精品解析：湖南省张家界市慈利县2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

二○二五春季期中教学质量监测 七年级 数学 考生注意：全卷共有三道大题，满分100分，时量120分钟． 一、选择题：每小题3分，共10道小题，合计30分 1. 在1，，，，，中，无理数共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列各式，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列不等式一定成立的是 （ ） A. B. C. D. 5. 若，则常数，的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 7. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（　　） A. 9 B. 5 C. 11 D. 13 9. 如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长．则①；②；③；④中，正确的是（ ） A. ①③④ B. ②④ C. ①③ D. ①②③④ 10. 若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：每小题3分，共8道小题，合计24分． 11. “的与的差是非负数”，用不等式表示为：______． 12. 64的平方根是__________． 13. 已知是完全平方公式，则的值为______． 14. 如果的乘积中不含项，则为______． 15. 若．则______． 16. 已知关于x，y的二元一次方程组满足，则a的取值范围是____． 17. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是________． 18. 对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是____． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，其中， 21. 一个正数的平方根为与，2为的立方根，的整数部分为． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 22. 解不等式组：，并把他们的解集在数轴上表示出来，然后写出它的所有整数解． 23. 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： （1）【直接应用】若，，则________； （2）【类比应用】①若，则_________； ②若，则_______． （3）【知识迁移】两块完全相同的特制直角三角板（，）．如图2所示放置，其中，点A，O，D在同一直线上，连接，若，．求一块三角板的面积． 24. 某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元． （1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？ （2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？ 25. 如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． （1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_______________； （2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为______________； （3）比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式________________． （4）【问题解决】利用（3）的公式解决问题： ①已知，，则的值为___________． ②直接写出下面算式的计算结果：． 26. 新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” （1）在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________（填序号） （2）关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； （3）若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二○二五春季期中教学质量监测 七年级 数学 考生注意：全卷共有三道大题，满分100分，时量120分钟． 一、选择题：每小题3分，共10道小题，合计30分 1. 在1，，，，，中，无理数共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，求一个数的立方根，根据无理数的定义，即可求解． 【详解】在1，，，，，中，无理数有，，共2个， 故选：A． 2. 下列各式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的定义，以及立方根的定义，根据算术平方根的定义和立方根的定义逐项分析即可． 【详解】A．，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．，故该选项不正确，不符合题意； D．，故该选项不正确，不符合题意；； 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂乘法，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用幂的乘方与积的乘方法则，同底数幂乘法法则，合并同类项法则将各式计算后进行判断即可． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ． ，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； ．，原计算错误 ，故该选项不符合题意； 故选：C． 4. 已知，则下列不等式一定成立的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由，可得，原不等式不成立，不符合题意； B、由，可得，进而可得，原不等式成立，符合题意； C、由，可得，原不等式不成立，不符合题意； D、由，可得，进而可得，原不等式不成立，不符合题意； 故选：B． 5. 若，则常数，的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】先根据多项式乘多项式是运算法则计算，得出，再根据，由此可得，即可得出，，进而得出答案． 本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：，， ， ，， 解得：，． 故选：D． 6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解出不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 故选：B． 【点睛】此题考查不等式组的解法，解题关键是将解集表示在数轴上时，有等号即为实心点，无等号则为空心点． 7. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 8. 若，则（　　） A. 9 B. 5 C. 11 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查完全平方公式，根据完全平方公式得出，再结合已知，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9. 如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长．则①；②；③；④中，正确的是（ ） A. ①③④ B. ②④ C. ①③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式及完全平方公式结合面积的变形运算，①由图即可判断；②由图得，即可判断；③由平方差公式得，即可判断；④由得，，化简代入，即可判断；掌握、、、的相互转化是解题的关键． 【详解】解：①由图得 ， 故①正确； ②由图得 ， ， ， 故②正确； ③由图得 ， ， ， ； 故③正确； ④由得， ， ， ， ， ； 故④正确； 故选：D． 10. 若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了含参不等式的求解，根据一元一次不等式的基本性质得到a与b的比值以及的结论，设，代入即可得解． 【详解】解：由得：， ∵不等式的解集是， 且 设 则 ∴的解集是， 即， 故选：A． 二、填空题：每小题3分，共8道小题，合计24分． 11. “的与的差是非负数”，用不等式表示为：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式和非负数的定义，根据题意列出不等式即可． 【详解】因为非负数是指不是负数的数，包括零和正数． 所以根据题意： 故答案为：． 12. 64的平方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义，一个数的平方等于64，则该数是64的平方根．熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵且， ∴64的平方根是． 故答案为：． 13. 已知是完全平方公式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：是完全平方公式， ， 即， 故答案为：． 14. 如果的乘积中不含项，则为______． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开再合并同类项，令项的系数为，求出的值即可． 【详解】解：原式， ， 不含项， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，掌握不含某一项，就是先将其合并，再让这一项的系数等于求解． 15. 若．则______． 【答案】125 【解析】 【分析】本题考查同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．由已知条件可，然后利用同底数幂乘法法则将原式计算后代入数值计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：125． 16. 已知关于x，y的二元一次方程组满足，则a的取值范围是____． 【答案】． 【解析】 【分析】根据题目中方程组的特点，将两个方程作差，即可用含a的代数式表示出，再根据，即可求得的取值范围，本题得以解决． 【详解】解： ①-②，得 ∵ ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟悉相关性质是解答本题的关键． 17. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 关于的不等式组的解集为， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 18. 对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，根据新定义和正整数解列出关于的不等式组是解题的关键．根据新定义列出不等式，解关于的不等式，再由不等式的解集有且只有一个正整数解得出关于的不等式组求解可得． 【详解】解：根据题意可知， 解得： 有且只有一个正整数解 解不等式①，得： 解不等式②，得： 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行乘方，开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 20. 先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式，多项式乘以多项式化简整式，再把，的值代入计算即可． 【详解】解： 因， 所以原式 21. 一个正数的平方根为与，2为的立方根，的整数部分为． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根、立方根、无理数估算等知识，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）根据平方根、立方根的定义可得，，求解即可确定a，b的值，估算的大小，即可确定c的值； （2）结合（1）确定的值，即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，一个正数的平方根为与， ∴，解得， ∵2为的立方根， ∴，即，解得， ∵的整数部分为，且，即， ∴； 【小问2详解】 由（1）可知，， ∴， ∴的平方根为． 22. 解不等式组：，并把他们的解集在数轴上表示出来，然后写出它的所有整数解． 【答案】， 将不等式组的解集在数轴上表示出来，如下图所示， 整数解为，0，1 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组、在数轴上表示不等式组的解集以及求不等式组的整数解，正确解该不等式组是解题关键． 分别解两个不等式，按照“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集，然后把他们的解集在数轴上表示出来，并确定它的所有整数解． 【详解】解：， 解不等式①，可得 ， 解不等式②，可得 ， 所以，该不等式组的解集为， 所有整数解为，0，1． 23. 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： （1）【直接应用】若，，则________； （2）【类比应用】①若，则_________； ②若，则_______． （3）【知识迁移】两块完全相同的特制直角三角板（，）．如图2所示放置，其中，点A，O，D在同一直线上，连接，若，．求一块三角板的面积． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，掌握完全平方公式的变形是正确解答的关键． （1）根据完全平方公式的变形可得答案； （2）①设，，则，，由进行计算即可； ②设，，则，，由进行计算即可； （3）设，，由题意可得，，，由求出的值即可． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 解：①设，，则，， ； ②设，，则，， ∴ ； 【小问3详解】 设，， ，， ，， 即，， ， 即， ， 答：一块直角三角板的面积为34． 24. 某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元． （1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？ （2）该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？ 【答案】（1）A，B两种商品每件进价各为100元，60元； （2）购进A商品的件数最多为20件 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，根据购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元列出方程组求解即可； （2）设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件，根据利润不低于1770元且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍列出不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设A，B两种商品每件进价各为x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：A，B两种商品每件进价各为100元，60元； 【小问2详解】 解：设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m的最大值为20， 答：购进A商品的件数最多为20件． 25. 如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． （1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_______________； （2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为______________； （3）比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式________________． （4）【问题解决】利用（3）的公式解决问题： ①已知，，则的值为___________． ②直接写出下面算式的计算结果：． 【答案】（1） （2） （3） （4）①3；② 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的有关应用，灵活运用平法差公式是解题的关键． （1）阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即可求解； （2）经分析，图2中长方形长为、宽为．根据长方形面积公式，即可求解； （3）因阴影部分图形拼接前后，面积不变，即可求解； （4）①根据平方差公式，进行计算即可求解． ②连续使用平方差公式，进而即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得 ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得 拼接后的长方形长为、宽为， ； 故答案为：； 【小问3详解】 解：阴影部分图形拼接前后，面积不变， ； 故答案为：； 【小问4详解】 解：①， ， ， 故答案为：； ② ． 故答案为：． 26. 新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” （1）在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________（填序号） （2）关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； （3）若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求的取值范围． 【答案】（1）①③ （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程的解法和一元一次不等式组的解法，读懂题意，正确解一元一次方程和一元一次不等式组是解题的关键． （1）解方程和不等式组后，根据定义进行判断即可； （2）解方程和不等式组后，再解关于k的不等式组即可； （3）解方程和不等式组后，再解关于m的不等式组，由不等式组有3个整数解得到新的不等式组，解新不等式组后，取两个不等式组解集的公共部分即可． 【小问1详解】 解：①， 去分母得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，； ②， 去括号得，， 移项合并同类项得，； ③， 移项得，， 系数化为1得，； 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 和在的范围内，所以方程①和③是不等式组的“关联方程”． 故答案为：①③． 【小问2详解】 解： 解得， ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：， 去分母得， 移项合并同类项得，； ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴， 解得， ∵不等式组有3个整数解， ∴， 解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $