2026年九年级数学中考二轮复习 圆综合解答题 专题提升训练

2026年九年级数学中考二轮复习《圆综合解答题》专题提升训练（附答案） 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为 半径的⊙O经过点D,与AB,AC分别交于点E,F. (1)求证：BC是⊙O的切线： (2)若AF=8,DC=5,求⊙0的半径 2.如图，己知△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E, 连接AD,BE相交于点F. (1)求证：△BCE∽△AFE: (2)若CE=6,CD=5,求AF的长 3.如图，在⊙0中，△ABC内接⊙O,连接OB,作∠BAD=∠C交OB延长线于点D. (1)求证：AD为⊙O的切线； 2)若tanC=寻，0B=2,求BD的长. 4.如图，在△ABC的AB边上取一点0，以0C为半径作⊙O,AB与⊙O交于A,D两 点，过点D作DE‖BC,与OC交于点F,与⊙O交于点E,延长C0交⊙0于点 H,DF=FE. (1)请判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由. (2)连接CD,G为OH上一点，且满足∠GAC=∠ADE,求证：CD=AG 5.如图，AB为⊙0的直径，AE为⊙0的弦，C为⊙0上一点，=，CDL0B,垂足 为D (1)连结C0,判断C0与AE的位置关系，并证明； (2)若AE=4,BD=1,求⊙0的半径. 6.如图，△ABC内接于⊙O,点D为弦AB的中点，连接DO、OB,延长DO交弦AC的 延长线于点E,DE与弦BC交于点F,DE与⊙O交于点G,已知AB=6,DG=9. E D (1)求⊙0的半径： (2)求证：∠E=∠0BC: (3)若0F=2,求CF的长. 7.如图，△ABC中，AB=AC,以AB为直径作⊙O交BC于点D,作DE⊥AC交AC于 点E E D B B 图1 图2 (1)求证：DE是⊙0的切线： (2)延长ED交AB的延长线于点F,若BD=BF,AE=3,求⊙O半径的长 8.如图，AB是⊙0的直径，点C是⊙O上一点，过点B作⊙0切线，与AC延长线交于 点D,连接BC,点E是⊙O上一点，OE‖BC,交AD于点F,连接BE交AC于点H, BH=BD. B (1)求证：∠DBC=∠EBA; (2)若BD=6,求EF的长. 9.如图，AB为⊙O的直径，C,D为圆上两点，OD‖BC,弦AC,BD相交于点E,连 接OC交BD边于点F, D (1)求证：∠A0D=∠C0D (2)若tan∠BD0=,CE=25,求CF和半径A0的长. 10.如图，在△ABC中，CA=CB,E为AB上一点，作EFBC,与AC交于点F,经过 点A、E、F的⊙O与BC相切于点D,连接AD ·0 D (1)求证：AD平分∠BAC: (2)若AE=10,BE=8,求BD和AC的长 11.如图，己知：AB是⊙0的直径，弦AC平分∠DA0,AD⊥CD于点D,E是AB延长 线上一点，CE交⊙O于点F. C E (1)求证：CD是⊙0的切线 (2)若∠DA0=105°，∠E=30°. ①连接0C，,求∠OCE的度数： ②若⊙0的半径为32，求线段EF的长. 12.如图，在⊙0中，直径BD与弦AC交于点E,且AB=AC. D B C (1)求证：∠BAC=2∠ABD (2)若△ADE是以AD为腰的等腰三角形，求∠ABD· 3)若AB=5,BC=6,求AE 13.如图，点C为4ABD的外接圆⊙0上的一动点（点C不在BAD上，且不与点B,D重合）， ∠ACB=∠ABD=45°. (1)求∠BAD的度数， (2)过点A作AEBD,交CD延长线于点E,求证：AE是⊙O的切线， 3)是否存在常数m,使BC+CD=mAC存在？若存在，求出m的值；若不存在，请说明 理由 14.如图，AB是⊙0的直径，C,D是⊙0上两点，且BD=CD,过点D的直线 DE⊥AC交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点F,连接AD、OE交于点G (1)求证：DE是⊙0的切线： 2)若器=胃，⊙0半径为2，求阴影部分的面积， 3)连接BE,在(2)的条件下，求BE的长. 15.已知⊙0是△ABC的外接圆. 图1 图2 (1)如图1，过点B作BE⊥AC于点E,交⊙O于点D,连接AD,OE,若E0平分∠AEB. ①求证：AD=BC ②若CE=1,⊙0的半径为2，求AC的长； (2)如图2，过点O作0D⊥AB于点F,交⊙0于点D,点E在BD上，且EA=EC,若 DF=8,AB=AC=24,求的值 16.如图，等腰△ABC内接于⊙0，AB=AC,过点B作AC的垂线交AC于点E: 、E 图1 图2 图3 (1)求证：∠A=2∠EBC: (2)如图2，当圆心O恰好落在BE上时，求∠A的度数； 3)如图3，延长BE交⊙0于点F,点H在线段AC上，CH=CF,若AB=10, S△BcH=10,求线段CE的长. 17.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，连接AC并延长到D,使DC=CA,连 接BD,BC,BD交半圆O于点E,己知AB=4. D 0 0 o 图① 图② 图③ (1)如图①，过点C作CM⊥BD于点M,求证：CM是半圆O的切线： (2)如图②，当AD=BD时，求△ABD与半圆0重合的面积： (3)如图③，若点P是△BCD的内心，则当点P在半圆O上时，求∠DPC的度数 18.【问题情境】如图，矩形ABCD中，作∠EAF=45°，分别交BC边于点E,交CD边 于点F,作△AEF的外接⊙O. D E (图1) (图2) (图3) 【特殊体会】当∠BAE=15°时，如图1，判断DF与AF之间的数量关系是 【初步探究】当⊙O经过点D时，如图2，试探究AB、CF、AD之间的数量关系，并加以 证明； 【深入探究】当⊙O与BC相切时，如图3，解决下列问题： ①判断⊙O与CD的位置关系，并说明理由： ②若BE=5,DF=3,求EF(直接写出结果). 19.如图1，在正方形ABCD中，P是边BC上的动点，E在△ABP的外接圆上，且位于正 方形ABCD的内部，EA=EP,连结AE,EP. 图1 图2 备用图 (1)求证：△PAE是等腰直角三角形： (2)如图2，连结DE,过点E作EF⊥BC于点F,请探究线段DE与PF的数量关系，并说明 理由； (3)当点P是BC的中点时，DE=4, ①求BC的长： ②若点Q是△ABP外接圆上的动点，且位于正方形ABCD的外部，连结AQ.当∠PAQ与 △ADE的一个内角相等时，求所有满足条件的AQ的长 20.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且∠C=2∠A 图1 图2 图3 图4 (1)求∠A的度数. (2)若⊙0的半径为5. ①如图2，连结BD,求BD的长。 ②如图3，连结CA,若CA平分∠BCD,求BC+CD的最大值. 3)如图4，若AC是⊙O的直径，直接写出线段AB,BC,CD之间的等量关系 参考答案 1.(1)证明：连接0D :AD是∠BAC的平分线， B D ÷∠BAD=∠CAD, :0A=0D, :∠BAD=∠ODA, ÷∠ODA=∠CAD, ÷OD‖AC, :∠0DB=∠C=90°， ÷OD⊥BC, 又：OD是⊙0的半径， ·BC是⊙O的切线： (2)解：过点0作OG⊥AC,垂足为点G :OG⊥AC,OD⊥BC, ·∠0DC=∠0GC=∠C=90° :四边形ODCG是矩形 .0G=DC=5 :OG⊥AC,AF=8 :AG=GF=专AF=专X8=4, 在Rt△A0G中，AG2+0G2=0A2 a0A=Ac2+0G2=42+52=V41 ⊙0的半径为41. 2.(1)解：证明：：AB是⊙0的直径， ·∠AEB=90°， .∠BEC=180°-∠AEB=90°， :∠AEB=∠BEC=90°， :∠EAF=∠DBF, ·△BCEM△AFE; (2):AB是⊙0的直径， ·∠ADB=90°， AB=AC, :BD=DC=BC=5, 在Rt△BEC中，CE=6,BC=2CD=10, :BE=VBC2-CB2=V102-62=8 :∠ADB=∠BEC=90°，∠FBD=∠CBE, ·△BFD△BCE, ·既=器， a器=， :8F=空， :EF=BE-BF=8-9=, :△BCE△AFE, …器-票， …品=， ·AP=3. 3.（1)证明：连接0A,如图， A 则∠A0B=2∠C: :0A=0B, :∠0AB=(180°-∠A0B)=90°-∠C. :∠BAD=∠C, ÷∠OAD=∠OAB+∠BAD=90°. ·OA⊥AD :OA为半径， ÷AD为⊙O切线： (2)解：延长B0交⊙0于E,连接AE,如图， E B >D A :∠C与∠E为同弧所对圆周角， :∠C=∠E=∠BAD. :∠D=∠D ·△BADM△AED 器=是 设BD=x,则斋=是， :tanC=寻， tanE=寻. :AB为⊙0的直径， ∠EAB=90°. tanE=是=寻，则AD=号x, 在Rt△0AD中，0A2+AD2=0D2,0A=0B=2, 22+(3x)2=(2+x)2, x=号或x=0(舍去)， 则BD=: 4.(1)解：BC与⊙0相切， 理由：：DF=FE,OC为半径， ÷OC⊥DE :DEI‖BC, ÷0C⊥BC, :BC与⊙0相切： (2)证明：如图，连接AH,则∠AHC=∠ADC. H :∠AOH=∠COD, :AH=CD,=. :OC⊥DE, ==, ·∠AC0=∠EDC. :∠GAC=∠ADE, :∠GAC+∠AC0=∠ADE+∠EDC, ·∠AGH=∠ODC, ·∠AGH=∠AHC, ÷AH=AG :CD=AG. 5.(1)解：C0⊥AE,理由如下： 延长C0交AE于点G,连接0E, B O D G =, ÷∠A0C=∠C0E, :∠A0G=180°-∠A0C,∠G0E=180°-∠E0C, ·∠A0G=∠G0E, :0A=0E, ·C0⊥AE; (2)解：由(1)中结论，C0⊥AB,AG=AE=2, ∠AG0=∠CD0=90°，∠A0G=∠C0D,A0=C0, .△AG0≌△CDO(AAS, ÷AG=CD=2, 设⊙0的半径为r,则0D=r-1,0C=r 在Rt△CD0中，CD2+0D2=0C2, 即22+(r-1)2=r2, 解得：r=, 即⊙0的半径为号 6.(1)解：：点D为AB的中点，AB=6, OD⊥AB,AD=DB=3, 设⊙0的半径为r, 则OB=,OD=9-r, :BD2+0D2=0B2, 32+(9-r)2=r2, .r=5; (2)证明：延长B0交⊙O于点K,连接CK, :BK为⊙O的直径， .∠BCK=90°， ∴∠K+∠0BC=90°， OD⊥AB, A十∠E=900, :∠A=∠K, ∠E=∠OBC: (3)解：连接0C, :0C=0B, ∠OCB=∠OBC, ∠E=∠OBC .∠OCB=∠E, :∠C0F=∠E0C, :△C0FM△E0C :器=8， =是， 0B=9, :EF=0E-0F=号， 由(1)可知：0B=0C=5,0D=4, :.DF=0D+0F=6,BD=3, BF=VDF2+BD=V62+32=35, :∠E=∠OBC,∠CFE=∠OFB, .△CFEM△OFB, 景=器， ·CF=5 5 E G K 7.解：(1) 证明：连接OD, AB=AC. ·∠ABC=∠ACB, 0B=OD, ·∠ABC=∠ODB, :∠ACB=∠ODB, ÷OD‖AC, ∠AED十∠0DE=180° :DE⊥AC, ·∠AED=∠0DE=90 OD⊥DE, ·DE是⊙O的切线； (2) :BD=BF, ÷∠BDF=∠F, :AB是⊙O的直径， ·∠ADB=∠ADC=90°， :∠BDF十∠ODB=∠DOF+∠F=90°， ·∠ODB=∠DOF ÷OD=OB=BD ·∠ODB=∠DOB=∠OBD=60° .∠CAD=∠BAD=30°， AD =2DE, DE2+AE2=AD2 ·DE2+32=4DE2, :DE=5, ·AD=2V5 在Rt△ABD中，AB=2BD,BD2+AD2=AB2, ÷BD2+(25)2=48D2, BD=2, .⊙0半径的长为2. 8.(1)证明：：0E=0B, ÷∠OEB=∠EBA. OE BC, ·∠OEB=∠EBC, ·∠EBC=∠EBA. :AB为⊙0的直径， :∠ACB=90°， ·BC⊥AD BH=BD, :∠EBC=∠DBC, :∠EBC=∠EBA, ·∠EBA=∠DBC. (2)解：：BD是⊙O的切线， :∠ABD=90°， :∠EBC=∠CBD=∠ABE=30o, :∠ADB=∠ACB-∠CBD=60o, 在Rt△ABD中，AB=BD·tan∠ADB=6×V3=65, 连接AB, AB是⊙O的直径， ·∠AEB=909 ：AE=AB·sin∠ABE=AB=3V5, ·∠EAH=∠EBC=30o 在Rt△AEF中，EF=AE·sin∠EAF=AE=35 9.(1)证明：：D0‖BC, :∠AOD=∠OBC,∠C0D=∠OCB. 又：0C=0B, ·∠OCB=∠OBC :∠AOD=∠COD. (2)如图，连接AD, D B :AB为直径， ÷∠ACB=90°，∠ADB=90°. 又：OD‖BC, :OD⊥AC 设AC与DO交点为H, ÷AH=HC 设EH=X, :tan∠BD0=支， …器-， ÷DH=2x DE=V5x 0B=OD, ·∠BDO=∠OBD. :∠A0D=∠COD, =, ·∠DAC=∠OBD=∠BDO. tan∠DAC=支， …器= AH=4x AH=HC. :4x=x+25,解得x=25 ·AC=2AH=8x=165 :∠CBD=∠DAC, tanCBE= …器= :BC=45】 .AB=VAC2+BC2=205 ·半径A0的长为205 :OD‖BC, &△DOF∽△BCF. …器=器 1o5 :cP=异0C=A×105=29 10.(1)证明：连接0D, 0 F B C ⊙O与BC相切于点D, ·OD⊥BC, EFBC, ÷OD⊥EF, ·∠BAD=∠CAD, ·AD平分∠BAC: (2)解：连接DE, 0 D C EFBC, ·∠BDE=∠DEF, 又：∠BAD=∠CAD=∠DEF, ∠BDE=∠BAD, 又：∠DBE=∠ABD: .△BDE△BAD, 器=器， BD2=BE·BA=BE·(BE+AE), :AE=10,BE=8, .BD2=8×(8+10)=144, ÷BD=12, “器=號=是=， EFBC, ·∠AFE=∠C, 又：∠AFE=∠ADE, :∠ADE=∠C, ·△ADEM△ACD, “架=器， CD=焉AC=号AC, AC=CB, ·CD=(BD+CD)=号×(12+CD), ÷CD=24, AC=×CD=36, 11.(1)证明：：AC平分∠DA0, .∠OAC=∠DAC, :0C=0A, .∠0CA=∠0AC, ·∠DAC=∠OCA :AD‖OC, .∠D+∠DC0=180°， :AD⊥CD, ∠D=90o, ∠DC0=180°-∠D=90°， :OC⊥CD,且C0为半径， ∴.CD是⊙O的切线. (2)解：①：ADOC, ·∠E0C=∠DA0=105°， :∠E=30°， ·∠0CE=180°-∠E-∠C0E-45°； ②如图，作0G⊥CE于点G, 则CG=FG=OG, :0C=32,∠0CE=45°， ÷CG=0G=3, ·FG=3, 在Rt△G0E中，∠E=30°， ÷0E=20G=6, ·GE=V0E2-0G2=3V3, EF=GE-FG=3V3-3. 12.(1)证明：连接0A并延长交BC于H点，如图， AB=AC, =, :AH垂直平分BC, :AH平分∠BAC, 即∠BAC=2∠BAH, :0A=0B, ·∠ABD=∠BAH, ·∠BAC=2∠ABD: (2)解：设∠ABD=《,则∠BAC=2a, ·∠AED=∠ABD十∠BAC =&+2a=3a, :AB为直径， ·∠BAD=90o, 当AD=AE时，∠ADB=∠AED=3C, 十3a=90°， 解得a=22.5°； 当DA=DE时，∠DAE=∠AED=3, .2a+3a=90°， 解得=18°， 综上所述，∠ABD的度数为18°或22.5°； (3)解：：AH⊥BC, ·BH=CH=BC=3, 在Rt△ABH中，AH=V52-32=4, 设⊙0的半径为r,则0A=0B=r,OH=4-r, 在Rt△0BH中，32+(4-r)2=r2, 解得r=专， BD=2r=空， 在Rt△ABD中，AD=V)2-52=9, 在Rt△BCD中，CD=V()2-62=, :BD是⊙O的直径， :∠BCD=90°， :AH‖CD, ·△AE0△CED, :器=路=鲁=， 器==器， AE=第×5=罗. 13.(1)解：“AB=AB' .∠ADB=∠ACB=45°， ∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB=180°-45°-45°=90°； （2)证明：如图，连接0A, 由(1)，得∠ABD=∠ADB=45°，∠BAD=90°， .BD为直径，△BAD为等腰直角三角形， 点O为BD的中点，AO⊥BD, 又：AE‖BD, A0⊥AE, 又：A0是⊙0的半径， AE是⊙O的切线： (3)解：如图，在CD的延长线上截取DM=BC,连接MA, :∠ABD=∠ADB, :AB=AD, :四边形ABCD是圆内接四边形， ∠ABC+∠ADC=180°， 又：∠ADM+∠ADC=180°， :∠ABC=∠ADM, 在△ABC与△ADM中， AB=AD, ABC=∠ADM BC=DM, ÷△ABC兰△ADM(SAS, ÷∠BAC=∠DAM, .∠BAC+∠CAD=∠DAM+∠CAD, :∠BAD=∠CAM=90o, AD=AD. ·∠ACD=∠ABD=45o, ·△CAM是等腰直角三角形， :.2AC=CM, 2AC=CD+DM=CD+BC. :存在常数m,m=V2 14.(1)证明：如图，连接0D, G B :BD=CD· ·∠DAB=∠CAD, :0A=0D, ÷∠DAB=∠ODA, ÷∠CAD=∠ODA, ÷OD‖AE, :DE⊥AC, :OD⊥DE, :0D是⊙0的半径， :DE是⊙O的切线； (2)解：：器=， “骆=， :OD‖AE, ·△OGD△EGA, …器=器，即导=是 ·AE=3, 如图，连接BD, G B :DE⊥AE,AB是⊙O的直径， ·∠AED=∠ADB=90o, :∠CAD=∠DAB, ·△AED△ADB, “脂=器，即品=架， :AD2=12,解得AD=2W5(负值已舍去)， 在Rt△ADB中，BD=NAB2-AD2=√42-(2N5)=2, :BD=AB, ÷∠DAB=30°， :∠EAF=60°，∠D0B=60°， ÷∠F=30°， :0F=20D=2×2=4, ÷DF=V0F2-0D2=V42-2=2W3, :S阴影=S△DOF-S扇形和oB =支×2×25-器 =25-等； (3)解：如图，连接BE,过点E作EM⊥AB于点M, MO 在Rt△AEM中，AM=AE=方X3=, EM=VAE2-Aw7-32-()7=9 :MB=AB-AM=4-是=月， :BB=EM+ME-(9)+()2=V 15.(1)解：①证明：作0M⊥AC于点M,ON⊥BD于点N,连接0A,如图1， ·E0平分∠AEB, .0M=0N, :AC=BD, =, =, :AD=BC; ②：BE⊥AC, ∠AEB=90°， :E0平分∠AEB, .∠ME0=45°， :OM⊥AC, ∴AM=CM,△ME0为等腰直角三角形， :OM=EM. 设ME=8, 则0M=x,AM=CM=ME十CE=x+1, 在Rt△A0M中，0M2+AM2=0A2, 则x2+(x+1)2=22, 解得x=平，为= (舍去) ∴AC=2AM=2x+2=-1+V7+2=V万+1： D E B 图1 (2)解：如图2，连接OA,连接E0并延长交AC于点H, :OD⊥AB于点F, :BF=AF=AB=12, 在Rt△A0F中，0A2=0F2+AF2, :0A2=(0A-8)2+122, 解得0A=13, 0F=13-8=5, EA=EC, ·=，即点E是ABC的中点， ∴E0⊥AC, .AH CH=AC=12, OD⊥AB,OH⊥AC,AB=AC, .0H=0F=5, .EH=13+5=18, 在Rt△AEH中，AE=NAH2+EH2=V122+182=613, :器=点= OF 6V13 78. C、 B E D 图2 16.(1)证明：：AB=AC, ·∠ABC=∠ACB, ÷∠A=1809-2∠ACB, :BE⊥AC, ·∠BEC=90°， ÷∠EBC=90°-∠ACB. 又：∠A=180°-2∠ACB, ·∠A=2∠EBC. (2)解：：BE过点O,且BE⊥AC,由垂径定理得AE=EC, 在△AEB和△CEB, AE=EC, ∠AEB=∠BEC, BE=BE, ·△AEB≌△CEB(SAS), :∠ABE=∠CBE. 设∠A=x,由(1)知∠EBC=号， :∠ABE=90。-x°，∠EBC=号， :90-x=等，解得x=60,即∠A=60°. (3)在BE上取一点G,使得CG=CF, :CG=CF,·∠F=∠CGF :∠A=∠F,∠A=2∠EBC :∠GBC=∠GCB. BG=CG. 如图，过点G作GI⊥BC于点I,HJ⊥BC于点J, ● H :∠JHC+∠ACB=90°，∠ACB+∠EBC=90°， .∠EBC=∠JHC. CF=CH, :BG=CG=CH. 在△HCJ和△BGI中， ∠EBC=∠JHC, ∠BIG=∠HjC, BG=CH, .△HCJ≌△BGI(AAS) :HJ=BI=IC. :S△BcH=10, 2=10. ·B1=V10,即BC=2W10 令CE=x,在Rt△ABE中，BE2=102-(10-x)2, 在Rt△BCE中，BE2=(2V10)2-x2, CE=2. 17.(1)解：如下图所示，连接0C, D M E B DC=CA,AO=BO, :点O,点C分别为AB,AD的中点， :OCIBD, :CM⊥BD, ÷0C⊥CM, :0C是半圆0的半径， :CM是半圆O的切线： (2)解：如下图所示，连接0C,OD,OE, 过点C作CF⊥AB于点F, :AB是半圆O的直径， ·∠ACB=90°， DC=CA, :BA=BD, AD =BD, AD=BD=BA,·△ABD是等边三角形， ÷∠CAB=∠ABD=60°， 0A=OC,OB=0E, :△AOC和△BOE是等边三角形， ·∠A0C=∠E0B=60°， :∠C0E=180°-60°-60°=60°， :AB=4, :AC=A0=专AB=2,AF=1, ·CF=AC2-AF2=22-12=V5, ·△ABD与半圆O重合的面积 =Saa0c+SaB0E+Sm形c0E=专×V5×2+×V5×2+9器=23+等， (3)解：当点P在半圆O上时， :点P是△BCD的内心，AB是半圆O的直径， ·∠ACB=∠DCB=90o,∠BCP=∠DCP=45o,∠CBP=∠DBP, ·∠ACP=900+45°=135°，∠ABP=180°-∠ACP=45°， :DC=CA,∠ACB=90°， ÷BA=BD, :∠ADB=∠DAB. 设∠CBP=∠DBP=X, 则∠DAB=(180°-∠ABP-∠DBP)=(180°-45°-x), ∠CPB=180°-∠BCP-∠CBP=180°-45°-x, :四边形ABPC的内角和为360°， ∠ACP+∠CPB+∠ABP+∠DBP=135°+180°-45°-x+45°+支(180°-45°-x)=360 解得，x=15°， ·∠ABD=∠ABP+∠DBP=60 :△ABD为等边三角形，∠ADB=60° .∠CDP=∠ADB=30°， ÷∠DPC=180°-30°-45°=105°. 答：当点P在半圆0上时，∠DPC的度数为105°. 18.解：特殊体会：：四边形ABCD是矩形， ∠BAD=90°， :∠EAF=45°，∠BAE=15°， ∠FAD=90°-45°-15°=30°， DF=专AF 初步探究：AB+CF=AD.如题图2. :四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AD=BC, :四边形AEFD是⊙O内接四边形， .∠AEF+∠ADF=180°， ∠AEF=90°. :∠EAF=45°， ∠AFE=45°=∠EAF, :AE=EF. ∠AEF=90°=∠ABE, ∠BAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°. .∠BAE=∠CEF. △ABE≌△ECF(AAS). .AB=EC,BE=CF CE+BE=BC, .AB十CF=AD 深入探究：①CD与⊙O相切. 如图，连接OE、OF。 B E ∠EAF=45°， .∠E0F=2×45°=90°. :BC与⊙0相切， .OE⊥BC .∠0EC=90°， 又：∠ECF=90°， .四边形OECF是矩形， ∠0FC=90°， OF⊥CD 又：OF是半径， .CD与⊙O相切. ②EF=2W17. 如图，延长FO交AB于点G, D :∠OFD=90°=∠BAD=∠D,∠EOG=90o=∠B=∠BEO, :四边形ADFG、BEOG都是矩形， ∠AG0=90°，AG=DF=3,0G=BE=5, .0A=VAG2+BE=32+52=V34, :0E=0F=0A=V34, :EF=V0F2+0E=V(34)+(V34)2=V68=2V7. 19.(1)证明：如图1，：点E在△ABP的外接圆上， ÷∠AEP+∠A=180°， ·∠AEP=90°， ·∠EAP十∠EPA=90°， =, ·∠EAP=∠EPA=45°， :△PAE是等腰直角三角形： (2)解：结论：DE=V2PF, 理由：如图2，延长FE交AD于点H, 图2 :EF⊥BC,BC‖AD, ·EH⊥AD,即∠AHE=∠EFP=90°， ÷∠EAH+∠AEH=90°， '∠AEP=90°， &∠PEF+∠AEH=90°， :∠EAH=∠PEF, 又：△PAE是等腰直角三角形， ·EA=EP, ·△EAH≌△PEF(AAS), :AH=EF,EH=PF, :四边形ABCD是正方形， AD=DC,∠ADC=∠BCD=90°， 又∠DHE=90°， ·.四边形DHFC是矩形， ·AD=DC=HF,DH=CF, ·AH+HD=EF+HE, HD=HE=PF △DHE是等腰直角三角形， DE=VDH2+HE2=V2HE=V2PF: (3)解：①由(2)知DE=V2PF. :DE=4, PP=9DB=2反， .PC=PF+FC=2PF=42, :P是BC的中点， :BC=2PC=82. ②油①可知，DH=FC=HE=22, :.AH=AD-DH=BC-CF=6V2, :tan∠EAD=青<1=tan∠EDA,·∠EAD<∠EDA=45·=∠PAE, :存在∠PAQ=∠EDA或∠PAQ=∠EAD, 当∠PAQ=∠EDA时，如图3，∠PAQ=45o=∠PAE, 图3 :∠B=90°， ·AP是圆的直径， 连接PQ,则∠AQP=90°， :.△APQ是等腰直角三角形， ..AQ=PQ, ∴AQ=PQ=PE, :PE=AE=VAH2+HE区=45， .AQ=PE=4V5, 当∠PAQ=∠EAD时，如图4，连结PQ; 0 P F 图4 :AP是圆的直径， .∠AQP=90°=∠AHE, ·△APQ∽△AEH, …翳=是=反， ·AQ=V2AH=12, 综上所述，AQ的长是4V5或12. 20.(1)解：由图可知，四边形ABCD是圆内接四边形， ∠A+∠C=180°， 又∠C=2∠A, 3∠A=180°， ∠A=60°； (2)解：①如图，连接OB,OD,作OE⊥BD于点E, 则∠B0D=2∠A=120°，0B=0D=5, :∠0BD=∠0DB=号(180°-120°)=30°， 0E=0B=, BE=0B2-0B2=5, 由垂径定理，得BE=DE, ·BD=2BE=5V3: ②连接BD,延长DC至点F,使得CF=BC,则BC+CD=CF+CD=DF, R---- CA平分∠BCD, ∴∠DCA=∠BCA, AB=AD, 又∠BAD=60°， :△BAD是等边三角形， ①，得BD=5V5, :∠BCF=180°-∠BCD=180°-2∠BAD=60°，BC=CF, △BCF是等边三角形， .∠℉=60°， .点F在以BC为弦，所对圆周角为60的圆上， 当DF为所在圆直径时，DF的长最大， 此时∠DBF=90°， ∠BDF=90°-∠F=30°， :DF=2BF, BD-DR2-B-DR. :DF=居×BD=居×55=10，即为最大值， .BC+CD的最大值为10： (3)解：如图，延长BC,AD,交于点G, .G “AC为直径， ∠B=∠ADC=90°， ∠G=90°-∠BAD=30°， :AG=2AB,CG=2CD, BG=AG2-AB2=3AB, 又BG=BC+CG, :BC+2CD=3AB.