专题18.3 正方形（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

专题18.3 正方形 教学目标 1.理解正方形定义，明确与矩形、菱形、平行四边形的联系与区别。 2.掌握正方形的性质与判定定理，会用符号语言规范表述。 3.能运用性质与判定进行角度、线段、面积的计算和证明。 4.提升几何直观、逻辑推理与规范书写能力。 教学重难点 重点 （1）正方形的性质与判定定理 （2）正方形对角线性质的应用 （3）正方形周长与面积计算 难点 （1）正方形判定条件的灵活选择 （2）正方形与折叠、旋转、动点的综合问题 （3）正方形与矩形、菱形性质的区分运用 知识点01：正方形的定义 1.有一组 并且有一个角 的平行四边形是正方形。 2.等价定义： （1）有 的矩形是正方形； （2）有 的菱形是正方形。 【即学即练】 1．（24-25八年级下·河北保定·期末）正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对边平行且相等 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角相等 知识点02：正方形的性质 类别 具体性质 数学符号语言 边 ，， 角 对角线 ，，，； 对称性 轴对称（4条对称轴）+中心对称 对称轴：对角线、对边中点连线；对称中心：对角线交点 【即学即练】 1．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在正方形中，为上一点．若，则（   ）． A． B． C． D． 知识点03：正方形的判定 1.平行四边形+ + →正方形。 2.矩形+ （或 ）→正方形。 3.菱形+ （或 ）→正方形。 4.四边形+四条边相等+四个角都是直角→正方形。 【即学即练】 1．（25-26九年级下·福建莆田·开学考试）如图，在中，，D是边的中点，，，，垂足分别为E，F．求证：四边形是正方形． 知识点04：正方形的周长与面积 1.周长：若边长为，则 。 2.面积： （1）（边长平方）； （2）（为对角线长，且）。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·河北邢台·月考）下列各图是以直角三角形的三边为边，在三角形的外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中的是（   ） A． B． C． D． 知识点05：正方形与矩形、菱形、平行四边形的关系 1.正方形既是特殊的 ，也是特殊的 ，更是特殊的 。 2.包含关系：平行四边形⊃矩形⊃正方形；平行四边形⊃菱形⊃正方形。 【即学即练】 1．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）在学习了“中心对称图形—平行四边形”之后，平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系可以用下面的关系图表示，则②处所填图形的名称应为（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 题型01利用正方形性质求角度 方法技巧：利用内角、对角线平分角得，结合三角形内角和与外角求解。 【典例1】. （2026·辽宁沈阳·一模）如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，交对角线于点F，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级下·山东日照·月考）如图，正方形中，，直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级下·山东潍坊·月考）如图，为正方形的对角线，延长到点，使，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】. （2026·安徽芜湖·一模）两个正方形按如图所示位置摆放，若，则（    ） A． B． C． D． 题型02利用正方形性质求线段长 方法技巧：用四边相等、对角线相等垂直平分，结合勾股定理与等腰直角三角形计算。 【典例2】. （25-26八年级下·北京房山·期中）如图，在正方形中，对角线交于点，若，则正方形的周长为（   ） A． B．4 C． D．8 【变式1】. （25-26八年级下·福建福州·期中）如图，正方形的边长为9，E是的中点，垂直平分且分别交，于点F，G，则的长为______________． 【变式2】. （25-26八年级下·山东聊城·月考）如图，直线过正方形的顶点，点，到直线的距离，分别是，，则线段的长为___． 【变式3】. （25-26八年级下·贵州铜仁·月考）如图，正方形的顶点与正方形的边均在直线上，于点，若，正方形的面积为，则正方形的周长为（   ） A． B． C． D． 题型03正方形周长与面积计算 方法技巧：直接用或，已知对角线先求边长。 【典例3】. （25-26八年级下·北京·月考）如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积和为（    ） A．313 B．225 C．169 D．144 【变式1】. （25-26八年级下·陕西安康·月考）如图，在以正方形的边为斜边的中，，，，则正方形的面积为______． 【变式2】. （25-26八年级下·青海西宁·月考）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为___________． 【变式3】. （25-26八年级下·北京·课后作业）正方形一条对角线长为，则周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 题型04补充条件判定正方形 方法技巧：先判矩形/菱形，再补邻边相等/直角/对角线垂直/相等条件。 【典例4】. （25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在中，．添加一个条件，能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （2026八年级下·全国·专题练习）有下列四个条件：①，②，③，④，使为正方形（如图）．现有下列四种选法，其中错误的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．①③ 【变式3】. （25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作，与的延长线相交于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)填空：①当满足条件时，四边形是 形； ②当满足条件 时，四边形是正方形． 题型05证明四边形是正方形 方法技巧：先证平行四边形→矩形/菱形→再加一个条件证正方形。 【典例5】. （2026·山东青岛·一模）如图，在中，，点M为的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． (1)求证：； (2)当时，四边形是________形，请证明． 【变式1】. （2026·江苏盐城·一模）如图，在中，，点是边的延长线上的一点．连接，过点作于点，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)当点F是的中点，且时，求四边形的面积． 【变式2】. （2026·辽宁抚顺·一模）如图，在等腰直角三角形中， ，，D是的中点，过点D 作于点E，于点F，连接． (1)求证：四边形为正方形． (2)若，求的长度． 【变式3】. （25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在中，，点为其内一点，且，分别平分．若于点，于点，则四边形是正方形吗请说明理由． 题型06正方形中的折叠问题 方法技巧：折叠前后边、角相等，设未知数用勾股定理列方程求解。 【典例6】. （25-26九年级下·重庆·月考）如图，正方形的边长为5，点E在边上，且，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，延长交于点F，连接，作和的平分线相交于点G，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级上·辽宁铁岭·月考）如图，正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点，则的面积为______． 【变式3】. （25-26八年级上·四川成都·期中）已知：如图，在边长的正方形中，点在边上， ，将沿折叠至，延长交于点，连接． (1)求的度数； (2)求的长度． 题型07正方形与坐标系结合 方法技巧：用坐标表示顶点，利用四边相等、对角线垂直求坐标与边长。 【典例7】. （24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，坐标系中四边形是正方形，若点坐标为，点坐标为，则点坐标为________． 【变式1】. （25-26七年级下·黑龙江·月考）在平面直角坐标系中，正方形的三个顶点坐标分别为，，，则顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为3，顶点A的坐标是，轴，点B、C在第一象限，则顶点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26八年级下·全国·课后作业）某天放学，三名同学准备从学校回家．如图，点为学校所在的位置，三名同学的家在平面直角坐标系中的位置如图所示，正方形的顶点，的坐标分别是，，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型08正方形中的旋转问题 方法技巧：旋转得全等三角形，转化线段与角度关系。 【典例8】. （24-25八年级下·浙江宁波·期中）共顶点的正方形绕着正方形旋转，其中，．在旋转一周的过程中，当、、三点恰好在同一条直线上时，此时________． 【变式1】. （24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·月考）问题背景：已知共一个顶点的正方形和正方形，连接，取的中点P，连接，．探究，的数量关系与位置关系． 实践操作：如图①，小明旋转正方形，使正方形的顶点G落在正方形的边的延长线上．通过延长交于点Q，证． 是________三角形，和和数量关系是________，和和位置关系是________． 问题探究：如图②，小亮旋转正方形，使正方形的顶点E落在正方形的边的延长线上，此时线段，还有图①中的关系吗？请证明你的猜想． 拓展延伸：如图③，小红将正方形绕点旋转任意角度后，其他条件不变．线段，还有图①中的关系吗？请证明你的猜想． 【变式2】. （24-25九年级上·江西九江·期中）【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 【变式3】. （25-26八年级下·江苏盐城·月考）阅读理解，并完成下列各题： 【教材回顾】 (1)苏科版教材八下第九章《平行四边形》习题中有这样的问题：如图1，的顶点O在正方形两条对角线的交点处，，将绕点O旋转，的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合），问：在旋转过程中，与有怎样的数量关系？并说明理由； 【类比探究】 (2)如图2，若将（1）中的“正方形”改为“的菱形”，其他条件不变，当时．证明． 【拓展应用】 (3)如图3，学校内有一块四边形的花圃，满足，，，花圃内铺设了一条小路，平分，为方便学生赏花，现计划修建一条径直的通道与小路相连，且，入口点E恰好在的延长线上．直接写出入口到点A的距离的长 ． 一、单选题 1．在复习特殊四边形的关系时，小明同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．①填 B．②填 C．③填 D．④填 2．如图，在正方形中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点G，连接，若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 3．如图所示，在正方形中，点、分别在上，且，连接相交于点，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 4．如图，在正方形中，点E为上一点，连接，是由旋转得到的，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图，正方形的面积为15，的斜边的长为8，则的长为_____． 6．如图，正方形的边长分别为，和．则图中阴影部分的面积为______． 7．如图，已知正方形的对角线，相交于点，顶点，，的坐标分别为，，，规定“把正方形先沿轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过次变换后，点的坐标变为___________． 8．如图，正方形的面积为16，点、分别是边、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值是______． 三、解答题 9．如图，在正方形中，点是边上一点，点在边延长线上，且，连接，过点作交于，交于，若，，求长． 10．如图，四边形是正方形，点E在边上，于点M，于点N．求证：． 11．如图①，在正方形中，是上一点，点在的延长线上，且，交于点，连接． (1)【问题提出】求证：； (2)【拓展探索】请求出的度数； (3)【问题解决】如图②，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 12．在正方形中，点，是边上的三等分点，点关于的对称点为点，的延长线交于点，连接，，，． (1)求证：； (2)求的大小； (3)求证：． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18.3 正方形 教学目标 1.理解正方形定义，明确与矩形、菱形、平行四边形的联系与区别。 2.掌握正方形的性质与判定定理，会用符号语言规范表述。 3.能运用性质与判定进行角度、线段、面积的计算和证明。 4.提升几何直观、逻辑推理与规范书写能力。 教学重难点 重点 （1）正方形的性质与判定定理 （2）正方形对角线性质的应用 （3）正方形周长与面积计算 难点 （1）正方形判定条件的灵活选择 （2）正方形与折叠、旋转、动点的综合问题 （3）正方形与矩形、菱形性质的区分运用 知识点01：正方形的定义 1.有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 2.等价定义： （1）有一组邻边相等的矩形是正方形； （2）有一个角是直角的菱形是正方形。 【即学即练】 1．（24-25八年级下·河北保定·期末）正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对边平行且相等 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角相等 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，正方形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，同时还有其特有性质。需找出正方形具备而一般平行四边形不一定具备的性质． 【详解】解：A、对边平行且相等：平行四边形的定义即对边平行且相等，正方形必然满足，故A错误，不符合题意； B、对角线相等：正方形的对角线相等，但一般平行四边形（如普通菱形、非矩形的平行四边形）对角线不一定相等，故B正确，符合题意； C、对角线互相平分：所有平行四边形的对角线均互相平分，正方形也满足，故C错误，不符合题意； D、对角相等：平行四边形的对角相等，正方形同样满足，故D错误，不符合题意． 故选：B． 知识点02：正方形的性质 类别 具体性质 数学符号语言 边 对边平行，四条边都相等 ，， 角 四个角都是直角 对角线 相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 ，，，； 对称性 轴对称（4条对称轴）+中心对称 对称轴：对角线、对边中点连线；对称中心：对角线交点 【即学即练】 1．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在正方形中，为上一点．若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是关键． 由正方形的性质可得．根据三角形的内角和定理求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 知识点03：正方形的判定 1.平行四边形+一组邻边相等+一个角是直角→正方形。 2.矩形+一组邻边相等（或对角线互相垂直）→正方形。 3.菱形+一个角是直角（或对角线相等）→正方形。 4.四边形+四条边相等+四个角都是直角→正方形。 【即学即练】 1．（25-26九年级下·福建莆田·开学考试）如图，在中，，D是边的中点，，，，垂足分别为E，F．求证：四边形是正方形． 【答案】详见解析 【分析】由题意易得四边形是矩形，然后通过证明得，进而问题可求解． 【详解】证明：，， ，． 又， 四边形是矩形． 是边的中点， ． ， ． 又， ， ， 四边形是正方形． 知识点04：正方形的周长与面积 1.周长：若边长为，则。 2.面积： （1）（边长平方）； （2）（为对角线长，且）。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·河北邢台·月考）下列各图是以直角三角形的三边为边，在三角形的外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方形中的数字计算正方形的边长，再由勾股定理计算求解即可 【详解】解：A选项，其中两个正方形的边长为与， 由勾股定理可得另一条直角边为， 则，不满足题意； B选项，其中两个正方形的边长为与， 由勾股定理可得斜边为， 则，不满足题意； C选项，其中两个正方形的边长为与， 由勾股定理可得斜边为， 则，满足题意； D选项，其中两个正方形的边长为与， 由勾股定理可得另一条直角边为， 则，不满足题意． 知识点05：正方形与矩形、菱形、平行四边形的关系 1.正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形，更是特殊的平行四边形。 2.包含关系：平行四边形⊃矩形⊃正方形；平行四边形⊃菱形⊃正方形。 【即学即练】 1．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）在学习了“中心对称图形—平行四边形”之后，平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系可以用下面的关系图表示，则②处所填图形的名称应为（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】D 【分析】本题考查四边形与特殊平行四边形之间的关系，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义与性质解答是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，④是平行四边形，①是矩形，③是菱形，②是正方形． 故选：D． 题型01利用正方形性质求角度 方法技巧：利用内角、对角线平分角得，结合三角形内角和与外角求解。 【典例1】. （2026·辽宁沈阳·一模）如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，交对角线于点F，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得，，再求出，根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：在正方形中，，， ， ． 【变式1】. （25-26八年级下·山东日照·月考）如图，正方形中，，直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意易得，然后根据等腰三角形的性质可得，进而根据三角形内角和及角的和差关系可进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，且， ∴， ∴， ∴． 【变式2】. （25-26八年级下·山东潍坊·月考）如图，为正方形的对角线，延长到点，使，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由正方形的性质可知，，，，再结合平行的性质和等边对等角，得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接， 正方形， ，，， ， ， ， ， ， ． 【变式3】. （2026·安徽芜湖·一模）两个正方形按如图所示位置摆放，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质和同角的余角相等进行解答即可． 【详解】解：如图， 由题意可得，， ∴， ∴， ∴ 题型02利用正方形性质求线段长 方法技巧：用四边相等、对角线相等垂直平分，结合勾股定理与等腰直角三角形计算。 【典例2】. （25-26八年级下·北京房山·期中）如图，在正方形中，对角线交于点，若，则正方形的周长为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】设正方形边长为，利用勾股定理解出即可． 【详解】解：设正方形边长为， ，即， 解得（负值已舍去）， 故正方形的周长为． 【变式1】. （25-26八年级下·福建福州·期中）如图，正方形的边长为9，E是的中点，垂直平分且分别交，于点F，G，则的长为______________． 【答案】 【分析】连接、，设，则，根据垂直平分线的性质得到，在和中，利用勾股定理求出和的表达式，列方程求解即可． 【详解】解：连接、， 四边形是正方形， 、， 是的中点， ， 设，则， 垂直平分， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ． 【变式2】. （25-26八年级下·山东聊城·月考）如图，直线过正方形的顶点，点，到直线的距离，分别是，，则线段的长为___． 【答案】3 【分析】根据正方形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可得解． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， 到直线的距离，分别是，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3】. （25-26八年级下·贵州铜仁·月考）如图，正方形的顶点与正方形的边均在直线上，于点，若，正方形的面积为，则正方形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的面积求出边长，利用正方形的性质证明，从而得到，在中利用勾股定理求出，即可求得正方形的周长． 【详解】解：∵正方形的面积为， ， ∴， ∵四边形和四边形均为正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ∴正方形的周长为． 题型03正方形周长与面积计算 方法技巧：直接用或，已知对角线先求边长。 【典例3】. （25-26八年级下·北京·月考）如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积和为（    ） A．313 B．225 C．169 D．144 【答案】B 【分析】利用勾股定理，结合正方形面积公式求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴． ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形和正方形的面积和为． 【变式1】. （25-26八年级下·陕西安康·月考）如图，在以正方形的边为斜边的中，，，，则正方形的面积为______． 【答案】5 【分析】本题主要考查勾股定理，利用勾股定理依次求得即可得出结果． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴正方形的面积为5． 【变式2】. （25-26八年级下·青海西宁·月考）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】通过两个小正方形的面积，分别求出正方形的边长，则可求最大的正方形的边长，再用大正方形面积减去两个小正方形面积求解即可． 【详解】解：∵小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为， ∵大一点的正方形的面积为， ∴大一点的正方形的边长为， 则最外边的大正方形的边长为， ∴， ∴， 则留下的阴影部分的面积为 ． 【变式3】. （25-26八年级下·北京·课后作业）正方形一条对角线长为，则周长为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】利用正方形四角为直角的性质，结合勾股定理求出边长，再计算周长即可得到结果． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵正方形的四个内角都是直角，对角线长为， ∴根据勾股定理得， 整理得， ∵边长为正数， ∴， ∴正方形的周长为． 题型04补充条件判定正方形 方法技巧：先判矩形/菱形，再补邻边相等/直角/对角线垂直/相等条件。 【典例4】. （25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，在中，．添加一个条件，能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、正方形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关知识点逐项判断即可． 【详解】解：由题意知，平分， 又∵， ∴四边形是菱形； A：四边形是菱形，则必有，无法判定四边形是正方形，故该选项不合题意； B：四边形是菱形，当时，四边形是正方形，故该选项符合题意； C：四边形是菱形，则必有，无法判定四边形是正方形，故该选项不合题意； D：四边形是菱形，则必有，无法判定四边形是正方形，故该选项不合题意． 故选：B ． 【变式1】. （2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 根据正方形的判定逐个判定即可得到答案． 【详解】解：选项A、时不能判定矩形是正方形，故A不符合题意， 选项B、时，矩形是正方形，故B符合题意， 选项C、时不能判定矩形是正方形，故C不符合题意， 选项D、时不能判定矩形是正方形，故D不符合题意， 故选：B． 【变式2】. （2026八年级下·全国·专题练习）有下列四个条件：①，②，③，④，使为正方形（如图）．现有下列四种选法，其中错误的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．①③ 【答案】A 【分析】本题考查正方形的判定、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．先根据给定条件判断平行四边形是否为矩形或菱形，再结合正方形的判定定理(对角线互相垂直的矩形是正方形、邻边相等的矩形是正方形、对角线相等的菱形是正方形)逐一分析不同条件组合能否判定为正方形，最终得出②③组合不能判定为正方形，其余符合条件的组合可以判定的结论． 【详解】解：A、②平行四边形有一个角是直角，说明是矩形； ③矩形的对角线本来就相等，不能进一步判定为正方形； 所以②③组合不能判定为正方形，故此选项错误，符合题意； B、②平行四边形有一个角是直角，说明是矩形； ④矩形的对角线互相垂直说明是正方形(对角线垂直的矩形是正方形)； 所以②④组合可以判定为正方形，故此选项正确，不符合题意； C、①平行四边形一组邻边相等，说明是菱形； ②平行四边形有一个角是直角，说明是矩形； 所以①②组合可以判定为正方形，故此选项正确，不符合题意； D、①平行四边形一组邻边相等，说明是菱形； ③矩形的对角线本来就相等，不能进一步判定为正方形； 所以①③组合可以判定为正方形，故此选项正确，不符合题意； 根据正方形的判断方法可知：满足条件①②或①③或②④或③④时，四边形是正方形． 故选：A． 【变式3】. （25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作，与的延长线相交于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)填空：①当满足条件时，四边形是 形； ②当满足条件 时，四边形是正方形． 【答案】(1)证明见解析 (2)①菱；②， 【分析】（1）由，得到两对内错角相等，再由为中点，得到，利用得到与全等，利用全等三角形对应边相等得到，再由，等量代换得到，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证； （2）①由为中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到由邻边相等的平行四边形为菱形，即可得证； ②添加条件为，，由，根据①得到四边形为菱形，再由，利用等腰三角形的三线合一得到，根据有一个角是直角的菱形为正方形即可得证． 【详解】（1）证明：∵是的中点，是的中点， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：①当满足条件时，四边形是菱形， 理由如下： 由（1）可知四边形为平行四边形； ∵是的中点， ∴ ∴平行四边形为菱形； ②当满足条件，时，四边形是正方形， 理由如下： 由①知当满足条件时，四边形是菱形， ∵，为中点， ∴为边上的中线， ∴，即， ∵四边形是菱形，， ∴四边形为正方形． 题型05证明四边形是正方形 方法技巧：先证平行四边形→矩形/菱形→再加一个条件证正方形。 【典例5】. （2026·山东青岛·一模）如图，在中，，点M为的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． (1)求证：； (2)当时，四边形是________形，请证明． 【答案】(1)见解析 (2)正方，见解析 【分析】（1）平行四边形的性质，得到证明，得到，根据，等量代换，即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，进而得到四边形是菱形，再根据，即可得到四边形是正方形. 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴， ∴； （2）解：当时，四边形是正方形． 证明：由（1）知，， 又， 四边形是平行四边形， ∵ ∴是直角三角形， 由（1）可知，， ， 四边形是菱形， ∵， ， ， ∴菱形是正方形． 【变式1】. （2026·江苏盐城·一模）如图，在中，，点是边的延长线上的一点．连接，过点作于点，交于点G，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)当点F是的中点，且时，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得平行四边形为菱形，再根据，，可以证明，从而得出，由此即可得出结论； （2）连接、，根据于点，点为的中点得为线段的垂直平分线，则，再根据正方形对角线相等和菱形面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，， 平行四边形为菱形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 菱形为正方形． （2）解：连接、，如图所示：   于点，点为的中点， 为线段的垂直平分线， ， 四边形为正方形， ∴， 正方形的面积． 【变式2】. （2026·辽宁抚顺·一模）如图，在等腰直角三角形中， ，，D是的中点，过点D 作于点E，于点F，连接． (1)求证：四边形为正方形． (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的判定定理判断四边形是矩形；再结合等腰直角三角形中是中点，利用等腰直角三角形的性质推导，进而根据正方形的判定定理证明该四边形为正方形． （2）因为四边形是正方形，所以与正方形的边长有关；先根据和等腰直角三角形的性质、中点的性质求出正方形的边长，再利用正方形的对角线公式计算的长度． 【详解】（1）证明：∵ ，，， ∴ ， ∴四边形是矩形． 连接，如图， ∵等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为正方形． （2）解：∵ ，∴ ， 由（1）可知是中点、是中点， ∴ ，． 在中，，由勾股定理得． 【变式3】. （25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在中，，点为其内一点，且，分别平分．若于点，于点，则四边形是正方形吗请说明理由． 【答案】四边形为正方形,理由见解析 【分析】此题考查了正方形的判定，以及角平分线定理；过作垂直于点，由三个角为直角的四边形为矩形得到四边形为矩形，由为角平分线，利用角平分线定理得到，同理得到，等量代换得到，利用邻边相等的矩形为正方形即可得证． 【详解】解：：四边形是正方形，理由如下： 过作，交于点，    ， 四边形为矩形， 平分，，， ； 平分，，， ， ， 四边形为正方形． 题型06正方形中的折叠问题 方法技巧：折叠前后边、角相等，设未知数用勾股定理列方程求解。 【典例6】. （25-26九年级下·重庆·月考）如图，正方形的边长为5，点E在边上，且，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，延长交于点F，连接，作和的平分线相交于点G，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由折叠的性质可知， ， ∴， 在正方形中，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，，， ∴， 解得：，即， ∵和的平分线相交于点G， ∴点G到的距离相等， 设点G到的距离为h， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴△的面积为． 【变式1】. （25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为a，与y轴相交于G， ∵正方形的边在x轴上， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 【变式2】. （25-26八年级上·辽宁铁岭·月考）如图，正方形纸片的边长为，点是边的中点，将这个正方形纸片翻折，使点落到点处，折痕交边于点，交边于点，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，图形的翻折变换以及勾股定理．熟练掌握正方形的性质，图形的翻折变换以及勾股定理是解题的关键． 通过设未知数，利用勾股定理建立方程来求解的长即可． 【详解】解：由题意得，， 点是边的中点，且， ． 设，则， 在中，由勾股定理得，， 即，解得， ， 的面积为． 故答案为． 【变式3】. （25-26八年级上·四川成都·期中）已知：如图，在边长的正方形中，点在边上， ，将沿折叠至，延长交于点，连接． (1)求的度数； (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据正方形的折叠证明，则得到，而折叠得到，再由即可求解； （2）由，可设，则，，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由折叠得,， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴在和中， ， ， ， 又 ， ， ． （2）解：∵， 设， , ， 在中， ， ∴． 题型07正方形与坐标系结合 方法技巧：用坐标表示顶点，利用四边相等、对角线垂直求坐标与边长。 【典例7】. （24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，坐标系中四边形是正方形，若点坐标为，点坐标为，则点坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，坐标与图形．过点作轴，垂足为，过点作，证明，得到，，计算的长即可． 【详解】解：如图，过点作轴，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点， 故答案为：． 【变式1】. （25-26七年级下·黑龙江·月考）在平面直角坐标系中，正方形的三个顶点坐标分别为，，，则顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知三个顶点的坐标特征，利用正方形邻边垂直且边长相等的性质，即可确定第四个顶点D的坐标． 【详解】解：已知正方形中，，，， 和的纵坐标相同， 轴，且， 和的横坐标相同， 轴，且， ，，符合正方形邻边的性质， 四边形是正方形， ，， 点的横坐标与点横坐标相同，点的纵坐标与点纵坐标相同， 点坐标为． 【变式2】. （25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为3，顶点A的坐标是，轴，点B、C在第一象限，则顶点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，写出坐标系中点的坐标，根据正方形的性质得到，从而得到点B的横坐标为，纵坐标为1，进而得出点C的横坐标为2，纵坐标为． 【详解】解：正方形的边长为3，顶点A的坐标是，轴，点B、C在第一象限， ，点B的横坐标为，纵坐标为1， 点C的横坐标为2，纵坐标为， ， 故选：C． 【变式3】. （25-26八年级下·全国·课后作业）某天放学，三名同学准备从学校回家．如图，点为学校所在的位置，三名同学的家在平面直角坐标系中的位置如图所示，正方形的顶点，的坐标分别是，，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可知点A、C关于x轴对称，在的垂直平分线上，即A、C的横坐标和中点横坐标相等，根据正方形对角线求C的纵坐标． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴点A、C关于x轴对称， ∴所在直线为的垂直平分线， 即A、C的横坐标均为1， ∵， ∴A点纵坐标为1，C点纵坐标为， 故C点坐标． 题型08正方形中的旋转问题 方法技巧：旋转得全等三角形，转化线段与角度关系。 【典例8】. （24-25八年级下·浙江宁波·期中）共顶点的正方形绕着正方形旋转，其中，．在旋转一周的过程中，当、、三点恰好在同一条直线上时，此时________． 【答案】7或17 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三线合一定理，直角三角形的性质，由正方形的性质可得，则由勾股定理可得；再分点E在上方和点E在下方，两种情况画出示意图，讨论求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴； 如图所示，当点E在上方时，过点A作于T， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点E在下方时，过点A作于T， 同理可得， ∴； 综上所述，的长为7或17； 故答案为：7或17． 【变式1】. （24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·月考）问题背景：已知共一个顶点的正方形和正方形，连接，取的中点P，连接，．探究，的数量关系与位置关系． 实践操作：如图①，小明旋转正方形，使正方形的顶点G落在正方形的边的延长线上．通过延长交于点Q，证． 是________三角形，和和数量关系是________，和和位置关系是________． 问题探究：如图②，小亮旋转正方形，使正方形的顶点E落在正方形的边的延长线上，此时线段，还有图①中的关系吗？请证明你的猜想． 拓展延伸：如图③，小红将正方形绕点旋转任意角度后，其他条件不变．线段，还有图①中的关系吗？请证明你的猜想． 【答案】（1）等腰直角；；；（2）成立；证明见解析；（3）有，证明见解析 【分析】（1）证明，得出，，证明为等腰直角三角形，根据，得出，； （2）延长交于点Q，连接，，证明，得出，，证明，得出，．根据等腰直角三角形的性质得出，； （3）延长至点Q，使，连接并延长交的延长线于点H，证明，得出，证明，得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，． 【详解】解：（1）延长交于点Q， ∵四边形，为正方形， ∴，，，，， ∵顶点G落在正方形的边的延长线上， ∴， ∴，， ∵P为线段的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，； （2）延长交于点Q，连接，，如图所示： ∵P是的中点， ∴， ∵正方形中，，， ∴，， ∵在和中， ∴， ∴，， ∴， ∵正方形中，，，， ∴， ∵在和中 ∴， ∴，． ∴． ∵， ∴，； （3）延长至点Q，使，连接并延长交的延长线于点H，如图所示： ∵P是的中点， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∵在正方形中，，，， ∴，， ∵在正方形中，，，四边形中，，， ∴，， ∵在和中， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 【变式2】. （24-25九年级上·江西九江·期中）【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①，②，理由见解析；（2），证明见解析；（3）或． 【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质即可得到，从而可得；②由①的结论及勾股定理即可得到三线段间的数量关系； （2）由矩形的性质可证明，则有；再由矩形的性质及线段垂直平分线的性质可得；在中，由勾股定理及等量代换可得 ； （3）分两种情况：点E在边上；点E在延长线上；由（2）的结论及勾股定理即可解决． 【详解】（1）解：①∵四边形、四边形均为正方形， ∴，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ②在中，， 而，， ∴； （2）解：三线段间的数量关系为：； 证明如下： ∵四边形、四边形均为矩形，矩形的中心为O， ∴，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∴； （3）解：①当点E在边上时； 由（2）的结论知：； 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； ②当点E在延长线上时，如图； 把补成矩形，延长交延长线于点P，连接， 与（2）证法相同，同样有， 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形的综合，考查了矩形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，旋转的性质等知识，证明三角形全等是问题的关键． 【变式3】. （25-26八年级下·江苏盐城·月考）阅读理解，并完成下列各题： 【教材回顾】 (1)苏科版教材八下第九章《平行四边形》习题中有这样的问题：如图1，的顶点O在正方形两条对角线的交点处，，将绕点O旋转，的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合），问：在旋转过程中，与有怎样的数量关系？并说明理由； 【类比探究】 (2)如图2，若将（1）中的“正方形”改为“的菱形”，其他条件不变，当时．证明． 【拓展应用】 (3)如图3，学校内有一块四边形的花圃，满足，，，花圃内铺设了一条小路，平分，为方便学生赏花，现计划修建一条径直的通道与小路相连，且，入口点E恰好在的延长线上．直接写出入口到点A的距离的长 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)600 【分析】（1）由正方形的性质易证明，由此得； （2）取中点H，连接，由菱形的性质易证明，由此得； （3）延长到点H，使，易证，得，从而求得，再由含30度角直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：如图， ； 在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，取中点H，连接， 在菱形中，，即， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：600 如图，延长到点H，使， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】构造辅助线证明三角形全等是关键． 一、单选题 1．在复习特殊四边形的关系时，小明同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（   ） A．①填 B．②填 C．③填 D．④填 【答案】A 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、添加，无法使平行四边形变为菱形，故符合题意； B、添加，可以使菱形变为正方形，故不符合题意； C、添加，可以使平行四边形变为矩形，故不符合题意； D、添加，可以使矩形变为正方形，故不符合题意． 2．如图，在正方形中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点G，连接，若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】连接，交于H点，如图，利用基本作图得到垂直平分，先根据正方形的性质得到，所以，然后根据线段垂直平分线的性质得到． 【详解】解：连接，交于H点，如图，根据作法得垂直平分， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴． 3．如图所示，在正方形中，点、分别在上，且，连接相交于点，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质及全等三角形的判定和性质逐一判断即可. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，A选项正确； ∵， ∴， ∴，B选项正确； ∵ ∴即：， ∴，C选项正确； ∵，， ∴D选项不正确． 4．如图，在正方形中，点E为上一点，连接，是由旋转得到的，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得，从而得到，，，进而判断出为等腰直角三角形，求出，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ， 是由旋转得到的， ， ，，， 点在上， ， 是等腰直角三角形， ， ． 二、填空题 5．如图，正方形的面积为15，的斜边的长为8，则的长为_____． 【答案】7 【分析】根据题意得出，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴，， 在中，． 6．如图，正方形的边长分别为，和．则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】先设三个正方形的边长，再根据图形关系用“大长方形面积减去两个白色正方形面积”表示阴影部分面积，代入边长的具体数值后，通过整式运算与根式化简，最终算出阴影面积为． 【详解】解：设正方形的边长分别为，， ， 观察图形可得：阴影部分面积右侧大长方形面积减去两个白色正方形的面积， 右侧大矩形的高等于正方形的边长，宽等于， ∴阴影面积公式为： ． 7．如图，已知正方形的对角线，相交于点，顶点，，的坐标分别为，，，规定“把正方形先沿轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过次变换后，点的坐标变为___________． 【答案】 【分析】先根据中点坐标公式求出点的初始坐标为，再根据关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，结合点坐标平移的特点找到点经过变换后点的坐标规律，即可得到答案． 【详解】解：∵正方形的顶点，，的坐标分别为，，， ∴正方形的对角线的交点的坐标为， 把正方形先沿轴翻折，再向右平移个单位为一次变换， 则第一次变换后点的坐标为，即， 第二次变换后点的坐标为，即， 第三次变换后点的坐标为，即， …， 第次变换后，当为奇数时，点的坐标为：；当为偶数时点的坐标为：， ∴连续经过第次变换后，点的坐标为：，即． 8．如图，正方形的面积为16，点、分别是边、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值是______． 【答案】 【分析】连接，由三角形的中位线性质可知，，所以要使最大，只要达到最大即可，当与重合时，达到最大，这样即可求解本题． 【详解】解：如图，连接，， 正方形的面积为， ， ， 点为的中点，点为的中点， ， 当有最大值时，有最大值， 点是边上的动点， 当点与点重合时，有最大值为， 的最大值为． 三、解答题 9．如图，在正方形中，点是边上一点，点在边延长线上，且，连接，过点作交于，交于，若，，求长． 【答案】 【分析】连接，首先结合正方形性质可证得，推出为等腰直角三角形，结合，推出为等腰直角三角形，，再证明，设，得，，然后在中，根据勾股定理求出正方形的边长，最后在中，根据勾股定理求出长，即可求出长． 【详解】解：连接、、， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵设， 又∵，， ∴，， ∵在中，， ∴根据勾股定理，，即， 解得：， ∴，，， ∵在中，， ∴根据勾股定理，，即， 解得：， ∴． 10．如图，四边形是正方形，点E在边上，于点M，于点N．求证：． 【答案】见解析 【分析】由正方形的性质可得，根据垂线的定义得到，再利用直角三角形的性质易证，从而证明，即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 11．如图①，在正方形中，是上一点，点在的延长线上，且，交于点，连接． (1)【问题提出】求证：； (2)【拓展探索】请求出的度数； (3)【问题解决】如图②，把正方形改为菱形，其他条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可得到结论； （2）证明；可得，从而可得结论； （3）在菱形中，，证明，证明，，证明是等边三角形，再结合等边三角形的性质可得结论. 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ∴，， 在与中， ， ∴； ∴，而， ； （2）解：由（1）可得， ， ， ， ， ， ； ， ； （3）解：，理由如下： 在菱形中，， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ∵， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 12．在正方形中，点，是边上的三等分点，点关于的对称点为点，的延长线交于点，连接，，，． (1)求证：； (2)求的大小； (3)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设与的交点为，根据对称的性质可知 ，再结合三等分点的定义可得是的中位线，由中位线的性质即可得证； （2）过点作交的延长线于点，根据正方形的性质结合对称的性质证明，得到，，进而证明，得到，即可得解； （3）过点作于点，通过等边对等角结合四边形的内角和证明，从而得到，即可得到，证明，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：如图，设与的交点为， 点关于的对称点为点， ， 点，是边上的三等分点， ， 是的中位线， ； （2）解：如图，过点作交的延长线于点， 点关于的对称点为点， 是的垂直平分线， ， ， 在正方形中，，， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ，，， ， ， 是等腰直角三角形， ； （3）证明：如图，过点作于点， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， ，，， ， ， ． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $