第5单元 微专题(1) 矩形的折叠问题-【名师学案】2026年中考数学复习堂堂清

B 第11题图 第12题图 12.(1)证明：如图，在△ABC中，点D是AC的 中点，.AD=DC:AF∥BC,.∠FAD= ∠ECD,∠AFD=∠CED..△AFD≌△CED （AAS)..AF=EC.∴.四边形AECF是平行四 边形.又EF⊥AC,点D是AC的中点，即EF垂 直平分AC,.平行四边形AECF是菱形；(2) 解：如图，过点A作AG⊥BC于点G,由(1)知四 边形AECF是菱形，又CF=2,∠FAC=30°，∴. AF∥EC,AE=CF=2,∠FAE=2∠FAC=60°. ∴.∠AEB=∠FAE=60°.：AG⊥BC,∠AGB =∠AGE=90.·∠GAE=30.GE=2AE =1,AG=3GE=5.:∠B=45°，∴.∠GAB= ∠B=45°.∴.BG=AG=√3..AB=√2BG=√6. 13.解：(1)四边形BPCO为平行四边形.理 由：.四边形ABCD为平行四边形，.OC=OA =AC,0B=0D=号BD.:以点B,C为圆心， 2AC,BD长为半径画弧，两弧交于点P, OB=CP,BP=OC..四边形BPCO为平行四 边形；(2)当AC⊥BD,AC=BD时，四边形BP CO为正方形..AC⊥BD,.∠BOC=90°..四 边形BPC0是矩形.“AC=BD,OB=号BD, OC=)AC.OB=0C.∴矩形BPC0为正方 形. 中考新动向 14.(1)证明：，AB=AC,D是BC的中点，∴.AD ⊥BC,即∠ADC=∠ADB=90°.，CE∥AD,. ∠ECD=∠ADB=90°.：AE⊥AD,.∠EAD =90°..∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°.∴.四 边形ADCE是矩形；(2)解：，AB=AC,D是 BC的中点，BC=4,BD=CD=BC=2.由 (1)可知，四边形ADCE是矩形，.AE=CD= 2,∠AEC=90°.在Rt△AEC中，AE=2,CE= 3,由勾股定理，得AC=AE十CE=√13. EFLAC,由三角形的面积公式，得S:=号 AC·EF=AE.CE,∴EF=AE,CE=2XS AC √/13 =6√3 13 导图内化目标 平行直角相等相等垂直对角相等 相等垂直相等菱形矩形 微专题（一）矩形的折叠问题 1.C2.巨3解：AD/BC∠2=∠3. ,△BCD与△BCD关于直线BD对称，.∠1 =∠2..∠1=∠3..EB=ED.设EB=x,则 ED=x,AE=AD-ED=8-x.在Rt△ABE 中，AB2+AE=BE..42+（8-x)2=x2..x =5.∴DE=5..S△ED= 号DE·AB=2×5X 4=10.4.A5.C 6 AM B (1)证明：由翻折和正方形的性质可得，∠EMP =∠EBC=90°，EM=EB.∴.∠EMB=∠EBM. ∴.∠EMP-∠EMB=∠EBC-∠EBM,即 ∠BMP=∠MBC..四边形ABCD是正方形， ∴.AD∥BC.∴.∠AMB=∠MBC.∴.∠AMB= ∠BMP;(2)解：如图，延长MN,BC交于点Q. .AD∥BC,∴.△DMP∽△CQP.又DP=1,正 方形ABCD边长为3CP-20部 8S-日QC=2MD.QP=2MP.设MD= 则QC=2x,∴.BQ=3+2x.,'∠BMP= ∠MBC,即∠BMQ=∠MBQ,∴.MQ=BQ=3+ 2xMP=号MQ=32.在R△DMP中， 3 MD+DP=MP,x2+1=(32).解得 x=0(舍)，x2= 号MD-号 5 微专题（二）十字模型 1.(1)证明：，四边形ABCD是正方形，.AB AD=CD,∠BAE=∠ADF=90°..DE=CF .AD-DE=CD-CF,即AE=DF.在△ABE (AB=DA, 和△DAF中，{∠BAE=∠ADF,∴.△ABE≌ AE=DF, △DAF(SAS).∴.BE=AF;(2)解：.AB=4, DE=1,∴.AE=4-1=3.∴.BE=AB2+AE =5.由(1)知∠EBA=∠FAD,.∠FAD十 ∠AEB=∠EBA+∠AEB=90°.即∠AGE ∠BAE=90,△AGEn△BAE.折能. 即49-子解得AG=号.【变式1】证明：四 边形ABCD是正方形，∴.∠ABC=∠BCD= 90°.AB=BC..AE⊥BF,∴.∠AGB=90°.∴.微专题（一） 矩 类型一折痕过对角线 模型展示 基本折法 结论 如图，点P是矩形ABCD 边AD上一点，当，点P与 点D重合时，将△ABP △BPE≌△BPA; 沿BP折叠得到△EBP, △BCH≌△DEH: BE交CD于点H. △DEH是直角三角 P(D) 形； △BHD是等腰三角形 对点训练 1.如图，矩形ABCD中AB=8把矩形沿直线 AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点 F.若AF-空，则AD的长为 A.4 B.5 C.6 D.7 第1题图 第2题图 2.如图，将面积为32√2的矩形ABCD沿对角 线BD折叠，点A的对应点为点P,连接AP 交BC于点E.若BE=√2，则AP的长为 3.如图，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点 C落在点C‘处，BC交AD于E,AD=8,AB =4,求△BED的面积. 形的折叠问题 类型二折痕过一顶点 模型展示 基本折法 结论 如图，点P是矩形ABCD 的边AD上一点，将 △ABP沿BP折叠得到 图1：一线三垂直 △EBP. △PDE△ECB D △BPE≌△BPA 图1 图2：△DBCc∽△PDE △BDA∽△PDE 图2 △BPE≌△BPA F 、G 图3：△GCB∽△GEF △GEFC∽△PDF △BPE≌△BPA 图3 对点训练 4.(2019·恩施)如图，对折矩形纸片ABCD,使 AD与BC重合，得到折痕EF.把纸片展平， 再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A' 处，并使折痕经过点B,得到折痕BM.若矩形 纸片的宽AB=4,则折痕BM的长为() A.5 C.8 3 D.8√3 引领学景备考新模式 108 (2) 第4题图 第5题图 5.(2020·咸宁)如图，在矩形ABCD中，AB= 2,BC=2√5，E是BC的中点，将△ABE沿直 线AE翻折，点B落在点F处，连接CF,则 cos∠ECF的值为 () A号 B.0 D.26 4 C.6 类型三折痕过两边 模型展示 折法 结论 基本折法：如图4，在矩形 ABCD中，点E,F分别在 边AD,BC上，沿EF将 四边形ABFE折叠得到 图4：△ABE≌ 四边形A'BFE,点B'恰 △A'B'E 好落在AD边上」 四边形BFB'E是菱形 图4 拓展折法：如图5，当点B 图5：过点E作EG⊥ 恰好落在CD边上时，设 BC,则 A'B′交AD于点P. △EFG∽△BB'C △A'EPC∽△DB'P △CFB'∽△DB'P △BB'F为等腰三角形 图5 对点训练 6.(2023·仙桃)如图，将边长为3的正方形 ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M 落在边AD上（点M不与点A,D重合），点C 落在点N处，MN与CD交于点P,折痕分别 与边AB,CD交于点E,F,连接BM. (1)求证：∠AMB=∠BMP; 109中考复习堂堂清·数学 若DP=1,求MD的长. AM D