第六讲 特殊四边形的综合问题【重点难点突围专项练】-2026年中考数学二轮专题复习（江苏专用）

**基本信息** 聚焦江苏中考特殊四边形综合问题，通过“题型讲练+分层训练”系统构建折叠、旋转等五大题型的解题方法体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |折叠问题|1典例+3变式|轴对称性质+方程思想|矩形/正方形性质→折叠后线段角关系| |旋转问题|1典例+3变式|全等/相似判定+动态轨迹|图形旋转→不变量与最值探究| |最值问题|1典例+3变式|将军饮马模型+函数思想|特殊四边形性质→线段/面积最值转化| |中点四边形|1典例+3变式|中位线定理+图形迭代|原四边形性质→中点四边形形状判定| |动态问题|1典例+3变式|分类讨论+运动轨迹分析|点/图形运动→几何量关系动态变化|

第六讲 特殊四边形的综合问题『重点难点突围专项练（江苏专用）』 （五大题型讲练+难度分层练 共40题） 【原卷版】 简介 蓄力升学 逐梦前行 『真题溯源·江苏专版』本资料深度剖析江苏省近两年中考真题及前沿模拟题，直击中考高频考点，精准锁定每年必考的常考题型与思想方法，让你的练习不偏科、不做无用功。 【第一部分 题型讲练·模型拆解】采用“例题精讲+变式训练”模式，对每类重难点题型进行标准化拆解。配套详尽的解题思路与规范步骤，不仅教会你如何解题，更传授得分技巧，帮你建立满分思维。 【第二部分 能力分层·稳步提升】科学设置20题分层训练： 1. 基础能力提升（10题）：快速夯实核心考点，确保基础分不丢分； 2. 拔尖突破冲刺（10题）：聚焦易错题与综合压轴题，挑战思维极限，实现分数阶梯式增长。 『助力升学·决胜考场』依托真题本源，对标中考难度。这套讲义是你通往理想高中的坚实阶梯，愿你以梦为马，提笔为剑，在中考战场上披荆斩棘，金榜题名！ 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 特殊平行四边形中的折叠问题 题型二 特殊平行四边形中旋转问题 题型三 特殊平行四边形最值问题 题型四 特殊平行四边形中点四边形问题 题型五 特殊平行四边形中的动态问题 第一部分 精讲变式 融会贯通 【考向一 特殊平行四边形中的折叠问题】 【典例精讲】（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，将矩形沿（点E在边上）折叠，使点B落在边上的点F处，若，则_______． 【变式训练1】（2026·江苏南通·一模）如图，把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴、y轴上，连接，将矩形纸片沿折叠，使点B落在点D的位置，若，则点D的横坐标是______． 【变式训练2】（2026·江苏盐城·模拟预测）【情境】 图①的正方形通过裁剪拼接可以得到图②所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片拼接不重叠，无缝隙，无剩余） 【操作】 如图③，小明将正方形沿虚线对折，再沿，裁剪后按照图④所示进行拼接．根据小明的剪拼过程，解答问题： (1)求线段的长； (2)求点到直线的距离； 【探究】 小明说：将图①所示纸片沿一条直线（裁剪线为线段）裁剪出一部分，再将剪出的部分剪成两块，还可以拼成如图⑤的铅笔头型五边形． (3)请你按照小明的说法设计一种方案：在备用图中正方形的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线的位置及完成拼接的大致图形，并直接写出的长． 【变式训练3】（2025·江苏镇江·二模）如图，已知正方形的边长为4，E是边延长线上一点，是边上一点，将沿翻折，如果点的对应点恰落在边上，连接交折痕于点H，若，则的值为______． 【考向二 特殊平行四边形中旋转问题】 【典例精讲】（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，点D是平面内一动点，且D、B两点之间的距离为5，连接、，则的最小值为__________． 【变式训练1】【特例感知】 （1）如图1，已知和是等边三角形，直接写出线段与的数量关系是________； 【类比迁移】 （2）如图2，和是等腰直角三角形，，请写出线段与的数量关系，并说明理由． 【方法运用】 （3）如图3，若，点是线段外一动点，，连接．若将绕点逆时针旋转得到，连接，求出的最大值． 【变式训练2】如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG． （1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论； （2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由； （3）若BC＝DE＝2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值． 知识是解题的关键． 【变式训练3】小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形绕点顺时针旋转，得到矩形 [探究1]如图1，当时，点恰好在延长线上．若，求BC的长． [探究2]如图2，连结，过点作交于点．线段与相等吗？请说明理由． [探究3]在探究2的条件下，射线分别交，于点，（如图3），，存在一定的数量关系，并加以证明． 【考向三 特殊平行四边形最值问题】 【典例精讲】（2026·江苏无锡·一模）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为__． 【变式训练1】（2025·江苏镇江·一模）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B点坐标为，D为的中点，线段在边上移动，且，当四边形的周长最小时，则点M的坐标为_____________． 【变式训练2】如图，在正方形中，，与交于点O，N是的中点，点M在边上，且，P为对角线上一点，则的最大值为_____________． 【变式训练3】（2026·江苏扬州·一模）如图，在矩形中，，，点是对角线上一点，交于点． (1)若，求的长； (2)若点在上运动，试探究的比值是否变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请说明理由； (3)线段的最小值是___________． ． 【考向四 特殊平行四边形中点四边形问题】 【典例精讲】（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次连接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1，则第n个矩形的面积是______． 【变式训练1】如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点，得到四边形A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1的中点，得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点，得到四边形A3B3C3D3，…，按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为___．    【变式训练2】已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2014个图形中直角三角形的个数有（ ） A．2014个 B．2015个 C．4028个 D．6042个 【变式训练3】（2026·吉林长春·一模）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，．有下列结论： ①连接，则有； ②若，则以、、、为顶点的四边形为正方形； ③连接，相交于点，则； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有__________． 【考向五 特殊平行四边形中的动态问题】 【典例精讲】已知，中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数； (2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积； (3)如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，则时间为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【变式训练1】如图，在矩形中，，，点P从点A出发，每秒个单位长度的速度沿方向运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线方向运动．已知P，Q两点同时出发，当点Q到达点A时，P，Q两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．在运动过程中，若将沿翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形，则运动时间t的值为______． 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点，，点、在第二象限内． (1)点的坐标_________； (2)将正方形以每秒1个单位的速度沿轴向右平移秒，若存在某一时刻，使在第一象限内点、两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时的值以及这个反比例函数的解析式； (3)在（2）的情况下，问是否存在轴上的点和反比例函数图象上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点、的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练3】（2025·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为，，． (1)如图，当经过点时，求直线的函数表达式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示 ；直接写出的取值范围 ； ②请直接写出满足的所有的值 ． 第二部分 分层训练 实战攻坚 『基础能力提升』 1．（2026·江苏盐城·一模）如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏南京·月考）小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏无锡·二模）如图，是的直径，垂直平分交于，两点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，将长方形纸片，沿折痕折叠，分别落在对应位置处，交于点E，若，则为 ________ ． 5．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图是一种彭罗斯地砖图案的局部示意图，它是由两种菱形拼接而成（不重叠，无缝隙），则的度数为_____． 6．（2025·江苏泰州·三模）四边形ABCD是正方形，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，度数是____． 7．（25-26九年级下·江苏无锡·期中）如图，已知点是矩形的对角线上的一动点，正方形的顶点、都在边上，若，，则_____． 8．（2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，点是上一点，于，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 9．（2025·江苏镇江·中考真题）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？ 10．（2026·江苏泰州·一模）如图1是八年级下物理教材中的一个连通器装置，当液体不流动时，连通器各部分容器中液面的高度总是相同的．图2是其截面示意图（液面宽度忽略不计），小亮测量发现：，，，，两液面之间的距离（的长度）与液面的高度相同，求连通器装置中液体的长度（即的值）．（结果精确到．参考数据：，，） 『拔尖突破冲刺』 1．（2026·江苏南京·一模）如图，和是边长为的正六边形的对角线，则四边形的面积是（） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，的最小值为，则长为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏苏州·一模）如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点落在边上的点处，折痕分别与边，交于点，F．当点的位置变化时，长的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏南京·一模）如图，点E在正方形的边的延长线上，，相交于点F，连接．设，则______（用含的代数式表示）． 5．（2026·江苏泰州·一模）如图，将正方形放在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点C，D在第一象限内．若点A的坐标为，正方形的面积为5，则点C的坐标________． 6．（2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，点E在边上，且，F是的中点，P是的中点，过点P作交于点Q，则的长为__________． 7．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，正方形中，， (1)求证：①；②； (2)若，，求的长． 8．（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边上的定点，且．动点从点出发，以的速度沿的方向在矩形的边上匀速运动，最终到达点停止．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)当点在边上运动时，求与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)求点在整个运动过程中，与之间的函数解析式，并写出对应的自变量的取值范围； (3)当的面积为时，求的值； (4)是否存在某一时刻，使得的面积等于矩形面积的？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 9．（2026·江苏常州·一模）在数学综合实践活动课上，老师对一张平行四边形纸片（）进行如下操作： (1)如图1，折叠纸片，使边恰好落在边上，得到折痕；打开后再折叠该纸片，使边恰好落在边上，得到折痕，则四边形的形状是______； (2)老师沿折痕将和剪下，摆放成如图2的位置，则四边形的形状是______；若的两边，，则四边形的面积为______； (3)在（2）的条件下，固定，将沿着射线的方向平移，如图3，当四边形为矩形时，求平移的距离． 10．（2026·江苏徐州·一模）如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边交于点． 【探究】在旋转过程中， (1)如图，当时，与满足数量关系是_______； (2)如图，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由； (3)若且，连，设的面积为，在旋转过程中， 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六讲 特殊四边形的综合问题『重点难点突围专项练（江苏专用）』 （五大题型讲练+难度分层练 共40题） 【解析版】 简介 蓄力升学 逐梦前行 『真题溯源·江苏专版』本资料深度剖析江苏省近两年中考真题及前沿模拟题，直击中考高频考点，精准锁定每年必考的常考题型与思想方法，让你的练习不偏科、不做无用功。 【第一部分 题型讲练·模型拆解】采用“例题精讲+变式训练”模式，对每类重难点题型进行标准化拆解。配套详尽的解题思路与规范步骤，不仅教会你如何解题，更传授得分技巧，帮你建立满分思维。 【第二部分 能力分层·稳步提升】科学设置20题分层训练： 1. 基础能力提升（10题）：快速夯实核心考点，确保基础分不丢分； 2. 拔尖突破冲刺（10题）：聚焦易错题与综合压轴题，挑战思维极限，实现分数阶梯式增长。 『助力升学·决胜考场』依托真题本源，对标中考难度。这套讲义是你通往理想高中的坚实阶梯，愿你以梦为马，提笔为剑，在中考战场上披荆斩棘，金榜题名！ 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 特殊平行四边形中的折叠问题 题型二 特殊平行四边形中旋转问题 题型三 特殊平行四边形最值问题 题型四 特殊平行四边形中点四边形问题 题型五 特殊平行四边形中的动态问题 第一部分 精讲变式 融会贯通 【考向一 特殊平行四边形中的折叠问题】 【典例精讲】（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，将矩形沿（点E在边上）折叠，使点B落在边上的点F处，若，则_______． 【答案】 【思路引导】根据矩形的性质得再设，则，可得，然后根据折叠的性质得，并根据勾股定理求出，接下来说明，即可求出，最后根据正切的定义解答即可． 【规范解答】解：∵四边形是矩形， ∴． 设，则， ∴． 根据折叠的性质得． 根据勾股定理，得． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 在中，． 【变式训练1】（2026·江苏南通·一模）如图，把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使分别落在x轴、y轴上，连接，将矩形纸片沿折叠，使点B落在点D的位置，若，则点D的横坐标是______． 【答案】/ 【思路引导】作于点H，设交于点E，根据矩形的性质和折叠的性质证明，设，则，利用勾股定理可得，解得，然后根据，求出即可． 【规范解答】解：作于点H，设交于点E， ∵四边形是矩形， ，， ∵将矩形纸片沿折叠，使点B落在点D的位置， ，，， ， ， ∵， ，， 设，则， 在中，， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D的横坐标是． 【变式训练2】（2026·江苏盐城·模拟预测）【情境】 图①的正方形通过裁剪拼接可以得到图②所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片拼接不重叠，无缝隙，无剩余） 【操作】 如图③，小明将正方形沿虚线对折，再沿，裁剪后按照图④所示进行拼接．根据小明的剪拼过程，解答问题： (1)求线段的长； (2)求点到直线的距离； 【探究】 小明说：将图①所示纸片沿一条直线（裁剪线为线段）裁剪出一部分，再将剪出的部分剪成两块，还可以拼成如图⑤的铅笔头型五边形． (3)请你按照小明的说法设计一种方案：在备用图中正方形的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线的位置及完成拼接的大致图形，并直接写出的长． 【答案】(1)5 (2) (3)图见解析，或 【思路引导】（1）根据折叠的性质，得到，进而得到，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）作，证明，进行求解即可； （3）取的中点，在或上确定中点的位置，进行裁剪即可． 【规范解答】（1）解：由题意，可知：，， ∴，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， ∴，即； （2）解：作， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知：，，， ∴， ∴，即点到直线的距离为； （3）解：由题意，作图如下： 或 由作图可知：或． 【变式训练3】（2025·江苏镇江·二模）如图，已知正方形的边长为4，E是边延长线上一点，是边上一点，将沿翻折，如果点的对应点恰落在边上，连接交折痕于点H，若，则的值为______． 【答案】2 【思路引导】本题主要考查了正方形与折叠问题，全等三角形的性质与判定，勾股定理，由折叠的性质可得，则可证明，得到，导角证明，则，据此利用勾股定理可求出答案． 【规范解答】解：∵正方形的边长为4， ∴，， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：； 【考向二 特殊平行四边形中旋转问题】 【典例精讲】（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，点D是平面内一动点，且D、B两点之间的距离为5，连接、，则的最小值为__________． 【答案】 【思路引导】把绕点B顺时针旋转，交的延长线于点，过点B作，则，，利用等量代换可得，从而证得，可得，即的最小值为的值，再根据等腰三角形的性质可得，，根据直角三角形的性质和勾股定理求得，即可求解． 【规范解答】解：如图，把绕点B顺时针旋转，交的延长线于点，过点B作，则，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为的值， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，根据旋转的性质构造全等三角形是解题的关键． 【变式训练1】【特例感知】 （1）如图1，已知和是等边三角形，直接写出线段与的数量关系是________； 【类比迁移】 （2）如图2，和是等腰直角三角形，，请写出线段与的数量关系，并说明理由． 【方法运用】 （3）如图3，若，点是线段外一动点，，连接．若将绕点逆时针旋转得到，连接，求出的最大值． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【思路引导】（1）根据题意证明出，然后求解即可； （2）根据题意证明出，然后利用相似三角形的性质求解即可； （3）过点作，使，连接，，，．首先证明出，然后得到点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，当在的延长线上时，的值最大，进而求解即可． 【规范解答】解：（1）∵和是等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）， 证明：如图2，和是等腰直角三角形， ∴ ∴即 ∵， ∴， 即， 又∵ ∴ ∴， ∴ （3）如图3，过点作，使，连接，，，． ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆． ∴当在的延长线上时，的值最大， 最大值为． 【考点剖析】此题考查了全等三角形的性质和判断，相似三角形的性质和判断，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【变式训练2】如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG． （1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论； （2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由； （3）若BC＝DE＝2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值． 【答案】（1）BG＝AE，（2）成立：证明见解析；（3）AF＝． 【思路引导】（1）根据已知条件，证明△BDG≌△ADE即可得出结论； （2）连接AD，证明△BDG≌△ADE即可得出结论； （3）由（2）可得BG＝AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值；根据 可知当三点共线时候去最大值，此时旋转角度为270°时，根据勾股定理即可求得． 【规范解答】（1）BG＝AE， 证明：∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC， ∴BD＝DA， 又∵正方形DEFG中：GD＝DE，∠GDB＝∠EDA； ∴△BDG≌△ADE； ∴BG＝AE； （2）成立： 证明：连接AD， ∵Rt△BAC中，D为斜边BC的中点， ∴AD＝BD，AD⊥BC， ∴∠ADG+∠GDB＝90°， ∵EFGD为正方形， ∴DE＝DG，且∠GDE＝90°， ∴∠ADG+∠ADE＝90°， ∴∠BDG＝∠ADE， 在△BDG和△ADE中， ∴△BDG≌△ADE（SAS）， ∴BG＝AE； （3）由（2）可得BG＝AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值； 当三点共线时，取得最大值，此时旋转角度为270°时， BG＝AE最大值为1+2＝3， 此时如图： AF＝． 【考点剖析】本题考查了三角形全等的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，线段和最值问题，掌握以上知识是解题的关键． 【变式训练3】小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形绕点顺时针旋转，得到矩形 [探究1]如图1，当时，点恰好在延长线上．若，求BC的长． [探究2]如图2，连结，过点作交于点．线段与相等吗？请说明理由． [探究3]在探究2的条件下，射线分别交，于点，（如图3），，存在一定的数量关系，并加以证明． 【答案】[探究1]；[探究2]，证明见解析；[探究3]，证明见解析 【思路引导】[探究1] 设，根据旋转和矩形的性质得出，从而得出，得出比例式，列出方程解方程即可； [探究2] 先利用SAS得出，得出，，再结合已知条件得出，即可得出； [探究3] 连结，先利用SSS得出，从而证得，再利用两角对应相等得出，得出即可得出结论． 【规范解答】[探究1]如图1， 设． ∵矩形绕点顺时针旋转得到矩形， ∴点，，在同一直线上． ∴，， ∴． ∵， ∴． 又∵点在延长线上， ∴， ∴，∴． 解得，（不合题意，舍去） ∴． [探究2] ． 证明：如图2，连结． ∵， ∴． ∵，，， ∴． ∴，， ∵，， ∴， ∴． [探究3]关系式为． 证明：如图3，连结． ∵，，， ∴． ∴， ∵， ， ∴， ∴． 在与中， ，， ∴， ∴， ∴． ∴． 【考点剖析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程等，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题． 【考向三 特殊平行四边形最值问题】 【典例精讲】（2026·江苏无锡·一模）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为__． 【答案】 【思路引导】在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接，首先证明，由全等三角形的性质可得，再由轴对称的性质可得，易知，当点三点共线时，取最小值，即取最小值，然后证明四边形为矩形，结合矩形的性质以及勾股定理解得的值，即可获得答案． 【规范解答】解：如下图，在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接， ∵四边形为矩形，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， 当点三点共线时，取最小值，即取最小值， 此时∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴此时，即的最小值为． 【变式训练1】（2025·江苏镇江·一模）如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B点坐标为，D为的中点，线段在边上移动，且，当四边形的周长最小时，则点M的坐标为_____________． 【答案】 【思路引导】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形，平行四边形的判定和性质，一次函数的性质等知识，作点D关于y轴的对称点E，过点E作，截取，连接、．得四边形是平行四边形，求出，，得出，要使四边形的周长最小，只要使的值最小，当A、N、F三点共线时的值最小．运用待定系数法求出直线的解析式即可解决问题． 【规范解答】解：作点D关于y轴的对称点E，过点E作，截取，连接、． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵D是的中点，， ∴， ， ， 要使四边形的周长最小，只要使的值最小， ∴当A、N、F三点共线时的值最小． 设直线的解析式为：， ∵，， ∴， 解得， ， 当时，， ∴ ， ∴． 故答案为：． 【变式训练2】如图，在正方形中，，与交于点O，N是的中点，点M在边上，且，P为对角线上一点，则的最大值为_____________． 【答案】1 【思路引导】作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，可判定当点P，E，M三点共线时，PM-PE的值最大，为ME 的长，求出CE，CQ，得到EQ，利用垂直平分线的性质得到EM=CM=1即可． 【规范解答】解：如图：作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q， ∴PN=PE， 则PM-PN=PM-PE， ∴当点P，E，M三点共线时，PM-PE的值最大，为ME 的长， 在正方形ABCD中，AB=4， ∴AC=， ∵N是AO的中点，点N和E关于BD成轴对称， ∴点E是OC中点， ∴CE=AC=， ∵BC=4，BM=3， ∴CM=1=BC， ∵∠BCQ=45°， ∴△MCQ为等腰直角三角形， ∴CQ==， ∴EQ=， ∴CM=EM=1， 即PM-PN的最大值为1， 故答案为：1． 【考点剖析】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 【变式训练3】（2026·江苏扬州·一模）如图，在矩形中，，，点是对角线上一点，交于点． (1)若，求的长； (2)若点在上运动，试探究的比值是否变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请说明理由； (3)线段的最小值是___________． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【思路引导】（1）连接，先证明，得到，进而得到，根据同角的余角相等可得，则，列式计算即可； （2）过点作，交于，交于，易证，再证明，即可得到的比值； （3）根据的比值不变，故当线段取最小值时，线段取最小值，根据垂线段最短可得，当时，取最小值，然后根据等面积法求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，连接， 四边形是矩形，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， （2）解：如图，过点作，交于，交于，则四边形是矩形， ，即， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 设，则，，， ， 即的比值不变，为； （3）解：由（2）可知，，即， 当线段取最小值时，线段取最小值， 根据垂线段最短可得，当时，取最小值，此时点与点重合，如图所示， 在中，， ， ， 即线段的最小值是． 【考向四 特殊平行四边形中点四边形问题】 【典例精讲】（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次连接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1，则第n个矩形的面积是______． 【答案】 【思路引导】由中点四边形的含义可得矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形，而中点四边形的面积是原四边形的面积的一半，可得原矩形的面积为1，矩形的中点四边形（菱形）的面积为 再得到菱形的中点四边形（矩形）的面积为： 从而总结归纳出规律，可得答案．本题考查了中点四边形的性质，是一道找规律的题目． 【规范解答】已知第一个矩形的面积是1， 第二个矩形的面积为 第三个矩形的面积是 则第n个矩形的面积是 故答案为：． 【变式训练1】如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点，得到四边形A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1的中点，得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点，得到四边形A3B3C3D3，…，按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为___．    【答案】 【规范解答】顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形A1B1C1D1，则得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，即 ，则周长是原来的 ； 顺次连接正方形A1B1C1D1中点得正方形A2B2C2D2，则正方形A2B2C2D2的面积为正方形A1B1C1D1面积的一半，即 ，则周长是原来的； 顺次连接正方形A2B2C2D2得正方形A3B3C3D3，则正方形A3B3C3D3的面积为正方形A2B2C2D2面积的一半，即 ，则周长是原来的； … 故第n个正方形周长是原来的， 以此类推：正方形A8B8C8D8周长是原来的， ∵正方形ABCD的边长为1，∴周长为4， ∴按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为， 故答案为． 【变式训练2】已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2014个图形中直角三角形的个数有（ ） A．2014个 B．2015个 C．4028个 D．6042个 【答案】C 【规范解答】试题分析：第1个图形有4个直角三角形，第2个图形有4个直角三角形，第3个图形有8个直角三角形，第4个图形有8个直角三角形，则当n为奇数时，有2（n+1）个直角三角形；当n为偶数时，有2n个直角三角形，则当n=2014时，直角三角形的个数为：2014×2=4028个． 考点：规律题． 【变式训练3】（2026·吉林长春·一模）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，．有下列结论： ①连接，则有； ②若，则以、、、为顶点的四边形为正方形； ③连接，相交于点，则； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有__________． 【答案】①③④ 【思路引导】如图：连接，设交于点O，证明四边形是矩形，然后逐个判断即可． 【规范解答】解：如图：连接， ∵， ∴， 同理：，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，故①正确； ∴，故③正确； ∴，若，则，故④正确； ∵，， ∴， ∴四边形不是正方形，故②错误， 综上可知，正确的有①③④． 【考向五 特殊平行四边形中的动态问题】 【典例精讲】已知，中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数； (2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积； (3)如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，则时间为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或． 【思路引导】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）证明是等边三角形即可； （2）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，由此即可解决问题； （3）分四种情形列出方程解方程即可． 【规范解答】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：∵四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， 如图，过点C作于点K，则， ∴， ； （3）解：如图③所示： ， 当时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． ①当时，，， ，解得：； ②当时，，， ，解得：； ③当时，，， ，解得：； ④当时，，， ，解得：； 或或或时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【变式训练1】如图，在矩形中，，，点P从点A出发，每秒个单位长度的速度沿方向运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线方向运动．已知P，Q两点同时出发，当点Q到达点A时，P，Q两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．在运动过程中，若将沿翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形，则运动时间t的值为______． 【答案】2 【思路引导】根据题意得：，过点Q作于点M，然后根据30°角直角三角形的性质得到，最后根据勾股定理列出方程求解即可． 【规范解答】根据题意得：， 如图所示，过点Q作于点M， ∵翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在，， ∴， 解得：或6（舍去）． 故答案为：2． 【考点剖析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式训练2】如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点，，点、在第二象限内． (1)点的坐标_________； (2)将正方形以每秒1个单位的速度沿轴向右平移秒，若存在某一时刻，使在第一象限内点、两点的对应点、正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时的值以及这个反比例函数的解析式； (3)在（2）的情况下，问是否存在轴上的点和反比例函数图象上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点、的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，点、的坐标为、或、或P(-7，0)、Q(-3,-2)． 【思路引导】（1）过点D作DE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，由正方形的性质结合同角的余角相等即可证出△ADE≌△BAF，从而得出DE=AF，AE=BF，再结合点A、D的坐标即可求出点B的坐标； （2）设反比例函数为，根据平行的性质找出点B′、D′的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、t的二元一次方程组，解方程组解得出结论； （3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，）．分B′D′为对角线或为边考虑，根据平行四边形的性质找出关于m、n的方程组，解方程组即可得出结论． 【规范解答】（1）解：（1）过点作轴于点，过点作轴于点，如图1所示． ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵点，， ∴，， ∴点的坐标为，即． 故答案为：． （2）设反比例函数为， 由题意得：点坐标为，点坐标为， ∵点和在该比例函数图象上， ∴， 解得：，， ∴反比例函数解析式为． （3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，）． 以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形分两种情况： ①B′D′为对角线时， ∵四边形B′PD′Q为平行四边形， ∴， 解得：， ∴P（，0），Q（，4）； ②当B′D′为边时． ∵四边形PQB′D′为平行四边形， ∴， 解得：， ∴P（7，0），Q（3，2）； ∵四边形B′QPD′为平行四边形， ∴， 解得：． ∴P（-7，0）、Q（-3，-2）. 综上可知：存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B′、D′四个点为顶点的四边形是平行四边形， 符合题意的点P、Q的坐标为：P（，0）、Q（，4）或P（7，0）、Q（3，2）或P（-7，0）、Q（-3，-2）． 【考点剖析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质以及解方程组，解题的关键是：（1）证出△ADE≌△BAF；（2）找出关于k、t的二元一次方程组；（3）分类讨论．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用反比例函数图形上点的坐标表示出来反比例函数系数k是关键． 【变式训练3】（2025·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为，，． (1)如图，当经过点时，求直线的函数表达式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示 ；直接写出的取值范围 ； ②请直接写出满足的所有的值 ． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)①，；②或5 【思路引导】（1）根据平移的性质可得是等腰直角三角形，根据矩形的性质可得，从而得到，最后用待定系数法即可求得答案； （2）①根据，即可求得，再结合题意列不等式组即可求得； ②分五种情况讨论：当时，与矩形重叠部分为三角形；当时，与矩形重叠部分为四边形梯形；当时，重叠部分为梯形；当时，与矩形重叠部分为五边形；当时，重叠部分为矩形，分别画出图形，结合图形建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：如图①，当经过点时， 矩形的顶点， ， 由平移的性质可得：为等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为：； （2）解：①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时， 矩形中，， 四边形是矩形， 设，则， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：，； ②分以下五种情况讨论： 当时，与矩形重叠部分为三角形，如图， 重叠部分的面积为：， ， ， 解得：， ， 不符合题意，此时重叠部分面积不可能为； 当时，与矩形重叠部分为四边形梯形，如图， 则， ， ， 解得：， ， 符合题意； 当时，重叠部分为梯形，为定值，不能等于； 当时，与矩形重叠部分为五边形， 由①知：， ， 解得：舍去，； 当时，重叠部分为矩形，如图， ， ， 当时，，不符合题意； 综上所述，满足的所有的值为或． 故答案为：或． 【考点剖析】本题是矩形综合题，考查了矩形性质，等腰直角三角形的判定和性质，平移变换的性质，三角形、梯形、矩形面积等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想． 第二部分 分层训练 实战攻坚 『基础能力提升』 1．（2026·江苏盐城·一模）如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据菱形的性质以及直角三角形的性质进行求解即可． 【规范解答】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·江苏南京·月考）小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题主要考查了几何概率问题，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，根据矩形的性质可得，证明，进而得出，根据几何概率，即可求解． 【规范解答】解：如图， 四边形是矩形，交于点，过点， ∴,， ∴， ∵， ∴， 又∵，, ∴， ∴， ∴， ∴飞镖落在阴影区域的概率是； 故选：C． 3．（2026·江苏无锡·二模）如图，是的直径，垂直平分交于，两点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】由，根据垂径定理，勾股定理计算圆的半径，利用扇形的面积公式计算即可． 【规范解答】解：如图，连接，，设、的交点为， ∵是⊙的直径，垂直平分交⊙于C，D两点， ∴，，， ∴四边形是菱形，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，将长方形纸片，沿折痕折叠，分别落在对应位置处，交于点E，若，则为 ________ ． 【答案】 【思路引导】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 作，根据平行线的性质解题即可． 【规范解答】解：如图，作， ∵， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图是一种彭罗斯地砖图案的局部示意图，它是由两种菱形拼接而成（不重叠，无缝隙），则的度数为_____． 【答案】72 【思路引导】本题考查了菱形，正多边形的内角和定理，根据内角和定理，正多边形每个内角的计算方法求解即可． 【规范解答】解：根据题意可得，该图形外围是正十边形， ∴每个内角的度数为， ∴， ∴， 故答案为：72 ． 6．（2025·江苏泰州·三模）四边形ABCD是正方形，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，度数是____． 【答案】 【思路引导】根据正方形的性质可得和，根据正六边形的性质可得其内角为，即，最后利用四边形的内角和为即可求的度数． 【规范解答】解：设与交于点， ∵四边形是正方形, ∴，, ∵以为边作一个正六边形， ∴正六边形的内角为， ∴． 在四边形中，由四边形内角和定理得：， 即， ∴． 7．（25-26九年级下·江苏无锡·期中）如图，已知点是矩形的对角线上的一动点，正方形的顶点、都在边上，若，，则_____． 【答案】/ 【思路引导】由矩形性质得，则，在中，，由此得，设，由正方形性质得，在中，由，得，由此得，在中，由勾股定理得，继而得，然后根据得，由此可得的值． 【规范解答】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，是直角三角形， 在中，，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，设， ∵顶点都在边上， ∴和都是直角三角形，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，点是上一点，于，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）证明，进一步即可得到结论； （2）根据线段的和差计算即可． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ∵，， ∴． 9．（2025·江苏镇江·中考真题）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？ 【答案】5尺 【思路引导】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题关键．过点作于点，先证出四边形是矩形，则可得尺，，再设尺，则尺，尺，在中，利用勾股定理求解即可得． 【规范解答】解：如图，过点作于点， 由题意得：，尺，尺，尺， ∴四边形是矩形， ∴尺，， 设尺，则尺，尺， 在中，由勾股定理得：，即， 解得， 即尺， 答：折断处离地面5尺． 10．（2026·江苏泰州·一模）如图1是八年级下物理教材中的一个连通器装置，当液体不流动时，连通器各部分容器中液面的高度总是相同的．图2是其截面示意图（液面宽度忽略不计），小亮测量发现：，，，，两液面之间的距离（的长度）与液面的高度相同，求连通器装置中液体的长度（即的值）．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】 【思路引导】本题考查了三角函数、矩形的性质和判定，解题的关键是把所求线段放到熟悉的图形中，并准确利用所学知识求解．在Rt中，先通过三角函数求出，进而由已知条件可以分别求出，再根据线段的和差关系求出即可． 【规范解答】解：Rt中，， ， 则 ， ． 由条件易知四边形为矩形， 又， 四边形为正方形， ． ， ． ，即连通器装置中液体的长度为 ． 『拔尖突破冲刺』 1．（2026·江苏南京·一模）如图，和是边长为的正六边形的对角线，则四边形的面积是（） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据正六边形的性质求出和的度数，进而得出和为直角，判定四边形为矩形，利用勾股定理求出的长，最后计算面积． 【规范解答】解：∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 过点作于点，如图， 在Rt中，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴． 2．（25-26九年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，的最小值为，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】连接，根据中位线的性质可得，即最小时，最小，当时，最小，此时，根据含30度的直角三角形性质结合勾股定理求出，根据菱形的性质即可得解． 【规范解答】解：连接，如图所示： 四边形是菱形， ， 分别为的中点， 是的中位线， ， 当时，最小，则的最小值为，此时， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得， ． 3．（2026·江苏苏州·一模）如图，在菱形中，，．折叠该菱形，使点落在边上的点处，折痕分别与边，交于点，F．当点的位置变化时，长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先根据菱形的性质得到，，可知当的长最小时，的长最大，由折叠性质得，故当时，的长最小，即的长最小，如图，过点D作 于G，证明四边形是矩形得到，然后解直角三角形求得即可求解． 【规范解答】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴当的长最小时，的长最大， 由折叠性质得，故当时，的长最小，即的长最小， 如图，过点D作 于G， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴长的最小值为，此时长的最大值为． 4．（2026·江苏南京·一模）如图，点E在正方形的边的延长线上，，相交于点F，连接．设，则______（用含的代数式表示）． 【答案】/ 【思路引导】利用正方形的性质证明，得出，再结合直角三角形两锐角互余及三角形内角和定理求解即可． 【规范解答】解：四边形是正方形， ，，． 在和中， ， ． ． 在中，，， ． ． 点在的延长线上， ． 在中， ． 5．（2026·江苏泰州·一模）如图，将正方形放在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点C，D在第一象限内．若点A的坐标为，正方形的面积为5，则点C的坐标________． 【答案】 【思路引导】先根据正方形面积求出边长，再利用勾股定理求出相关线段的长度，最后确定点的坐标． 【规范解答】解：如图，过点作轴于点， ∵点A的坐标为， ∴， ∵正方形的面积为5， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴则点C的坐标为． 6．（2026·江苏无锡·一模）如图，在矩形中，，点E在边上，且，F是的中点，P是的中点，过点P作交于点Q，则的长为__________． 【答案】/ 【思路引导】连接交于点，延长交于点，证明和以及，分别求得，，，据此计算即可求解． 【规范解答】解：连接交于点，延长交于点，如图， ∵矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，正方形中，， (1)求证：①；②； (2)若，，求的长． 【答案】(1)①证明过程见解析；②证明过程见解析 (2) 【思路引导】（1）①由、、可证得； ②利用全等的性质证，利用直角三角形两个锐角互余证明，即可解决问题； （2）利用全等的性质证，然后证，得，据此可得答案． 【规范解答】（1）证明：①四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ； ②， ， ， ， ， ； （2），， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 8．（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是边上的定点，且．动点从点出发，以的速度沿的方向在矩形的边上匀速运动，最终到达点停止．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)当点在边上运动时，求与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)求点在整个运动过程中，与之间的函数解析式，并写出对应的自变量的取值范围； (3)当的面积为时，求的值； (4)是否存在某一时刻，使得的面积等于矩形面积的？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)存在， 【思路引导】（）根据三角形的面积公式及题意即可求解； （）分， 和解答即可求解； （）把代入（）所得的函数解析式解答即可求解； （）求出矩形的面积，可得当的面积等于矩形面积的时，，进而即可求解； 本题考查了一次函数的几何应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵矩形中， ∴，， 当点在上运动时，， ∴ ， ∵点在上运动， ∴自变量的取值范围为， ∴； （2）解：当时，； 当时，； 当时，， ∴； 综上，； （3）解：当时，由，解得； 由，解得， ∴的值为或； （4）解：存在，理由如下： ∵， ∴当的面积等于矩形面积的时，， ∵时，， ∴存在，使得的面积等于矩形面积的． 9．（2026·江苏常州·一模）在数学综合实践活动课上，老师对一张平行四边形纸片（）进行如下操作： (1)如图1，折叠纸片，使边恰好落在边上，得到折痕；打开后再折叠该纸片，使边恰好落在边上，得到折痕，则四边形的形状是______； (2)老师沿折痕将和剪下，摆放成如图2的位置，则四边形的形状是______；若的两边，，则四边形的面积为______； (3)在（2）的条件下，固定，将沿着射线的方向平移，如图3，当四边形为矩形时，求平移的距离． 【答案】(1)平行四边形 (2)菱形，24 (3) 【思路引导】（1）本题考查平行四边形性质和折叠性质，平行线性质和判定．利用两组对边平行的四边形来证明四边形的形状是平行四边形． （2）本题考查菱形的判定及面积求法．利用第一问的条件可轻松得出四条边均相等，从而判断四边形的形状是菱形．利用菱形的对角线互相垂直且平分的性质可求出的长度，再利用勾股定理求出的长度，从而求出菱形的面积． （3）本题重点考查了相似三角形和锐角三角函数的应用．过点作的高，构造出两个直角三角形，利用建立方程，从而求解． 【规范解答】（1）解：四边形是平行四边形， ，， 又折叠纸片，使边恰好落在边上，得到折痕， ， 同理，折叠该纸片，使边恰好落在边上，得到折痕， 可得：， ， 由可得：， , , 四边形是平行四边形． （2）解：①由（1）可得，， 是等腰三角形，， 同理可得：． 又， ， 四边形的形状是菱形． ②连接交于点，如图： 四边形的形状是菱形，，， ，， ， ． （3）作交于点， ， 由（2）得，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 平移的距离为． 10．（2026·江苏徐州·一模）如图，一副直角三角板满足，，，． 【操作】将三角板的直角顶点放置于三角板的斜边上，再将三角板绕点旋转，并使边与边交于点，边与边交于点． 【探究】在旋转过程中， (1)如图，当时，与满足数量关系是_______； (2)如图，当时，与满足怎样的数量关系？并说明理由； (3)若且，连，设的面积为，在旋转过程中， 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)；理由见解析； (3)当时，取得最小值；当时，取得最大值． 【思路引导】（）作于，作于，可证明，从而； （）作于，作于，可证得，，从而，可证得，进而得出结果； （）可推出，当时，取最小值，当点最大时，取最大值，进一步得出结果． 【规范解答】（1）解：如图，作于，作于， ∴ ∵，，即， ∴平分， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，作于，作于， ∴， 由（）知，， 四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， ∵且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，取最小值，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，即与重合时，取最大值，如图， 在中，， ∴， ∴， 综上可得：当时，取得最小值；当时，取得最大值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $