ，不符合平方差公式的特点，故选项A错误； B、（−x＋y）（x−y）＝，不符合平方差公式的特点，故选项B错误； C、（2x−y）（2x＋y）＝ ，符合平方差公式的特点，故选项C正确； D、（−x−y）（x＋y）＝ 不符合平方差公式的特点，故选项D错误． 故选：C． 【点睛】此题考查了平方差公式，注意抓住整式的特点，灵活变形是解题关键． 4. 下列说法正确的是（    ） A. 27的立方根是 B. 的平方根是 C. 4的算术平方根是 D. 5是25的算术平方根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了立方根及算术平方根的定义、表示及计算，熟练掌握立方根及算术平方根的定义及计算是解题关键． 根据立方根、平方根及算术平方根的定义依次做出判断即可． 【详解】解：A. 27的立方根是3，原说法错误，故此选项不符合题意； B. 的平方根是，原说法错误，故此选项不符合题意； C. 4的算术平方根是2，原说法错误，故此选项不符合题意； D. 5是25的算术平方根，原说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 5. 如果，下列不等式中不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴A．不等式两边同时减3，不等号方向不变，可得，A正确，不符合题意； B．不等式两边同时除以正数2，不等号方向不变，可得，B正确，不符合题意． C．不等式两边同时乘负数﹣2，不等号方向改变，可得，C正确，不符合题意． D．由不等式性质得，两边同时加1，不等号方向不变，可得，因此D错误，符合题意． 6. 在天文学上，计算星球之间的距离通常用“光年”作单位，1光年即光在一年内通过的路程．已知光的速度是3×105km/s，一年约为3×107s，则1光年约等于（ ） A. 9×1012km B. 6×1035km C. 6×1012km D. 9×1035km 【答案】A 【解析】 【详解】1光年≈3×10 5 ×3×10 7 =9×10 12 km，故选A． 7. 不等式的解集在数轴上的表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的求解，先移项，再合并同类项，根据不等式性质求出不等式的解集，再在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， ∴， 解得， 在数轴上表示不等式的解集如下： ． 故选：A． 8. 已知，，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. －1 D. －5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式与求代数式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先根据多项式乘多项式运算法则化简整理变形，再利用已知条件代入即可求解． 【详解】解：， 当，时， 原式． 故选：C． 9. 有一个数值转换器，运算流程如图所示，当输入的x值为64时，输出的y值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了数的算术平方根及立方根的计算方法和无理数、程序图，解题时要注意数值如何转换．依据转换器流程，先求出64的算术平方根是8，是有理数；取立方根为2，是有理数：再取算术平方根为， 最后输出，即可求出的值． 【详解】解：的算术平方根是8，8是有理数， 取8的立方根为2，是有理数， 再取2的算术平方根为， 是无理数， 则输出， 的值是 故选：A 10. 关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题关键是先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围 【详解】解：解不等式，得 ∵解不等式，得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组恰有3个整数解，这3个整数解为 ∴要使能取到且取不到，需满足 故选：A． 二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，合计18分） 11. 用不等式表示“的5倍与3的差不小于0”为__________． 【答案】 【解析】 【分析】的5倍与3的差，表示为，不小于表示的意思是大于或等于，用符号“”表示，从而可得出不等式． 【详解】解：用不等式表示“的5倍与3的差不小于0”为． 12. 已知：，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法． 根据得到，根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 比较大小：__________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方法比较两个数的大小，对于带根号的实数的大小关系的比较，平方法是比较常用的一个技巧．只需比较与的大小关系，即可得到与的大小关系，然后再进行判断． 【详解】解：，，， ， 故答案为：． 14. 运用乘法公式简便计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】将变形为，再利用平方差公式计算即可． 【详解】解：． 15. 已知二次三项式是一个完全平方式，则__________． 【答案】5或 【解析】 【详解】解：根据完全平方式特征可得， 解得或． 16. 1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为____． 【答案】 【解析】 【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果． 【详解】根据题意得：展开后系数为：， 系数和：， 展开后系数为：， 系数和：， 展开后系数为：， 系数和：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律． 三、解答题（本题共8道小题，合计72分，请写出必要的解答过程和步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键． 先计算开方并求绝对值，再计算加减即可． 【详解】解：原式 18. 先化简再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算平方差公式，完全平方公式，然后计算加减，然后代数求解即可． 【详解】 ∵ ∴原式． 19. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】， 把它的解集在数轴上表示出来如下： 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键． 20. 已知一个正数的两个不相等的平方根分别是和，且，的立方根是． （1）求的值． （2）求． 【答案】（1）的值为49 （2）的值为25 【解析】 【分析】本题考查了平方根和立方根，求代数式的值，掌握平方根和立方根的意义是解题的关键． （1）利用平方根的性质求出a的值即可求解； （2）利用算术平方根和立方根的意义求出b、c，将其代入进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵的两个不相等的平方根分别是和， ∴， ， 解得， ∴当时，平方根为和， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意得， ， 解得， ∵的立方根是， ∴， ∴代入得：， ， 解得， ∴代入、、得： ． 21. 定义，如．已知，（为常数）． （1）若，求的值； （2）若的代数式中不含的二次项，求的值，并求当时，求的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先根据定义化简，令其代数式中含的二次项的系数为，再代入的值可求得的值；再根据定义化简，代入的值可求得的值． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 解得； 【小问2详解】 解： ， 的代数式中不含的二次项， ， ， ， ， ， ． 22. 根据以下素材，探索完成任务 “新能源汽车充电桩”问题 素材一 某商场计划新建地上和地下两类充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元. 素材二 每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积 2 1 任务一 该商场新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元? 任务二 若该商场计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且所有充电桩总占地面积不超过则共有几种建造方案?请列出所有方案． 【答案】任务一：地上充电桩需要万元，地下充电桩需要万元 任务二：共有2种建造方案，方案一：地上17个、地下43个；方案二：地上18个、地下42个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出方程组和不等式组是解题关键． （1）设新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元，根据“新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元”列二元一次方程组求解即可； （2）设新建个地上充电桩，根据“用不超过13万元的资金新建60个充电桩，且所有充电桩总占地面积不超过”列一元一次不等式组，求出的取值范围，即可得解． 【详解】任务一：解：设新建一个地上充电桩需要万元，新建一个地下充电桩需要万元， 依题意得， 解得， 答：新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要 万元和万元； 任务二：解：设新建个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个， 由题意得：， 解得：， ∴整数的值为，， 方案一：地上17个、地下43个；方案二：地上18个、地下42个 23. 问题呈现：借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为a，b的两个正方形和长、宽分别为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形（）． （1）利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：_______；图2：____________．（用字母a，b表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． （2）在（1）的条件下若，，分别求，的值． （3）已知，求的值． 拓展运用： （4）如图3，点C是线段上一点，以为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，，求出的面积（用S，m表示）． 【答案】（1），； （2），； （3）4051； （4） 【解析】 【分析】（1）利用面积法进行计算，即可解答； （2）利用（1）中推导公式求得以及，得到以及，再利用平方差公式进行计算，即可解答； （3）设，，则，，然后利用（1）中推导公式进行计算，即可解答； （4）设，，则，，然后利用（1）中推导公式进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）图1：大正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为， ． 图2：左下角的正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为：， ． 故答案为：，． （2）∵，， ∴，， , ，． ． （3）设，， 则， ， ． ． （4）设，，则，， ． 24. 定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． （1）是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； （2）若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． （3）若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 【答案】（1）； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，解二元一次方程组和一元一次不等式组，理解“梦想解”的定义是解题的关键． （）分别把代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可； （）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，最后结合为整数即可求解， （）求出方程的解为，不等式组的解集为，由所有整数“梦想解”的和为可得，解得． 【小问1详解】 解：把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； 故答案为：； 【小问2详解】 解：解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， ∴是不等式组的解， 把代入不等式组得，， 解不等式组得， ∵为整数， ∴或； 【小问3详解】 解：由方程得，， 解不等式组得：， ∵所有整数“梦想解”的和为， ∴整数“梦想解”为1、2、3、4或0、1、2、3、4， ∵关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”， ∴，且，解得：且． 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二零二六春季期中教学质量监测 七年级 数学 考生注意：全卷共有三道大题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题：每小题3分，共10道小题，合计30分 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. 3.14159 B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（    ） A. 27的立方根是 B. 的平方根是 C. 4的算术平方根是 D. 5是25的算术平方根 5. 如果，下列不等式中不正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 在天文学上，计算星球之间的距离通常用“光年”作单位，1光年即光在一年内通过的路程．已知光的速度是3×105km/s，一年约为3×107s，则1光年约等于（ ） A. 9×1012km B. 6×1035km C. 6×1012km D. 9×1035km 7. 不等式的解集在数轴上的表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. －1 D. －5 9. 有一个数值转换器，运算流程如图所示，当输入的x值为64时，输出的y值是（ ） A. B. 2 C. D. 10. 关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，合计18分） 11. 用不等式表示“的5倍与3的差不小于0”为__________． 12. 已知：，则的值为___________． 13. 比较大小：__________（填“”、“”或“”）． 14. 运用乘法公式简便计算：______． 15. 已知二次三项式是一个完全平方式，则__________． 16. 1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，展开的多项式中各项系数之和为____． 三、解答题（本题共8道小题，合计72分，请写出必要的解答过程和步骤） 17. 计算：． 18. 先化简再求值：，其中 19. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 20. 已知一个正数的两个不相等的平方根分别是和，且，的立方根是． （1）求的值． （2）求． 21. 定义，如．已知，（为常数）． （1）若，求的值； （2）若的代数式中不含的二次项，求的值，并求当时，求的值． 22. 根据以下素材，探索完成任务 “新能源汽车充电桩”问题 素材一 某商场计划新建地上和地下两类充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元. 素材二 每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积 2 1 任务一 该商场新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元? 任务二 若该商场计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且所有充电桩总占地面积不超过则共有几种建造方案?请列出所有方案． 23. 问题呈现：借助几何图形探究数量关系是一种重要的解题策略，图1、图2是用边长分别为a，b的两个正方形和长、宽分别为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形（）． （1）利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：_______；图2：____________．（用字母a，b表示） 数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． （2）在（1）的条件下若，，分别求，的值． （3）已知，求的值． 拓展运用： （4）如图3，点C是线段上一点，以为边向两侧作正方形和正方形，面积分别是和．若，，求出的面积（用S，m表示）． 24. 定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． （1）是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； （2）若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． （3）若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $