第二编 题型五 圆的综合-【中考复习指南】2026年湖北中考数学模拟冲刺卷

题型五 圆的综合 心题型归纳 此类问题常以圆与三角形、切线、直径相结合的几何图形为背景，重点考查切线的判定与性质、 直径所对圆周角为直角、垂径定理、圆周角与圆心角的关系、相似三角形的识别与应用、勾股定理及 三角函数等核心知识点，解题的关键是通过连接圆心与切点构造垂直关系、利用直径构造直角三角 形、识别隐圆或四点共圆、转化角与边的等量关系，培养学生的几何直观、逻辑推理、模型建构与数 学建模能力和素养. 巴对点演练 1.如图，AB是⊙O的直径，C,D为⊙O上两点，CD平分∠ACB,交AB于点E,过点C作⊙O的切 线交AB的延长线于点P. (1)求证：PE=PC: (2)若AC=PC=4,求BE的长. 2.如图，AB,CD是⊙O的直径，CE是弦，且E是BD的中点，连接BC,OE (1)求证：BC∥OE; (2)若⊙O的半径是5，BC=6,求CE的长. -23 3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于点D,F为AD的中点，连接BF 交AC于点E,过点C作CG⊥BE,垂足为G (1)求证：CG平分∠ACB; (2)若AB=2√3，AE=2,求劣弧AF的长， 4.如图，P为圆O外一点，PA,PB分别切圆O于点A,B.连接PO,交圆O于点D,延长PO,交圆O 于点C.连接AC,BC,连接AO并延长，交BC于点E (1)求证：点D是AB的中点 (2)若点E是BC的中点，求∠APC的度数 -24- 5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点D是△ABC的内心，连接AD并延长交⊙O于点 E,过点E作EF∥BC交AB的延长线于点F. (1)求证：EF是⊙O的切线； (2)若⊙0的半径为3，sin∠AEC-2,求阴影部分的面积.（结果用含x的式子表示） D 6.如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径，点D在CB的延长线上，且AB=BD,连接AD交 ⊙O于点E,过点E作EF⊥CD于点F,连接CE (1)求证：EF是⊙O的切线； (2)请你从下列条件中选择一个条件 ,求AC的长. ①若AD=10,BC=子：@sinD=,BD-5 0 -25 7.已知AB,CD是⊙O的直径，M为BD的中点，连接CM,BC,DM, (1)如图1，连接AC,若∠CAB=20°，求∠ABC和∠CDM的度数； (2)如图2，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点P,弦BD交CM于点N,若∠ABC= 2∠BCP,MN=2,求⊙O的直径. 图1 图2 8.如图，在□ABCD中，AB=AC,⊙O外接于△ABC (1)求证：AD是⊙O的切线 (2)若AB=4√2，⊙O的半径r=3,求☐ABCD的面积 0 一 26—(2)当c<a且c≥b时，补充①如下： a>1, >b≥1， c 所以 所以1<<10，与(*)矛盾，不合题意； b1, ( b≤a<10. ( 当c<a且c<b时，补充②如下： >1,所以bb≥1，又吵≤ab100,所以1<<100，由（￥）知=10，所以p=m十 (3)当A的数字大于或等于B的数字时，会的位数是m一十1；当A的数字小于B的数字时，会的位数是 m一儿证明如下：设会-C.A,B,C的数字分别为a,bc,C的位数是x,所以BXC-A.由题意知，当a>b 时，必有a≥c,此时m=n十x一1，所以x=m一n十1；当a<b时，必有a<c,此时m=n十x,所以x=m一n. 综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，会的位数是m一十1；当A的数字小于B的数字时，合的位 数是m一n. 题型五圆的综合 1.(1)证明：如图，连接OD,OC..PC为⊙O的切线，.OC⊥PC,.∠PCE+∠OCE= 90°.，CD平分∠ACB,∴.∠ACD=∠BCD,∴.∠AOD=∠BOD=2∠ACD=90°， .DO⊥AB,∴.∠ODE+∠PEC=∠ODE+∠OED=90°..'OD=OC,∴.∠ODE= ∠OCE,∴.∠PEC=∠PCE,∴.PE=PC (2)解：：AC=PC,.∠A=∠P..∠COB=2∠A=2∠P,∠OCP=90°，∴.∠P=30°， X.am0=90r=o=89n=-0p-0B=0p-x-85-4s45 3 33 PE-PC-4,..BE=PE-BP=4-4/3 3 2.(1)证明：E是BD的中点，.DE=BE,∴∠DCE=∠BCE.OC=OE,∠OCE=∠OEC,∠OEC= ∠BCE,.BC∥OE. (2)解：如图，连接AC,延长EO交AC于点H.由⊙O的半径是5，可知AB=10..'AB是 ⊙O的直径，∴.∠ACB=90°，∴.AC=√AB-BC=8.由(1)知BC∥OE,.OH⊥AC, CH=号AC=4.又0C=5,∴.OH=3∴HE=0H+OE=3+5=8.在R△CEH中，根据 勾股定理，得CE=√CH+HE=√4+8=4√5. 3.(1)证明：如图，连接AF.,F为AD的中点，∴∠FAD=∠ABF..AB为⊙O的直径，∴∠AFB=90° ,CG⊥BF,∴.CG∥AF,∠BCG+∠CBG=90°，.∠ECG=∠FAD=∠ABF.,∠ABC=90°，∴.∠ABF+ ∠CBG=90°，∴.∠BCG=∠ABF,∠ECG=∠BCG,即CG平分∠ACB. (2)解：如图，连接FO.,CG平分∠ACB,CG⊥BE,∴.CE=CB.在Rt△ABC中，AB=2√3， AE=2,由BC+AB=AC得BC+(2√3)2=(BC+2)2,解得BC=2.在Rt△ABC中， 1a∠ACB-2-月∴∠ACB=60,∠CEB=∠CBE=0.∠EBA=3D,∠F0A= —6 2∠EBM=60.A0=2AB=月，AF的长为60XX5-5 180 3 4.(1)证明：.PA,PB分别切圆O于点A,B,∴.PA=PB,∠APC=∠BPC.在△APC和△BPC中， PA=PB. ∠APC=∠BPC,∴.△APC≌△BPC(SAS),∴.∠ACP=∠BCP,∴.AD=BD,即点D是AB的中点. PC=PC, (2)解：，点E是BC的中点，.AE⊥BC,∴.AE垂直平分BC.连接AB(图略)，则AC=AB.由(1)得△APC≌ △BPC,∴.AC=BC,∴.△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60,∠BCP=∠ACP=号∠ACB=30. .PA是圆O的切线，∴.PA⊥EA,.PA∥BC,∴∠APC=∠BCP=30° 5.(1)证明：连接OE,BE,如图.，EF∥BC,∴∠CBE=∠BEF..点D是△ABC的内心， ∠BAE=∠CAE.,∠CBE=∠CAE,∴.∠BEF=∠BAE.:AB是⊙O的直径， ∴.∠AEB=90°，∴.∠BAE+∠ABE=90°..OB=OE,∴.∠OBE=∠OEB,∴.∠BEF十 ∠OEB=90°，即OE⊥FE.OE是⊙O的半径，∴.EF是⊙O的切线. (2)解：sin∠AEC-号.∠AEC-30,∠ABC-∠AEC-30EF∥BC,∠EF0=∠ABC-30, 六∠B0E60,EF=0Eiam60=35.Sn=5am-Se=号X3X3月-60x_953 360 2 2· 6.(1)证明：如图1，连接OE..AB=BD,∴.∠BAD=∠D.OA=OE,∴∠OAE=∠OEA,∴∠D=∠OEA, ∴.OE∥CD.EF⊥CD,∴.EF⊥OE..OE是⊙O的半径，∴.EF是⊙O的切线： D F B 图1 图2 (2)解：选择条件①：如图2，连接BE,AB是⊙O的直径，BE⊥AD.AB=BD,.E为AD的中点， DE-吉AD.:BE-BE.∠DCE=∠DAB:∠D=∠D,△DBA△DBC,∴8器-品，即 CDC-品将AD=10,C号代入，解得CD8(负值合去，在K△ACD中，由勾股定理得AC 2AD VAD-CD=Vm一8=6.或选择条件@：AB=BD,BD空∴AB空：AB是O0的直径， ∴AC1DC“mD=号8-多设AC=,则AD=i,CD=VAD-AC=,BC=-9 4 在R△ACB中，AC+BC=AB,即(3)+(4-2)=(5)，解得=0（舍去），=2，∴.AC=6.(任 选条件①或条件②求解，答案不唯一) 7.解：(1)，AB为⊙O的直径，∠ACB=90°.，∠CAB=20°，∴∠ABC=90°-∠CAB=70°.，OB=OC, ∴.∠OCB-=∠OBC-70.:点M为BD的中点，DM=BM.∠DCM=∠BCM=号∠OCB=35.:CD 为⊙O的直径，∴.∠DMC=90°，∴.∠CDM=90°-∠DCM=55°. 7 (2).PC切⊙O于点C,.OC⊥PC,.∠OCP=90°，即∠OCB+∠BCP=90°.，OB=OC,∴.∠OCB= ∠OBC.'∠ABC=2∠BCP,∴.∠OCB=2∠BCP,∴.2∠BCP+∠BCP=90°，∴.∠BCP=30°，∴.∠OCB= 60.:DM=BM,∠DCM=∠BCM=号∠OCB=30°，∴∠MDN=∠BCM=30.由(D知∠DMC=90, ∴m∠MDN=MN=2,DM==2反又：∠M=0,CD=2DM=45,即⊙0的 直径为4√. 8.(1)证明：连接AO并延长交BC于点E,如图.AB=AC,AB=AC,∴.根据垂径定理 的推论得AE⊥BC,BE=CE..四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,∴.AE⊥AD, 即AO⊥AD.又，AO是⊙O的半径，∴.AD是⊙O的切线： (2)解：过点O作OFLAB-于点R,如图.：OFAB,AB=4瓦，AF=BF=AB=2反. .⊙O的半径r=3,∴.AO=3,在Rt△AOF中，由勾股定理得OF=√AO-AFz=√32一(2√2)2=1. AEBC.OFAB.BEA=/OFA=90.又/BAE-/OAF.:△BAE△OAE柴A柴A8 E-号1E=A-5风=2BE8g5mCAD89×9- 1223 3 33 9 第三编 压轴解答题突破 题型一方程、不等式的实际应用 1.解：(1)设1辆A型汽车的进价是x万元，则1辆B型汽车的进价是(40一x)万元.根据题意，得20×0.95x+ 20(40一x-0.5)=775,解得x=15,.40-x=40-15=25. 答：1辆A型汽车的进价是15万元，1辆B型汽车的进价是25万元. (2)设购进m辆A型汽车，则购进(15一m)辆B型汽车，根据题意，得15m十25(15一m)≤285，解得m≥9， ∴.9≤m<15.设该公司销售汽车可获利万元，则w=0.5m+25×6%(15-m)=一m十22.5..一1<0， .心随m的增大而减小，∴.当m=9时，心最大，此时15一9=6（辆）. 答：购进9辆A型汽车，6辆B型汽车可使该公司获利最多. (3)根据题意，得9×0.5+6×(25×6%一a)=9.9,解得a=0.6. 2.解：(1)设该电动车用品批发店购进x个A款头盔，y个B款头盔 由题意，得+=50. x=150, 解得 10x+16y=7100, y=350. 答：该电动车用品批发店购进150个A款头盔，350个B款头盔 (2)①设第二次购进x个A款头盔，则购进(x一60)个B款头盔，根据题意，得10x十16(x一60)≤6320，整 理得26x≤7280，解得x≤280. 答：该店至多购进280个A款头盔 ②根据题意，可得(280+8m)(20十2m一10)十[300×(1-5%)×20-300×16]=5044，整理得m2十40m一 84=0,解得m1=2,m2=一42（舍去），∴.m的值为2. 3.解：任务一：设基础模式的速度为x米/分，则标准模式的速度为(x十10)米/分.根据题意，得300。=200， Fx+10 x 8