小升初奥数培优应用题：列方程解应用题（讲义）2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初奥数培优应用题：列方程解应用题 【知识点梳理】 1. 基本步骤 (1) 审：仔细阅读题目，理解题意，分清已知量和未知量。 (2) 设：设未知数。通常直接设所求量为 （直接设元）；若直接设元困难，可设中间量为 （间接设元）。 (3) 找：寻找等量关系。这是最关键的一步，常见的等量关系包括： 1　 总量 = 部分之和 2　 变化前后的不变量（如年龄差、路程、工作总量） 3　 公式类关系（如 ， ） (4) 列：根据等量关系列出方程。 (5) 解：解方程求出未知数的值。 (6) 验：检验解是否符合实际意义（如人数必须为整数，时间不能为负等）。 (7) 答：写出完整的答案。 2. 常见题型与设元技巧 (1) 和差倍分问题 1　 特征：涉及两个或多个数量的和、差、倍、分关系。 2　 技巧：通常设“1倍数”或较小的量为 ，其他量用含 的式子表示。 3　 示例：甲是乙的3倍，甲乙之和为40。设乙为 ，则甲为 ，方程： 。 (2) 行程问题 1　 相遇问题： 2　 追及问题： 3　 流水行船： a. b. 4　 技巧：画线段图辅助寻找等量关系，注意单位统一。 (3) 工程问题 1　 基本公式： 2　 技巧：若未给出具体工作总量，通常设工作总量为“1”。甲单独做需 天，则甲效率为 。 3　 合作问题： (4) 浓度问题 1　 基本公式： 2　 关键：抓住“溶质不变”或“溶剂不变”或“混合前后总溶质守恒”列方程。 (5) 盈亏问题与分配问题 1　 特征：物品分配给人，一种分法多（盈），一种分法少（亏）。 2　 技巧：设人数为 ，根据物品总数不变列方程；或设物品数为 ，根据人数不变列方程。 3. 易错点提示 1　 单位不统一：如时间一个是小时，一个是分钟，需先换算。 2　 忽略隐含条件：如“往返”意味着路程乘以2，“相向而行”意味着速度相加。 3　 解的合理性：方程解出 人，显然错误，需检查题目或计算。 【培优练习】 【基础巩固篇】 1. 一个数的3倍加上5等于这个数的5倍减去3，求这个数。 【详解】 设这个数为 。 根据题意得： 移项得： 【答案】4 2. 甲、乙两书架共有书360本，如果从甲书架取出20本放入乙书架，则甲书架的书是乙书架的 。求原来两书架各有多少本书？ 【详解】 设甲书架原有 本，则乙书架原有 本。 变化后：甲为 ，乙为 。 方程： 乙： 【答案】甲180本，乙180本 3. 爸爸今年40岁，儿子今年12岁，几年后爸爸的年龄是儿子年龄的2倍？ 【详解】 设 年后爸爸年龄是儿子的2倍。 【答案】16年 4. 某数加上6，乘以6，减去6，除以6，结果还是6，求这个数。 【详解】 设这个数为 。 【答案】1 5. 三个连续偶数的和是66，求这三个数。 【详解】 设中间的偶数为 ，则前一个为 ，后一个为 。 三个数为：20, 22, 24 【答案】20, 22, 24 【进阶提升篇】 6. 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，5小时到达。如果要4小时到达，每小时需要行多少千米？ 【详解】 设每小时需要行 千米。 路程不变： 【答案】75千米/小时 7. 鸡兔同笼，头共35个，脚共94只，问鸡和兔各有多少只？ 【详解】 设兔有 只，则鸡有 只。 兔脚4只，鸡脚2只。 鸡： 【答案】鸡23只，兔12只 8. 一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成。两人合作几天可以完成？ 【详解】 设两人合作 天完成。 把工程总量看作1。甲效率 ，乙效率 。 【答案】6天 9. 某商品按标价打八折出售，仍获利20%。若该商品进价为100元，求标价是多少？ 【详解】 设标价为 元。 售价 = 利润 = 售价 - 进价 = 利润率 = 【答案】150元 10. 学校买来足球和篮球共20个，共用去1000元。已知足球每个60元，篮球每个40元。求足球和篮球各买了多少个？ 【详解】 设足球买了 个，则篮球买了 个。 篮球： 【答案】足球10个，篮球10个 11. 一艘轮船在静水中的速度是20千米/时，水流速度是4千米/时。轮船从甲码头顺流航行到乙码头用了3小时，求甲乙两码头的距离。 【详解】 顺流速度 = 千米/时。 设距离为 （此题可直接算，若列方程可设距离为 ）。 【答案】72千米 12. 小明读一本书，第一天读了全书的 ，第二天读了全书的 ，还剩50页没读。这本书共有多少页？ 【详解】 设全书共有 页。 通分： 【答案】120页 13. 某校七年级学生外出春游，如果每辆车坐45人，则有15人没座位；如果每辆车坐60人，则空出一辆车。求共有多少辆车？多少名学生？ 【详解】 设共有 辆车。 根据学生人数不变列方程： 学生人数： 【答案】5辆车，240名学生 14. 甲、乙两地相距480千米，一列慢车从甲地开出，每小时行60千米；一列快车从乙地开出，每小时行100千米。两车同时开出，相向而行，几小时后相遇？ 【详解】 设 小时后相遇。 【答案】3小时 15. 现有浓度为20%的盐水100克，要把它变成浓度为25%的盐水，需要蒸发掉多少克水？ 【详解】 设蒸发掉 克水。溶质不变。 【答案】20克 【高阶挑战篇】 16. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲的速度是乙的1.5倍。相遇时，甲比乙多走了10千米。求A、B两地的距离。 【详解】 设乙走了 千米，则甲走了 千米。 甲走了 千米。 总距离 = 千米。 【答案】50千米 17. 某工厂生产一批零件，计划每天生产50个，实际每天生产60个，结果提前2天完成任务。这批零件共有多少个？ 【详解】 设计划生产 天。 零件总数不变： 零件总数： 个。 【答案】600个 18. 一个三位数，百位数字比十位数字大2，个位数字是十位数字的2倍，三个数位上的数字之和为14。求这个三位数。 【详解】 设十位数字为 。 则百位数字为 ，个位数字为 。 百位： 个位： 这个数是 536。 【答案】536 19. 商店以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%。在这次交易中，商店是赚了还是亏了？赚或亏了多少？ 【详解】 设盈利的那件衣服进价为 元，亏损的那件进价为 元。 对于盈利件： 对于亏损件： 总进价： 元。 总售价： 元。 元。 【答案】亏了10元 20. 某班同学去划船，如果增加一条船，每条船正好坐6人；如果减少一条船，每条船正好坐9人。问这个班共有多少名同学？ 【详解】 设原有船 条。 根据人数不变： 人数： 人。 验证： 人。 【答案】36名 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优应用题：列方程解应用题 【知识点梳理】 1. 基本步骤 (1) 审：仔细阅读题目，理解题意，分清已知量和未知量。 (2) 设：设未知数。通常直接设所求量为 （直接设元）；若直接设元困难，可设中间量为 （间接设元）。 (3) 找：寻找等量关系。这是最关键的一步，常见的等量关系包括： 1　 总量 = 部分之和 2　 变化前后的不变量（如年龄差、路程、工作总量） 3　 公式类关系（如 ， ） (4) 列：根据等量关系列出方程。 (5) 解：解方程求出未知数的值。 (6) 验：检验解是否符合实际意义（如人数必须为整数，时间不能为负等）。 (7) 答：写出完整的答案。 2. 常见题型与设元技巧 (1) 和差倍分问题 1　 特征：涉及两个或多个数量的和、差、倍、分关系。 2　 技巧：通常设“1倍数”或较小的量为 ，其他量用含 的式子表示。 3　 示例：甲是乙的3倍，甲乙之和为40。设乙为 ，则甲为 ，方程： 。 (2) 行程问题 1　 相遇问题： 2　 追及问题： 3　 流水行船： a. b. 4　 技巧：画线段图辅助寻找等量关系，注意单位统一。 (3) 工程问题 1　 基本公式： 2　 技巧：若未给出具体工作总量，通常设工作总量为“1”。甲单独做需 天，则甲效率为 。 3　 合作问题： (4) 浓度问题 1　 基本公式： 2　 关键：抓住“溶质不变”或“溶剂不变”或“混合前后总溶质守恒”列方程。 (5) 盈亏问题与分配问题 1　 特征：物品分配给人，一种分法多（盈），一种分法少（亏）。 2　 技巧：设人数为 ，根据物品总数不变列方程；或设物品数为 ，根据人数不变列方程。 3. 易错点提示 1　 单位不统一：如时间一个是小时，一个是分钟，需先换算。 2　 忽略隐含条件：如“往返”意味着路程乘以2，“相向而行”意味着速度相加。 3　 解的合理性：方程解出 人，显然错误，需检查题目或计算。 【培优练习】 【基础巩固篇】 1. 一个数的3倍加上5等于这个数的5倍减去3，求这个数。 2. 甲、乙两书架共有书360本，如果从甲书架取出20本放入乙书架，则甲书架的书是乙书架的 。求原来两书架各有多少本书？ 3. 爸爸今年40岁，儿子今年12岁，几年后爸爸的年龄是儿子年龄的2倍？ 4. 某数加上6，乘以6，减去6，除以6，结果还是6，求这个数。 5. 三个连续偶数的和是66，求这三个数。 【进阶提升篇】 6. 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，5小时到达。如果要4小时到达，每小时需要行多少千米？ 7. 鸡兔同笼，头共35个，脚共94只，问鸡和兔各有多少只？ 8. 一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成。两人合作几天可以完成？ 9. 某商品按标价打八折出售，仍获利20%。若该商品进价为100元，求标价是多少？ 10. 学校买来足球和篮球共20个，共用去1000元。已知足球每个60元，篮球每个40元。求足球和篮球各买了多少个？ 11. 一艘轮船在静水中的速度是20千米/时，水流速度是4千米/时。轮船从甲码头顺流航行到乙码头用了3小时，求甲乙两码头的距离。 12. 小明读一本书，第一天读了全书的 ，第二天读了全书的 ，还剩50页没读。这本书共有多少页？ 13. 某校七年级学生外出春游，如果每辆车坐45人，则有15人没座位；如果每辆车坐60人，则空出一辆车。求共有多少辆车？多少名学生？ 14. 甲、乙两地相距480千米，一列慢车从甲地开出，每小时行60千米；一列快车从乙地开出，每小时行100千米。两车同时开出，相向而行，几小时后相遇？ 15. 现有浓度为20%的盐水100克，要把它变成浓度为25%的盐水，需要蒸发掉多少克水？ 【高阶挑战篇】 16. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲的速度是乙的1.5倍。相遇时，甲比乙多走了10千米。求A、B两地的距离。 17. 某工厂生产一批零件，计划每天生产50个，实际每天生产60个，结果提前2天完成任务。这批零件共有多少个？ 18. 一个三位数，百位数字比十位数字大2，个位数字是十位数字的2倍，三个数位上的数字之和为14。求这个三位数。 19. 商店以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%。在这次交易中，商店是赚了还是亏了？赚或亏了多少？ 20. 某班同学去划船，如果增加一条船，每条船正好坐6人；如果减少一条船，每条船正好坐9人。问这个班共有多少名同学？ 学科网（北京）股份有限公司 $