吉林省长春市榆树市部分学校2026年中考 第一次模拟考试数学试题

**基本信息** 2026年中考数学一模卷，以《九章算术》负数概念、盖碗茶三视图等文化素材及旅游购票、种植成本等生活情境为载体，覆盖代数、几何核心知识，梯度设计兼顾基础巩固与创新应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|负数概念、三视图、一元二次方程|文化情境（如盖碗茶三视图）与基础概念结合| |填空题|6/18|多项式、不等式、圆的弧长|五边形内角计算等几何直观与空间观念考查| |解答题|10/78|函数综合、几何证明、新定义“偏率”|23题“偏率”新定义培养抽象能力，21题种植成本问题发展模型意识与应用能力|

2026年中考部分学校第一次月考数学试题 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作+5元，那么支出6元记作（　　） A．+6元 B．0元 C．﹣6元 D．﹣1元 2．（3分）盖碗茶，是一种上有茶盖、下有茶托、中有茶碗的茶具，又称“三才碗”，盖为天、托为地、碗为人．品茶时托碗闻香，茶盖可拨动茶叶、调节浓度，茶托防烫手且稳固，茶碗聚香留味，三者合一，既美观又实用．如图，是一种盖碗茶的实物图，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 3．（3分）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2022﹣2a+2b的值为（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 4．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）若（x1，y1），（x2，y2）这两个不同点在y关于x的一次函数y＝（a+1）x﹣1图象上，且y随x增大而减小，则a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a＞0 C．a＜﹣1 D．a＞﹣1 6．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，BC＝6，点P为AC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 7．（3分）如图，在△ABC中，DE平行于BC，若，则DE：BC的值为（　　） A．3：2 B．2：3 C．1：4 D．4：1 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，平行四边形ABCD的顶点A、B在x轴的正半轴上，顶点C在第一象限内，顶点D在y轴的正半轴上，对角线AC和BD相交于点E且AC⊥AB，函数的图象经过点E．若平行四边形ABCD的面积为8，则k的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 9．（3分）已知多项式2x4﹣（a+1）x3+（b﹣2）x2﹣3x﹣1是关于x的四次三项式，则ab＝ 　 　 ． 10．（3分）不等式x﹣2＜3的解集是 　 　 ． 11．（3分）某品牌电视机搞促销，优惠方案如图所示．若该电视机原价每台为a元，则用代数式表示售价为 　 　 元． 12．（3分）如图，⊙O的半径为4，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，点C是弧BD的中点，则弧BC的长为　 　 ． 13．（3分）如图，将透明直尺叠放在五个内角均相等的五边形ABCDE上，若直尺的下沿与边AE垂直于点A，与BC交于点F，则∠AFC的度数为 　 　 ． 14．（3分）如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A重合时，MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5，其中所有正确结论的序号是 　 　 ． 三．解答题（共10小题，满分78分） 15．（6分）先化简，再求值：，其中m满足m2+2m﹣3＝0． 16．（6分）乐乐和爸爸计划在春假期间乘动车外出旅游，在网上购票时，乐乐选定的车厢只剩一排有余座（如图），若此时A、F座都已售出，其余座位由系统随机分配． （1）乐乐的座位恰好靠近过道的概率是　 　 ； （2）求乐乐和爸爸相邻而坐（不包括相隔过道而坐的情况）的概率． 17．（6分）已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC为对角线，点O是AC的中点，过点O的直线EF分别交AD、BC于点E、F，连接CE、AF． （1）如图1，求证：四边形AFCE是平行四边形； （2）如图2，若EF∥AB，AD＝BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的所有平行四边形． 18．（6分）时下正是定安县水果采摘的季节，王先生带着全家去踏青采摘“潭黎圣女果”和“谭榄洋蓝莓”，若采摘2盒圣女果和1盒蓝莓需付40元，若采摘1盒圣女果和3盒蓝莓需付70元．请问这两种水果每盒各是多少元？ 19．（6分）图（1）、图（2）是两张形状，大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，请在图（1）、图（2）网格中分别画出符合要求的图形．（所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合，并且用格尺规范作图）． （1）在图（1）中画出一个▱ABCD，使其周长为10+2；直接写出图（1）中你所画出的▱ABCD的面积为　 　 ； （2）在图（2）画出一个周长为20，面积为24的矩形EFMN． 20．（8分）为保障劳动者的基本生活和合法权益，某市调整了最低工资标准．该市政府从甲、乙两个企业各随机抽取了相同数量的员工，对其月平均工资（单位：千元）情况进行了调查，已知甲企业的调查结果整理成如图所示的条形图，乙企业的调查数据如下：5，4，9，12，4，4，5，9，4，4． （1）分别求出本次调查甲、乙两个企业被抽取员工的月平均工资的平均数、中位数和众数． （2）小星说：“我的月平均工资为6千元，比我们企业大部分人的工资都高．”请你判断小星是哪个企业的员工，并说明理由． （3）当企业员工的薪资差距较大时，平均工资是否还能代表企业整体薪资？对此你有什么评价？ 21．（8分）加强劳动教育，落实五育并举．梁湖中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地，2024年计划将其中的500m2土地全部种植甲、乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中100≤x≤350；乙种蔬菜的种植成本为25元/m2． （1）当x＝　 　 m2时，y＝15元/m2； （2）学校计划投入甲、乙两种蔬菜总种植成本W元，求出W与x之间的函数解析式； （3）如何分配甲、乙两种蔬菜的种植面积才能使总种植成本最小？最小种植成本是多少元？ 22．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于⊙G和线段AB给出如下定义：如果线段AB上存在点P，Q，使得点P在⊙G内，且点Q在⊙G外，则称线段AB为⊙G的“交割线段”． （1）如图，⊙O的半径为2，点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，0）． ①在△ABC的三条边AB，BC，AC中，⊙O的“交割线段”是 　 　 ； ②点M是直线OB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，若线段MN是⊙O的“交割线段”，求点M的横坐标m的取值范围； （2）已知三条直线y＝3，y＝﹣x，y＝﹣2x+3分别相交于点D，E，F，⊙T的圆心为T（0，t），半径为2，若△DEF的三条边中有且只有两条是⊙T的“交割线段”，直接写出t的取值范围． 23．（12分）对于平面内的∠MAN及平面内的一点P，设点P到直线AM，AN的距离分别为d1，d2，称和这两个数中较大的一个为点P关于∠MAN的“偏率”，记作d（P，∠MAN）．在平面直角坐标系xOy中，点M，N分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的两个点． （1）在点P1（1，5），P2（6，6），P3（4，1）中，点　 　 （填“P1”、“P2”、“P3”）关于∠MON的“偏率”最大； （2）若点Q（a，2﹣a）在第一象限，且关于∠MON的“偏率”为2，则a＝　 　 ； （3）已知点A（1，2），B（4，1），C（3，3），点D为△ABC内部一点（含边界），求点D关于∠MON的“偏率”d（D，∠MON）的取值范围； （4）在第（3）问的前提下，通过观察发现，若将第（3）问中的△ABC向左平移k个单位（k＞0）得到△A′B′C′，点D′为△A′B′C′内部一点（含边界），则点D′关于∠MON的“偏率”的取值范围恰好与点D关于∠MON的“偏率”的取值范围相同，请直接写出k的值． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P、Q均在抛物线y＝x2+bx﹣3上，其横坐标分别为m、1﹣2m，抛物线上点P、Q之间的部分记为图象G．过点Q作QA⊥x轴于点A，该抛物线的顶点B的横坐标为1． （1）求此抛物线的解析式； （2）连接OP，当OP⊥x轴时，求点Q的坐标； （3）当点B是图象G的最低点，且AQ＝3时，求图象G最高点与最低点的纵坐标的差； （4）当点B是图象G的最低点，且点P到AQ的距离等于AQ时，直接写出m的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C． A B C C A B B 9． ﹣2． 10． x＜5． 11． （0.9a﹣90）． 12． ． 13． 126°． 14．①③． 15． 15． 解：， ＝2m（m+2） ＝2m2+4m， ∵m2+2m﹣3＝0， ∴m2+2m＝3，原式＝2（m2+2m）＝2×3＝6， 16． 解：（1）由题意可知，3个座位中有2个座位恰好靠近过道， 则概率是， 故答案为：． （2）列表如下： B C D B （B，C） （B，D） C （C，B） （C，D） D （D，B） （D，C） 由表格可知，共有6种等可能情况，其中乐乐和爸爸相邻而坐的情况有2种， 则乐乐和爸爸相邻而坐（不包括相隔过道而坐的情况）的概率为． 17． （1）证明：∵AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO， ∵点O是对角线AC的中点， ∴OA＝OC， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF， 又∵OA＝OC， ∴四边形AFCE是平行四边形； （2）解：∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵EF∥AB，AD∥BC， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∴AE＝BF， ∴DE＝CF， 又∵AD∥BC， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴图中的平行四边形有▱ABCD，▱ABFE，▱AFCE，▱EFCD． 18． 解：设每盒“潭黎圣女果”x元，每盒“谭榄洋蓝莓”y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每盒“潭黎圣女果”10元，每盒“谭榄洋蓝莓”20元． 19． 解：（1）如图，▱ABCD即为所求， ∵▱ABCD周长为， ∴▱ABCD的长为5，高为2， ∴面积为5×2＝10， 故答案为：10； （2）如图，矩形EFMN即为所求， 20． 解：（1）甲企业：提取数据：由条形图可知，工资分布为：4千元（1人），5千元（2人），6千元（4人），7千元（2人），8千元（1人）， 平均数： x甲6（千元）； 中位数：将10个数据从小到大排列，中间第5、6个数据均为6，故中位数为6； 众数：数据6出现次数最多（4次），故众数为6； 乙企业： 整理数据：给出的数据为[5，4，9，12，4，4，5，9，4，4]，排序后为[4，4，4，4，4，5，5，9，9，12]， 平均数： x乙6（千元）， 中位数：中间第5、6个数据为4和5，故中位数为4.5， 众数：数据4出现次数最多（5次），故众数为4； （2）结论：小星是乙企业的员工． 理由：甲企业中位数为6，意味着6千元是企业薪资的中间水平，并不高于大部分人工资， 乙企业中位数为4.5，说明有超过一半的员工工资低于4.5千元，6千元远高于多数员工的收入水平， 因此，小星所在的企业是乙企业； （3）结论：当薪资差距较大时，平均工资不能代表企业整体薪资， 评价：平均数容易受到极端值（如乙企业的12千元高薪）的影响，从而拉高整体均值．这种情况下，平均数会偏离大多数员工的实际收入水平，无法反映多数人的薪资情况．此时，使用中位数或众数来代表企业整体薪资会更合适、更客观． 21． 解：（1）当100≤x≤300时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）． 将x＝100，y＝10和x＝300，y＝20代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为yx+5（100≤x≤300）， 当y＝15时，得x+5＝15，解得x＝200． 故答案为：200． （2）根据题意，甲种蔬菜种植面积为xm2，则乙种蔬菜种植面积为（500﹣x）m2． 当100≤x≤300时，甲种蔬菜种植成本为（x+5）x元，乙种蔬菜种植成本为25（500﹣x）元， ∴W＝（x+5）x+25（500﹣x）x2﹣20x+12500； 当300＜x≤350时，甲种蔬菜种植成本为20x元，乙种蔬菜种植成本为25（500﹣x）元， ∴W＝20x+25（500﹣x）＝﹣5x+12500． 综上，W与x之间的函数解析式为W． （3）当100≤x≤300时，Wx2﹣20x+12500（x﹣200）2+10500， 当x＝200时，W取最小值，W最小＝10500，此时乙种蔬菜种植面积为500﹣200＝300（m2）； 当300＜x≤350时，W＝﹣5x+12500， ∵﹣5＜0， ∴W随x的增大而减小， ∴当x＝350时，W取最小值，W最小＝﹣5×350+12500＝10750，此时乙种蔬菜种植面积为500﹣350＝150（m2）； ∵10500＜10750， ∴甲种蔬菜种植面积200m2，乙种蔬菜种植面积300m2可使总种植成本最小，最小种植成本是10500元． 22． 解：（1）①如图1.1， ∵A（0，2），B（2，2）， ∴OA＝2，OA⊥AB， ∴点A在⊙O上， ∴⊙O与AB相切， ∴线段AB上没有点在⊙O外， ∴线段AB不是⊙O的“交割线段”， ∵OC＝1＜2，， ∴点C在⊙O内，点B在⊙O外， ∴线段AC上没有点在⊙O外，线段BC上有点在⊙O内，也有点在⊙O内， ∴线段AC不是⊙O的“交割线段”，线段BC是⊙O的“交割线段”， 故答案为：BC； ②如图1.2所示，设直线OB在x轴上方与⊙O交于T，过点T和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为G、H，设T（t、t）， ∴OH＝BH＝2，OG＝TG＝t， 此时点H网好在⊙O上，且此时BH与⊙O相切； ∵⊙O的半径为2， ∴OT＝2， ∴t2+t2＝22， 解得或 （舍去）， ∴由函数图象可知，当点M在BT之间（不包括端点），即时，线段MN是⊙O的“交割线段”； 由对称性可得：当时，线段MN是⊙O的“交割线段”； 综上所述，当或时，线段MN是⊙O的“交割线段”； （2）3t≤1或2t＜5；理由如下： 联立， 解得：， ∴E（﹣3，3）， 同理可得D（0，3），F（3，﹣3）； 如图2.1所示，当⊙T恰好经过点D时， ∴TD＝2， ∴t＝2+3＝5； 如图2.2所示，当⊙T恰好与EF相切于H时，连接TH， ∵E（﹣3，3），D（0，3）， ∴DE＝OD＝3，DE⊥OD， ∴∠DOE＝45°， 由切线的性质可得∠THO＝90°， ∴△TOH是等腰直角三角形， ∵， ∴当时，DE，DF是⊙T的“交割线段”，EF不是⊙T的“交割线段”； 如图2.3所示，当⊙T恰好经过点D时， ∴TD＝2， ∴t＝3﹣2＝1； 如图2.4所示， 当⊙T恰好与DF相切于P时，连接TP，设直线DF与x轴交于Q， ∴， ∴， ∴； 由切线的性质可得∠TPD＝90°，TP＝2， ∴， ∴， ∴， ∴t＝3﹣2， ∴当3﹣2t≤1时，EF，DF是⊙T的“交割线段”，DE不是⊙T的“交割线段”； 综上所述，当3t≤1或2t＜5时，△DEF的三条边中有且只有两条是⊙T的“交割线段”． 23． 解：（1）在平面直角坐标系xOy中，点M，N分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的两个点， ∵P1（1，5）， ∴P1到坐标轴的距离分别为1，5； ∵P2（6，6）， ∴P2到坐标轴的距离分别为6，6； ∵P3（4，1）， ∴P3到坐标轴的距离分别为4，1， ∴d（P1，∠MON）＝5，d（P2，∠MON）＝1，d（P3，∠MON）＝4， ∴P1关于∠MON的“偏率”最大， 故答案为：P1； （2）∵点Q（a，2﹣a）在第一象限，且关于∠MON的“偏率”为2， 依题意得：， 解得：0＜a＜2， 当a＞2﹣a，即a＞1时，得：， 解得：， 当a＜2﹣a，即a＜1时，得：， 解得：， 综上所述，a或； 故答案为：或； （3）∵点A（1，2），B（4，1），C（3，3），点D为△ABC内部一点（含边界）， 根据定义可得当点在角的角平分线上时，点的“偏率”最小为1， ∴d（C，∠MON）＝1，则d（D，∠MON）的最小值为1， ∵A（1，2），B（4，1）， ∴A到坐标轴的距离分别为1，2，B到坐标轴的距离分别为4，1， ∴d（D，∠MON）的最大值为d（B，∠MON）＝4， ∴1≤d（D，∠MON）≤4； （4）k＝0.5或．理由如下： 由（3）可得1≤d（D，∠MON）≤4， ∴1≤d（D′，∠MON）≤4，则当象限平分线经过平移后的△A′B′C′，确保能取到最小值1， A（1，2），B（4，1），C（3，3）向左平移k个单位（k＞0）得到A′（1﹣k，2），B（4﹣k，1），C（3﹣k，3）， 分情况讨论，求得最大值为4时，点的位置； ①当A′（1﹣k，2），B（4﹣k，1），C（3﹣k，3）在第一象限时，如图2，OC为∠MON的角平分线， A′更靠近y轴，则， 解得：k＝0.5； 此时，， ∵点D′为△A′B′C′内部一点（含边界）， ∴1≤d（D′，∠MON）≤4； ②当A′（1﹣k，2），B（4﹣k，1），C（3﹣k，3）在第一象限时，如图3，C″（﹣3，3）， 当B′更靠近y轴，则， 解得：； A′，C′位于OC″两侧，能满足d（D′，∠MON）取到最小值1， ∵点D′为△A′B′C′内部一点（含边界）， ∴1≤d（D′，∠MON）≤4， 综上所述，k＝0.5或． 24． 解：（1）∵抛物线y＝x2+bx﹣3的顶点B的横坐标为1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴，解得b＝﹣2， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）当OP⊥x轴时，点P为抛物线与y轴的交点， ∴m＝0， ∴1﹣2m＝1， ∴当x＝1时，y＝﹣4， ∴点Q的坐标为（1，﹣4）； （3）∵AQ＝3， ∴yQ＝±3， ①当点Q在x轴下方时， x2﹣2x﹣3＝﹣3，解得x＝0或2， ∴点Q（2，﹣3）或（0，﹣3）， ∴1﹣2m＝2或1﹣2m＝0，解得或， ∴点P的坐标为或（，）． ∵当x＝1时，y＝﹣4， ∴点B坐标为（1，﹣4）， 当点Q（0，﹣3），点P的坐标为（，）时，点B不是图象G的最低点，故舍去． ∴点Q（2，﹣3），点P的坐标为， ∴图象G最高点与最低点的纵坐标的差为； ②当点Q在x轴上方时， x2﹣2x﹣3＝3，解得x＝1±， ∴点Q（1，3）或（1，3）， ∴1﹣2m＝1，或1﹣2m＝1，解得m或， ∴点P的坐标为（，）或（，）． ∴图象G最高点与最低点的纵坐标的差为3﹣（﹣4）＝7； 综上，图象G最高点与最低点的纵坐标的差为7或； （4）∵Q的横坐标为1﹣2m， ∴Q（1﹣2m，4m2﹣4）， ∵QA⊥x轴于点A， ∴AQ＝|4m2﹣4|， ∵点P、Q横坐标分别为m、1﹣2m， ∴点P到AQ的距离为|1﹣2m﹣m|＝|1﹣3m|， ∵点P到AQ的距离等于AQ， ∴|4m2﹣4|＝|1﹣3m|， 解得m或（不合题意，舍去）或m或， 即m的值为或m或． 第9页 共24页 ◎ 第10页 共24页 学科网（北京）股份有限公司 $