精品解析：云南楚雄市紫溪中学2025-2026学年高三下学期4月月考数学试题

云南楚雄市紫溪中学2025-2026学年高三下学期4月月考数学试题 本试卷总分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，， 所以. 2. 已知平面向量，，若，则（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求解即可. 【详解】根据题意，平面向量，，且， 所以，解得. 故选：B 3. （ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式先求出的值，再利用正切和角公式的逆用可得得值. 【详解】， ， 所以原式. 故选：B. 4. 已知抛物线的焦点为，点在上，过作的准线的垂线，垂足为，若直线BF的方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】求出焦点坐标，得出抛物线方程，即可得解. 【详解】由于，令，得， 所以，即抛物线， 故的准线方程为， 故，则， 代入，得， 所以. 5. 函数的大致图象为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除D；利用函数值正负排除AC，即可得到答案. 【详解】函数的定义域为， 而， 所以是奇函数，图象关于原点对称，排除D； 当时，，排除C； 当时，，排除A，而B满足条件． 故选：B 6. 某校安排高一年级班共个班去五个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一班恰被安排到基地的排法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分两步完成，先随机选两个班为一组，然后再将需要排列的班级进行排列，这样就能算出全部的排法. 【详解】先将6个班中随机挑选两个班为一组，共有种排法， 再将含高一班这个组安排去基地，有种方法， 最后将剩下4个班（组）全排列，即由种排法， 所以共有种排法. 故选：C. 7. 已知点在直线上，且，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，得到点到直线的距离的取值范围，由，得到的范围. 【详解】圆心到直线的距离为， 则点到直线的距离的取值范围为， 由，得到. 故选：B. 8. 函数的两个极值点满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据极值点为导函数的零点，整理变形得，然后令代入后表示出，代入目标式转化为关于的函数，利用导数求最值即可. 【详解】由题知，函数的定义域为，， 因为有两个极值点，所以，，则，① 令，因为，所以， 将代入①整理可得，， 所以， 令，则， 设，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某厂生产的一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设表示其体温误差，且，则下列结论正确的是（ ） （附：） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正态分布确定期望和方差，再由三段区间的概率及对称性求对应概率判断各项的正误. 【详解】由题设，， ，， 故选：ABD 10. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．设函数，若的最小值为，则（ ） A. B. 直线是图象的一条对称轴 C. 点是图象的一个对称中心 D. 在上单调递增 【答案】AC 【解析】 【详解】由题可得，则，解得， 因为，所以当时，有最小值，即，则，故A正确； 因为+2，则， 所以直线不是图象的一条对称轴，故B错误； ，故点是图象的一个对称中心．故C正确； 当时，，所以在上不单调，故D错误． 11. 如图，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. ，，三点共线 C. D. 平面平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面平行，线面垂直，面面垂直的判定定理进行证明来判断. 【详解】对于A，，平面，平面，//平面， ，平面，平面，平面， ，平面平面， 平面，平面，故选项A正确； 对于B，为的中点，为与的交点， 平面平面， 直线交平面于点，， ，，三点共线，故选项正确； 对于C，，，，平面， 而平面，则不成立，故选项C错误； 对于D，，，，平面， 平面，，同理，， ，平面， 平面，平面平面，故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得， 所以． 13. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇偶性和周期性求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，所以， 所以4），故是周期为4的周期函数， 所以， 又因为，所以． 14. 已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的基本性质，和椭圆离心率的定义，利用向量共线，求出点的坐标，进而求出离心率. 【详解】设椭圆的焦距为，设，所以，因为，所以，即，即， 因为点在椭圆上，所以，所以，所以的离心率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. （1）求； （2）已知的角平分线CD交AB于点，若，求的面积及CD的长． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简求解即可； （2）利用余弦定理及面积公式解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 又因为，所以，可得， 又因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，又， 利用余弦定理得，可得， 因为，所以， 所以的面积， 又因为的角平分线CD交AB于点， 所以， 可得， 解得. 16. 已知数列为等差数列，为数列的前项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得的值，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）得，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，可得，即， 解得，所以， 所以数列的通项公式为 【小问2详解】 由（1）知：，所以， 则 . 17. 已知函数． （1）若，讨论的单调性； （2）若有两个极值点，求的取值范围． 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，利用导数求函数单调区间即可； （2）由题意可转化为与有两个不同交点，利用导数分析函数的极值、单调性，作出函数大致图象，数形结合求解. 【小问1详解】 当时，函数． 所以． 显然当或时，单调递增； 当时，单调递减． 故在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 若有两个极值点，则有两个不同的变号零点． 令，即有两个不同的变号零点． 则． 易知当时，单调递增； 当或时，单调递减． 故当时．取得极小值，也是最小值， 当时，取得极大值． 又．当时，． 所以．当时．，当时，． 作出大致图象如图所示： 要使得有两个不同的根，只需与有两个不同交点． 由图可得． 注意到当时，在附近，， 即，不符合题意，舍去． 所以的取值范围是． 18. 某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． （1）若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； （3）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由． 【答案】（1） （2）的分布列为： -3 1 5 9 数学期望为 （3），理由如下： 当时，为甲校友答对题目的数量， 由题意可知，其中， 故当时，甲校友获得奖励的概率， 当时，甲校友获得奖励的情况可以分为如下情况： ①前8题答对题目的数量大于等于5， ②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题， ③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对， 故当时，甲校友获得奖励的概率， 所以， 因为，所以，即， 所以甲校友应选． 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求解， （2）根据概率乘法公式求解概率，即可求解分布列和期望， （3）对和求解对应的概率，利用作差法比较大小即可求解. 【小问1详解】 设“甲校友所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球相关知识的题目”， “所选的题目为足球相关知识的题目”， “所选的题目为排球相关知识的题目”， 则，且两两互斥． 根据题意得，，，， 则， 所以甲校友在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为． 【小问2详解】 的可能取值为， ， ， ， ， 则的分布列为： -3 1 5 9 所以． 【小问3详解】 略 19. 已知双曲线的焦距为，且过点． （1）求的方程． （2）设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于P，Q两点． （i）证明：直线AP和AQ斜率的乘积为定值． （ii）若直线AP，AQ与圆分别交于M，N两点，记四边形PQNM的面积为的面积为，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）证明： 由（1）知，， 由题意可知直线的斜率不为0，设直线， 联立得， 因为直线与的右支交于两点． 所以，解得， 又， 则 （ii） 【解析】 【分析】（1）根据焦距及双曲线上的点联立方程求出即可求解； （2）（i）设直线的方程为，，.把直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理，表示，化简即可； （ii）设：，：，与双曲线方程联立，可表示出点的纵坐标，与圆联立，可表示点的纵坐标,根据（i）的结论，可探索的关系，表示出，结合换元法可求的取值范围. 【小问1详解】 由题意得，，解得 所以的方程为． 【小问2详解】 （i）略； （ii）设，且， 联立，得， 所以，同理可得． 联立，得． 所以，同理可得， 所以 ． 因为，所以，所以， 所以， 又因为，所以． 令，由，得， 所以， 令， 因为在区间上为增函数，所以的取值范围为， 又因为． 所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南楚雄市紫溪中学2025-2026学年高三下学期4月月考数学试题 本试卷总分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，，若，则（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 3. （ ） A. 0 B. C. 2 D. 4. 已知抛物线的焦点为，点在上，过作的准线的垂线，垂足为，若直线BF的方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 5. 函数的大致图象为（ ）． A. B. C. D. 6. 某校安排高一年级班共个班去五个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一班恰被安排到基地的排法种数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在直线上，且，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的两个极值点满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某厂生产的一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设表示其体温误差，且，则下列结论正确的是（ ） （附：） A. B. C. D. 10. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．设函数，若的最小值为，则（ ） A. B. 直线是图象的一条对称轴 C. 点是图象的一个对称中心 D. 在上单调递增 11. 如图，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. ，，三点共线 C. D. 平面平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 13. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则____________． 14. 已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. （1）求； （2）已知的角平分线CD交AB于点，若，求的面积及CD的长． 16. 已知数列为等差数列，为数列的前项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17. 已知函数． （1）若，讨论的单调性； （2）若有两个极值点，求的取值范围． 18. 某校为庆祝建校百年，学校组织建校百年校友体育赛，赛事间隙举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为．甲校友回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为． （1）若甲校友在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲校友从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得分．设该校友回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； （3）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲校友在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由． 19. 已知双曲线的焦距为，且过点． （1）求的方程． （2）设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于P，Q两点． （i）证明：直线AP和AQ斜率的乘积为定值． （ii）若直线AP，AQ与圆分别交于M，N两点，记四边形PQNM的面积为的面积为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $