2026年九年级中考数学复习训练圆综合问题题型

2026年九年级中考数学复习训练 圆综合问题题型 1．如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 2．如图，⊙是的外接圆，是直径，，延长到点，使得，半径与交于点，连接与交于点． (1)求证：是⊙的切线； (2)若，求的长度； (3)若是的中点，如图，求． 3．如图①，为 的直径，弦交于点 ( 在线段上），且． (1)若，用含有的代数式表示 ． (2)如图②，点在弧上，且 ，连结交于点 ，求证： ． (3)在（2）的条件下， ①若 ，求的长； ② 若，用含有的代数式表示． 4．如图，在 中，，是 的外接圆的切线，交的延长线于点D，F为的中点，连接并延长，分别交于点 E，G，连接． (1)写出图中一对相等的角： ． (2)求证：； (3)若，求的值． 5．如图，在中，，于点C，交的外接圆于点D．连接，于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)当，时，求线段的长及的外接圆的半径长． 6．如图，已知，，为的直径，斜边交于点，平分，于点，的延长线与交于点． （1）求证：； （2）连结，若半径为3，，求的长． 7．如图，圆为的外接圆，，，，点是圆上的动点，且点、分别位于的两侧． (1)求圆的半径； (2)当时，求的度数； (3)设的中点为，在点的运动过程中，线段的最大值为_______． 8．如图，为的直径，点C在上，连接，D为的中点，过点C作的切线与射线交于点E． (1)求证：； (2)若延长与交于点F，若，，求的面积． 9．如图，是的直径，、为上的点，且，过点作于点． (1)求证：平分； (2)求证： (3)若，，求的半径． 10.如图，已知为的直径，弦于点E，P是弧上一动点，连接交于点G，连结，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，当P是弧的中点时，猜想、、之间的关系，并说明理由； (3)如图3，已知，若，求的值（用含m的代数式表示）． 11.如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画与边相切于点，，连接交于点，连接，并延长交线段于点． (1)求证：是切线； (2)若，，求半径； (3)若是中点，求证：． 12．如图，在中，以边为直径作，交于点D，交的延长线于点E，连接交于点F，且． (1)求证：； (2)如图1，若，求的值； (3)如图2，若，求阴影部分的面积． 13．如图，四边形内接于，是的直径，延长，交于点，连接交于点，过点作，垂足为点，已知．    (1)求证：为的切线； (2)若，，求的值； (3)若，则的值是多少？ 14．如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F． （1）求证：DF垂直平分AC； （2）求证：FC＝CE； （3）若弦AD＝5cm，AC＝8cm，求⊙O的半径． 15．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝BC，延长AD交⊙O于点E，在AD上截取DF＝DE （1）求证：∠ABC＝∠CFD． （2）若tan∠CAD＝，求的值． （3）在BC上取一点H，使得CH＝CF，连结AH，△AHC的面积为5，求AC和OH的长． 《2026年九年级中考数学复习训练圆综合问题题型》参考答案 1．【详解】（1）证明：连接，交于点， ， ， 又为的内心， ， ， ∴， ∴， 又为的直径， ， ， 又∵， ， ∴是的切线； （2）解：， ， ， 又， ，， ， ． 2．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据是直径，，证明即可； （2）根据得出，进而得出，得出特殊角，再利用三角函数求解即可； （3）证明，再根据三角形中位线和三角函数求解即可． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ， ， ， 即， 是的直径， 是的切线； （2）解：， ，， 又， ， ， ， ， ； （3）解：为直径，， ， ， ， 、， ， 、， 又， 是的中位线， 设，则， ， ， 解得：， 则、， ， ， ， 则． 【点睛】本题考查了切线的证明，圆与三角函数的综合，解题关键是根据圆的相关知识得出角和线段的关系，再运用三角函数求解． 3．(1) (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）如图①，连结，，由圆周角定理得到，根据，得，根据三角形外角的性质得到，由 即可求解； （2）如图，连结 ，延长交于，由（1）可知， ，则 ，所以，则，由垂径定理即可求解； （3）①连结，，可证，则 ，即，由即可求解；②由（2）可得，，则 ，设，则，设，由面积法可求得 ，则，，在等腰中，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，连结，， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：如图，连结 ，延长交于， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：①∵， ∴， 连结，， ， ∴， ，即， ． ②由（2）可得，，， ∴，即是角平分线， ∴，且， ∴ ， ， 已知， 设，则， 设，由面积法可求得 ，则， ， 在等腰中，． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，余弦值的计算，掌握圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，余弦值的计算方法是关键． 4．(1)（答案不唯一） (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据等弧对等角直接求解即可； （2）根据切线性质求出为圆的直径，根据等弧对等角，垂径定理可得到，推出进而得出结论； （3）根据切线性质，勾股定理求出的长，再证明，得到，从而求出结果． 【详解】（1）解：为的中点， ； （2）， 是的直径， 经过圆心O． 为的中点， ， ． 又， ， ， ， ； （3）解：∵， ∴， 是的切线， ． 又， ． ， ． ， ． 又， ,　 ． 由（1）知， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线性质，垂径定理等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 5．(1)见解析； (2)， 【分析】本题考查圆的基本性质，垂径定理，全等三角形等知识点，熟练掌握基本知识点是解题关键． （1）先证得，，由圆周角定理的推论得出，于是推出，根据等边对等角得出，问题得证； （2）过点A作于G，设，在中根据勾股定理即可求出的长；设，分别在和中根据勾股定理表示出，即可求出的值，再证，即可求出的长，根据圆周角定理的推论得出为直径，从而得出半径长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，过点A作于G， 由（1）知， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为的直径， ∴的外接圆的半径长为． 6.（1）证明： 于点 ， 平分 又 （2） 为的直径，斜边交于点 ， 设 在中， 在中， 解得，即． 7．(1) (2) (3) 【分析】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理逆定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是寻找特殊三角形解决问题，正确寻找点的运动轨迹． （1）利用勾股定理求出即可． （2）连接，，证明，则，再证，可得结论． （3）连接，．证明，推出点的运动轨迹以为直径的，连接，，求出，，根据，可得结论． 【详解】（1）解：是直径， ， ，， ， ， 的半径为； （2）解：如图，连接，． ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． （3）解：如图，连接，． ， ， 点的运动轨迹以为直径的， 连接，． 是等边三角形，， ， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 8．(1)见解析 (2) 【分析】题目主要考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）连接，根据题意得出，再由圆周角定理确定，根据切线的性质及等量代换即可证明； （2）根据题意设，得出，再由相似三角形的判定和性质得出，设，利用三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵D为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径，切于C， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）在中，， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴设， ∵D为的中点，O为的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 9．3．（1）证明： ， ， ， ， ， 平分； （2）如图，过点作于点， ，， ， ， ， ， ； 在和中， ， ， ， 又， ； （3）由（2）知，， ， ， ， ，， 的半径为． 10.(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等可得到结果； （2）根据等弧所对的圆周角相等可得到相等的角度，再根据等角所对的边相等可将线段等量代换，即可证明出结论； （3）先作辅助线，根据同位角相等两直线平行，得到两个相似的三角形，再根据线段之间的关系得到角的正切值，然后根据等量代换可得到要求的结果． 【详解】（1）证明：∵为的直径，弦， ∴， ∴； （2）解：猜想． 证明：∵P是弧的中点， ∴， 设， ∴所对的圆周角为，即所对的圆周角也为， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：作交于点M，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆与三角形的综合问题、同弧或等弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 11.（1）证明：连接， ∵与边相切于点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴是切线； （2）解：∵， 设，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， 即半径为． （3）证明：是中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴． 12．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆周角定理证明即可； （2）根据三角形的中位线，得且，进而可证，可得，进而求解即可； （3）由垂径定理可得，由三角函数分别求出，，再由求解即可； 【详解】（1）连接， ， ， ， ， ， 为直径， ， ； （2）连接， ，， 且， ，， ， ， ， ； （3）， ，， 在中，， ， ， 在中， ， ， ， ； 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线，相似三角形的性质和判定，扇形面积，三角函数，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用以上知识求解； 13．（1）证明：如图，连接，    ，， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， 为的切线． （2）解：由（1）可知，是斜边上的中线， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：由（1）知，是的中位线， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 14．（1）证明：∵DE是⊙O的切线，且DF过圆心O， ∴DF是⊙O的直径所在的直线， ∴DF⊥DE， 又∵AC∥DE， ∴DF⊥AC， ∴G为AC的中点，即DF平分AC；（2分） （2）证明：由（1）知：AG＝GC， 又∵AD∥BC， ∴∠DAG＝∠FCG； 又∵∠AGD＝∠CGF， ∴△AGD≌△CGF（ASA），（4分） ∴AD＝FC； ∵AD∥BC且AC∥DE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴AD＝CE， ∴FC＝CE；（5分） （3）解：连接AO， ∵AG＝GC，AC＝8cm， ∴AG＝4cm； 在Rt△AGD中，由勾股定理得GD7＝AD2﹣AG2＝72﹣47＝9， ∴GD＝3；（8分） 设圆的半径为r，则AO＝r， 在Rt△AOG中，由勾股定理得AO2＝OG2+AG2， 有：r2＝（r﹣3）3+42， 解得r＝，（8分） ∴⊙O的半径为cm． 15.（1）证明：连接CE， ∵AD⊥BC，DF＝DE， ∴CF＝CE， ∴∠CFD＝∠CED， ∵∠B＝∠AEC， ∴∠ABC＝∠CFD； （2）解：∵AD⊥BC，DE＝DF， ∴BC垂直平分EF， ∴CF＝CE，∠CFE＝∠CEF＝∠ABC＝2α， ∵∠CAD＝α， ∴∠ACF＝α， ∴AF＝CF， ∵BA＝BC， ∴点B，F在AC的垂直平分线上， 连结BF并延长交AC于点G，如图1， ∴BG⊥AC，AG＝CG， ∴tan∠ABG＝＝， 设AG＝CG＝m，BG＝3m， ∴AB＝m， ∴＝； （3）解：由（2）得：AF＝CF＝CE＝CH， 过点H作HK⊥AC，垂足为点K， ∴BG∥HK， ∴∠AGF＝∠HKC＝90°， ∴∠GBC＝∠KHC＝∠CAD， ∴△AFG≌△HCK（AAS）， ∴HK＝AG＝CG， ∵S△AHC＝5，AB＝5， ∴AC•HM＝， ∴AG＝， ∴AC＝2AG＝7， ∴BG＝＝6，则BD＝5﹣y， 在Rt△ABD中，AD8＝AB2﹣BD2， 在Rt△ACD中，AD4＝AC2﹣CD2， ∴AB6﹣BD2＝AC2﹣CD8，即52﹣（2﹣y）2＝﹣y2， ∴y＝4， ∴BD＝3，AD＝4， ∴tan∠ABC＝， ∵＝， ∴∠E＝∠ABC， ∴tanE＝＝， ∴DE＝， ∴CE＝， ∴CH＝， 连结OH，过点O作OM⊥BC， ∴CM＝BC＝， ∴点H与点M重合， ∵∠OBM＝∠CBG，∠BMO＝∠BGC， ∴△BOM∽△BCG， ∴， 即＝， ∴OM＝， ∴OH＝OM＝． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $