精品解析：云南楚雄市永安中学等校2025-2026学年高三下学期联考数学试题

数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知全集， 则. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题知，故. 3. 已知向量，且，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，知，解得. 4. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】①当椭圆的焦点在轴上时，，解得； ②当椭圆的焦点在轴上时，，解得， 所以或. 5. 已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合指对数函数、二次函数单调性列出不等式组求解. 【详解】由函数在上都单调递增， 得函数在上单调递增， 由函数在上单调递增，得，解得， 所以的取值范围是. 6. 甲､乙､丙等7位同学和1位老师共8人合影，已知老师的左边站4人，右边站3人，若甲和乙相邻，丙站在老师的右边，则共有（ ）种不同的排法. A. 528 B. 312 C. 264 D. 216 【答案】A 【解析】 【分析】先固定老师位置，再分甲乙在老师左侧、右侧两种情况，分别计算位置选择数、甲乙排列数与其余人排列数，最后相加得总排法数. 【详解】按照的序号进行编号，老师的左边编号，右边编号， 若甲乙站在老师的左边，则安排情况为，共3种选择， 甲乙可互换位置，丙排在右侧有3种选择，剩下的4人有种排法， 因此甲乙站在老师左边时共有种排法； 若甲乙站在老师的右边，则安排情况为，共2种情况， 甲乙可互换位置，丙只有一种选择，剩下的4人有种排法， 因此甲乙站在老师的右边时共有种排法， 所以不同的排法共有种情况. 7. 已知函数，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，因为，所以，进而可得，因为存在唯一实数，结合正弦函数的图象性质，可得，求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，则. ，总存在唯一实数，使得， 即，使得在上有唯一解， 因为，所以， 因为总存在唯一实数，使得， 所以，即. 8. 已知点在曲线上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将曲线方程化为半圆，目标式转化为点到直线距离的5倍，利用圆心到直线的距离与半径的关系求出最小距离，再结合半圆端点求出最大距离，从而得到取值范围. 【详解】由，得，所以曲线是以点为圆心，2为半径的圆去掉轴下面的部分. 到直线的距离为，所以表示点到直线的距离的5倍. 又点到直线的距离为，所以点到直线的距离的最小值为； 过圆心作直线的垂线与半圆的交点中，远离直线的那个交点不在上半圆上，因此最大值只能出现在半圆端点， 所以当点与点重合时到直线0的距离最大，最大距离为，所以点到直线的距离的最大值为， 故的取值范围为. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若样本数据的极差为，则样本数据的极差为 B. 若样本数据的中位数为，则样本数据的中位数为 C. 若样本数据的平均数为，则样本数据的平均数为 D. 若样本数据的方差为，则样本数据的方差为 【答案】AC 【解析】 【分析】使用中位数，平均数，极差，方差的定义求解. 【详解】若样本数据的极差为，中位数为，平均数为，方差为，则样本数据的极差为，选项正确； 中位数为，选项错误； 平均数为，选项正确； 方差为，选项D错误. 10. 在中，角所对的边分别为，且，则（ ） A. B. 为钝角三角形 C. 的面积为4 D. 外接圆的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由余弦定理计算判断A；根据大边对大角结合余弦定理计算判断B；根据三角形面积公式计算判断C；根据正弦定理计算判断D. 【详解】对于A，由余弦定理知， 因为，所以，A正确； 对于B，因为，所以最大， 由余弦定理知， 所以，故为钝角三角形，B正确； 对于C，的面积，C错误； 对于D，因为， 所以外接圆的半径， 所以外接圆的面积为，D正确. 11. 已知函数的图象与直线交于不同的三点，，且，则（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】先通过对称性、导数与极值判断选项A、B的正确性，再利用三次方程韦达定理结合函数根的分布分析选项C、D的取值范围. 【详解】对于A：因为，所以的图象关于点中心对称，A正确； 对于B：，令，得或；令0，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极大值，极大值为； 当2时，取得极小值，极小值为， 作出函数的大致图象，如图所示， 要使得函数的图象与直线交于不同的三点，则，B正确； 对于C：令，解得或；令，解得或，所以. 令，则的三个根分别为， 则， 所以，由于，所以， 即的取值范围是，C错误； 对于D：. 因为，所以当时，，当时，， 所以的取值范围是，D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由，知. 又，所以. 13. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为__________. 【答案】34 【解析】 【详解】由题知，由双曲线的定义，知， 故的周长为. 14. 已知正方体的棱长为是侧面上一动点（包括边界），且是棱上一点，则当三棱锥的体积最大时，线段的长为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系后，可求出各点坐标，设，由可得、间关系，再表示出棱锥的体积后可求出三棱锥的体积最大时的、，即可得点坐标，即可得长度. 【详解】如图，以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设点的坐标为，则， 由，得，整理得， 其中，所以点的轨迹为以点为圆心， 为半径的圆在侧面内的一段圆弧， 过点作，因为平面，所以平面， 即平面，所以为三棱锥的高， 所以三棱锥的体积， 因为，所以， 所以当时，取最大值，最大值为， 所以当，时，三棱锥的体积取最大值， 此时. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某校为调查学生对“大语言模型”的了解程度，随机抽取70名男生和30名女生参加“大语言模型”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为了解，其他为不了解，统计并得到如下列联表： 男生 女生 合计 了解 50 15 65 不了解 20 15 35 合计 70 30 100 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为对“大语言模型”的了解程度与性别有关联？ （2）从样本中的70名男生中，按对“大语言模型”的了解程度，通过分层随机抽样抽取7人，再从这7人中抽取2人进行调研，记抽出的2人中对“大语言模型”了解的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）认为对“大语言模型”的了解程度与性别有关联. （2） 0 1 2 数学期望. 【解析】 【分析】（1）使用的计算公式求解； （2）使用超几何分布概率公式求解. 【小问1详解】 零假设：对“大语言模型”的了解程度与性别无关联. 根据表中数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以认为对“大语言模型”的了解程度与性别有关联. 【小问2详解】 由题知抽取的7名男生中，对“大语言模型”了解的有人， 对“大语言模型”不了解的有人， 则再从这7人中选取2人，的可能取值为， ， 所以的分布列为 0 1 2 数学期望. 16. 已知等差数列，等比数列满足. （1）分别求数列的通项公式； （2）记分别是数列的前项和，，判断2027是否是数列中的项. 【答案】（1）， （2）不存在 【解析】 【分析】（1）根据等差数列、等比数列的定义结合题意求得，后可得通项公式； （2）根据等差数列、等比数列前项和公式求得数列的通项公式，根据数列单调性判断求解. 【小问1详解】 设的公差为，由题知，，即，解得， 所以. 设的公比为，则，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以，易知数列是递增数列. 又因为， 所以不存在，使得，即2027不是数列的项. 17. 如图，在四棱柱中，底面是边长为2的正方形，底面，为的中点. （1）证明：平面； （2）若点是线段上靠近的三等分点，求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明: 因为底面是正方形，是的中点，所以 因为底面平面，所以. 又平面，所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正方形对角线互相垂直和侧棱垂直底面，证明同时垂直于平面内的两条相交直线和，从而推出垂直于平面； （2）以为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，再计算向量与法向量的夹角正弦，即得线面角. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 设平面的法向量为， 则取，得，则. 又， 所以. 设直线与平面所成的角为，则. 因为，所以，即直线与平面所成的角为. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，判断的单调性，并求出的极值； （3）若，求的最大值. 【答案】（1） （2）的单调递减区间为，单调递增区间为；时，取得极小值 （3）2. 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，根据导数可得函数的单调区间，根据极值的概念可得极值； （3）分离参数，令，，求导根据导数及对勾函数性质可解. 【小问1详解】 当时，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由（1）知. 令，则， 所以在上单调递增. 又，所以当时，，即 所以在区间上单调递减； 当时，，即， 所以在区间上单调递增， 所以当时，取得极小值. 【小问3详解】 ，即恒成立，等价于恒成立， 即恒成立. 令，令， 易知在上单调递增，且， 所以存在，使得，即. 当时，，当时， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以. 又在上单调递减，所以， 即，所以， 又因为，所以的最大值为2. 19. 已知抛物线的焦点为为上位于第一象限的点，过点作的切线与的准线交于点，直线与交于两点（点在线段之间），直线（为坐标原点）与交于另一点，直线和相交于点.当点的纵坐标为时，. （1）求的方程； （2）证明：三点共线； （3）若的面积是的面积的25倍，求点的坐标. 【答案】（1） （2） 由（1）知的准线方程为，焦点. 设点（其中且），则直线的方程为，整理得. 联立方程，消去后整理得. 由直线与相切，可知，所以，直线的方程为. 由点在直线上，知. 由直线的方程为，联立方程，得点的坐标为 设，直线的方程为，整理得. 联立方程，消去后整理得，所以. 直线的方程为，又，所以直线的方程为. 又，所以直线的方程为. 直线的斜率为， 直线的方程为，整理得. 联立方程，解得. 由，得， 所以点的坐标为. 直线的斜率， 直线的斜率， 所以，所以三点共线. AI （3）或. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义和抛物线的标准方程求解； （2）联立直线与抛物线方程，消元，韦达定理，分别表示直线与直线的斜率，证明斜率相等求解； （3）联立直线与的方程，解出两点的坐标求解. 【小问1详解】 由题知，点，点，由，得， 解得， 故的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知联立直线与的方程消去后整理得， 代入，得，整理得， 即，解得或. 将代入直线的方程，得， 所以直线的方程为. 将代入直线的方程，得， 将代入直线的方程，得. 又且，所以，点的坐标为，点的坐标为， 故 . 由的面积是的面积的25倍，知，解得或， 所以点的坐标为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，且，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 甲､乙､丙等7位同学和1位老师共8人合影，已知老师的左边站4人，右边站3人，若甲和乙相邻，丙站在老师的右边，则共有（ ）种不同的排法. A. 528 B. 312 C. 264 D. 216 7. 已知函数，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在曲线上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若样本数据的极差为，则样本数据的极差为 B. 若样本数据的中位数为，则样本数据的中位数为 C. 若样本数据的平均数为，则样本数据的平均数为 D. 若样本数据的方差为，则样本数据的方差为 10. 在中，角所对的边分别为，且，则（ ） A. B. 为钝角三角形 C. 的面积为4 D. 外接圆的面积为 11. 已知函数的图象与直线交于不同的三点，，且，则（ ） A. 的图象关于点中心对称 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 13. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的周长为__________. 14. 已知正方体的棱长为是侧面上一动点（包括边界），且是棱上一点，则当三棱锥的体积最大时，线段的长为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某校为调查学生对“大语言模型”的了解程度，随机抽取70名男生和30名女生参加“大语言模型”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为了解，其他为不了解，统计并得到如下列联表： 男生 女生 合计 了解 50 15 65 不了解 20 15 35 合计 70 30 100 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为对“大语言模型”的了解程度与性别有关联？ （2）从样本中的70名男生中，按对“大语言模型”的了解程度，通过分层随机抽样抽取7人，再从这7人中抽取2人进行调研，记抽出的2人中对“大语言模型”了解的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16. 已知等差数列，等比数列满足. （1）分别求数列的通项公式； （2）记分别是数列的前项和，，判断2027是否是数列中的项. 17. 如图，在四棱柱中，底面是边长为2的正方形，底面，为的中点. （1）证明：平面； （2）若点是线段上靠近的三等分点，求直线与平面所成角的大小. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，判断的单调性，并求出的极值； （3）若，求的最大值. 19. 已知抛物线的焦点为为上位于第一象限的点，过点作的切线与的准线交于点，直线与交于两点（点在线段之间），直线（为坐标原点）与交于另一点，直线和相交于点.当点的纵坐标为时，. （1）求的方程； （2）证明：三点共线； （3）若的面积是的面积的25倍，求点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $