专题09一次函数与方程（组）、不等式复习讲义(复习重点+核心题型+巩固提升)-2025-2026学年人教版数学八年级下学期.

专题09一次函数与方程（组）、不等式复习讲义 高效复习◆重点 1.基础巩固：熟练掌握一次函数的定义、图像与性质，能运用待定系数法精准求解析式； 2.关联突破：理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式（组）的内在联系，掌握“数形结合”核心思想，实现“数”与“形”的灵活转化； 3.应用提升：能运用相关知识解决基础计算题、中档应用题，突破综合题的分类讨论、图像分析难点，规避高频易错点，提升解题准确率与速度。 4.复习核心：抓住“数形结合”思想，理解一次函数图像与方程（组）、不等式的内在联系，实现“数”与“形”的灵活转化，做到会识图、会用图、会建模。 核心题型◆归纳 题型1已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型2由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型3利用图象法解一元一次方程 题型4由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型5根据两条直线的交点求不等式的解集 题型6两直线的交点与二元一次方程组的解 题型7图象法解二元一次方程组 题型8求直线围成的图形面积 题型9提升测试 重点知识◆梳理 知识点01一次函数基础知识回顾 1. 一般地，形如y = kx + b（其中k、b为常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数。当b = 0时，y = kx（k≠0），叫做正比例函数。 正比例函数是特殊的一次函数。 2.一次函数的图像与性质 知识点02一次函数与方程（组） 1.一次函数与一元一次方程 （1）对于一次函数y = kx + b（k≠0）： 解方程kx + b = 0，本质是求一次函数图像与x轴交点的横坐标（x的值） 几何意义：一次函数图像与x轴的交点坐标为（-，0），即方程kx + b = 0的解为x = -； 拓展：解方程kx + b = c（c为常数），本质是求一次函数y = c交点的横坐标。 2.一次函数与二元一次方程组的关系 （1）一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数（两条直线）. 对于二元一次方程组()的解为两直线y=x+；和y=的交点坐标；反过来，两直线y=x+和y=的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解。 （2）三种情况对应图像关系（数形结合）： ①当时，两个函数图像相交，方程组有唯一一组解； ②当= 且≠时，两个函数图像平行(无交点)，方程组无解； ③当且=时，两个函数图像重合，方程组有无数组解。 提示：解二元一次方程组时，可通过画函数图像快速验证解的正确性；反之，已知两个函数交点，可直接写出方程组的解。 知识点03一次函数与一元一次不等式（组）的关联 1.对于一次函数y = kx + b（k≠0），结合图像分析不等式的解： （1）解不等式kx + b > 0：找一次函数图像在x轴上方的部分，对应的x的取值范围； （2）解不等式kx + b < 0：找一次函数图像在x轴下方的部分，对应的x的取值范围； （3）解不等式c < kx + b < d（c、d为常数，c < d）：找一次函数图像在直线y = c与y = d之间的部分，对应的x的取值范围； 2.两个一次函数对应的不等式：若+，=x+则解 >，即找 图像在图像上方的部分对应的x范围；若解则反之。 核心思想：将不“等式的解”转化为“函数图像的位置关系”，避开复杂计算，提升解题效率。 3.总结：（1）从数的角度看：解方程kx + b>0或（kx + b<0）（k≠0）等于一次函数y=kx+b的函数值大于0（或小于0）时，求自变量x的取值范围。 （2）从形的角度看：解不等式kx + b>0或（kx + b<0）（k≠0）等于一次函数y=kx+b位于x轴上方或（下方）的部分对应的x的取值范围。 题型解析◆精准备考 题型1已知直线与坐标轴交点求方程的解 1．已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（    ） 2 3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将所求方程变形，得到其对应一次函数的函数值为，再从表格中找到时对应的的值，即可得到方程的解． 【详解】解：方程可变形为， 从表格可知，当时，， ∴方程的解为． 2．已知一次函数（是常数），与的部分对应值如下表，则关于的方程的解是____________． 0 1 2 0 2 4 6 【答案】 【分析】方程的解为一次函数中时对应的的值，只需从表格中查找对应数据即可求解． 【详解】解：观察表格可知，当时，对应的的值为， 即当时，成立， 因此方程的解是． 3．已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求点、的坐标； (2)当取何值时，函数值满足？ (3)结合图象，求方程的解，并直接写出不等式的解集． 【答案】(1)点； (2)当时， (3)； 【详解】（1）解：令，则，解得， ∴ 点； 令，则， ∴ 点； （2）解：解不等式： 由， 即 解(1)得：； 解(2)得：． ∴ 当时，； （3）解：如图， 由图可知： 方程的解为； 不等式的解集为． 题型2由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 1．如图，点，，点P为y轴上一点，当的和最小时，点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点关于轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接，利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而求得点的坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接，如图所示： 根据轴对称可得：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵， 的坐标为， 设直线的解析式为：， ， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 点的坐标为：． 2．已知一次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义以及一次函数与轴的交点问题，先根据一次函数的定义确定的取值，再验证函数与轴是否有交点即可得到结果. 【详解】解：函数是一次函数， 根据一次函数的定义，一次函数中自变量的最高次数为， 二次项系数， 将代入得函数解析式为， 令，解得，该函数图象与轴有交点，符合题意， 故的取值范围是． 3．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求此一次函数的表达式； (2)求此函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式以及一次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求出函数的解析式； （2）先求解函数与坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式求出面积即可． 【详解】（1）一次函数的图象经过点及点， 把两点的坐标分别代入，得， 解得：， 即一次函数的表达式是； （2）如图， 当时，， ， 即， 因为， 所以， 故此函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是． 题型3利用图象法解一元一次方程 1．已知点在直线上，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，点在直线上则点的坐标满足直线解析式，据此可直接得到方程的解． 【详解】解：∵ 点在直线上． ∴ 将代入，得 ． 又∵ 待求解方程为． ∴ 方程的解为． 2．函数和的图象相交于点，则方程的解为________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象交点与一元一次方程解的关系，方程的解为两个一次函数图象交点的横坐标，结合已知交点坐标即可求解． 【详解】解：∵函数和图象交点的横坐标，就是方程的解． ∴由题意得，方程的解为． 3．综合与实践 【问题】同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． 【探究】 （1）列表： … 0 1 2 … … 3 3 … 表格中_____，_____； （2）在下边的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）观察（2）中所画函数的图象，请写出当为何值时该函数取最小值，最小值是多少？ 【运用】 （4）结合一次函数的学习经验和今天的探究结果解答问题： ①不等式的解集是_____； ②方程的解是_____． 【答案】（1）1，1；（2）见解析；（3）当时函数取最小值，最小值为；（4）①②或 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，掌握画一次函数图像的方法，理解一次函数交点坐标的意义是解题的关键． （1）分别把和代入函数解析式，即可求解； （2）根据表格选取点，点作射线，选取点，点作射线，即可解答； （3）观察（2）中的函数图象，即可求解； （4）①观察（2）中的函数图象，即可求解； ②画出函数和的图象，由两个函数图象的交点坐标即可求解． 【详解】解：（1） ， 故答案为：1；1； （2）如图， （3）根据图像得：当时 函数有最小值，最小值为； （4）①由（1）知：当时，或， 由（2）中图象知：当时，， 故答案为：； ②画出函数和的图象，如图所示：    函数和的图象交点坐标分别为，， 关于的方程的解为：，， 故答案为：，． 题型4由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1．如图，直线经过点，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图象可知，不等式的解集是. 2．在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中画出了一次函数和的图象（如图），两直线相交于点，分别与轴交于点．已知点坐标为，点坐标为，点坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于的不等式的解集是_______； (2)关于的不等式的解集是________； (3)关于的不等式组解集是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）利用与轴交于且递减，得图像在轴上方时，解集为； （）根据两直线交点横坐标为，得交点左侧在下 方，解集为； （）解：由交点且递减，得函数值小于时；解：由与轴交于，递增，得；取两者公共部分，不等式组解集为． 【详解】（1）解：不等式，表示的图像在轴上方， ∵与轴交于，且随增大而减小， ∴图像在轴上方时； （2）解：不等式，表示的图像在图像下方， ∵两直线交点的横坐标为，交点左侧满足在下方， ∴解集为； （3）解：∵：表示函数值小于，交点，递减， ∴解集为； ∵：表示函数值大于，与轴交于，递增， ∴解集为； ∴两个解集的公共部分为，即不等式组的解集． 3．如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点C，与x轴交于点D．动直线轴，与直线，分别交于，． (1)求k，b的值； (2)当时，直接写出t的取值范围； (3)在直线上有一点P，使的面积为6，求P点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）利用待定系数法进行解答即可； （2）联立一次函数解析式求出，根据图象的位置关系进行解答即可； （3）设P点的坐标为．求出的长度，根据面积列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，直线经过点，， 根据题意，得， 解得， （2）解：由（1）可得，的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故． ∵动直线轴，与直线，分别交于，． ∴当时，t的取值范围为； （3）解：设P点的坐标为． 当时，，解得， ∴， ∴ ∵的面积为6， ∴ 即， 解得或 ∴P点的坐标为或． 题型5根据两条直线的交点求不等式的解集 1．如图，已知直线与直线相交于点，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只需要找到直线在直线上方即二者的交点处时自变量的取值范围即可． 【详解】解：由函数图象可知，不等式的解集是． 2．某社区游泳池每周检测水质，主要关注两项指标：游离氯浓度（单位：，保障消毒效果）和尿素浓度（单位：，反映水质卫生）．其中游离氯浓度和尿素浓度随泳池开放天数（单位：天）之间的关系如图所示，当游离氯浓度不低于尿素浓度时，水质符合卫生标准，此时游泳池最多可连续开放_____天（结果取整数）． 【答案】3 【分析】先求出，再根据游离氯浓度不低于尿素浓度时，水质符合卫生标准即可得到答案． 【详解】解：当时，，解得， ∴ ∵当游离氯浓度不低于尿素浓度时，水质符合卫生标准，此时， ∵根据题意，结果取最大整数， ∴游泳池最多可连续开放天． 3．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一次函数图像平移时的k值相等求得k值，再将点代入求解b值即可求解； （2）将代入中，求得，再结合一次函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像由函数的图象平移得到的， ∴． 将点代入，得， ∴一次函数的表达式是； （2）解：对于， 当时，， 把点代入得：， 解得：， 如图， 由题意知，当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，m的取值范围为． 题型6两直线的交点与二元一次方程组的解 1．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程组的解是两条直线的交点的横纵坐标即可得出结果. 【详解】解：由图象可知：关于x，y的方程组即方程组的解为. 2．直线与直线的图象如图所示，则方程组的解为______． 【答案】 【分析】根据两函数图象的交点坐标即为两函数解析式组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：将变形为， 直线与直线的图象交于点， 方程组的解为． 3．在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求的值； (2)求直线与直线的交点坐标； (3)当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围． 【答案】(1) (2)交点坐标为 (3)的最小值为，的取值范围为 【分析】（1）将点代入一次函数解析式即可解决问题； （2）联立两个直线进行求解即可； （3）求得时，，代入求得，求得时，，把代入，求得，然后根据图象即可求得． 【详解】（1）解：将点代入， 得 解得； （2）解：由（1）可知，一次函数解析式为， 联立， 解得， ∴两直线的交点坐标为； （3）解：如图， 当时，， 把代入， 解得， 当时，， 把代入， 解得， 当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值， 的最小值为，的取值范围是． 题型7图象法解二元一次方程组 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：①、随的增大而增大，故选项①正确； ②．由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项②正确； ③．由图象可知：当时，，故选项③错误； ④．由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为；故选项④正确； 故正确的有①②④共三个， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． 2．无论k为何值，一次函数的图像恒过定点_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． 将一次函数解析式化为关于k的一元一次方程，根据方程有无数解解答即可． 【详解】解：函数可化为， ∵无论k为何值，一次函数的图像恒过一定点， ∴， 解得， ∴无论k为何值，一次函数的图像恒过定点． 故答案为：． 3．（1）请在如图的直角坐标系中作出，的图象； （2）利用你所画的图象，直接写出方程组的解． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，考查了函数图象的画法：列表、描点、连线． （1）根据函数图象的画法：描点、连线分别画出两个一次函数的图象． （2）观察图象，两直线的交点坐标即为对应方程组的解． 【详解】解：（1）函数，当时，；当时，； 则函数图象经过点，； 函数，当时，； 则图象经过点，． 作图如下： （2）根据图象可得：两直线交点为， 则方程组的解为． 题型8求直线围成的图形面积 1．已知一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象与x轴的交点坐标是 B．图象经过第一、二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象与两坐标轴围成的三角形面积为2 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质，交点坐标的求解方法和三角形面积公式，逐个判断各选项的说法，即可找出不正确的结论． 【详解】解：对于一次函数，可得，． ∵当时，，解得， ∴图象与轴的交点坐标是，A说法正确，不符合题意． ∵ ，， ∴一次函数图象经过第一、二、三象限，B说法错误，符合题意. ∵ ， ∴ 随的增大而增大，C说法正确，不符合题意． 当时，，即图象与轴交点为，结合与轴交点， ∴图象与两坐标轴围成的三角形面积为 ，D说法正确，不符合题意． 2．已知一次函数和的图象都经过，且与轴分别交于，两点，则的面积为______． 【答案】 24 【分析】先将点的坐标代入两个一次函数解析式，求出的值，再得到两个函数与轴交点的坐标，最后利用三角形面积公式计算面积即可． 【详解】解： 一次函数和的图象都经过点 将代入两个解析式得 ， 解得：， 两个函数解析式分别为， 轴上点的横坐标为，分别令 得， 即 得， 即 都在轴上，因此 点到轴的距离为，即中边上的高为 ． 3．如图，已知一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，经过点，与轴、轴分别交于点． (1)求点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）把代入，可求出，得，把，代入，求出的值，得出相应的解析式，再令，得出的值，可得点的坐标； （2）求出点的坐标，再根据三角形面积公式解答即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：， ∴， 把，代入，得：， 解得， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴； （2）解：对于，当时，，解得：， ∴, ∴． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列关于一次函数的判断，正确的是（   ） A．当时，该函数图象经过一、三、四象限 B．若关于x的方程的解是，则的图象恒过点 C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 D．点，点在该函数的图象上，若，则 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、函数图象的平移规律以及方程的解与函数图象的关系，关键是根据一次函数的性质和相关规律逐一分析每个选项． 【详解】解：对于一次函数，其中． 选项A：当时，函数图象经过第二、三、四象限，而非一、三、四象限，故A错误； 选项B：∵方程的解是， ∴，即． 将代入，得， ∴函数图象恒过点，故B正确； 选项C：函数图象向右平移2个单位后解析式为，∵图象过原点，代入得，解得，而非，故C错误； 选项D：随的增大而减小．若，则，但与的符号由决定，不一定满足，故D错误； 故选：B． 2．一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点代入一次函数解析式中，得到与的关系式，再将所求方程进行变形，求解即可． 【详解】解：观察图象可知，一次函数的图象经过点， ， ， 关于的方程可变形为：， 即， ， ． 3．已知，一次函数与的图象的交点为M，下列选项中错误的是（   ） A．M可能在x轴的正半轴上 B．时，所有可能的M点形成的图形为一条射线 C．时，M不可能在x轴上 D．时，M可能在第四象限 【答案】B 【分析】先联立方程组，得到点，：取，时，满足，此时，据此判断A；根据可以取任意实数，可判断B；当时，，所以的纵坐标恒正，可判断C；取，（满足），此时，在第四象限，可判断D． 【详解】解：联立方程，解得， ， A选项：取，时，满足，那么，，此时M在x轴的正半轴上，A正确； B选项：当时，的横坐标恒为1，纵坐标，由且，可以取任意实数（b任意正，a任意负），所以的轨迹是直线，不是射线，B错误； C选项：当时，，所以的纵坐标恒正，不可能在轴上，C正确； D选项：第四象限要求，，的横坐标，只需，取，（满足），此时，在第四象限，D正确． 4．如图所示，一次函数的图象经过点P，则方程的解是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据一次函数与一元一次方程的联系，以及点P坐标，可直接得出方程的解． 理解一次函数与一元一次方程的联系是解题关键． 【详解】解：由图知，一次函数的图象经过点P， 方程的解是． 5．如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找到直线在直线上方且在轴下方，所对应的的范围即可． 【详解】解：由图象可知，关于x的不等式的解集为． 6．已知一次函数和在同一坐标系中的图象如图所示，那么关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】图象法求不等式的解集即可. 【详解】解：由图象可知，关于x的不等式的解集为. 二、填空题 7．若直线与的交点在第三象限，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先联立两条直线的解析式得到二元一次方程组，求解得到交点坐标，再根据第三象限内点的横，纵坐标均小于列出不等式组，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：联立两条直线解析式得， 解得， ∴直线与直线的交点坐标为， ∵交点在第三象限， ∴， 解第一个不等式，得， 解第二个不等式，得， ∴不等式组的解集为． 8．已知一次函数和的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，那么的面积是 _____________． 【答案】 【分析】首先分别把代入两个函数解析式中，解得，，即得，，然后根据三点坐标求的面积． 【详解】解：把代入和两个函数解析式中， 得：，， ∴，， ∴，， ∴． 9．如图，函数，的图象交于点P，若，则______． 【答案】 【分析】数形结合思想，图象法求解． 【详解】如图，时，对应图象交点，所以； 故答案为： 【点睛】本题考查两个一次图象交点与方程组的联系，图象法求解，理解点坐标与方程（组）的联系是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，则关于x的方程的解为_________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象交点坐标与一元一次方程解的关系求解即可． 【详解】解：∵由函数图象可知：直线：与直线：的交点的横坐标为， ∴关于x的方程的解为． 三、解答题 11．如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的方程的解是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当为何值时，？ (4)直接写出关于的不等式组的解集． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直线与x轴的交点的横坐标即为关于的方程的解，据此可得答案； （2）根据函数图象找到一次函数的函数值小于1时自变量的取值范围即可得到答案； （3）找到一次函数的函数图象在一次函数的图象下方或二者的交点处时自变量的取值范围即可得到答案； （4）根据函数图象分别求出不等式和的解集即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，直线与x轴交于点， ∴关于的方程的解是； （2）解：由函数图象可知，关于的不等式的解集是； （3）解：由函数图象可知，当，； （4）解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为， 关于的不等式的解集为， ∴关于的不等式组的解集为． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与直线：交于点，直线与轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)点在轴上，过点作垂直于轴的直线，分别与直线，交于点，．若，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设直线为，首先求出点坐标，然后将点坐标代入，求得的值，即可获得直线的函数解析式； （2）首先求点的坐标，然后用表示出点和点的坐标，用表示出的长，然后解方程即可． 【详解】（1）解：过点， ， ， ， 设直线为， 直线经过原点，且与直线交于点， ， 直线为； （2）解：将代入，则， ， ， 点在轴上，过点作垂直于轴的直线，分别与直线交于点， 令，解得；令，解得， ，， ， ， ， 或． 13．已知二元一次方程． (1)画出二元一次方程表示的直线； (2)求二元一次方程所表示的直线与x轴、y轴的交点A，B的坐标； (3)若（1）中的图像上有一点，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)、 (3) 【分析】（1）二元一次方程所对应的直线为，根据描点法画出函数图像即可； （2）当时，，当时，，解得，即可求出答案； （3）把点C的坐标代入函数解析式，即可得到答案． 【详解】（1）解：二元一次方程变形为，所对应的直线为． 列表如下： x … 0 1 2 … y … … 描点并连线， （2）解：当时，， 当时，， 解得， ∴一次函数与x轴、y轴的交点A、B的坐标分别为、． （3）解：把代入得到， 即m的值为． 14．小亮借鉴研究一次函数时积累的经验和方法，对新函数展开探究，过程如下． (1)根据函数表达式列表如下，则表中___________； ．．． -5 -4 -3 -2 -1 0 1 ．．． ．．． 3 1 0 1 2 3 ．．． (2)在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； (3)方程的解为___________ 【答案】(1) (2)图见解析 (3)或 【分析】本题考查绝对值函数的列表、图像绘制，以及利用函数图像解方程，解题关键是掌握绝对值的计算方法、函数图像的画法，以及利用函数交点求解方程的思想． （1）利用函数表达式，将代入计算对应的值，得到； （2）根据列表中与的对应值，在平面直角坐标系中描点并连线，画出函数的图象； （3）解绝对值方程，需分和两种情况讨论，分别求解后检验解是否满足对应范围，从而确定方程的解． 【详解】（1）解：已知函数为，当时，将代入函数表达式： ，因此； 故答案为：； （2）如图所示： （3）解绝对值方程需分情况讨论： 情况一：当即时， 此时，原方程化为：   ，解得：，   检验：，满足该情况的前提条件，因此是方程的一个解； 情况二：当即时， 此时，原方程化为：   ，解得：， 检验：，满足该情况的前提条件，因此是方程的一个解； 综上，方程的解为或． 故答案为：或． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点，点，与交于点，连接，已知的长为4． (1)求点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)若直线上有一点使得的面积等于的面积的6倍，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把代入，即可求解； （2）根据点和用待定系数法即可求出函数解析式； （3）先求出，再求出，设，根据即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴将点代入得， ∴； （2）解：∵的长为4， ∴， 设直线的解析式为， 将点和代入得：， 解得：， 故直线的解析式为； （3）解：令，得， ， ； 设， 令，得， ， ， ∵，则， ， 解得：， 当时，则，即， 当时，则，即， 综上，或． 16．一次函数与的图象相交于点．    (1)求点的坐标 (2)结合图象，当时．直接写出的取值范围______ (3)若一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，连接轴上有一点，求当是等腰三角形时，点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或． 【分析】（1）联立两个函数解析式，解方程组可求出点A的坐标； （2）根据函数图象可得答案； （3）先求出点B和点C的坐标，然后分三种情况求解． 【详解】（1）解：联立函数解析式，得， 解得， 点A的坐标为； （2）解：根据函数图象，可知当时，x的取值范围是； （3）解：对于，当时，， ∴， ∴． 对于，当时，， ∴， ∴， ∴． 当时，如图，    ∴， ∴． 当时，如图，    ∵， ∴， ∴． 当时，如图，    设， 则 解得 ∴． 综上可知，当是等腰三角形时，点的坐标为或或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09一次函数与方程（组）、不等式复习讲义 高效复习◆重点 1.基础巩固：熟练掌握一次函数的定义、图像与性质，能运用待定系数法精准求解析式； 2.关联突破：理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式（组）的内在联系，掌握“数形结合”核心思想，实现“数”与“形”的灵活转化； 3.应用提升：能运用相关知识解决基础计算题、中档应用题，突破综合题的分类讨论、图像分析难点，规避高频易错点，提升解题准确率与速度。 4.复习核心：抓住“数形结合”思想，理解一次函数图像与方程（组）、不等式的内在联系，实现“数”与“形”的灵活转化，做到会识图、会用图、会建模。 核心题型◆归纳 题型1已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型2由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型3利用图象法解一元一次方程 题型4由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型5根据两条直线的交点求不等式的解集 题型6两直线的交点与二元一次方程组的解 题型7图象法解二元一次方程组 题型8求直线围成的图形面积 题型9提升测试 重点知识◆梳理 知识点01一次函数基础知识回顾 1. 一般地，形如y = kx + b（其中k、b为常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数。当b = 0时，y = kx（k≠0），叫做正比例函数。 正比例函数是特殊的一次函数。 2.一次函数的图像与性质 知识点02一次函数与方程（组） 1.一次函数与一元一次方程 （1）对于一次函数y = kx + b（k≠0）： 解方程kx + b = 0，本质是求一次函数图像与x轴交点的横坐标（x的值） 几何意义：一次函数图像与x轴的交点坐标为（-，0），即方程kx + b = 0的解为x = -； 拓展：解方程kx + b = c（c为常数），本质是求一次函数y = c交点的横坐标。 2.一次函数与二元一次方程组的关系 （1）一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数（两条直线）. 对于二元一次方程组()的解为两直线y=x+；和y=的交点坐标；反过来，两直线y=x+和y=的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解。 （2）三种情况对应图像关系（数形结合）： ①当时，两个函数图像相交，方程组有唯一一组解； ②当= 且≠时，两个函数图像平行(无交点)，方程组无解； ③当且=时，两个函数图像重合，方程组有无数组解。 提示：解二元一次方程组时，可通过画函数图像快速验证解的正确性；反之，已知两个函数交点，可直接写出方程组的解。 知识点03一次函数与一元一次不等式（组）的关联 1.对于一次函数y = kx + b（k≠0），结合图像分析不等式的解： （1）解不等式kx + b > 0：找一次函数图像在x轴上方的部分，对应的x的取值范围； （2）解不等式kx + b < 0：找一次函数图像在x轴下方的部分，对应的x的取值范围； （3）解不等式c < kx + b < d（c、d为常数，c < d）：找一次函数图像在直线y = c与y = d之间的部分，对应的x的取值范围； 2.两个一次函数对应的不等式：若+，=x+则解 >，即找 图像在图像上方的部分对应的x范围；若解则反之。 核心思想：将不“等式的解”转化为“函数图像的位置关系”，避开复杂计算，提升解题效率。 3.总结：（1）从数的角度看：解方程kx + b>0或（kx + b<0）（k≠0）等于一次函数y=kx+b的函数值大于0（或小于0）时，求自变量x的取值范围。 （2）从形的角度看：解不等式kx + b>0或（kx + b<0）（k≠0）等于一次函数y=kx+b位于x轴上方或（下方）的部分对应的x的取值范围。 题型解析◆精准备考 题型1已知直线与坐标轴交点求方程的解 1．已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（    ） 2 3 A． B． C． D． 2．已知一次函数（是常数），与的部分对应值如下表，则关于的方程的解是____________． 0 1 2 0 2 4 6 【分析】方程的解为一次函数中时对应的的值，只需从表格中查找对应数据即可求解． 【详解】解：观察表格可知，当时，对应的的值为， 即当时，成立， 因此方程的解是． 3．已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求点、的坐标； (2)当取何值时，函数值满足？ (3)结合图象，求方程的解，并直接写出不等式的解集． 题型2由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 1．如图，点，，点P为y轴上一点，当的和最小时，点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知一次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是______． 3．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求此一次函数的表达式； (2)求此函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积． 题型3利用图象法解一元一次方程 1．已知点在直线上，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．函数和的图象相交于点，则方程的解为________． 3．综合与实践 【问题】同学，还记得学习研究一次函数的路径吗？请结合一次函数的学习经验探究函数的图象． 【探究】 （1）列表： … 0 1 2 … … 3 3 … 表格中_____，_____； （2）在下边的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）观察（2）中所画函数的图象，请写出当为何值时该函数取最小值，最小值是多少？ 【运用】 （4）结合一次函数的学习经验和今天的探究结果解答问题： ①不等式的解集是_____； ②方程的解是_____． 题型4由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1．如图，直线经过点，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中画出了一次函数和的图象（如图），两直线相交于点，分别与轴交于点．已知点坐标为，点坐标为，点坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于的不等式的解集是_______； (2)关于的不等式的解集是________； (3)关于的不等式组解集是________． 3．如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点C，与x轴交于点D．动直线轴，与直线，分别交于，． (1)求k，b的值； (2)当时，直接写出t的取值范围； (3)在直线上有一点P，使的面积为6，求P点的坐标． 题型5根据两条直线的交点求不等式的解集 1．如图，已知直线与直线相交于点，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 2．某社区游泳池每周检测水质，主要关注两项指标：游离氯浓度（单位：，保障消毒效果）和尿素浓度（单位：，反映水质卫生）．其中游离氯浓度和尿素浓度随泳池开放天数（单位：天）之间的关系如图所示，当游离氯浓度不低于尿素浓度时，水质符合卫生标准，此时游泳池最多可连续开放_____天（结果取整数）． 3．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 题型6两直线的交点与二元一次方程组的解 1．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 2．直线与直线的图象如图所示，则方程组的解为______． 3．在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求的值； (2)求直线与直线的交点坐标； (3)当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围． 题型7图象法解二元一次方程组 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．无论k为何值，一次函数的图像恒过定点_______． 3．（1）请在如图的直角坐标系中作出，的图象； （2）利用你所画的图象，直接写出方程组的解． 题型8求直线围成的图形面积 1．已知一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象与x轴的交点坐标是 B．图象经过第一、二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象与两坐标轴围成的三角形面积为2 2．已知一次函数和的图象都经过，且与轴分别交于，两点，则的面积为______． 3．如图，已知一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，经过点，与轴、轴分别交于点． (1)求点的坐标； (2)求的面积． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列关于一次函数的判断，正确的是（   ） A．当时，该函数图象经过一、三、四象限 B．若关于x的方程的解是，则的图象恒过点 C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 D．点，点在该函数的图象上，若，则 2．一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 3．已知，一次函数与的图象的交点为M，下列选项中错误的是（   ） A．M可能在x轴的正半轴上 B．时，所有可能的M点形成的图形为一条射线 C．时，M不可能在x轴上 D．时，M可能在第四象限 4．如图所示，一次函数的图象经过点P，则方程的解是（   ） A． B． C． D．无法确定 5．如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．已知一次函数和在同一坐标系中的图象如图所示，那么关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D．无法确定 二、填空题 7．若直线与的交点在第三象限，则的取值范围是______． 8．已知一次函数和的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，那么的面积是 _____________． 9．如图，函数，的图象交于点P，若，则______． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，则关于x的方程的解为_________． 三、解答题 11．如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的方程的解是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当为何值时，？ (4)直接写出关于的不等式组的解集． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与直线：交于点，直线与轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)点在轴上，过点作垂直于轴的直线，分别与直线，交于点，．若，直接写出的值． 13．已知二元一次方程． (1)画出二元一次方程表示的直线； (2)求二元一次方程所表示的直线与x轴、y轴的交点A，B的坐标； (3)若（1）中的图像上有一点，求m的值． 14．小亮借鉴研究一次函数时积累的经验和方法，对新函数展开探究，过程如下． (1)根据函数表达式列表如下，则表中___________； ．．． -5 -4 -3 -2 -1 0 1 ．．． ．．． 3 1 0 1 2 3 ．．． (2)在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； (3)方程的解为___________ 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点，点，与交于点，连接，已知的长为4． (1)求点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)若直线上有一点使得的面积等于的面积的6倍，直接写出点的坐标． 16．一次函数与的图象相交于点．    (1)求点的坐标 (2)结合图象，当时．直接写出的取值范围______ (3)若一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，连接轴上有一点，求当是等腰三角形时，点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $