精品解析：山东淄博市周村区第二中学2025-2026学年下学期初一数学期中考试

初一数学期中考试 一、选择题 1. 下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，还可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式变形正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 4. 如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝15°，OC平分∠AOD，则∠BOD的度数是（　　） A. 75° B. 60° C. 65° D. 55° 5. 如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．其中能判断直线的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 6. 如图，点在直线上，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知线段，点是直线上一点，，点是线段的中点，则的长为（ ） A. 或 B. C. D. 或 8. 如图，直线，且分别与直线l交于C，D两点，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 某种商品每件的进价为元，标价为元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为，则商店应打（）折 A. B. C. D. 10. 如图，∠BCD＝90°，AB//DE，则与满足（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每小题4分，共20分） 11. 已知，那么的补角的度数是______． 12. 若方程是关于x的一元一次方程，则的值为______． 13. 已知一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角的度数是______． 14. 幻方最早起源于我国，古人称之为“纵横图”．在如图所示的幻方中，填写了一些数和汉字（每个汉字都表示一个数），若每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上的三个数之和都相等，则这个幻方中“防”字对应的数为______． 防 溺 水 人 人 160 有 60 责 15. 如图，已知，、的交点为，现作如下操作： 第一次操作，分别作和的平分线，交点为， 第二次操作，分别作和的平分线，交点为， 第三次操作，分别作和的平分线，交点为， … 第次操作，分别作和的平分线，交点为． 若度，那等于__________度． 三、解答题：要写出必要的文字说明或演算步骤（共90分） 16. 解方程： （1）； （2）； （3）． （4） 17. 如图，线段AB＝8cm，C是线段AB上一点，AC＝3.2cm，M是AB的中点，N是AC的中点． (1)求线段CM的长； (2)求线段MN的长． 18. 如图，直线，相交于点O，． （1）若，，则 ； （2）若，判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，求和的度数． 19. 如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，按下列要求在网格中画图并标注相关字母． （1）画线段； （2）画射线； （3）画直线； （4）过点B画的平行线交射线于点E； （5）过点D画垂线段，垂足为F． 20. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于点，，求的度数． 21. 你还记得我们做过的这道题目吗？我国古代《算法统宗》中记载的一道数学题“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩”．问有几个牧童几个杏？题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏，若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．问：有多少个牧童、多少个杏？请你列出两种不同的方程来解决问题，并在每次解答之前用文字简明写出你列方程时所用到的等量关系． 22. 工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人，每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个． （1）该车间有男生、女生各多少人？ （2）已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝，多少工人负责生产螺母？ 23. 已知：如图①、②，解答下面各题： （1）图①中，∠AOB=55°，点P在∠AOB内部，过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，求∠EPF的度数. （2）图②中，点P在∠AOB外部，过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，那么∠P与∠O有什么关系？为什么？ （3）通过上面这两道题，你能说出如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角是什么关系？（说明结果，不需要过程） （4）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角是什么关系？（请画图说明结果，不需要过程） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初一数学期中考试 一、选择题 1. 下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元一次方程的定义进行逐一判断即可：只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程．本题主要考查了一元一次方程的定义，熟知定义是解题的关键． 【详解】解：A、是一元一次方程，符合题意； B、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； C、不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意； D、未知数的次数不是1，不是一元一次方程，不符合题意； 故选A． 2. 如图，还可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角的表示，理解角的表示方法是解题的关键．根据角的表示方法，即可获得答案． 【详解】解：还可以表示为， 故选：C． 3. 下列等式变形正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 【答案】B 【解析】 【分析】根据等式的性质对各选项变形逐一判断即可． 【详解】解：、由，等式两边同时除以，得，原选项错误，不符合题意； 、由，等式两边同时减，得，原选项正确，符合题意； 、由，等式两边同时加，得，原选项错误，不符合题意； 、由，等式两边同时除以，得，不是，原选项错误，不符合题意． 4. 如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝15°，OC平分∠AOD，则∠BOD的度数是（　　） A. 75° B. 60° C. 65° D. 55° 【答案】B 【解析】 【分析】先求出∠AOC，再根据角平分线的定义求出∠AOD，然后根据∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵∠AOB＝90°，∠BOC＝15°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣15°＝75°， ∵OC平分∠AOD， ∴∠AOD＝2∠AOC＝2×75°＝150°， ∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝150°﹣90°＝60°， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，熟记概念并准确识图是解题的关键． 5. 如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．其中能判断直线的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：不能判断，故①错误； ，同位角相等，两直线平行，能判断直线，故②正确； ，邻补角互补，不能判断直线，故③错误； ，内错角相等，两直线平行，能判断直线，故④正确； ，同旁内角相等，两直线平行，能判断直线，故⑤正确； 故选C． 【点睛】本题考查平行四边形的判定方法，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理． 6. 如图，点在直线上，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图示可得，∠AOB与∠BOC互余，结合已知可求∠BOC，又因为∠COD与∠COB互补，即可求出∠COD． 【详解】解：∵，∠AOC=90°，  ∴∠BOC=75°，  ∵∠COD +∠BOC=180°，  ∴∠COD =105°． 故选B． 【点睛】本题考查了余角、补角，解题的关键是能根据图找出角之间的和差关系． 7. 已知线段，点是直线上一点，，点是线段的中点，则的长为（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段和差的计算，线段中点的计算，理解线段中点的含义，数形结合分析即可求解． 【详解】解：如图所示，点在点左边， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴； 如图所示，点在点右边， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴； 综上所述，的长为或， 故选：A ． 8. 如图，直线，且分别与直线l交于C，D两点，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质，得到的同位角为，再根据三角尺含有角，利用平角的定义即可得出的度数． 【详解】解：设  的同位角为 ，三角尺的锐角为 ， ，  ， 又  三角尺含  角，  ， ，   ． 9. 某种商品每件的进价为元，标价为元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为，则商店应打（）折 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设商店应打折，根据题意列出方程，然后解方程即可． 【详解】解：设商店应打折， 根据题意得 解得， 因此商店应打折． 10. 如图，∠BCD＝90°，AB//DE，则与满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点C作CF∥AB，可得CF∥AB∥DE，从而得到，再由∠BCD＝90°，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作CF∥AB， ∵AB//DE， ∴CF∥AB∥DE， ∴， ∴， ∵∠BCD＝90°， ∴． 故选：A 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． 二、填空题：（每小题4分，共20分） 11. 已知，那么的补角的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据互为补角的两个角的和等于列式计算即可得解． 【详解】解: ∵， ∴的补角为． 12. 若方程是关于x的一元一次方程，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元一次方程的定义可知，未知数的次数为且未知数的系数不为，据此列关系式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴，且， 解得，且， ∴． 13. 已知一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角的度数是______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】根据补角和余角的定义，利用“一个角的补角是它的余角的4倍”作为相等关系列方程求解，即可得出结果． 【详解】解：设这个角的度数为，则它的补角为，余角为， 根据题意，得， 解得． 14. 幻方最早起源于我国，古人称之为“纵横图”．在如图所示的幻方中，填写了一些数和汉字（每个汉字都表示一个数），若每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上的三个数之和都相等，则这个幻方中“防”字对应的数为______． 防 溺 水 人 人 160 有 60 责 【答案】 110 【解析】 【分析】根据幻方的性质，每一横行，每一竖列，对角线上三个数的和相等，三阶幻方的幻和等于三倍中间数，先利用第二行的和求出“人”对应的数，得到幻和，再结合对角线与第一列得到“有”“责”和“防”的关系，最后代入第三行的和求出“防”对应的数。 【详解】解：设“人”对应的数为，幻和为，“防”对应的数为 根据题意得： 第二行三个数的和为 代入得 解得 因此 主对角线上三个数的和为 ，即，整理得： 第一列三个数的和为 ，即，整理得： 第三行三个数的和为 ，代入得 整理得 解得 15. 如图，已知，、的交点为，现作如下操作： 第一次操作，分别作和的平分线，交点为， 第二次操作，分别作和的平分线，交点为， 第三次操作，分别作和的平分线，交点为， … 第次操作，分别作和的平分线，交点为． 若度，那等于__________度． 【答案】 【解析】 【分析】先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，则可得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1∠ABE∠DCE∠BEC；同理可得∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2∠ABE1∠DCE1∠CE1B∠BEC；根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C∠BEC；…据此得到规律∠En∠BEC，最后求得∠BEC的度数． 【详解】如图1，过E作EF∥AB． ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠B=∠1，∠C=∠2． ∵∠BEC=∠1+∠2， ∴∠BEC=∠ABE+∠DCE； 如图2． ∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1， ∴∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1∠ABE∠DCE∠BEC． ∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2， ∴∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2∠ABE1∠DCE1∠CE1B∠BEC； ∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3， ∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3∠ABE2∠DCE2∠CE2B∠BEC； … 以此类推，∠En∠BEC， ∴当∠En=1度时，∠BEC等于2n度． 故答案为：2n． 【点睛】本题考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． 三、解答题：要写出必要的文字说明或演算步骤（共90分） 16. 解方程： （1）； （2）； （3）． （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； 【小问2详解】 解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； 【小问3详解】 解： 方程两边同乘12去分母得， 去括号得， 合并同类项得， 移项得， 系数化为1得； 【小问4详解】 解： 将分母化为整数得， 方程两边同乘15去分母得， 去括号得， 合并同类项得， 移项得， 系数化为1得． 17. 如图，线段AB＝8cm，C是线段AB上一点，AC＝3.2cm，M是AB的中点，N是AC的中点． (1)求线段CM的长； (2)求线段MN的长． 【答案】（1）0.8cm；（2）2.4cm. 【解析】 【分析】（1）根据M是AB的中点，求出AM，再利用CM=AM-AC求得线段CM的长； （1）根据N是AC的中点求出NC的长度，再利用MN=CM+NC即可求出MN的长度． 【详解】解：（1）由AB=8，M是AB的中点，所以AM=4， 又AC=3.2，所以CM=AM-AC=4-3.2=0.8（cm）． 所以线段CM的长为0.8cm； （2）因为N是AC的中点，所以NC=1.6， 所以MN=NC+CM，1.6+0.8=2.4（cm）， 所以线段MN的长为2.4cm． 18. 如图，直线，相交于点O，． （1）若，，则 ； （2）若，判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，求和的度数． 【答案】（1） （2） 解：； 理由：∵， ∴， ∴， ∴； （3）， 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，余角和补角的有关计算； （1）先求出，再根据平角的定义计算即可； （2）先求出，再根据平角的定义计算得出即可； （3）根据求出，再进一步计算即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴， ． 19. 如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，按下列要求在网格中画图并标注相关字母． （1）画线段； （2）画射线； （3）画直线； （4）过点B画的平行线交射线于点E； （5）过点D画垂线段，垂足为F． 【答案】（1） 解：如图，线段即为所求； （2） 如图，射线即为所求； （3） 如图，直线即为所求； （4） 如图，即为所求； （5） 如图，线段即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据线段的定义作图即可； （2）根据射线的定义作图即可； （3）根据直线的定义作图即可； （4）根据平行线的定义作图可得； （5）根据垂线的定义作图即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 【小问5详解】 略 【点睛】本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握直线、射线、线段、垂线、平行线的定义． 20. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于点，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）的度数为． 【解析】 【分析】（）由平行线的性质可得，又，则，所以，从而可得； （）由角平分线定义可得，则有，又，则，然后通过角度和差即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， 由（）得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 你还记得我们做过的这道题目吗？我国古代《算法统宗》中记载的一道数学题“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩”．问有几个牧童几个杏？题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏，若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．问：有多少个牧童、多少个杏？请你列出两种不同的方程来解决问题，并在每次解答之前用文字简明写出你列方程时所用到的等量关系． 【答案】有24个牧童，50个杏 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键； 方法一：设牧童人数为未知数，以杏子总数作为等量关系列方程． 方法二：设杏子总数为未知数，以牧童人数作为等量关系列方程． 【详解】解：方法一，相等关系：（按3人一组分杏子表示的）杏子总数量=（按4人一组分杏子表示的）杏子总数量（意思明白即可） 设题目中有牧童x个，由题意得：，解之得： 所以 答：有24个牧童，50个杏． 方法二，相等关系：（按每组分5个杏子表示的）牧童人数=（按每组分8个杏子表示的）牧童人数（意思明白即可 设题目中有杏x个，由题意得：，解之得： 所以 答：有24个牧童、50个杏． 22. 工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人，每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个． （1）该车间有男生、女生各多少人？ （2）已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝，多少工人负责生产螺母？ 【答案】（1）该车间有男生18人，则女生人数是26人 （2）分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母 【解析】 【分析】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，根据“男生人数+女生人数＝44”列出方程并解答； （2）首先设应分配y名工人生产螺丝，名工人生产螺母，根据题意可得等量关系：螺丝数量螺母数量，根据等量关系列出方程，再解即可． 【小问1详解】 设该车间有男生x人，则女生人数是人，则 ． 解得 则． 答：该车间有男生18人，则女生人数是26人． 【小问2详解】 设应分配y名工人生产螺丝，名工人生产螺母，由题意得： 解得：， 答：分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 23. 已知：如图①、②，解答下面各题： （1）图①中，∠AOB=55°，点P在∠AOB内部，过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，求∠EPF的度数. （2）图②中，点P在∠AOB外部，过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，那么∠P与∠O有什么关系？为什么？ （3）通过上面这两道题，你能说出如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角是什么关系？（说明结果，不需要过程） （4）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角是什么关系？（请画图说明结果，不需要过程） 【答案】（1）125°； （2）∠P=∠O； （3）相等或互补； （4）相等或互补； 【解析】 【分析】（1）利用四边形的内角和定理即可求解； （2）利用垂直的定义和三角形的内角和定理求解； （3）根据（1）和（2）的结果即可求解； （4）本题应分两种情况讨论，如图，∠1，∠2，∠3的两边互相平行，由图形可以看出∠1和∠2是邻补角，它们和∠3的关系容易知道一个相等，一个互补． 【小问1详解】 解：（1）如图①， ∵PE⊥OA，PF⊥OB ∴∠PEO=∠OFP=90°， ∴∠EPF=360°-90°-90°-55°=125°； 【小问2详解】 解：如图②， ∵PE⊥OA，PF⊥OB， ∴∠PEO=∠OFP=90°， 又∵∠OGF=∠PGE， ∴∠P=∠O； 【小问3详解】 解：如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等或互补； 【小问4详解】 解：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补． 如图③，∠1，∠2，∠3的两边互相平行， ∴∠3=∠4，∠4=∠1，∠4+∠2=180°； ∴∠3=∠1，∠3+∠2=180°． ∴这两个角相等或互补． 【点睛】考查了多边形内角与外角，三角形内角和定理．此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式关系，正确理解内角和定理是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $