2026年九年级数学中考二轮复习《二次函数》专题提升训练

2026年九年级数学中考二轮复习《二次函数》专题提升训练（附答案） 一、单选题 1．抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 2．已知二次函数（b、c是常数）的图象与x轴的交点的横坐标为和1，且二次函数的最小值为m，则的值为（    ） A． B． C．4 D．8 3．如图所示的拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（    ） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 4．在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数）关于轴对称得到的新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 5．如图，一个含角的三角板放在平面直角坐标系中，，与轴重合的边，抛物线经过点和点．现将三角板绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在此抛物线上，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在等边三角形的三边上，分别取点D，E，F，使．若，，的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A．B．C．D． 7．如图，是二次函数的图象的一部分，给出下列命题：①；②；③的两根分别为和1；④，其中正确的命题是（） A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④ 二、填空题 8．如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是_____________． 9．已知函数的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的的取值范围是_____． 10．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则阴影部分的面积是_____． 11．函数的图象如图所示，则____．      12．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为_____． 13．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．过点C作轴交抛物线于点D，点M是坐标平面内一点（不与点D重合)，若与全等，则点M的坐标为_______． 14．二次函数图象上部分点的坐标满足下表： 0 3 5 0 下面四个结论： ①；②；③；④当时，；⑤． 其中正确的是__________(填写序号)． 三、解答题 15．已知二次函数，其中为实数． (1)求该二次函数图象的顶点坐标． (2)当时，求函数的最大值． (3)若该二次函数图象的顶点在直线上，当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 16．如图、一座观景架的顶棚是抛物线型，是廊架顶棚的支撑柱，顶棚与地面交于点以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，米，米，图中抛物线的函数表达式为 (1)请分别求出、的值； (2)为烘托节日气氛，现要从抛物线上的点D处竖直向地面C处拉彩灯．从抛物线上的点F处竖直向地面处拉彩旗，米，米，请问彩灯比彩旗长多少米？ 17．如图，中，一动点P从C出发沿着方向以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着方向以的速度运动，两点同时出发，其中一个点停止时，另一个点亦停止运动．设运动时间为． (1)的面积能否为面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． (2)当t为几秒时，四边形的面积最小？是多少？ 18．2026年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如荼在省内各地开展．某体育用品商店购进一批南通特色文旅服装，现有线上和线下两种销售方式，售价均为x元/件（）．调查发现，线上的销售量为件；线下的销售量件与售价元/件满足一次函数关系，部分数据如下表： （元/件） 120 130 140 150 160 （件） 1200 1100 1000 900 800 (1)求与的函数关系式； (2)求当售价为多少元时，线上的销售量与线下的销售量相等； (3)求当售价为多少元时，线上和线下销售量的和有最大值． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与轴交于、两点，与轴交于点． (1)点的坐标为_____，点的坐标为_____． (2)连接，求的面积． (3)线段上有一动点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，当线段最大时求点的坐标． (4)点为轴上一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 20．如图1，已知抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)如图2，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点M，作轴交于点，求的边上的高的最大值； (3)如图3，连接、，在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 参考答案 1．解：抛物线， 抛物线经过向左平移个单位得到抛物线． 2．解：∵二次函数的图象与x轴交点横坐标为和， ∴函数图象过点和， 将两点坐标代入解析式得：， 整理得， 解得，， ∴二次函数解析式为， 配方得， ∵二次项系数，函数开口向上， ∴最小值， 则． 3．解：根据题意，令，得： ， 解得：，， 所以水面宽为：米． 4．解：∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线（为常数）关于轴对称得到的新抛物线， ∴新抛物线的顶点坐标为， ∵新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12， ∴，解得：或，即选项D符合题意． 5．解：在中，，， ，， 点的坐标为，点的坐标为， 将三角板绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在此抛物线上， 点的坐标为， 将点代入抛物线，可得，故正确； 将点代入抛物线，可得，即，故错误，符合题意； 根据函数图像可知，抛物线与轴有两个交点，则，故正确； ，根据函数图像可知，当，，故正确． 6．解：是等边三角形， ∴， ∵ ， 即， ， ∴， 过点A作于G点，则， ∴ ∴， ∴， ∴， 过点D作于点H，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴y关于x的函数图象开口向上，当时，；当时，；当时，y的最小值为， ∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意． 7．解：①∵抛物线开口向上， ∴． ∵， ∴． ∵抛物线与y轴的负半轴相交， ∴， ∴，故①不正确； ②∵，故②不正确； ③∵抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴与轴另一个交点为点， ∴的两根分别为和，故③正确； ④由抛物线过点，代入得， ∵， ∴， ∴，故④正确． 综上，正确的命题有：③④． 8．解：如图，二次函数开口向上，故；且二次函数过，因此． ∵关于x的方程总有一正一负两个实数根， ∴二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内， ∴． 9．解：由图象可知，当时，；当时，． 因为，即要求函数图象在直线的上方（包含直线）． 观察图象可得，当或时，函数图象在直线上和它上方， 所以使成立的的取值范围是或． 10．解：二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称， ∴图中阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， ∴图中阴影部分的面积是． 11．解：∵抛物线的图象开口向上，交轴于负半轴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 由图象可知，当时，，当时，， ∴原式 ， 故答案为：0． 12．解：把代入，得， 解得：， 抛物线的解析式为：， 令，则， 解得：，， ，， 由于A、B两点关于直线对称，连接交直线于点P，则点P即为所求， 当时，， ， 设直线的解析式为， 将C、B两点的坐标代入得， 解得：， 直线的解析式为， 当时，． 点P的坐标为． 13．解：在中， 令， 得， 解得或3， ∴， ∴， 令，得， ∴， ∴. ∵抛物线的对称轴为直线，轴交抛物线于点D，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴.在线段上截取， ∵， ∴， 如图，此时， ∴； 作线段的垂直平分线l，则直线l的解析式为， 作点关于直线l的对称点， 则， 此时； 作点D关于直线l的对称点， 则， ∵， ∴； 综上，点M的坐标为，或． 14．解：由表格可知，当时，，∴． 当时，；当时，， ∴，解得， ∴二次函数解析式为． ，故①错误； ②∵，， ∴，故②正确； ③二次函数的图象对称轴为，开口向上， ∴当时，函数取得最小值， ∴， 即，故③正确； ④由对称轴及时，可知另一交点为，结合函数图象开口向上， ∴当时，，故④正确； ⑤∵，故⑤错误． 综上，正确的结论是②③④． 故答案为：②③④． 15．（1）解：由， ∴该二次函数图象的顶点坐标为； （2）解：由， ∴对称轴为直线， ∵，开口向上， ∴离对称轴越远的点函数值最大， ∵，，， ∴当时，函数取得最大值， 把代入得，， ∴当时，函数的最大值为； （3）解：∵二次函数图象的顶点在直线上， ∴，解得：， ∴，对称轴为直线， ∵， ∴二次函数开口向上，顶点坐标为， ∴当时，在对称轴左侧，随增大而减小， 最大值为：当时，， 最小值为：时，， 由题意得，， 解得，此解不满足，故舍去； 当时，最小值为：当时，， 最大值为：当时，或当时，， ∴， 当时，， 解得：或，符合题意； 当时，则处的，差大于，不符合要求； 综上可得：的取值范围是． 16．（1）解：∵米，米， 点的坐标为，点的坐标为， 将点、代入中得 ， 解得， 该抛物线的函数解析式为. （2）解：∵，，故， 当时，，即米， 当时，，即米， （米） 答：彩灯比彩旗长米． 17．（1）解：∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能为面积的一半； （2）解：由（1）得： ， ∵， ∴有最小值， ∴当时，最小值为． 18．解：（1）设与的函数关系式为， , 解得 即与的函数关系式是． （2）由题意可得 ． 解得：． 答：当售价为每件100元或180元时，线上的销售量与线下的销售量相等． （3）设线上和线下销售量的和为件， 则 ∴当时，取得最大值为2800． 答：当售价为每件100元时，线上和线下销售量的和最大． 19．（1）解：抛物线方程为，令，得， 解得：，， 由图知，点在点的左侧， ∴，； （2）解：令，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：设直线的解析式为， 把，代入解析式得：， 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的横坐标为t，则， 又， ∴， ∴ ， ∵， ∴二次函数的图象开口向下， ∴当时，取最大值，此时点的坐标为； （4）解：设， ∵，， ∴，，； ∵是等腰三角形， ∴分三种情况讨论： ①当时，， 解得， ∴； ②当时，， 解得或, ∴或； ③当时，， 解得或（不合题意，舍去） ∴, 综上，点的坐标为或或或． 20．（1）解：抛物线的图象与轴交于、两点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴，解得， 抛物线所对应的函数表达式为：． （2）解：点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ， 对于抛物线，令，得， ， 设直线解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线解析式为， 设，则， 令，得， ， ，， ，是等腰直角三角形，， 如图，过点作于，则点是的中点， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 即的边上的高的最大值为． （3）解：当点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线于点， ，，， ，， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设直线解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线解析式为， 联立，解得或， ； 当点位于下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接， 对于抛物线， 令，得， 解得或， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ，即， ， 点与点重合， ， 综上所述：或． 学科网（北京）股份有限公司 $