函数核心考点01：函数的单调性·奇偶性·对称性·周期性【10大核心考点】讲义-2026届高考数学三轮复习

【函数核心考点01：函数的单调性·奇偶性·对称性·周期性】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：复合函数的单调性】 【解题策略】 核心知识点 1复合函数定义：，外层函数，内层函数 2单调性判定法则：同增异减（内外层单调性相同则复合函数递增相反则递减） 3前提条件：内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域 4定义域优先：求单调性前必须先确定复合函数的定义域 解题方法 1分层分析：将复合函数拆分为外层、内层两个基本函数 2分别求内外层函数的单调区间 3根据“同增异减”法则，合并得到复合函数的单调区间 4最终结果必须与原函数的定义域取交集 （24-25高三下·四川雅安·开学考试）函数的单调递增区间是_______．经典例题1例题 【答案】(或) 【分析】根据对数函数，二次函数的单调性结合复合函数的单调性同增异减原则即得. 【详解】函数的定义域为， 令在定义域上为增函数，则在上单调递增， 由复合函数单调性的同增异减原则可得，当1，即时，函数单调递增， 即函数单调递增区间为． 故答案为：(或) （2024·湖北·二模）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题设条件证明，再验证时条件满足即可. 【详解】若在上单调递增， 则必然在处有定义，所以，即； 若，则当时，所以在上有定义， 再由知在上单调递增，所以在上单调递增. 故选：C. （25-26高一下·辽宁沈阳·月考）函数的单调递增区间是______．小试牛刀1 【答案】和. 【分析】根据复合函数的单调性即可求出答案. 【详解】令， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时， 函数在上单调递减， 在上单调递增， 当时， 函数在上单调递增， 在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为和. （25-26高一下·江苏盐城·开学考试）函数的单调递增区间是________.小试牛刀2 【答案】 【分析】由对数函数的真数大于0求得函数定义域，再利用复合函数的单调性原理得答案． 【详解】由，得或． 函数的定义域为． 令，其图象开口向上且对称轴方程为，且在上为减函数， 而函数是定义域内的减函数， 函数的单调递增区间是． （2025·陕西咸阳·二模）已知，则函数的最大值是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，利用基本初等函数的单调性及复合函数的单调性，求出的单调区间，即可求解. 【详解】令，，易知是减函数， 因为，又在上单调递增，在上单调递减， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又当时，，当时，， 则函数的最大值是， 故选：C. 【题型2：由函数的单调性求参数】 【解题策略】 核心知识点 1函数在区间上单调递增/递减的充要条件： 可导函数：（增）或（减）在区间上恒成立，且导数不恒为0 分段/抽象函数：需保证各分段单调性一致，且分段点处衔接符合单调性 2常见模型：二次函数、对数型函数、分式函数的单调性与参数的关系 解题方法 1导数法：求导后转化为不等式恒成立问题，通过分离参数、分类讨论求解参数范围 2分段/复合函数法：根据各段单调性及衔接条件列不等式组，求解参数 3注意端点：恒成立问题需验证端点是否可取 （2026·陕西西安·模拟预测）已知函数若对任意，，且，都有成立，则实数的取值范围是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，在上是增函数， 所以在上单调递增，则①， 又时，， 时，，故②， 联立①②，解得． （2026·广东东莞·模拟预测）已知函数 在上单调递减，则的取值范围是（  ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段函数单调递减，需满足每一段函数均单调递减，且分段处左端点函数值大于等于右端点函数值，从而得到相应的不等式组，进而求解即可． 【详解】由在上单调递减，而在上单调递增， 所以在上单调递减， 想要函数 在上单调递减， 即要在上单调递减，且， 即，解得， 所以的取值范围是． 故选：D （25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合复合函数单调性、对数函数的定义域来求得 a 的取值范围. 【详解】函数是开口向上的二次函数，其对称轴为； 因为函数在区间上单调递增， 所以内层函数在区间上单调递增且在区间上恒成立 即，即实数的取值范围是. 故选：B. （25-26高一上·云南昭通·期中）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的单调性，进而得的单调性，利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以的取值范围是， 故选：D. （25-26高三上·安徽淮北·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性，分段分析即可，注意分段点出也要满足单调增. 【详解】当时， ，显然为增函数， 当时， ，此时为开口向下的二次函数，所以对称轴， 即即可， 当时，， 故的取值范围是， 故选：B. 【题型3：由函数的单调性比较大小】 【解题策略】 核心知识点 1单调性的核心性质： 增函数： 减函数： 2常见应用：利用单调性转化自变量大小与函数值大小的关系 3辅助技巧：结合奇偶性、周期性将自变量转化到同一单调区间 解题方法 1统一区间：利用奇偶性、周期性将待比较的自变量转化到函数的同一单调区间内 2比较自变量大小：根据转化后的自变量大小关系 3结合单调性：根据函数的增减性，直接得到函数值的大小关系 （2026·福建厦门·二模）设函数，记，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，比较自变量的范围和大小，利用函数单调性和奇偶性比较即得. 【详解】因为,所以函数是偶函数，所以. 当时,,此时有，所以函数在单调递增， 又因为 ,所以. 又因为,所以, 由函数的单调性可得即 （2026·江西·二模）已知函数，若，，，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因函数在上单调递减，在上单调递增. 故. 设在上单调递增且恒为正数，而在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在上单调递增， 所以，即． （2026·江西·模拟预测）已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数求出的单调性，再比较自变量的大小即可. 【详解】，定义域为， 因为是递减函数，是递增函数，所以在上单调递减， 因为，所以，即， 故，即. 故选：B （25-26高三上·天津·期末）已知奇函数在上是增函数．若，，则的大小关系为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】比较的大小关系，再结合单调性即可. 【详解】因为是奇函数，所以， 因为， 所以， 因为，，所以， 因为在上是增函数，所以， 故. 故选：C （2026·四川攀枝花·一模）已知函数，若，，，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数，指数函数单调性可比较大小，然后由单调性可得答案. 【详解】注意到，，，则. 当，易得在R上单调递增. 则，从而在上单调递增，则. 又注意到当时，在上单调递减，则. 综上可得. 故选：B 【题型4：由函数的奇偶性求参数】 【解题策略】 核心知识点 1奇偶性定义： 偶函数：，图像关于轴对称 奇函数：，图像关于原点对称，且若在处有定义，则 2奇偶函数的定义域必须关于原点对称 3常见模型：含对数、分式、根式的函数奇偶性与参数的关系 解题方法 1通用法：根据奇偶性定义列方程，整理后令对应项系数相等求解参数 2奇函数特殊值法：若有定义，利用快速求参数，再验证 3定义域优先：先根据定义域关于原点对称，列方程求参数，再验证奇偶性 （2026·天津和平·一模）已知函数是偶函数，则实数（   ）经典例题1例题 A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】由，， 因为函数是偶函数，则， 即，则， 即恒成立，可得. （2026·四川·模拟预测）已知函数为偶函数，曲线在处的切线方程为，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由为偶函数利用特值法得到的值，利用偶函数的定义验证的值，构造函数，利用导数的几何意义求出斜率，利用点斜式得到切线方程，从而得到的值. 【详解】因为为偶函数，则， 所以，解得. 当时，，所以，解得或， 则其定义域关于原点对称. ， 故为偶函数. 记，则，又 ， 所以曲线在处的切线方程为， 化简得，所以. （2026·安徽·三模）已知定义域为的函数满足为偶函数，为奇函数，则（    ）小试牛刀1 A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为是偶函数，， 所以，即①，因为 是奇函数，所以， 所以，即②， ①+②，并整理得． （2026·浙江嘉兴·二模）若函数是奇函数，则______.小试牛刀2 【答案】 【分析】利用奇函数的定义求解. 【详解】由得， 因为函数是奇函数，所以定义域关于原点对称， 则方程根互为相反数，所以，所以， 所以函数的定义域为，， 因为， 所以，即，解得. 此时，定义域为，且满足， 所以. （2026·上海松江·模拟预测）已知函数为奇函数，则的值为__________.小试牛刀3 【答案】 【分析】根据题意，得到，求得，再由，求得，即可求解. 【详解】由函数为奇函数，可得，即，解得， 又由，可得，即，解得， 当时，函数， 当时，，， 当时，，，且， 所以函数为奇函数，符合题意，所以. 【题型5：由奇偶性求函数的解析式】 【解题策略】 核心知识点 1奇偶性的本质：函数在对称区间上的函数值关系 2常见模型：已知函数在某一区间上的解析式，利用奇偶性求对称区间上的解析式 3奇函数在对称区间上的解析式关系：；偶函数： 解题方法 1设未知区间上的自变量，则在已知区间内 2写出的表达式（利用已知区间的解析式） 3根据奇偶性（），转化得到的解析式 4合并定义域，写出完整的分段函数解析式 （2026·甘肃酒泉·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则曲线在点处的切线方程为__________.经典例题1例题 【答案】 【详解】若，则，则， 因为是定义在上的奇函数，所以， 对其求导得，则，又因， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2026·江西萍乡·一模）设和分别为上的偶函数和奇函数，若，，则不等式的解集为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用奇偶函数的性质，结合已知条件求出和的表达式，再代入不等式化简求解. 【详解】因为是偶函数，是奇函数，且对任意，有：， 所以，即， 解得：， 代入不等式：. 化简可得，即，即， 解得：. 所以不等式的解集为. 故选：D （2026·湖南株洲·一模）已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ）小试牛刀1 A．0 B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】利用奇偶性，结合恒等式可求解，从而可求出结果. 【详解】因为定义域均为且， 所以可得， 又因为是奇函数，是偶函数，所以 即上式可化简为， 再与相加可得， 代入可得， 所以即. 故选：A. 【多选题】（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ）小试牛刀2 A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【分析】根据奇函数的定义判断A；根据奇函数的性质求解判断B；举例判断C；先求出函数在时的极值点，结合奇函数的特征判断D. 【详解】对于是定义在上的奇函数，则，故A正确； 对于B，当时，，则，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，当时，，则， 令，解得或， 当时，0，此时单调递减，当时，，此时单调递增， 则是的极小值点，又因为是定义在上的奇函数， 由对称性可知，是的极大值点，故D正确. 故选：ABD. 【多选题】（2025·广东广州·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，且，则（    ）小试牛刀3 A．是奇函数 B．是增函数 C．存在最小值 D．当时， 【答案】BCD 【分析】对于A：根据奇偶性的定义结合复合函数求导分析判断；对于B：构建，利用导数可得，进而分析判断；对于C：根据奇偶性求，的解析式，利用判断的最小值；对于D：构建，利用导数证明不等式. 【详解】对于选项A：因为函数及其的定义域均为，且是奇函数， 则，求导可得， 所以函数是偶函数，故A错误； 对于选项B：构造，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 构造，则， 所以是增函数，故B正确； 对于选项C：因为， 则，可得， 联立，解得， 构造，则， 因为在上单调递增，则在上单调递增，且， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以有最小值，即存在最小值，故C正确； 对于选项D：构造， 则，可知在内单调递增， 则，所以当时，，故D正确； 故选：BCD. 【题型6：由单调性奇偶性解不等式】 【解题策略】 核心知识点 1单调性与奇偶性结合的不等式解法：利用奇偶性转化自变量，再利用单调性去掉函数符号 2偶函数性质：，可将不等式转化为，再利用单调性转化为自变量的不等式 3奇函数性质：，可转化为，再利用单调性转化 解题方法 1利用奇偶性将不等式两边转化为同一函数的形式，使不等号两边均为函数值 2利用单调性去掉函数符号，转化为自变量的不等式（增函数：；减函数：） 3同时考虑函数的定义域，取交集得到不等式的解集 （2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明函数是奇函数且在上单调递增，利用函数奇偶性和单调性解不等式. 【详解】因为函数的定义域为， 且， 所以函数是奇函数， 因为函数，，在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为，所以， 所以，解得或. （2026·广东清远·二模）已知定义域为的函数满足，且对于任意的，当时，都有．设，若，则实数的取值范围是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断的奇偶性和单调性，设，判断其奇偶性和单调性，再结合复合函数的性质，判断的奇偶性和单调性，利用其奇偶性将不等式变形，再利用单调性转化为关于的一元二次不等式，进而求解的取值范围. 【详解】由题意知定义域为的函数满足，故为奇函数， 对于任意的，当时，都有， 故在上单调递增； 设，由于，故的定义域为， 又， 故为奇函数； 的定义域为， ，即为奇函数； 当时，单调递增，则也单调递增， 故在上单调递增，结合为奇函数，可知在上单调递增， 且，故在上单调递增， 又，故， 所以，解得，即实数的取值范围是. （2026·陕西咸阳·二模）已知奇函数在定义域上单调递增，，则使得不等式成立的实数的取值范围为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 可知函数为上的偶函数，． 因为在上单调递增，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 不等式可化为， 所以，解得或． （25-26高一上·天津和平·月考）已知定义在上的函数满足，、，当时，都有，且，则不等式的解集为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，分析可知函数为偶函数，且函数在上为减函数，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，结合对数函数的单调性可解出的取值范围，即为所求. 【详解】、，当时，都有， 不妨设，则，所以，即， 令，则，即函数在上为减函数， 又因为定义在上的函数满足，则函数的定义域为， 且，故函数为偶函数， 因为，则， 由可得，即， 所以，所以，所以或，解得或， 因此不等式的解集为. 故选：D. （2026·广东茂名·一模）已知函数，则不等式的解集为_______．小试牛刀3 【答案】 【分析】判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性脱“”即可求解. 【详解】函数， 令，解得，故函数的定义域为， ， 故函数是奇函数. 而函数在上单调递减， 函数在上单调递增， 因此函数在上单调递减. 不等式 ， 所以所求不等式的解集为． 故答案为:. 【题型7：判断函数的对称中心】 【解题策略】 核心知识点 1中心对称定义：若，则函数的对称中心为 2常见模型： 奇函数：对称中心为 形如的分式函数，对称中心为 三次函数：的对称中心为二阶导数为0的点 解题方法 1定义法：根据对称中心定义，构造等式求解 2分式函数：直接利用公式求对称中心（横纵坐标分别为渐近线交点） 3三次函数：求二阶导数，令得对称中心横坐标，再求纵坐标 4图像平移：由基本函数的对称中心，根据平移变换得到目标函数的对称中心 【多选题】（25-26高一下·贵州遵义·月考）已知函数，则下列结论正确的有（    ）经典例题1例题 A．在上单调递增 B．为奇函数 C．的一条对称轴为 D．的一个对称中心为 【答案】ABD 【分析】对A，根据复合函数单调性判断；对B，利用奇函数定义判断；对C，举反例说明；对D，利用函数对称性定义判断. 【详解】对于A，，单调递增，，则单调递增， 所以在上单调递增，故A正确； 对于B，因为，， 所以函数为奇函数，故B正确； 对于C，因为，，所以， 所以不是函数的对称轴，故C错误； 对于D，因为， 所以函数的一个对称中心为，故D正确. （2026·全国·模拟预测）函数与的图象（    ）经典例题2例题 A．关于y轴对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】设点在的图象上，可求出点在函数图象上，分析两点的位置关系即可求解． 【详解】设点在的图象上，则， 又，说明点在的图象上， 点与点关于对称， 所以函数与的图象关于直线对称． 故选：B． （2026·河北邢台·一模）函数图象的对称中心的坐标为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分离常数项化简函数解析式，根据函数图像变换，结合奇函数的对称性，可得答案. 【详解】， 易知函数的图像可由函数向左平移个单位，再向下平移个单位得到， 由奇函数的图像关于成中心对称，则函数的图像关于成中心对称. 故选：D. （25-26高三上·江西·期中）已知函数，则的图象（    ）小试牛刀2 A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 【答案】D 【分析】求出的定义域可判断A，C不正确；根据为奇函数可判断B不正确，D正确. 【详解】由，得，解得， 所以的定义域为，故A，C不正确； 又， 所以为奇函数，图像关于原点对称， 则的图象关于对称，故B不正确，D正确 故选：D. 【多选题】（2025·吉林长春·模拟预测）函数，则（   ）小试牛刀3 A．是的一条对称轴 B．是的最小正周期 C． D．的最小值为 【答案】BC 【分析】根据反例可判断A的正误，根据周期函数的定义结合赋值法可判断B的正误，根据函数奇偶性的定义可判断C的正误，根据函数的奇偶性和周期性，利用导数求得在上的最值即可判断D的正误. 【详解】对于A，因为，而， 故，故的图象不关于对称，故A错误； 对于B，设为的最小正周期， 则对任意恒成立， 令，则，故， 故或，故， 若，因为，而， ，故不是最小正周期. 当时，， 故是最小正周期，故B正确； 对于C，因为， 即，故C正确； 对于D，由B，C项可知为奇函数且是最小正周期，故只需研究在上的最值， 此时，， 故当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 故，， 因为奇函数，则在上的最小值为， 又是函数的最小正周期，故在上的最小值为，即D错误. 故选：BC. 【题型8：由函数的对称性求参数】 【解题策略】 核心知识点 1轴对称定义：若，则函数的对称轴为 2中心对称定义：若，则对称中心为 3对称性与函数表达式的关系：可转化为恒等式求解参数 解题方法 1轴对称：根据恒成立，令对应项系数相等，求解参数 2中心对称：根据恒成立，整理后令对应项系数相等，求解参数 3特殊值法：代入对称中心或对称轴处的特殊值（如顶点、中点），列方程求解参数，再验证 （25-26高一上·青海海东·期末）若函数的图象存在对称轴，则常数__________.经典例题1例题 【答案】 【分析】求出函数的定义域，从而求出对称轴为，由即可求解 【详解】由题意得：，即，解得或， 若函数的图象存在对称轴，则对称轴为. 所以，即， 即，所以，解得. 故答案为： （2026·安徽淮南·一模）已知，若函数的图象存在对称中心，则__________．经典例题2例题 【答案】4 【分析】根据函数定义域确定函数对称中心，再利用函数对称中心的性质列出等式即可求解． 【详解】由题可知，， 令，解得或，由题可知，， 所以定义域为或， 因为函数的图象存在对称中心，所以对称中心横坐标为区间中点， 因为，即， 所以函数图象的对称中心为，则， ， ， 因为， 所以 ， 因为 ， 所以对于定义域内任意都成立， 所以，即， 故答案为：4． （25-26高三上·安徽·期末）若函数的图象关于点对称，则________．小试牛刀1 【答案】2 【分析】由题意得到，代入解析式即可求解. 【详解】由可得: ， 即恒成立， 得到恒成立，即， 即，恒成立， 因为在定义域内不恒为0， 所以， 即恒成立， 展开可得，即或， 当时，定义域为空集，舍去， 所以，所以． 故答案为：2 （2025·江苏南通·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（    ）小试牛刀2 A． B．10 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用中心对称的性质列式求出，进而求出目标值. 【详解】函数， 则， 由函数的图象关于点对称，得恒成立， 即恒成立， 因此，解得，所以. 故选：C （24-25高二下·辽宁·期末）若曲线关于点中心对称，则（    ）小试牛刀3 A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义域为实数，对称中心在函数上得出. 【详解】因为函数的定义域为R，且曲线关于点中心对称， 所以，即. 故选：D. 【题型9：由函数的奇偶性对称性周期性求值】 【解题策略】 核心知识点 1周期性定义：若（），则为函数的周期 2对称性与周期性的关系： 若函数有两条对称轴，则周期 若函数有两个对称中心，则周期 若函数有对称轴和对称中心，则周期 3利用周期性可将自变量转化到已知解析式的区间内，再结合奇偶性、对称性求值 解题方法 1先利用对称性、奇偶性推导函数的周期 2利用周期性将自变量转化到已知函数值或解析式的区间内 3结合奇偶性、对称性，化简得到目标自变量的函数值 （2026·湖北·一模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（   ）经典例题1例题 A．2025 B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出函数的周期，结合可求的值. 【详解】因为为奇函数，故， 因为为偶函数，故， 故，所以， 故是周期函数且周期为4，而， 故， 而，故. （2026·安徽阜阳·二模）已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（    ）经典例题2例题 A．99 B．78 C．66 D．52 【答案】A 【分析】由条件结合对称性的性质可得，，结合关系可得，由此可得，再求，结合可得结论. 【详解】因为关于对称，所以， 用替换可得①， 因为关于对称，所以， 又，用替换可得， 用替换可得， 两式相加可得， 用替换可得②， 由①②可得， 用替换可得 因为， 在中令，得，故， ， 因此. （2026·河北·模拟预测）已知函数为R上的偶函数，且满足，当时，，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性、周期性及对称性求解即可. 【详解】由题可得，所以2是函数的周期，且的图象关于直线对称. 当时，，则. （2026·河南郑州·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数为奇函数可得，又，即可求解. 【详解】∵函数为奇函数，∴， 又∵， ∴，故选项C正确. 其他三个选项条件不足无法计算，故选C. 故选：C. （2025·湖北黄冈·模拟预测）设函数，，曲线与恰有一个交点，则（   ）小试牛刀3 A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，再求证，即可结合对称性得出求出值. 【详解】令函数， 可得 ， 即，所以函数的图象关于直线对称， 因为函数与恰有一个交点，所以， 可得，解得. 故选：C. 【题型10：函数的性质综合】 【解题策略】 核心知识点 1函数单调性、奇偶性、对称性、周期性的综合应用 2核心思想：转化与化归，利用各性质将复杂问题转化为已知的简单问题 3常见考查形式：函数值比较、不等式求解、参数范围、函数图像判断等 解题方法 1分步分析：先判断函数的奇偶性、对称性、周期性，再分析单调性 2转化问题：利用性质将自变量转化到同一单调区间，或转化为已知函数值的自变量 3数形结合：结合函数图像的对称性、周期性，直观分析问题 4验证端点：涉及参数范围或不等式解集时，注意验证端点是否可取 【多选题】（2025·福建福州·一模）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ）经典例题1例题 A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 【答案】BC 【分析】根据函数奇偶性以及表达式，可得，则的图象关于点对称，故A错误；化简可得，故B正确；又，可得，故C正确；利用赋值法可求得，故D错误. 【详解】对于A，由题意，，且， 又，即①， 用替换中的，得②， 由①+②得，所以的图象关于点对称，故A错误； 对于B，由，可得，即， 所以， 所以是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，由①可得，则， 所以，故C正确； 对于D，因为，为偶函数，所以， 令，则有， 令，则有， 令，则有， ， 令，则有， 所以 ，故D错误. 故选：BC. （2025·辽宁·二模）写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式______．经典例题2例题 ①的定义域为；②；③在区间，上单调递减． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意找到满足三个条件的函数即可. 【详解】取，满足条件①． ， 满足条件②．在区间上单调递减，满足条件③． 故满足题意． 故答案为：（答案不唯一） （24-25高三上·广东深圳·月考）已知函数的定义域为为奇函数，，则（    ）小试牛刀1 A．为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为4 D．的图象关于点对称 【答案】D 【分析】根据为奇函数，得，从而可知的对称中心；根据题意令可知，从而，结合对称中心可判断的对称轴与奇偶性和最小正周期. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以的图象关于点对称，则的图象关于点对称，项正确； 因为函数的定义域为，易知的定义域为， 因为为奇函数，所以， 则，所以， 根据的图象关于点对称，得， 所以，故为偶函数，项错误； 因为， 所以，所以的最小正周期为， 则的最小正周期为，项错误； 根据为偶函数，且关于点对称，最小正周期为， 易知的所有对称轴为直线，故项错误. 故选：. 【多选题】（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）若定义在R上的函数，满足，，，则下列结论中正确的是（   ）小试牛刀2 A．是偶函数 B．是周期为4的周期函数 C． D． 【答案】ABC 【分析】利用与得到，然后利用，得到的周期性，然后得到周期；再利用与得到为偶函数；利用得到，最后利用得到的值即可. 【详解】因为，所以． 又因为，所以． 又，则， 即，所以，故是周期为4的周期函数． 因为，所以也是周期为4的周期函数，选项B正确； 因为，则，则， 所以，所以为偶函数，选项A正确； 因为，令，得，即， 令，得，即， 故，选项C正确； 由， 得 ， 所以，选项D错误． 故选：ABC． 【点睛】当有两个函数时，需要根据其函数关系消元，得到一个函数的关系，然后得出的性质；最后再利用与的关系求解相关的一些性质即可. 【多选题】（2024·山东临沂·二模）已知定义在上的函数满足，，且，则（    ）小试牛刀3 A．的最小正周期为4 B． C．函数是奇函数 D． 【答案】AB 【分析】据题意，通过赋值得到，，即可判断A；令，可求出，由周期性可判断B；令，得到，由周期性，可证明是奇函数，假设函数是奇函数，推出矛盾，判断C；由周期性及对称性可计算D. 【详解】对于A，因为， 所以，， 所以，故的最小正周期为4，A正确； 对于B，因为， 令，则， 所以， 由A可知，，故B正确； 对于C， 因为，① 令，则， 所以， 所以，② 由①②，所以，即，故为奇函数， 若函数是奇函数，则， 所以，即， 所以， 所以的最小正周期为2，与选项A矛盾，故C错误； 对于D，因为为奇函数，且，所以， 又因为的最小正周期为4，所以， 因为 所以，， 所以 ， ， 以此类推， 所以，故D错误. 故选：AB 【点睛】方法点睛：本题以抽象函数为载体综合考查函数的性质，关键是根据已知条件判断出的周期. 以下是抽象函数周期性质的一些总结，可以适当总结记忆： 设函数 ， （1）若，则函数的周期为； （2）若，则函数的周期为； （3）若，则函数的周期为； （4）若，则函数的周期为； （5）若，则函数的周期为. 真题模拟检测 一、单选题 1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 2．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 4．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 5．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 6．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 7．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 8．（2026·辽宁大连·一模）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图像可知函数关于原点对称，是奇函数， 对于选项C，，， 故是偶函数，不符合，排除C； 对于选项A，，求导得， 故在上单调递增， 不符合图像中时先增后减的趋势，排除A； 根据图像，极大值点在左侧， 对于选项B，，求导得， 令，得， 1 0 单调递增 单调递减 故的极大值点为，不符合图像，排除B. 9．（2026·天津和平·二模）已知定义在上的函数，满足，，对，，（），有，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，再结合函数单调性的表示可知函数在上单调递减，再利用单调性比较大小即可． 【详解】解： ，， ， 又对，，（），有， 则函数在上单调递减， ，即． 10．（2026·江西·二模）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】先由为奇函数推得，再由为偶函数推得，即得4是的一个周期，通过赋值代入求得，再由周期性即可求得答案. 【详解】因为为奇函数，所以， 令，则，即①； 因为为偶函数，所以， 令，则 ，即， 所以，所以，即②， 所以，所以4是的一个周期． 由① 式，取，可得，即得， 又由② 式，取，可得 故，， 由② 式，取，可得 ，取，可得， 故， 则. 11．（2026·江西南昌·二模）已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数单调性及基本不等式求解即可. 【详解】当时，，当且仅当时取等号. 当时，在上单调递减，此时的值域为， 因为在定义域内有最小值，所以. 故实数的取值范围为. 12．（2026·湖南浙江·模拟预测）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，则下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶函数的定义计算判断A；举例说明判断BCD. 【详解】由函数的定义域为，由为奇函数，得， 则，由为偶函数，得，因此，A正确； 取上的函数，是偶函数，且， 则为奇函数，此时，因此BCD不一定成立. 13．（2026·江苏·模拟预测）已知函数是奇函数，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据奇函数性质求出，然后利用和差公式化简即可得解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 即，解得或， 因为，即，所以，可得， 则， 显然为奇函数，满足题意， 当时，取得最大值. 14．（2026·吉林白山·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，若，，则（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性推导函数的周期，求出一个周期内各项的值，再计算50包含多少个完整周期和余下的项，最后求和. 【详解】是上奇函数，因此满足 ，且 ； 是上偶函数，因此满足 ，则关于直线对称. 由，换元得， 结合奇函数性质，得： 再替换为，得：， 因此是周期为. 已知，， 一个周期的和：. ，即50项包含6个完整周期， 剩余最后两项，， 所以. 15．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 16．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 17．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 二、多选题 18．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 19．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 三、填空题 20．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则________． 【答案】2 【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解. 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故， 此时， 所以， 又定义域为，故为偶函数， 所以. 故答案为：2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 【函数核心考点01：函数的单调性·奇偶性·对称性·周期性】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：复合函数的单调性】 【解题策略】 核心知识点 1复合函数定义：，外层函数，内层函数 2单调性判定法则：同增异减（内外层单调性相同则复合函数递增相反则递减） 3前提条件：内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域 4定义域优先：求单调性前必须先确定复合函数的定义域 解题方法 1分层分析：将复合函数拆分为外层、内层两个基本函数 2分别求内外层函数的单调区间 3根据“同增异减”法则，合并得到复合函数的单调区间 4最终结果必须与原函数的定义域取交集 （24-25高三下·四川雅安·开学考试）函数的单调递增区间是_______．经典例题1例题 （2024·湖北·二模）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高一下·辽宁沈阳·月考）函数的单调递增区间是______．小试牛刀1 （25-26高一下·江苏盐城·开学考试）函数的单调递增区间是________.小试牛刀2 （2025·陕西咸阳·二模）已知，则函数的最大值是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：由函数的单调性求参数】 【解题策略】 核心知识点 1函数在区间上单调递增/递减的充要条件： 可导函数：（增）或（减）在区间上恒成立，且导数不恒为0 分段/抽象函数：需保证各分段单调性一致，且分段点处衔接符合单调性 2常见模型：二次函数、对数型函数、分式函数的单调性与参数的关系 解题方法 1导数法：求导后转化为不等式恒成立问题，通过分离参数、分类讨论求解参数范围 2分段/复合函数法：根据各段单调性及衔接条件列不等式组，求解参数 3注意端点：恒成立问题需验证端点是否可取 （2026·陕西西安·模拟预测）已知函数若对任意，，且，都有成立，则实数的取值范围是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·广东东莞·模拟预测）已知函数 在上单调递减，则的取值范围是（  ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高三下·湖南长沙·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一上·云南昭通·期中）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·安徽淮北·期中）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：由函数的单调性比较大小】 【解题策略】 核心知识点 1单调性的核心性质： 增函数： 减函数： 2常见应用：利用单调性转化自变量大小与函数值大小的关系 3辅助技巧：结合奇偶性、周期性将自变量转化到同一单调区间 解题方法 1统一区间：利用奇偶性、周期性将待比较的自变量转化到函数的同一单调区间内 2比较自变量大小：根据转化后的自变量大小关系 3结合单调性：根据函数的增减性，直接得到函数值的大小关系 （2026·福建厦门·二模）设函数，记，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·江西·二模）已知函数，若，，，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·江西·模拟预测）已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·天津·期末）已知奇函数在上是增函数．若，，则的大小关系为（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·四川攀枝花·一模）已知函数，若，，，则（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：由函数的奇偶性求参数】 【解题策略】 核心知识点 1奇偶性定义： 偶函数：，图像关于轴对称 奇函数：，图像关于原点对称，且若在处有定义，则 2奇偶函数的定义域必须关于原点对称 3常见模型：含对数、分式、根式的函数奇偶性与参数的关系 解题方法 1通用法：根据奇偶性定义列方程，整理后令对应项系数相等求解参数 2奇函数特殊值法：若有定义，利用快速求参数，再验证 3定义域优先：先根据定义域关于原点对称，列方程求参数，再验证奇偶性 （2026·天津和平·一模）已知函数是偶函数，则实数（   ）经典例题1例题 A． B． C．1 D．2 （2026·四川·模拟预测）已知函数为偶函数，曲线在处的切线方程为，则（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·安徽·三模）已知定义域为的函数满足为偶函数，为奇函数，则（    ）小试牛刀1 A． B．1 C． D． （2026·浙江嘉兴·二模）若函数是奇函数，则______.小试牛刀2 （2026·上海松江·模拟预测）已知函数为奇函数，则的值为__________.小试牛刀3 【题型5：由奇偶性求函数的解析式】 【解题策略】 核心知识点 1奇偶性的本质：函数在对称区间上的函数值关系 2常见模型：已知函数在某一区间上的解析式，利用奇偶性求对称区间上的解析式 3奇函数在对称区间上的解析式关系：；偶函数： 解题方法 1设未知区间上的自变量，则在已知区间内 2写出的表达式（利用已知区间的解析式） 3根据奇偶性（），转化得到的解析式 4合并定义域，写出完整的分段函数解析式 （2026·甘肃酒泉·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则曲线在点处的切线方程为__________.经典例题1例题 （2026·江西萍乡·一模）设和分别为上的偶函数和奇函数，若，，则不等式的解集为（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·湖南株洲·一模）已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ）小试牛刀1 A．0 B．2 C． D．1 【多选题】（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ）小试牛刀2 A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【多选题】（2025·广东广州·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，且，则（    ）小试牛刀3 A．是奇函数 B．是增函数 C．存在最小值 D．当时， 【题型6：由单调性奇偶性解不等式】 【解题策略】 核心知识点 1单调性与奇偶性结合的不等式解法：利用奇偶性转化自变量，再利用单调性去掉函数符号 2偶函数性质：，可将不等式转化为，再利用单调性转化为自变量的不等式 3奇函数性质：，可转化为，再利用单调性转化 解题方法 1利用奇偶性将不等式两边转化为同一函数的形式，使不等号两边均为函数值 2利用单调性去掉函数符号，转化为自变量的不等式（增函数：；减函数：） 3同时考虑函数的定义域，取交集得到不等式的解集 （2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·广东清远·二模）已知定义域为的函数满足，且对于任意的，当时，都有．设，若，则实数的取值范围是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （2026·陕西咸阳·二模）已知奇函数在定义域上单调递增，，则使得不等式成立的实数的取值范围为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一上·天津和平·月考）已知定义在上的函数满足，、，当时，都有，且，则不等式的解集为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·广东茂名·一模）已知函数，则不等式的解集为_______．小试牛刀3 【题型7：判断函数的对称中心】 【解题策略】 核心知识点 1中心对称定义：若，则函数的对称中心为 2常见模型： 奇函数：对称中心为 形如的分式函数，对称中心为 三次函数：的对称中心为二阶导数为0的点 解题方法 1定义法：根据对称中心定义，构造等式求解 2分式函数：直接利用公式求对称中心（横纵坐标分别为渐近线交点） 3三次函数：求二阶导数，令得对称中心横坐标，再求纵坐标 4图像平移：由基本函数的对称中心，根据平移变换得到目标函数的对称中心 【多选题】（25-26高一下·贵州遵义·月考）已知函数，则下列结论正确的有（    ）经典例题1例题 A．在上单调递增 B．为奇函数 C．的一条对称轴为 D．的一个对称中心为 （2026·全国·模拟预测）函数与的图象（    ）经典例题2例题 A．关于y轴对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 （2026·河北邢台·一模）函数图象的对称中心的坐标为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·江西·期中）已知函数，则的图象（    ）小试牛刀2 A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 【多选题】（2025·吉林长春·模拟预测）函数，则（   ）小试牛刀3 A．是的一条对称轴 B．是的最小正周期 C． D．的最小值为 【题型8：由函数的对称性求参数】 【解题策略】 核心知识点 1轴对称定义：若，则函数的对称轴为 2中心对称定义：若，则对称中心为 3对称性与函数表达式的关系：可转化为恒等式求解参数 解题方法 1轴对称：根据恒成立，令对应项系数相等，求解参数 2中心对称：根据恒成立，整理后令对应项系数相等，求解参数 3特殊值法：代入对称中心或对称轴处的特殊值（如顶点、中点），列方程求解参数，再验证 （25-26高一上·青海海东·期末）若函数的图象存在对称轴，则常数__________.经典例题1例题 （2026·安徽淮南·一模）已知，若函数的图象存在对称中心，则__________．经典例题2例题 （25-26高三上·安徽·期末）若函数的图象关于点对称，则________．小试牛刀1 （2025·江苏南通·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（    ）小试牛刀2 A． B．10 C．2 D． （24-25高二下·辽宁·期末）若曲线关于点中心对称，则（    ）小试牛刀3 A．3 B．4 C． D． 【题型9：由函数的奇偶性对称性周期性求值】 【解题策略】 核心知识点 1周期性定义：若（），则为函数的周期 2对称性与周期性的关系： 若函数有两条对称轴，则周期 若函数有两个对称中心，则周期 若函数有对称轴和对称中心，则周期 3利用周期性可将自变量转化到已知解析式的区间内，再结合奇偶性、对称性求值 解题方法 1先利用对称性、奇偶性推导函数的周期 2利用周期性将自变量转化到已知函数值或解析式的区间内 3结合奇偶性、对称性，化简得到目标自变量的函数值 （2026·湖北·一模）已知函数为奇函数，且为偶函数，当时，有，则（   ）经典例题1例题 A．2025 B． C． D． （2026·安徽阜阳·二模）已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（    ）经典例题2例题 A．99 B．78 C．66 D．52 （2026·河北·模拟预测）已知函数为R上的偶函数，且满足，当时，，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D．1 （2026·河南郑州·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2025·湖北黄冈·模拟预测）设函数，，曲线与恰有一个交点，则（   ）小试牛刀3 A．0 B． C． D． 【题型10：函数的性质综合】 【解题策略】 核心知识点 1函数单调性、奇偶性、对称性、周期性的综合应用 2核心思想：转化与化归，利用各性质将复杂问题转化为已知的简单问题 3常见考查形式：函数值比较、不等式求解、参数范围、函数图像判断等 解题方法 1分步分析：先判断函数的奇偶性、对称性、周期性，再分析单调性 2转化问题：利用性质将自变量转化到同一单调区间，或转化为已知函数值的自变量 3数形结合：结合函数图像的对称性、周期性，直观分析问题 4验证端点：涉及参数范围或不等式解集时，注意验证端点是否可取 【多选题】（2025·福建福州·一模）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ）经典例题1例题 A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． （2025·辽宁·二模）写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式______．经典例题2例题 ①的定义域为；②；③在区间，上单调递减． （24-25高三上·广东深圳·月考）已知函数的定义域为为奇函数，，则（    ）小试牛刀1 A．为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．的最小正周期为4 D．的图象关于点对称 【多选题】（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）若定义在R上的函数，满足，，，则下列结论中正确的是（   ）小试牛刀2 A．是偶函数 B．是周期为4的周期函数 C． D． 【多选题】（2024·山东临沂·二模）已知定义在上的函数满足，，且，则（    ）小试牛刀3 A．的最小正周期为4 B． C．函数是奇函数 D． 真题模拟检测 一、单选题 1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·全国一卷·高考真题）已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·辽宁大连·一模）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·天津和平·二模）已知定义在上的函数，满足，，对，，（），有，则有（   ） A． B． C． D． 10．（2026·江西·二模）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 11．（2026·江西南昌·二模）已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（2026·湖南浙江·模拟预测）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，则下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 13．（2026·江苏·模拟预测）已知函数是奇函数，则的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 14．（2026·吉林白山·模拟预测）已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，若，，则（   ） A． B． C．0 D．3 15．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 16．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 17．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 18．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 19．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 三、填空题 20．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $