精品解析：云南大理白族自治州民族中学2027届高三首考数学试题

大理白族自治州民族中学2027届高三首考 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，为虚数单位，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法及复数的模即可求解. 【详解】，所以. 故选：C. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式可得：或， 据此可知：是的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 3. 在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果. 【详解】根据向量的运算法则，可得 ， 所以，故选A. 【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 4. 为了解“双减”政策实施后学生每天的体育活动时间，研究人员随机调查了该地区1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，经整理得到如图的频率分布直方图，则可以估计该地区学生每天体育活动时间的第25百分位数约为（ ） A. 42.5分钟 B. 45.5分钟 C. 47.5分钟 D. 50分钟 【答案】C 【解析】 【分析】由频率之和为1求出，利用求百分位数的公式进行求解. 【详解】由频率之和为1得：， 解得：， 由，， 故第25百分位数位于内， 则第25百分位数为， 可以估计该地区学生每天体育活动时的第25百分位数约为47.5 故选：C 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用函数的奇偶性排除部分选项，再取特殊值判断即可. 【详解】因为，所以是奇函数，排除AC， 又因为，排除B， 故选：D. 6. 将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为 A. 540 B. 300 C. 180 D. 150 【答案】D 【解析】 【详解】将５分成满足题意的３份有１，１，３与２，２，１两种，所以共有种方案，故Ｄ正确． 7. 若函数存在极值点，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出函数的导函数，让导函数等于零，通过方程解的情况，判断极值点问题. 【详解】, 当时，，，时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以是函数的极值 点，符合题意； 当时，要想有极值点，只需，所以且， 综上所述实数的取值范围是，故本题选A. 【点睛】本题考查了已知函数的极值情况，求参数问题.解决此类问题的关键是转化为方程有无实数解的问题. 8. 已知函数在R上满足，且当时，成立，若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，根据已知条件，判断的奇偶性和单调性，根据函数性质比较函数值即可. 【详解】根据题意，令，且， ，则为奇函数， 当时，，则在上单调递减， 又为奇函数，则在上单调递减， 在上连续，所以在上为减函数， ， 因为，则. 故选：B 二、多选题：共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法以及二项式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，， 令，得，所以A选项正确. 令，得，所以， 所以B选项错误. 令，得，所以C选项正确. 由于二项式展开式的通项公式为， 所以为正数，为负数， 所以，所以D选项正确. 故选：ACD 10. 在中，，，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 外接圆的直径是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二倍角余弦公式计算判断A，根据余弦定理求解判断B，根据同角三角函数关系及三角形面积公式求解判断C，根据正弦定理求解判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由A选项知， 由余弦定理得. 故，故B正确； 对于C，由于在中，，故， 所以， 所以，故C错误； 对于D，设外接圆半径为R， 则由正弦定理得，故D正确. 故选：ABD 11. 某儿童乐园有甲、乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.5，则王同学（ ） A. 第二天去甲游乐场的概率为0.54 B. 第二天去乙游乐场的概率为0.44 C. 第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为 D. 第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用条件概率公式、全概率公式以及对立事件的概率计算公式一一代入计算即可. 【详解】设事件：小王同学第一天去甲游乐场，事件：小王同学第二天去甲游乐场， 事件：小王同学第一天去乙游乐场，事件：小王同学第二天去乙游乐场， 则，，，， 所以， 故选项A正确； ，故选项B不正确； 因为，， 所以，， 所以，故选项C正确； ， 故选项D不正确， 故选:AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，代入计算，即可求解. 【详解】由，则 13. 某射手每次射击击中目标的概率是0.8，则这名射手在3次射击恰好有1次击中目标的概率是_________. 【答案】0.096 【解析】 【分析】 根据独立重复试验的概率计算公式直接求解出结果即可. 【详解】根据独立重复试验的概率计算公式可知：， 故答案为：. 14. 我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”(如图所示)，其中底面，，，，则该“阳马”的外接球的体积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出四棱锥的外接球的半径，进一步求出球的表面积. 【详解】解：根据底面，，，，且四边形为矩形， 所以：，，， 设该阳马的外接球半径为， 所以， 解得， 则：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个. （1）用表示取到的豆沙粽的个数，求的分布列； （2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率. 【答案】（1）分布列见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）首先求随机变量，再利用古典概型求概率； （2）根据（1）的结果求概率. 【详解】（1）由条件可知， ，，， 所以的分布列，如下表， （2）选取的2个中至少有1个豆沙粽的对立事件是一个都没有， 则选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率. 16. 已知等差数列的前项和为，且满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1）； （2） 由（1）知，. 所以， 化简得：，由于，所以. 故可得. 【解析】 【分析】（1）直接计算等差数列的基本量，从而可得通项公式； （2）直接用裂项求和法可得前n项和，进而可证不等式. 【小问1详解】 因为等差数列中，，，所以，解得： 所以. 【小问2详解】 略 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，⊥平面，，. （1）求证：⊥平面； （2）求二面角余弦值的大小； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出点的坐标，即可得到，，从而得证； （2）（3）利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 证明：建立如图所示的直角坐标系， 则、、． 在中，，， ∴． ∴、， ∴，，， ∵，， 即，， 又，平面， ∴⊥平面； 【小问2详解】 由（1）得，． 设平面的法向量为， 则，即，故平面的法向量可取为， ∵平面， ∴为平面的一个法向量． 设二面角的大小为，由图易得为锐角， 依题意可得，即二面角余弦值为． 【小问3详解】 由（1）得，， 设平面的法向量为，则， ∴，故可取为． ∵， ∴到平面的距离为. 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若对于任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2）的单调递增区间是；的单调递减区间是（3）. 【解析】 【分析】 （1）先求得导函数，由导数的几何意义求得切线的斜率，再求得切点坐标，即可由点斜式得切线方程； （2）求得导函数，并令求得极值点，结合导函数的符号即可判断函数单调区间； （3）将不等式变形，并分离参数后构造函数，求得并令求得极值点，结合极值点左右两侧的单调性和端点求得最值，即可确定的取值范围. 【详解】（1）因为函数， 所以，. 又因为，则切点坐标为， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）函数定义域为， 由（1）可知，. 令解得. 与在区间上的情况如下： － 0 ＋ ↘ 极小值 ↗ 所以，的单调递增区间是； 的单调递减区间是. （3）当时，“”等价于“”. 令，，，. 令解得， 当时，，所以在区间单调递减. 当时，，所以在区间单调递增. 而，. 所以在区间上的最大值为. 所以当时，对于任意，都有. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，由导函数求函数的单调区间，分离参数法并构造函数研究参数的取值范围，由导数求函数在闭区间上的最值，属于中档题. 19. 已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. （1）求的标准方程； （2）若线段的中点为，求直线的方程； （3）若（不在直线上），证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）. （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案； （3）设直线的方程为，联立方程组消元得到通过韦达定理有，，结合，化简得，解得或，当和时，分别分析直线的方程，进而求得定点； 【小问1详解】 因为，， 所以，故的标准方程为· 【小问2详解】 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. 【小问3详解】 证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大理白族自治州民族中学2027届高三首考 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，为虚数单位，则（ ） A. 2 B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 4. 为了解“双减”政策实施后学生每天的体育活动时间，研究人员随机调查了该地区1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，经整理得到如图的频率分布直方图，则可以估计该地区学生每天体育活动时间的第25百分位数约为（ ） A. 42.5分钟 B. 45.5分钟 C. 47.5分钟 D. 50分钟 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为 A. 540 B. 300 C. 180 D. 150 7. 若函数存在极值点，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知函数在R上满足，且当时，成立，若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，，，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 外接圆的直径是 11. 某儿童乐园有甲、乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.5，则王同学（ ） A. 第二天去甲游乐场的概率为0.54 B. 第二天去乙游乐场的概率为0.44 C. 第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为 D. 第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________. 13. 某射手每次射击击中目标的概率是0.8，则这名射手在3次射击恰好有1次击中目标的概率是_________. 14. 我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”(如图所示)，其中底面，，，，则该“阳马”的外接球的体积为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个. （1）用表示取到的豆沙粽的个数，求的分布列； （2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率. 16. 已知等差数列的前项和为，且满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：. 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，⊥平面，，. （1）求证：⊥平面； （2）求二面角余弦值的大小； （3）求点到平面的距离． 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若对于任意，都有，求实数的取值范围. 19. 已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. （1）求的标准方程； （2）若线段的中点为，求直线的方程； （3）若（不在直线上），证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $