小升初奥数培优应用题：鸽巢问题（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初奥数培优应用题：鸽巢问题 【知识点梳理】 一、知识点梳理 1. 问题背景与核心概念 鸽巢问题，又称抽屉原理或狄利克雷原理。 (1) 基本模型：把 个物体放入 个抽屉中，那么一定有一个抽屉里至少放进了 2 个物体。 (2) 核心要素： 1　 物体（苹果/鸽子）：被分配的对象，数量通常较多。 2　 抽屉（笼子/盒子）：分类的标准或容器，数量通常较少。 3　 结论：不管怎么放，总有一个抽屉里至少有 个物体。 2. 核心公式与解题步骤 通用公式（平均分余数法） 当把 个物体放入 个抽屉中时： 则：总有一个抽屉里至少放进 个物体。 (1) 若余数 ：即整除，则至少数为商 。（注：此时每个抽屉正好 个，"至少"即为 ） (2) 若余数 ：则至少数为商 ，即 。 记忆口诀：物体除以抽屉，商加一（有余数时）。 解题三步走 (1) 找抽屉：确定分类标准是什么？有多少类？（例如：12生肖有12个抽屉，红黄蓝3种颜色有3个抽屉）。 (2) 找物体：确定要被分配的对象有多少个？ (3) 用公式：利用 ，根据余数判断“至少数”。 3. 常见题型分类 类型一：已知物体求至少数 例题：把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉至少有几本书？ 解： ，至少数 本。 类型二：已知至少数求最少物体数（逆向思维） 例题：要保证有一个抽屉里至少有3本书，如果有4个抽屉，至少需要多少本书？ 解：这是“最不利原则”的逆运用。 想达到“至少3本”，最坏的情况是每个抽屉都放了 本。 此时再放1本，必然有一个抽屉变成3本。 公式： 。 计算： 本。 类型三：生活中的隐蔽抽屉 这类题目不直接给出抽屉，需要学生自己挖掘分类标准： (1) 生肖问题：抽屉数 = 12。 (2) 星期/日期问题：星期几抽屉数 = 7；月份抽屉数 = 12。 (3) 颜色问题：几种颜色就有几个抽屉。 (4) 整数性质问题： 1　 奇偶性：抽屉数 = 2（奇数、偶数）。 2　 余数性质：除以3的余数，抽屉数 = 3（余0、余1、余2）。 (5) 几何图形点分布：将区域划分为几个部分作为抽屉。 4. 易错点提示 (1) 混淆“至少”与“最多”：鸽巢原理解决的是“至少”的问题，即保证发生的最小值。 (2) 抽屉找错：例如问“任意367人中，至少有几人生日相同”，抽屉是366天（闰年），而不是12个月。 (3) 整除陷阱：如果 没有余数，至少数就是商，不需要加1。例如 10个苹果放5个盘子， ，至少有一个盘子有2个苹果（实际上每个都是2个，满足至少2个）。 【培优练习】 【基础巩固篇】 1. 把5只鸽子飞进3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进几只鸽子？ 【详解】 物体数=5，抽屉数=3。 。 至少数 = 商 + 1 = （只）。 【答案】2只 2. 把10本书放进3个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？ 【详解】 物体数=10，抽屉数=3。 。 至少数 = （本）。 【答案】4本 3. 六年级有30名学生，他们中至少有几名学生的生日在同一个月？ 【详解】 抽屉数=12（个月），物体数=30（人）。 。 至少数 = （名）。 【答案】3名 4. 盒子里有红、黄、蓝三种颜色的球各若干个。一次至少摸出几个球，才能保证有两个球颜色相同？ 【详解】 这是“已知至少数求物体数”的逆向题。 目标：保证2个同色（至少数=2）。 抽屉数=3（红、黄、蓝）。 最不利情况：每种颜色都摸到了1个，共3个球，此时没有同色。 再摸1个，必然与前面某一个同色。 计算： （个）。 【答案】4个 5. 任意给出4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数。为什么？ 【详解】 任何自然数除以3，余数只能是0、1、2。 抽屉数=3（余0、余1、余2）。 物体数=4（4个自然数）。 。 至少有一个余数类别里有 个数。 这两个数除以3余数相同，它们的差一定能被3整除。 【答案】见详解（原理证明） 【进阶提升篇】 6. 某校共有370名学生，请问至少有几名学生的生日在同一天？（一年按365天计算） 【详解】 抽屉数=365（天），物体数=370（人）。 。 至少数 = （名）。 【答案】2名 7. 口袋里有红、白、黑三种颜色的袜子各10只。如果不看颜色，至少取出多少只袜子，才能保证配成一双同色的袜子？ 【详解】 抽屉数=3（红、白、黑）。 目标：保证2只同色。 最不利原则：先取出3只，分别是红、白、黑各一只。 再取1只，无论什么颜色，都能与之前的某一只配成一对。 计算： （只）。 【答案】4只 8. 从1到20这20个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中有两个数的和是偶数？ 【详解】 两数之和为偶数，意味着这两个数必须同为奇数或同为偶数。 抽屉构造： 抽屉1：奇数集合 {1, 3, ..., 19} 抽屉2：偶数集合 {2, 4, ..., 20} 抽屉数=2。 目标：保证有2个数在同一个抽屉里。 最不利情况：选了1个奇数，1个偶数。 再选1个，必然落入其中一个抽屉，形成同奇或同偶。 计算： （个）。 【答案】3个 9. 一副扑克牌（去掉大小王）共52张，有4种花色。至少抽出多少张牌，才能保证有3张牌花色相同？ 【详解】 抽屉数=4（黑桃、红桃、梅花、方块）。 目标：保证3张同花色（至少数=3）。 最不利情况：每种花色都抽到了 张。 已抽数量： 张。 再抽1张，必然使某种花色达到3张。 计算： （张）。 【答案】9张 10. 把25个玻璃球放入6个盒子里，总有一个盒子里至少有几个玻璃球？ 【详解】 物体数=25，抽屉数=6。 。 至少数 = （个）。 【答案】5个 【综合应用篇】 11. 任意5个自然数中，必有两个数的差能被4整除吗？请说明理由。 【详解】 任何自然数除以4，余数有4种情况：0, 1, 2, 3。 抽屉数=4。 物体数=5。 。 根据鸽巢原理，至少有2个数除以4的余数相同。 设这两个数为 ，且 。 。 ，能被4整除。 【答案】是，理由见详解 12. 一个布袋里有红、黄、蓝、绿四种颜色的球各10个。至少取出多少个球，才能保证有4个球颜色相同？ 【详解】 抽屉数=4。 目标：保证4个同色。 最不利情况：每种颜色都取了 个。 已取： 个。 再取1个即可。 计算： （个）。 【答案】13个 13. 某班有45名学生，老师至少要准备多少本课外书，分给这些学生，才能保证至少有一名同学分到2本书？ 【详解】 此题视角转换：学生是抽屉，书是物体。 抽屉数=45。 目标：保证有一个抽屉（学生）有2本书。 最不利情况：每个学生都只分到了1本书。 已分：45本。 再拿1本分给任意一人，那人就有2本了。 计算： （本）。 【答案】46本 14. 某年级有300名学生，至少有几名学生在同一周过生日？（一年按52周计算） 【详解】 抽屉数=52（周），物体数=300（人）。 。 至少数 = （名）。 【答案】6名 15. 从1到10中，至少取出多少个数，才能保证其中有两个数互质？ 【详解】 注：相邻自然数互质。 抽屉构造：{1,2}, {3,4}, {5,6}, {7,8}, {9,10}。 共5个抽屉。 只要取出2个数在同一个抽屉，它们就是相邻自然数，必互质。 最不利：每个抽屉取1个，共5个。 再取1个，必与同抽屉的另一个数相邻。 计算： 。 【答案】6个 16. 袋中有红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个。至少取出多少个球，才能保证有5个球颜色相同？ 【详解】 抽屉数=4。 目标：5个同色。 最不利：每种颜色取 个。 已取： 个。 再取1个即可。 计算： （个）。 【答案】17个 17. 任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的和是偶数吗？ 【详解】 自然数按奇偶性分为2个抽屉：奇数、偶数。 物体数=3。 。 至少有一个抽屉里有 个数。 这2个数要么都是奇数，要么都是偶数。 奇+奇=偶，偶+偶=偶。 所以一定有2个数的和是偶数。 【答案】是，证明见详解 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优应用题：鸽巢问题 【知识点梳理】 一、知识点梳理 1. 问题背景与核心概念 鸽巢问题，又称抽屉原理或狄利克雷原理。 (1) 基本模型：把 个物体放入 个抽屉中，那么一定有一个抽屉里至少放进了 2 个物体。 (2) 核心要素： 1　 物体（苹果/鸽子）：被分配的对象，数量通常较多。 2　 抽屉（笼子/盒子）：分类的标准或容器，数量通常较少。 3　 结论：不管怎么放，总有一个抽屉里至少有 个物体。 2. 核心公式与解题步骤 通用公式（平均分余数法） 当把 个物体放入 个抽屉中时： 则：总有一个抽屉里至少放进 个物体。 (1) 若余数 ：即整除，则至少数为商 。（注：此时每个抽屉正好 个，"至少"即为 ） (2) 若余数 ：则至少数为商 ，即 。 记忆口诀：物体除以抽屉，商加一（有余数时）。 解题三步走 (1) 找抽屉：确定分类标准是什么？有多少类？（例如：12生肖有12个抽屉，红黄蓝3种颜色有3个抽屉）。 (2) 找物体：确定要被分配的对象有多少个？ (3) 用公式：利用 ，根据余数判断“至少数”。 3. 常见题型分类 类型一：已知物体求至少数 例题：把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉至少有几本书？ 解： ，至少数 本。 类型二：已知至少数求最少物体数（逆向思维） 例题：要保证有一个抽屉里至少有3本书，如果有4个抽屉，至少需要多少本书？ 解：这是“最不利原则”的逆运用。 想达到“至少3本”，最坏的情况是每个抽屉都放了 本。 此时再放1本，必然有一个抽屉变成3本。 公式： 。 计算： 本。 类型三：生活中的隐蔽抽屉 这类题目不直接给出抽屉，需要学生自己挖掘分类标准： (1) 生肖问题：抽屉数 = 12。 (2) 星期/日期问题：星期几抽屉数 = 7；月份抽屉数 = 12。 (3) 颜色问题：几种颜色就有几个抽屉。 (4) 整数性质问题： 1　 奇偶性：抽屉数 = 2（奇数、偶数）。 2　 余数性质：除以3的余数，抽屉数 = 3（余0、余1、余2）。 (5) 几何图形点分布：将区域划分为几个部分作为抽屉。 4. 易错点提示 (1) 混淆“至少”与“最多”：鸽巢原理解决的是“至少”的问题，即保证发生的最小值。 (2) 抽屉找错：例如问“任意367人中，至少有几人生日相同”，抽屉是366天（闰年），而不是12个月。 (3) 整除陷阱：如果 没有余数，至少数就是商，不需要加1。例如 10个苹果放5个盘子， ，至少有一个盘子有2个苹果（实际上每个都是2个，满足至少2个）。 【培优练习】 【基础巩固篇】 1. 把5只鸽子飞进3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进几只鸽子？ 2. 把10本书放进3个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？ 3. 六年级有30名学生，他们中至少有几名学生的生日在同一个月？ 4. 盒子里有红、黄、蓝三种颜色的球各若干个。一次至少摸出几个球，才能保证有两个球颜色相同？ 5. 任意给出4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数。为什么？ 【进阶提升篇】 6. 某校共有370名学生，请问至少有几名学生的生日在同一天？（一年按365天计算） 7. 口袋里有红、白、黑三种颜色的袜子各10只。如果不看颜色，至少取出多少只袜子，才能保证配成一双同色的袜子？ 8. 从1到20这20个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中有两个数的和是偶数？ 9. 一副扑克牌（去掉大小王）共52张，有4种花色。至少抽出多少张牌，才能保证有3张牌花色相同？ 10. 把25个玻璃球放入6个盒子里，总有一个盒子里至少有几个玻璃球？ 【综合应用篇】 11. 任意5个自然数中，必有两个数的差能被4整除吗？请说明理由。 12. 一个布袋里有红、黄、蓝、绿四种颜色的球各10个。至少取出多少个球，才能保证有4个球颜色相同？ 13. 某班有45名学生，老师至少要准备多少本课外书，分给这些学生，才能保证至少有一名同学分到2本书？ 14. 某年级有300名学生，至少有几名学生在同一周过生日？（一年按52周计算） 15. 从1到10中，至少取出多少个数，才能保证其中有两个数互质？ 16. 袋中有红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个。至少取出多少个球，才能保证有5个球颜色相同？ 17. 任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的和是偶数吗？ 学科网（北京）股份有限公司 $