河南商丘市睢县高级中学等校2025-2026学年高一下学期4月学业评估数学试题

高一4月学业评估 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章第3节~第八章第4节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知A(1,4),AP=(-4,8),则点P的坐标是 A.(-4,12) B.(-3,-14) C.(-3,12) D.(-4,-14) 2.设复数x满足x(4一i)=i,则x在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知a,b是两条不同的直线，则“a与b没有公共点”是“a与b是异面直线”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.如图，梯形A'B'CD'是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，B'C∥A'D',A'B'=1,A'D'= 2B'C'=2,则平面图形ABCD的周长为 A.4+√2 B.4-√2 C.5-√5 D.5+√5 5.已知向量a=(m,10),且向量a在向量b上的投影向量的坐标为（一3,1），则m= A.0 B.-1 C.1 D.2 6.在平面四边形ABCD中，AD与C第不共线，点E,F满足A它=2E范，D市=2FC,若E方=mAD十nC第， 则m十n= A-号 B-吉 c号 D号 【高一4月学业评估·数学第1页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 7.如图，两座山峰的高度AM=CN=400米，为测量峰顶M和峰顶N之间的距 离，测量队在B点(A,B,C三点在同一水平面上)测得M点的仰角为60°，N点 的仰角为30°，且∠MBN=30°，则两座山峰峰顶之间的距离MN= A.400E米 3 Bg9米 c8g9米 D05米 8.已知A,B,C是半径为2的圆上的三个点，且AB=3,则AB·AC的取值范围是 A[-号，] B[-号] C.[-3,21] D.[-5,23] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法错误的是 A.平行六面体的各个面都是平行四边形 B.圆柱的侧面展开图是一个正方形 C,将棱台的侧棱延长后必交于一点 D.将直角三角形绕其一边所在直线旋转一周形成的旋转体是圆锥 10.已知复数之，22，下列说法正确的是 A.|z1z2|=|z11lz2 B.若好十号=0，则名1=z2=0 C.若1=2，则12=|z1|2 D.若|之1十2=|z1一z2,则1z2=0 11.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是 A.若a=4,b=6,A=石，则符合条件的△ABC有两个 B.若cos(A一B)cos(B一C)cos(C-A)=1,则△ABC是直角三角形 C.若a3=b3+c3,则△ABC是锐角三角形 D,若袋=8合，则△ABC为等腰三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若复数z=1一2i十a(1十2i)(a∈R)是纯虚数，则a的值为 13.已知甲、乙两个圆台的上底面的半径均为r1,下底面的半径均为r2(1<r2),母线长分别为3(r2一n) 和5(。一，记甲，乙两个圆台的体积分别为，M,则的 14.在△ABC中，点D,E分别是BC的三等分点，且AD·A它=4，A言·AC=一4，则1BC|=_· 【高一4月学业评估·数学第2页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 四、解答题：本頤共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步珮。 15.(本小圈满分1$分) 已知向a=(一1,2)、b=(4,m). (1)若a∥b,求|b|的值： (2)若a⊥(2a+b),求向量a与b的夹角的余效做. 16.(本小题满分15分) 在△ABC中.内角A,B.C的对边分别为a,b,c,且cosA=青 (1)若B=于b=53,求a和c (2)若a=√13，△ABC的面积为3，求△ABC的周长. 17.(本小题满分15分) 在正方体ABCD-A1B,CD,中，点E是按DD,上的-点，且D,E=号DD,点F是棱BB,上的- 点，且BF=SB,B, (1)若正方体ABCD-A,B,CD,的所有顶点均在球O的球而上，球O的表面积为12π，求球O的体 积及正方体ABCD-A1B,CD,的体积： (2)若A:E∩平面ABCD=P,A,F∩平面ABCD=R,EF∩平面ABCD=Q,证明：P,R,Q三点共线. 【商一4月学业议估·数学卵3顶（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 18.(本小题满分17分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(b一a)(b十a)=c(b一c). (1)求A; (2)若△ABC为锐角三角形，求无的取值范围， (3)已知点D是边BC上的一点，且咒=影，号+2-1，求AD的长. -CD26'6c 19.(本小题满分17分) 在△ABC中，G是△ABC的重心，且GA=2GB=GC. (1)求cos∠AGB的值； (2)若过点G的直线L与线段AB交于点E,与线段AC交于点F,且A它=1AB,A方=4AC,A,4∈ (0,1),求号+的值： (3)若AB=2√6，点P是线段AC上一点（不同于端点），过点P分别向BA,BC作垂线，垂足分别为 M,N,求PB·(PM+PN)的最小值. 【高一4月学业评估·数学第4页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP高一4月学业评估·数学 参考答案、提示及评分细则侧 1.C因为OP=OA+AP=(1,4)+(-4,8)=(-3,12),所以点P的坐标为(-3,12).故选C. 2B=4D=立+清：在复平面内对应的点为（一立吉）.位于第二象限放选R 3.A若a与b没有公共点，则a∥b或a与b是异面直线；若a与b是异面直线，则a与b没有公共点，所以“a与b没有公 共点”是“a与b是异面直线”的必要不充分条件.故选A. 4.D由题意可知，原平面图形为直角梯形ABCD,AB=2,AD=2,BC=1,CD= /22+(2-1)=√/5，周长为AD+AB+BC+CD=2+2+1+5=5+5.故选D. 5.A因为向量a在向量b上的投影向量的坐标为（一3,1），不妨设b=入（一3,1）= (-31)所以6b=2段0·A(-3.D=(-3.1D,即-3m+10=10,解得0 9入2+λ2 D m=0.故选A. 6.B由题意知E序-E第+BC+C市①，E萨=EA+AD+D市②，又A花=2E弦，D市=2F心，则①X2+②得3E市 (2+)+2C+A市+(2C+D市)=2心+A市，所以E萨=号AD-号C范，又萨-mA市+nC,A市与C不共 线，所以m=子，=一号，所以m十n=一子放选B AM CN 400 乙D在R△ABM中，BM-sin/ABM-sing8O=8,在R△BCN中，BN= sm之CBN-sin30=800,在△BMN中， MN=√BMP+BN-2BM·BNcos∠MBN 800 +800-2××800×号-005米.故选D 3 8B过点C作AB的垂线，垂足为C,所以A,AC-A,A心，所以(AAC)=3×(号+2）-号，(A店·AC)m =3×(号-2)=一号，即A成.AC的取值范围是[-号，罗]故选B 9.BD平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，各个面都是平行四边形，A正确；圆柱的侧面展开图是一个矩形，不一 定是正方形，B错误；棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的几何体是棱台，因此延长棱台所有侧棱，它们会交 于一点，C正确；将直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周形成的几何体不是圆锥，D错误.故选BD. l0.AC令1=a+bi,=c+di(a,b,c,d∈R),则≈2=ac-bd+(ad+bc)i,|a2|=√/(ac-bd)+(ad+bc)= √ac2+b+a+6C=√(a+b)(c2+),l1=√a2+6,|2|=√2+，所以|x12|=|||2|,A正 确：对于B,取刘=1,2=i,显然满足号十号=0，但刘1≠0,2≠0，B错误：因为刘=，所以刘2=刘=|心1|2，C正 确；取=1,2=i,满足|刘十2|=|1一忽|，但是2=i,D错误.故选AC. 11.ACD由余弦定理得a=b+c2-2 bccos A,即16=36+c2-6/3c,解得c=3√5±√7，故符合条件的△ABC有两个，A 正确；由于|cosx≤1，所以cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1,故A一B=B-C=C-A=0,整理得A=B=C, 所以△ABC为等边三角形，B错误；因为a=6+c3,所以a>b,a>c,a2=bb+Sc2<+c2,所以△ABC是锐角三 角形，C正确：由正弦定理及号一C合得升-恶胃所以l-1即sA= COs A cos B-cos B, 显然cosA≠0，c0sB≠0，函数f(x)= 0osx在(0，受)，（受，x)上单测递增，且当x(0,受）时，x)>0,当 【高一4月学业评估·数学参考答案第1页（共4页）】 x∈（交，x)时，f(x)<0,由f(A)=f(B),可得A=B,△ABC是等腰三角形，D正确.故选ACD, 12.-1因为之=a+1+(2a-2)i是纯虚数，所以a+1=0且2a-2≠0，解得a=-1. 18.号由题可得两个圆台的商分别为仰=V3()]-(作-)=22（月-），龙=5(-1)]-(n V }(S+S+5S)m年-2(-心- 26-),所吃是(5+S+SS)h2亿26()3 14.6记BC的中点为G所以AD·A花=(AG-号D)·(AG+D)=(AG合C)·(AG+BC)=AG 品恋=4.花.花=(G-专成)·（计）=亦-子恋=-4，所以-品心+子成=8，解得 |BC=6. 15.解：(1)若a∥b,则一m-2X4=0,…… …3分 解得1=一8，… …4分 所以b=(4,-8),所以b=/4十(-8)7=45.…6s分 (2)因为a⊥(2a十b),所以a·(2a十b)=2a2+a·b=2×(√/(-1)2+2)2-4+2m=0,…9分 解得m=-3,……10分 a·b -1×4-2×3 设向量a与b的夹角为0，所以os01a:中6/=)+2X年-3)= 25 5 即向量a与b的夹角的余弦值为-25 5 13分 16.解：(1)因为cosA=青，0A<,所以sinA=√个-osA=3 ， 1分 由正弦定理得品入B即呈-，解得a-6 6 3 4分 6 2 由余弦定理得=d2+e2-2ac0sB,即(55)'=6+e2-2cX6×号， 解得c=3十43（舍去c=3-43).… …7分 (2)由题意，△ABC的面积S=cinA=-bcX号=3，解得c=10, 10分 由余孩定理得2=8+c2-2kc0sA,即13=分+c2-号c=(b十c)2-3, 所以(b+c)2=13+8c=13+8×10=49,解得6叶c=7,… 14分 所以△ABC的周长为a十b十c=7十13.…15分 17.(1)解：设正方体ABCD-ABCD,的棱长为a,则球O的半径R=a于Q+a-臣。 0, 所以球O的表面积S球=4πR=3πa2=12π，所以a=2,R=5,… …3分 所以球0的体积V=专R=45x,… …5分 正方体ABCD-A1BCD的体积V正方体CDA马CD,=Q3=8.… …7分 (2)证明：因为A1E∩平面ABCD=P,所以P∈平面ABCD,且P∈AE,… …9分 【高一4月学业评估·数学参考答案第2页（共4页）】 又A1EC平面AEF,所以P∈平面A1EF, 11分 同理，R∈平面AEF,R∈平面ABCD,所以平面A1EF∩平面ABCD=PR,… 13分 同理，Q∈平面ABCD,Q∈平面AEF,所以Q∈PR, 即P,R,Q三点共线.… 15分 18.解：(1)因为(b-a)(b+a)=c(b-c),所以bc=+c2一a2, 1分 由余弦定理得0sA=B+一d=c=1 2bc 2' …3分 2bc 又A∈(0，x),所以A=号 4分 (2)法-：由1)知A=子，所以B+C-要 3 因为分一品需 m(经-B) msB+如B 13 sin B = sin B 2 2tan B' 6分 0<B<受， 又△ABC为锐角三角形，则 所以<B<，… 8分 0<-B< 所以mB得所以子<合十品B2,即云的取值越用是（分2） .1 3 10分 法二：设6=(>0)， 由(1)知bc=b+c2一a2,代入c=b,得a2=(t2-t+1)b,… 6分 cosB=4+>0, 2ac （a2+2->0, 因为△ABC为锐角三角形，所以 即 cos C-t0. a2+b2-c2>0, 2ab (-t+1)b+62-b>0, 2-t>0, 所以 即 …8分 (2-t+1)6+6-26>0, -t+2>0, 解得号<1<2，即6的取值范围是（号，2）. 10分 (3)法-：设∠BAD=0,则∠CAD=号-0,0<0<苓， BD b 在△ABD中，)nADB,在△ACD中， CD sin(5-0) sin∠ADC, ∠ADB=sinx∠ADC)=sm∠ADC,所以8品snA bsin(受-0） 26 12分 所以2如0=3sm(号-0小.即2如0-3（停s0-之血0小，解得m0- 7 所以a9温（号-）亮 219 14分 因为Sac=S△Nm+SAm,所以bsin∠BAC=号ABXADXsin∠BAD叶令ACXADXsin∠CAD, 时Xx得-号XxA0x渠X0XA是部得0-器 …16分 /19 【高一4月学业评估·数学参考答案第3页（共4页）】 又号+2=1，所以年51，所以AD=正。 17分 法二：设航-AB元，A(0,1D,则Bò=产之， 3+2=1, b= 3 因为咒影所以产豪联立 解得 13分 c=1- 因为AD=A+BD=AB+XB武=AB+x(AC-AB)=(1-A)AB+入AC, 所以AD=(1-A)2AB+2x(1-A)AB.AC+2AC=(1-A)22+A(1-A)b+X米， =1-0(吕)》°+1-0是×吕+（受）广=9， 16分 所以AD=√1⑨.… 17分 19.解：1)因为G是△ABC的重心，所以Gi+G+G式=0，得-G乙=GA+G, …2分 两边平方可得G式衣=G+2G·G+G,又GA=2G1=|G式， 所以GA=GA+2GA·G苏+GB,即2GA·G苏=-GB, 即2GA1·|Gcos∠AGB=4|G|2cos∠AGB=-|G2,所以cOs∠AGB=- …5分 (2)因为G为△ABC的重心，所以AG-号·合(A+AC)=号A+号A心， 又因为A恋=.A亦=A花.所以AG-号计号A衣-最花+… …7分 由于EG,F三点共线，所以京十21， 所以十- 10分 (3)由(1)知2G.G=-GB,-G式=GA+G成，又G=2=1G元， 所以AB=(G苏-GA)2=G-2GA·G苏+G2=G帝+G+4G市=6G=24,解得1G=2, BC=(G元-G)2=(-2G-GA)”=6G帝=24，解得|BC1=26, AC=(G式-G)2=(-G第-2GA)2=15G亦=60，解得|A花=25，… 12分 所以△ABC的面积为S=2AC·√BC-(2AC)=35, 又Sac=Ss+Sam=号X26XIPi+2×26X1P=6(Pi+PN)=3E, 所以P+1P=3Y画 14分 因为Pi.Pi=(P成+M)·Pi=P+Mi.pi=P迹， 同理，P克.P=P,… 15分 所以p成.成+武)=店.P应+P市.=|成：+成≥成)-号，当且仅当p |P时-3严时，取等号， 即P吭.(P+p)的最小值为织 17分 【高一4月学业评估·数学参考答案第4页（共4页）】