广东深圳市光明区光明中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

**基本信息** 2025-2026高二下学期数学期中试卷，涵盖数列、导数、排列组合等核心内容，解答题设计梯度分明，如二阶等差数列新定义（第18题）与函数零点证明（第19题），融合数学抽象与逻辑推理，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|数列前n项和、排列组合、导数几何意义|基础概念与运算能力结合，如第3题位移与速度关系| |多选题|3/18|等比数列性质、组合数公式、函数极值|考查思辨能力，如第9题等比数列前n项和性质判断| |填空题|3/15|二项式系数、函数单调性、数列新定义|突出知识迁移，如第14题插入项数列求和| |解答题|5/77|函数单调区间与最值、数列通项与求和、排列组合应用、二阶等差数列、函数零点|综合性强，如第18题新定义数列证明，第19题零点存在性论证，体现数学建模与创新意识|

《高二下学期期中考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 6 8 9 10 答案 C 0 B A D C ACD AB 题号 11 答案 BCD 1.C 【分析】根据S6-S3即可求解. 【详解】由Sn=n2-2n可得S6-S3=(62-2×6)-(32-2×3)=21, 故选：C 2.D 【分析】先安排首字符，再安排后面的两个字符，再利用分步计数乘法原理求解。 【详解】先安排首字符有A2=2种，再安排后面的两个字符有3×3=9种， 所以由分步计数原理得，不同的编号共有2×9=18种， 故选：D 3.B 【分析】根据导数的几何意义，对l(t)=2t2+三t求导，再将t=5代入求解即可. 【详解】因为(e)=2t2+,所以()=4t+ 故1（⑤）=4×5+2=21.5m/s, 所以该运动员的滑雪速度为21.5m/s. 故选：B 4.A 【分析】根据展开式通项写出第7项即可， 【详解】由题意可得二项式展开式的通项为：T,+1=C·(5a)7-r(-b)'=(-1)”·(5a)7-r· Cb", 将r=6代入上式，可得：(-1)6.(5a)7-6.C9b6=35ab6, 所以(5a-b)7的展开式的第7项为35ab6. 故选：A. 5.A 【分析】利用等比数列的通项公式可得q+。号结合条件即求 答案第1页，共9页 【详解】设等比数列{an}的公比为q,则 由ag=1,a2+a4=号得 q+日号解得9=或q=3, 又{an}单调递减， 故q=号a1=器=9 故选：A 6.A 【分析】根据函数的奇偶性排除BD,利用导数求出函数的单调区间，再根据函数的单调性 即可得解 【详解】函数的定义域为R, 因为f(-x)=eW-x2-1=f(x), 所以函数f(x)为偶函数，故排除BD: 当x≥0时，f(x)=ex-x2-1,则f(x)=ex-2x, 令g(x)=f(x)=ex-2x,x≥0，则g'(x)=ex-2, 当0<x<ln2时，g'(x)<0,当x>n2时，g(x)>0, 所以函数g(x)在(0，ln2)上单调递减，在(In2,+o)上单调递增， 所以g(x)≥gIn2)=2-2n2>0,即f'(x)>0, 所以函数f(x)在(0，+o)上单调递增，故排除C 故选：A 7.D 【分析】先涂区域1，再涂区域2，然后涂区域3，分区域4与区域2同色、区域4与区域 2不同色两种情况讨论，按照分步乘法计数原理计算可得。 【详解】先涂区域1有5种选择，再涂区域2有4种选择，然后涂区域3有3种选择， 若区域4与区域2同色，此时区域5有3种选择， 若区域4与区域2不同色，则区域4有2种选择，区域5有2种选择， 故有5×4×3×(1×3+2×2)=420种涂色方法. 故选：D 8.C 【分析】设出切点坐标并对函数求导，求得在切点处的切线方程并代入点P(0,一1)坐标解方 答案第2页，共9页 程即可。 【详解】易知函数y=lnx的定义域为(0，+oo), 设切点坐标为(xo,l血xo),x0>0,则可得y'=m)'= 此时切线斜率为上，因此切线方程为y-lnxo=二(x-xo), 代入点P(0,-1)可得-1-lnx。=二(0-xo),即lnx0=0, 解得xo=1,即切点坐标为(1,0). 故选：C 9.ACD 【分析】根据等比数列的性质可得公比，进而可得通项公式与S,再逐个选项判断即可. 【详解】设a,}公比为g.(9>0),则a2gQ293=示解得q=子故an=a29-2=, 1交=2-2 则a1=1,5n=1月 1 对A,a4=京=日故A正确： 对B,S,=2-京=子故B错误： 对C,a+Sn=点+2-点=2为常数，故C正确： 对D,Sn-2=- 高品=京n之2故，-2为特比数列，放D正确： 1 故选：ACD 10.AB 【分析】根据排列数和组合数的运算分别计算，即可得到答案 【详解】A品==m(0m-10m-2), A选项，A·C=[m(m-1)(m-2)…1]×mm6m-2,与A3不相等： 3×2X1 B选项，21=0号=0m-10m-20m-3).A21-0=0m-100m-2), 21 所以A3-1+2A品-1=(m-1)(m-2)(m-3)+2(m-1)(m-2)=(m-1)2(m-2), 与A不相等： C选项，背-A: m! D选项，=A品 答案第3页，共9页 故选：AB. 11.BCD 【分析】利用导函数可得f似)=雲，进而可求函数的极值，可判断ABC,利用对数函数 的性质可判断D 【详解】：函数f)=,x>0, “f= 由f'=1->0,得xe0,e),由f<0,得x∈(e,+m), x2 .函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+o)上单调递减， ∴.e是函数f()的极大值点，函数f(x)在x=e上取得极大值，f(e)=二，且为f(函数的最 大值，故A错误，BC正确： 又因为f(1)=0,且当0<x<1时，fx)=<0,当x>1时，f()=>0,故D正 确。 故选：BCD 12.-2 【分析】应用赋值法求得a0=1、a+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1,即可求值. 【详解】令x=0,则a0=(1-2×0)7=1, 令x=1,则a+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=(1-2×1)7=-1, 所以a1+a2+ag+a4+as5+a6+a7=-2. 故答案为：一2 13.「-3,3 【分析】根据函数单调性与导数的关系，得y'=3x2+2ax+1≥0在R上恒成立，由此求 解即可 【详解】，函数y=x3+ax2+x,.y'=3x2+2ax+1, ,函数y=x3+ax2+x在R上是增函数， ∴.y'=3x2+2ax+1≥0在R上恒成立， .△=4a2-12≤0，解得-V5≤a≤V3, ∴，实数a的取值范围是[-V3,V3. 故答案为：【-V3,V同. 答案第4页，共9页 14. 23989 【分析】将数列{b)各项排成三角数阵，确定b2o26的位置，可得出b2o26的值，确定数列{bn} 的前2026项中，项的值为1、2的项数，即可求得S2026的值 【详解】由题意，将数列b}各项按如下数阵排列： 12 122 1222 12222 其中第n(n∈N)行有n+1项，则该数阵中第n行最后一项对应数列{bn}中的对应的第 2+3+4+…+(n+1)=+3)项， 因为62x65=2015<2026<63×66=2079,且2026=2015+11， 2 2 所以，b2026位于数阵的第63行第11项，故b2026=2, 数列{b}的前2026项中，项的值为1的共63项，项的值为2的项共2026-63=1963项， 因此，S2026=1×63+2×1963=3989. 故答案为：2；3989. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列求和与求某项的问题，解题的关键就是确定各项的位置， 以及数列{b}中各项的值，对于这种有规律性的数列问题，可以将其转化为三角数阵，确定 相应项的位置即可， 15.(1)f(x)的单调递增区间为(-∞，-2)和(2，+∞)，单调递减区间为(-2,2). (2)最大值为16，最小值为-16. 【分析】(1)利用导数求解函数的单调区间即可. (2)利用导数求解函数在闭区间上的最值即可. 【详解】(1)f(x)=3x2-12(x∈R), 令f(x)=0.则x1=2,x2=-2, 则当x<-2和x>2时f(x)>0,f(x)单调递增， 当-2<x<2时f(x)<0,f(x)单调递减， 所以f(x)的单调递增区间为(-∞，一2)和(2，+∞)，单调递减区间为(-2,2). (2)由(1)知当x=-2时，f(x)取极大值为f(-2)=16,当x=2时，f(x)取极小值为-16， f(-3)=9,f(4)=16,则f(x)在[-3,4上最大值为16，最小值为-16. 16.(1)an=3n-1 答案第5页，共9页 (2)Tn=1+2m-1)3” 4 4 【分析】(1)根据给定条件，利用a=S-S-1(m≥2)，结合等比数列定义求出通项公式. (2)由(1)的结论求出b,再利用错位相减法求和即得 【详解】(1)n≥2时，2an=2Sn-2Sn-1=3an-1-(3an-1-1),整理得an=3an-1 而a1=1, 因此数列{a是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以数列{a}的通项公式为am=3n-1 (2)由(1)知，bn=an·loga+1=3m-1,log33m=n3m-1, 则Tn=1×30+2×31+3×32+…+n·3m-1, 于是3Tn=1×31+2×32+…+(m-1)·3m-1+n·3", 两式相减得-27m=30+31+32+…+3-1-n·3=13” -n3m-+4-203 2 所以7.=+②3 4 17.(1)1200 (2)3600 (3)3456 【分析】(1)采用分步计数原理，特殊元素先排计算出结果即可： (2)采用分步计数原理，特殊元素先排，再用插空法即可： (3)先分三类，一种为1个歌唱节目，2个舞蹈节目；另外一种为2个歌唱节目，1个舞蹈 节目：最后一种为歌唱节目，舞蹈节目、相声节目各1个；再分步计算，最后求和即可。 【详解】(1)按特殊位置或特殊元素优先安排的原则分3步： 先排第1个节日，有C种安排方法， 再排最后一个节目，可以从余下的5个非相声节目中选一个排在最后，有C种排法， 最后余下的节目随便排，有A种排法， 由分步计数原理得共有C2c5A=1200种排法. (2)先排非舞蹈节目，有A种排法， 将2个舞蹈节目插到6个空中，有A种排法， 故AA=3600种排法 (3)前3个节目共三种情况： 一种为1个歌唱节目，2个舞蹈节目，有C4C2AA4=576种排法， 答案第6页，共9页 另外一种为2个歌唱节目，1个舞蹈节目，有CCAA4=1728种排法， 最后一种为歌唱节目，舞蹈节目、相声节目各1个，有C4C2CA3A4=1152种排法， 故共有576+1728+1152=3456种排法， 18.(1)1,4,9,16;an=n2,n∈N*: (②)()不是，证明见解析：(i)(-,) 【分析】(1)由二阶等差数列{a}的定义，计算可得数列{an}的前4项，由数列恒等式和等 差数列的求和公式，可得an: (2)(i)由数列的递推式推得a+1-2=3(a-2),由等比数列的通项公式求得a,bn,cn, 由二阶等差数列的定义，可得结论：()由等比数列的求和公式可得S,由数列的单调性和 不等式恒成立思想，可得所求取值范围. 【详解】(1)若a1=1,b1=3,cn=2, 则a2-a1=a2-1=3,即a2=4, 由cn=bn+1-bn=2,可得bn=3+2(n-1)=2n+1, 则a3-a2=b2=5,可得a3=9,a4-a3=b3=7,解得a4=16, 由an+1-an=2n+1, 可得an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-am-1)=1+3+5+.+2n-1= 2n1+2n-1)=n2, 上式对n=1也成立，即有am=n2,n∈N*: (2)(i)若a1=5,且满足bn+1-cn=2an-4,可得bn+1-(bn+1-bn)=bn=a+1-an= 2a.-4, 即an+1=3an-4,即有a+1-2=3(an-2), 可得数列{an-2}是首项和公比均为3的等比数列，即有an-2=3”，,即a=2+3m, 可得bn=a+1-an=2·3”,Cn=bn+1-bn=2·3n+1-2·3”=4·3”,不为非零常数，故 {an}不为二阶等差数列： (i)数列a}的前n项和Sn=2n+3-39=2n+3+1-3), 1-3 不等式1：3m+2Sn-4an<0,即(-1)·3”+4n-11<0,即为1-1<"对neN 恒成立 设d,-d1-d-点-- 3n 3n+1 答案第7页，共9页 当1≤n≤3时，d4<d3<d2<d1,当d≥4时，可得dn+1-dn>0,即有d4<d5<.<dn, 可得数列，中最小项为品：=一品 则A-1<-点即有1<台则实数的取值范围是(-∞，) 19.(1)极小值为f(0)=0,无极大值. (2)(i)(e,+o)(ii)证明见解析 【分析】(1)根据题意，求得f'(x)=(x+1)ex-1,令m(x)=f'(x),求得m(x)=(x+2)e*, 得到f(x)的单调性，进而求得函数f(x)的单调区间，结合极值的概念，即可求解 (2)(i)由题意得g(x)=xex-aln(xe),令t=xe,求得t'>0,得到t=xe*在(0，+o) 单调递增，再令h(t)=t-alnt,得到h(t)在(0，+oo)有2个零点t,t2,且t1=x1e1,t2=x2ex2, 进而得到a>0,求得函数h(t)mim=h(a<0,即可求解： (i)根据题意，转化为证明lnt1+lnt2>2,设t1<t2,得到1<t1<e<a<t2,令经=m, 求得品，=品，=得到lm+lt1=mht,进而转化为lnm>2出，令F)=x m+1 ,x>1,利用导数求得F()单调性，结合F()>F)=0,即可得证 【详解】(1)解：当a=1时，函数f(x)=x(ex-1),可得f'(x)=(x+1)e-1, 令m(x)=fx),则m(x)=(x+2)e', 当x∈(-∞，-2)时，m'x)<0;当x∈(-2，+o),m(x)>0, 所以f(x)在(-∞，-2)单调递减，在(-2，+o)单调递增， 因为x<-1时，x+1<0,ex>0,则f'(x)<0,f(0)=0, 所以当x∈(-o,0)时，f'(x)<0;x∈(0，+∞)，f'(x)>0, 所以f(x)在(-∞，0)单调递减，在(0，+∞)单调递增， 所以f()的极小值为f(0)=0,无极大值. (2)解：(i)由函数g(x)=f(x)-anx=xe-a(x+lnx)=xe-aln(xe),x∈(0，+oo), 令t=xe,t∈(0，+oo),因为t'=(x+1)et>0,所以t=xex在(0，+o)单调递增， 令h(t)=t-alnt,即h(t)在t∈(0，+o)有2个零点t,t2,且t1=x1ex1,t2=x2e2, 因为h()=1-=,所以a≤0时，h()>0,h)在tE(0,+o)单调递增， 此时不存在2个零点，所以a>0, 因为t∈(0，a)时，h'(t)<0;t∈(a,+o∞)时，h'()>0,所以h(t)在(0，)单调递减， 在(a,+o)单调递增，因为t→0时，h(t)→+o;t+oo时，h(t)→+o, 答案第8页，共9页 所以h(t)mim=h(a)=a(1-na)<0,所以a∈(e,+oo). （i)证明：由ea+g-1>g可得x1e4xzea>e3,即证t1>e2,即证nt1+ln,>2, 不妨设t1<t2,因为h(1)=1>0,h(e)=e-a<0, 由(i)知，1<t1<e<a<t2, 令号=m,则m>1且2=m.ln2=lnm+nt: 又因为-alht,=t与-=0，可得a=总a=品即品=品 所以m+lnt,=mlnt1,可得lmm=(m-1)lt,所以1nt,= Intz In(mt1)=Inm+Inti =mlnm m-1 所以t+,>2等价于号+宫>2，即a>2, m-1 即为lnm>2m-), m+1 令F)=x-,x>1,则F)=2=品 (x+1) 6+)>0, 所以F(x)在(1，+∞)单调递增，所以F(x)>F(1)=0, 即lnx-2-D>0,可得nx>2-,所以lm>2m-,即可得证. x+1 x+1 m+1 答案第9页，共9页 2025-2026高二下学期数学期中考试试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列的前项和，则等于（    ） A．15 B．18 C．21 D．24 2．给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符用A，B，后2个字符用a，b，c(允许重复)，则不同编号的书共有（    ） A．8本 B．9本 C．12本 D．18本 3．已知某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为.则当时，该运动员的滑雪速度为（    ） A． B． C． D． 4．的展开式的第7项为（   ） A． B．35 C． D． 5．在单调递减的等比数列中，若，，则（    ） A．9 B．3 C． D． 6．函数的大致图象为（   ） A．   B．   C．   D．   7．现要用种不同颜色对如图所示的五个区域进行涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（    ）     A．180种 B．192种 C．300种 D．420种 8．过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分、部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（    ） A． B． C．为常数 D．为等比数列 10．下列数中，与不相等的是（   ） A． B． C． D． 11．已知函数，则（    ） A．的极值点为 B．的极大值为 C．的最大值为 D．只有1个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上 12．已知， 则__________． 13．函数在上是增函数，则的取值范围是_____________. 14．已知数列各项均为，在其第项和第项之间插入个，得到新数列，记新数列的前项和为，则______，______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最值． 16．（本小题15分） 已知数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 17．（本小题15分） 晚会上共有7个节目，其中有4个不同的歌唱节目，2个不同的舞蹈节目和1个相声节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单. (1)其中舞蹈节目第一个出场，相声节目不能最后一个出场； (2)2个舞蹈节目不相邻； (3)前3个节目中既要有歌唱节目又要有舞蹈节目. 18．（本小题17分） 已知数列，，，，且，，若是一个非零常数列，则称是一阶等差数列；若是一个非零常数列，则称是二阶等差数列. (1)若，，，试写出二阶等差数列的前4项，并求； (2)若，且满足， （i）判断是否为二阶等差数列，并证明你的结论； （ii）记数列的前n项和为，若不等式时于恒成立，求实数的取值范围. 19．（本小题17分） 已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若函数有2个不同的零点． （i）求a的取值范围； （ii）证明：． 试卷第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $