精品解析：浙江杭州市富阳区2025-2026学年第二学期九年级期中抽测数学试题卷

2025学年第二学期九年级期中抽测数学试题卷 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 5．本试题卷中“连接”与“连结”同义． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 2的倒数是（   ） A. 2 B. C. D. -2 2. 地球与太阳的平均距离大约为，用科学记数法表示这个距离为（　　） A. 1.5 B. 1.5 C. 1.5 D. 0.1 3. 如图所示是一个六角螺母，这个几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在九年级学生评优活动中，综合成绩由“学业水平”和“综合素养”两项按比例组成．小康的“学业水平”为90分，“综合素养”为95分．两项的权重分别为和，则小康的综合成绩为（ ） A. 91 B. 92 C. 92.5 D. 94 6. 如图，已知与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比为，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 某车间有名工人生产太阳镜，名工人每天可生产镜片片或镜架个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，为反比例函数图象上的两个不同的点，且，则的值是（ ） A. 0 B. 正数 C. 负数 D. 非负数 9. 如图，正方形ABCD的边长为3，将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，在AB上滑动，同时点F在BC上滑动，当点F到达点C时，运动停止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线长为（　　） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，，动点从点出发以1个单位/秒速度向点做匀速运动，设，点运动时间为（秒）（），且关于的函数图象如图2所示，点和在函数图象上，且，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 当时，则点运动时间为2秒或8秒 C. 点在函数图象上 D. 当时，函数有最小值7 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：____________． 12. 若圆锥的底面半径为3，母线长为12，则侧面展开图的面积为____．（结果保留） 13. 现有6张标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，3，5的卡片在甲手中，标有数字2，4，6的卡片在乙手中．两人随机各出一张卡片，两张卡片上的数字之和大于7的概率是_____． 14. 如图，一次校园活动中无人机进行测量工作，当无人机上升到达点时，地面处的测量仪测得长6米，仰角为，．无人机直线上升到达点处，地面处的测量仪测得仰角为，点，，在同一直线上，已知，两处相距米，则的距离为_____米． 15. 一次函数的图象过点和，则不等式的解集是_____． 16. 如图，已知是的直径，弦于点，．点是劣弧上任意一点（不与点，重合），交于点，与的延长线相交于点，当时，则_____． 三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解分式方程：． 19. 如图，是一座桥梁的平面示意图，，，，垂足分别为点，，且． （1）证明：； （2）若，，求的长． 20. 某学校在体育周活动中组织了一次体育知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成统计图，如图所示： （1）把一班竞赛成绩统计图补充完整． （2）求出下表中a，b，c的值． 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 一班 a b 90 106.24 二班 87.6 80 c 138.24 （3）根据（2）中的数据，请你从平均数和方差的角度对这次竞赛成绩的结果进行分析． 21. 阅读理解下面内容，并解决问题： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，希望求出它的立方根，华罗庚脱口而出地报出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请阅读下面的问题和解答： ，，你能确定是几位数吗？ ，． 是两位数． 的个位上的数是，你能确定的个位上的数是几吗？ 只有个位数是的立方数的个位数依然是，的个位数是． 如果划去后面的三位得到，而，，由此你能确定其十位上的数是几吗？ ，．的十位数是． 所以，的立方根是． 问题：已知整数是整数的立方． （1）说明是一个几位数； （2）求的值． 22. 如图，在中，，，是上一点，是的外接圆．过点作的切线，交的延长线于点． （1）若，求的度数； （2）求证：． 23. 在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）． （1）若函数图象经过点，求函数图象的顶点坐标； （2）若函数图象经过点，，求证：； （3）已知函数图象经过点，，若对于任意的，都有成立，求的取值范围． 24. 如图1，在菱形中，，，点为线段上一动点，点与点关于对称，连接，，射线与射线交于点． （1）如图2，当点运动到中点时，点与重合，求的大小； （2）点在运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，请求出定值，若变化，请说明理由； （3）求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期九年级期中抽测数学试题卷 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． 5．本试题卷中“连接”与“连结”同义． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 2的倒数是（   ） A. 2 B. C. D. -2 【答案】B 【解析】 【详解】【分析】倒数定义：乘积为1的两个数互为倒数，由此即可得出答案. 【详解】∵2×=1， ∴2的倒数是， 故选B . 【点睛】本题考查了倒数的定义，熟知乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键. 2. 地球与太阳的平均距离大约为，用科学记数法表示这个距离为（　　） A. 1.5 B. 1.5 C. 1.5 D. 0.1 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，据此即可解答． 【详解】． 故选C． 【点睛】本题主要考查科学记数法，关键是掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，的值等于原数的整数位数． 3. 如图所示是一个六角螺母，这个几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据俯视图的定义，从物体的正上方往下看所得到的视图即为俯视图，观察该六角螺母的顶部形状及内部结构即可得出答案． 【详解】解：∵该几何体为六角螺母，其外部轮廓为正六棱柱，内部为圆柱形通孔， ∴从上往下看，其外部轮廓为正六边形， 又∵中间有一个圆形的孔，且从上方可见， ∴俯视图应为正六边形内部包含一个圆， 即这个几何体的俯视图为． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：与不是同类项，不能合并，选项A，B错误； ，选项C错误； ，选项D正确． 5. 在九年级学生评优活动中，综合成绩由“学业水平”和“综合素养”两项按比例组成．小康的“学业水平”为90分，“综合素养”为95分．两项的权重分别为和，则小康的综合成绩为（ ） A. 91 B. 92 C. 92.5 D. 94 【答案】B 【解析】 【详解】解：小康的综合成绩为：． 6. 如图，已知与位似，位似中心为，且的面积与的面积之比为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，位似比等于对应点到位似中心的距离之比作答即可． 【详解】解：与位似，位似中心为， ∴， ∵的面积与的面积之比为， ∴与的相似比为， ∵与是对应点， ∴． 7. 某车间有名工人生产太阳镜，名工人每天可生产镜片片或镜架个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题关键．根据题意，找出等量关系，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意，得：， 故选：A． 8. 已知，，为反比例函数图象上的两个不同的点，且，则的值是（ ） A. 0 B. 正数 C. 负数 D. 非负数 【答案】B 【解析】 【分析】先判断反比例函数图象的增减性，再根据，可得与同号，分两种情况讨论：，或，，根据函数的增减性判断即可． 【详解】解：对于反比例函数，， 反比例函数的图象位于二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ， 与同号，即，或，， 若，，假设，则有， ，， ； 若，，假设，则有， ，， ； 综上，的值恒为正数． 9. 如图，正方形ABCD的边长为3，将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，在AB上滑动，同时点F在BC上滑动，当点F到达点C时，运动停止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，连接BM，由题意得，线段QF的中点M所经过的路线长即为，因此只需要求出的长和，然后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接BM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠QBF=90°， ∵M是线段QF的中点， ∴， ∴M在以B为圆心，以的长为半径的圆上运动，Q与A点重合时此时线段QF的中点为M的起始位置，当F与C重合时，此时线段QF的中点为M的终点位置，即线段QF的中点M所经过的路线长即为， 当Q与A重合时， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABF=90°， ∴， ∴， ∴， ∵M是AF（QF）的中点， ∴， ∴， 同理可求得， ∴， ∴线段QF的中点M所经过的路线长， 故选C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质与判定，弧长公式，解题的关键在于能够求出． 10. 如图1，在中，，动点从点出发以1个单位/秒速度向点做匀速运动，设，点运动时间为（秒）（），且关于的函数图象如图2所示，点和在函数图象上，且，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 当时，则点运动时间为2秒或8秒 C. 点在函数图象上 D. 当时，函数有最小值7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的高知识，过C作于E，根据三线合一的性质得出，根据勾股定理求出，，则可求，根据二次函数的性质得出当时，y由最大值为，由点和在函数图象上，且可求出该抛物线的对称轴为直线，则，进而求出， ，即可判断选项A、C，把代入，求出对应的x，即可判断选项B，根据二次函数的增减性即可判断选项D． 【详解】解：由题意，得 如图，过C作于E， ∵， ∴， ∵，， ∴ ， ∴当时，y由最大值为， ∵点和在函数图象上，且， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ，故选项A错误； ∴顶点为，故选项C错误； 当时，， 解得或， ∴当时，则点运动时间为2秒或6秒，故选项B错误； 当时，y随x的增大而增大， 当时，； 当时，y随x的增大而减小， 当时，； 故当时，函数有最小值7， 故选项D正确； 故选：D． 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．该题直接利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 若圆锥的底面半径为3，母线长为12，则侧面展开图的面积为____．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】圆锥的侧面积（其中r为底面半径，l为母线长）． 【详解】解：由题意得，侧面展开图的面积为． 13. 现有6张标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，3，5的卡片在甲手中，标有数字2，4，6的卡片在乙手中．两人随机各出一张卡片，两张卡片上的数字之和大于7的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先画树状图得出所有等可能的结果，再找出满足条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中两张卡片上的数字之和大于的结果有种． 两张卡片上的数字之和大于的概率是． 14. 如图，一次校园活动中无人机进行测量工作，当无人机上升到达点时，地面处的测量仪测得长6米，仰角为，．无人机直线上升到达点处，地面处的测量仪测得仰角为，点，，在同一直线上，已知，两处相距米，则的距离为_____米． 【答案】4.4 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的定义，等腰三角形的判定. 先在中利用余弦的定义求出的长，结合的长求出的长，再在中利用等角对等边求出的长即可． 【详解】解：根据题意得， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ，  ， ． 15. 一次函数的图象过点和，则不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用待定系数法求出一次函数的系数和，再代入不等式，根据一元一次不等式的解法求解即可． 【详解】解： 一次函数的图象过点和， 将两点坐标代入得：， 解得：， 将，代入不等式， 可得：， 不等式两边同乘得：， 整理得：， 解得：． 16. 如图，已知是的直径，弦于点，．点是劣弧上任意一点（不与点，重合），交于点，与的延长线相交于点，当时，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】设圆的半径是r，，由，求出，得到，因此，推出，得到，代入有关数据即可求出的长，得到的长，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵弦于点E，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵直径， ∴， ∴， 设圆的半径是r，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【详解】解：原式． 18. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． 19. 如图，是一座桥梁的平面示意图，，，，垂足分别为点，，且． （1）证明：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， ， 在和中， ， ， ， ，即； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，得到，即可得证； （2）证明，得到，在中，由勾股定理求解的长，即可得解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：，， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ． 20. 某学校在体育周活动中组织了一次体育知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成统计图，如图所示： （1）把一班竞赛成绩统计图补充完整． （2）求出下表中a，b，c的值． 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 一班 a b 90 106.24 二班 87.6 80 c 138.24 （3）根据（2）中的数据，请你从平均数和方差的角度对这次竞赛成绩的结果进行分析． 【答案】（1） 补全条形图如下： （2） （3） 一班成绩的平均数（分），中位数是第13个数据，即中位数分， 二班成绩的众数分； 【解析】 【分析】（1）根据总人数为25人，求出等级C的人数，补全条形统计图即可； （2）求出一班的平均分与中位数得到a与b的值，求出二班的众数得到c的值即可； （3）在平均数相等的前提下，方差越小成绩越稳定，据此求解即可． 【小问1详解】 一班C等级人数为（人） 【小问2详解】 略 【小问3详解】 从平均数和方差的角度，一班和二班平均数相等，一班的方差小于二班的方差，故一班成绩好于二班． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图、中位数、众数、平均数和等知识，熟练掌握统计的相关知识是解题的关键． 21. 阅读理解下面内容，并解决问题： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，希望求出它的立方根，华罗庚脱口而出地报出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请阅读下面的问题和解答： ，，你能确定是几位数吗？ ，． 是两位数． 的个位上的数是，你能确定的个位上的数是几吗？ 只有个位数是的立方数的个位数依然是，的个位数是． 如果划去后面的三位得到，而，，由此你能确定其十位上的数是几吗？ ，．的十位数是． 所以，的立方根是． 问题：已知整数是整数的立方． （1）说明是一个几位数； （2）求的值． 【答案】（1） ，，， ． 是两位数； （2） 【解析】 【分析】（1）判断与、的大小关系，即可得解； （2）先判断个位数：根据一个数的立方的个位上的数就是这个数的个位上的数的立方的个位上的数，然后再判断十位数，即可得解． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：只有个位数是的立方数的个位数是， 的个位数是． 划去后面的三位得到， ，，， ， 的十位数是， 的立方根是，即． 22. 如图，在中，，，是上一点，是的外接圆．过点作的切线，交的延长线于点． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质定理得到，由余角的性质推出，由等腰三角形的性质得到； （2）由等腰三角形的性质推出，由三角形的外角性质得到，即可证明． 【小问1详解】 解：连接， ∵切圆于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略． 23. 在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）． （1）若函数图象经过点，求函数图象的顶点坐标； （2）若函数图象经过点，，求证：； （3）已知函数图象经过点，，若对于任意的，都有成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 证明：∵函数图象经过点，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）可求出，，则； （3）可得到二次函数开口向上，对称轴为直线，离对称轴越远函数值越大，则对于任意的，到对称轴的距离大于2，再分、、三种情况讨论求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， 离对称轴越远，函数值越大，又， ∴对于任意的，到对称轴的距离大于到对称轴的距离， 即到对称轴的距离的最小值大于2， 当时，离对称轴的最小值为，则，解得； 当时，离对称轴的最小值为0，不符合题意； 当时，离对称轴的最小值为，则，解得． 综上，或． 24. 如图1，在菱形中，，，点为线段上一动点，点与点关于对称，连接，，射线与射线交于点． （1）如图2，当点运动到中点时，点与重合，求的大小； （2）点在运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，请求出定值，若变化，请说明理由； （3）求的最大值． 【答案】（1） （2）不变化， （3）30 【解析】 【分析】（1）先证明、都是等边三角形，求出，由三线合一得，可求出，进而可求出的大小； （2）由轴对称的性质得，，得出，从而，设，则，，求出，然后利用三角形外角的性质即可求解； （3）连接，由，，可知点F在以点B为圆心，以10为半径的圆上运动，当经过点B时取得最大值20，进而可求出的最大值． 【小问1详解】 解：∵菱形中，，， ∴，， ∴、都是等边三角形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：的大小是否会发生变化，理由： 由轴对称的性质得，， ∵， ∴， ∴． 设，则， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3，连接， 由（1）知，，是等边三角形， ∴， ∵， ∴点F在以点B为圆心，以10为半径的圆上运动， ∴当经过点B时，取得最大值， ∴的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $