第19章 四边形 单元全优测评卷 2025-2026学年沪科版数学八年级下册

第19章 四边形 单元全优测评卷 一、单选题 1．下列命题正确的是（　　） A．有一组邻边相等的平行四边形是矩形 B．四条边相等的四边形是菱形 C．有一个角是直角的平行四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形 2．菱形的对角线不一定具有的性质是（　　） A．互相平分 B．互相垂直 C．每一条对角线平分一组对角 D．相等 3．在中，D，E分别是边AB，AC的中点，按图中方法作图后，若四边形ABHG的周长与的周长相等，还需具备的条件是（　　） A． B． C． D． 4．在四边形 中，设 ， ，则（　　） A． B． C． D． 5．小华在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，则他计算错误的是（　　） A． B． C． D． 6．顺次连接四边形各边中点得到四边形，若四边形的形状是矩形，则原四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．对角线垂直的四边形 7．下列命题中，真命题的个数有（　　） ①对角线相等的四边形是矩形； ②两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ④一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形． A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，已知是边长为3的等边三角形，点D是边上的一点，且，以为边作等边，过点E作交于点F，连接，则下列结论中：①； ②四边形是平行四边形；③； ④．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在平行四边形中，平分与交于点E，平分与交于点F，若，则长为（ ） A．8 B．10 C．13 D．16 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N'，则△MBN'周长的最小值为（　　） A．15 B．5+5 C．10+5 D．18 二、填空题 11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=2cm，BC=16cm，则EF=　 　cm. 12．如图，已知矩形中，点E在边的延长线上，且，连接交于F，如果，那么的度数为　 　. 13．如图，长方形，，，将长方形折叠，使得顶点落在边上的点处，连接、，动点在线段上点与点、不重合，动点在线段的延长线上，且，连接交于点，作于点．点、在移动过程中，线段的长度是　 　． 14．如图，在矩形中，，，点在边上，若平分，则的长是　 　． 15．如图，在矩形ABCD中，已知AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，与△ADE关于直线AE对称，当为直角三角形时，则DE的长为　 　． 16．已知矩形，把矩形沿直线翻折，点A落在点E处，如果的长度等于该矩形的一条边长，那么　 　． 三、综合题 17．在正方形ABCD中，AB＝4，点E是边AD上一动点，以CE为边，在CE的右侧作正方形CEFG，连结BF. （1）如图1，当点E与点A重合时，则BF的长为　 　. （2）如图2，当AE＝1时，求点F到AD的距离和BF的长. （3）当BF最短时，请直接写出此时AE的长. 18．如图，在 中，经过A，C两点分别作 ， ，E，F为垂足. （1）求证： ； （2）求证：四边形AFCE是平行四边形 19．如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，点E是CD边的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF. （1）求证：DB=CF； （2）如果AC=BC，试判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论. 20．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形，使得它们的顶点均在小正方形的顶点上； （1）①在图中画一个以AB为边的菱形ABCD，使得菱形ABCD的面积为24； ②画一个以点B为直角顶点的等腰直角三角形ABE； （2）连接CE，请直接写出线段CE的长． 21． （1）化简： （2）如图，在四边形 中， ， ， ， 分别是 ， ， 的中点，连接 ， ．求证： ． 22．综合题：探索发现 （1）自主阅读：在三角形的学习过程，我们知道三角形一边上的中线将三角形分成了两个面积相等三角形，原因是两个三角形的底边和底边上的高都相等，在此基础上我们可以继续研究：如图1，AD∥BC，连接AB，AC，BD，CD，则S△ABC=S△BCD． 证明：分别过点A和D，作AF⊥BC于F．DE⊥BC于E，由AD∥BC，可得AF=DE，又因为S△ABC= ×BC×AF，S△BCD= ． 所以S△ABC=S△BCD 由此我们可以得到以下的结论：像图1这样　 　 （2）问题解决：如图2，四边形ABCD中，AB∥DC，连接AC，过点B作BE∥AC，交DC延长线于点E，连接点A和DE的中点P，请你运用上面的结论证明：S▱ABCD=S△APD （3）应用拓展： 如图3，按此方式将大小不同的两个正方形放在一起，连接AF，CF，若大正方形的面积是80cm2，则图中阴影三角形的面积是　 　cm2． 23．在菱形 中， ， 是对角线 上任意一点， 是线段 延长线上一点，且 ，连接 、 ． （1）如图 ，当 是线段 的中点时，易证 ． （2）如图 ，当点 不是线段 的中点，其它条件不变时，请你判断（ ）中的结论：　 　（填“成立”或“不成立”）． （3）如图 ，当点 不是线段 延长线上的任意一点，其它条件不变时，（ ）中的结论是否成立？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由． 24．如图 （1）如图1，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=5 cm，BD=8 cm.则AC=　 　cm； （2）在宽为8 cm 的长方形纸带上，用图1中的四边形设计如图2所示的图案. ①如果用7个图1中的四边形设计图案，那么至少需要　 　cm长的纸带； ②设图1中的四边形有x个，所需的纸带长为y cm，求y与x之间的函数表达式；　 　 ③在长为40 cm的纸带上，按照这种方法，最多能设计多少个图1中的四边形？　 　 25．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF． （1）试说明AC=EF； （2）求证：四边形ADFE是平行四边形. 答案 一、单选题 1．下列命题正确的是（　　） A．有一组邻边相等的平行四边形是矩形 B．四条边相等的四边形是菱形 C．有一个角是直角的平行四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】B 【解析】【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题错误； B、四条边相等的四边形是菱形，故原命题正确； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误； D、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误. 故答案为：B. 【分析】根据矩形的判定方法及菱形的判定方法，逐项进行判断，即可求解. 2．菱形的对角线不一定具有的性质是（　　） A．互相平分 B．互相垂直 C．每一条对角线平分一组对角 D．相等 【答案】D 【解析】【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角， ∴菱形的对角线不一定具有的性质是相等. 故答案为：D. 【分析】根据菱形的性质“菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角”可判断求解. 3．在中，D，E分别是边AB，AC的中点，按图中方法作图后，若四边形ABHG的周长与的周长相等，还需具备的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE=BC，DE∥BC， ∵AG∥HC，AE=EC， ∴ ∴AG=HC， ∵AG∥BC，AB∥GH， ∴四边形ABHG为平行四边形， ∴四边形ABHG的周长=2AB+2BH，BH=AG=CH， ∵△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AC+2BH， ∴当AB=AC时，四边形ABHG的周长与△ABC的周长相等， 故答案为：B． 【分析】根据三角形中位线定理得到DE=BC，DE∥BC，证明四边形ABHG为平行四边形，根据平行四边形的性质、三角形的周长公式计算，得出结论。 4．在四边形 中，设 ， ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：在四边形ABCD中， ， ， ， ， . 故答案为：B. 【分析】根据四边形内角和为360°可得∠A+∠B+∠C+∠D=360°，再将已知条件代入，化简即可. 5．小华在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，则他计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵n（n≥3）边形的内角和是（n−2）180°，所以多边形的内角和一定是180的整数倍. 由 =2×180°， =4×180°， =5×180°， ∴在这四个选项中不是180的倍数的是 . 故答案为：B. 【分析】根据多边形的内角和公式(n-2)×180°可得多边形的内角和一定是180的整数倍，据此判断. 6．顺次连接四边形各边中点得到四边形，若四边形的形状是矩形，则原四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．对角线垂直的四边形 【答案】D 7．下列命题中，真命题的个数有（　　） ①对角线相等的四边形是矩形； ②两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ④一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 8．如图，已知是边长为3的等边三角形，点D是边上的一点，且，以为边作等边，过点E作交于点F，连接，则下列结论中：①； ②四边形是平行四边形；③； ④．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 9．如图，在平行四边形中，平分与交于点E，平分与交于点F，若，则长为（ ） A．8 B．10 C．13 D．16 【答案】A 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N'，则△MBN'周长的最小值为（　　） A．15 B．5+5 C．10+5 D．18 【答案】B 【解析】【解答】解：过点N作EF∥AB，交AD、BC于E、 F，过点M作MG⊥EF于点G， ∵四边形ABCD是矩形， ∴АВ∥СD， ∴AB∥EF∥CD， ∴四边形AMGE和BMGF都是矩形， ∴ ∠A=∠MGN=90°， 由旋转的性质得∠NMN'=90°，MN=MN'， ∴ ∠AMN=90°-∠NMG=∠GMN'， ∴△AMN≌△GMN'（AAS）， ∴MG=AM， ∴点N在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动， 作点M关于直线EF的对称点M'，连接M'B交直线E F于点N'，此时△MBN'周长取得最小值， 最小值为BM+BM'， ∵ВМ=АВ=5， MM'=5 +5=10， ∴ВМ + ВМ' . 故答案为：B. 【分析】 因为BM=5是定值，要求△MBN'周长最小，实际是求BN'+MN'最小，转化成“将军饮马”模型，先找出N运动轨迹，由线段旋转90°，可得三垂直全等，进而推出点N'在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动，再作对称求解即可. 二、填空题 11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=2cm，BC=16cm，则EF=　 　cm. 【答案】 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD， ∵AB=2cm，BC=16cm， ∴由勾股定理得：BD=AC= （cm）， ∴OD= cm， ∵点E、F分别是AO、AD的中点， ∴EF= OD= . 【分析】根据矩形性质得出∠ABC=90°，然后根据勾股定理求出BD、AC，因为 BD=AC，BO=OD，求出OD = BD，再根据三角形中位线求出EF即可. 12．如图，已知矩形中，点E在边的延长线上，且，连接交于F，如果，那么的度数为　 　. 【答案】60° 【解析】【解答】解：如图，连接AC，交BD于点O， ABCD是矩形，则BD=AC， CE=BD，则CE=AC， ∠E=20°，则∠CAE=20°， ∴∠ACB=∠CAE+∠E=40°， ∵OB=BD，OC=AC， ∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=40°， ∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=100°， ∴∠AOF=∠BOC=100°， ∵∠OAF=20°， ∴∠AFO=180°-∠OAF-∠AOF=60°， ∴∠AFB=60°， 故答案为：60°； 【分析】连接AC，交BD于点O，由矩形的性质可得CE=BD=AC，于是∠ACB=∠CAE+∠E=∠OBC，所以用三角形内角和定理可求得∠BOC=∠AOF的度数，在三角形AOF中，再由三角形内角和定理可求解. 13．如图，长方形，，，将长方形折叠，使得顶点落在边上的点处，连接、，动点在线段上点与点、不重合，动点在线段的延长线上，且，连接交于点，作于点．点、在移动过程中，线段的长度是　 　． 【答案】 14．如图，在矩形中，，，点在边上，若平分，则的长是　 　． 【答案】 15．如图，在矩形ABCD中，已知AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，与△ADE关于直线AE对称，当为直角三角形时，则DE的长为　 　． 【答案】9或18 【解析】【解答】解：（1）当∠CED′=90°时，如图（1）， ∵∠CED′=90°， 根据轴对称的性质得∠AED=∠AED′=×90°=45°， ∵∠D=90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴DE=AD=18； （2）当∠ED′A=90°时，如图（2）， 根据轴对称的性质得∠AD′E=∠D=90°，AD′=AD，DE=D′E， △CD'E为直角三角形， 即∠CD′E=90°， ∴∠AD′E+∠CD′E=180°， ∴A、D′、C在同一直线上， 根据勾股定理得AC==30， ∴CD′=30-18=12， 设DE=D′E=x，则EC=CD-DE=24-x， 在Rt△D′EC中，D′E2+D′C2=EC2， 即x2+144=（24-x）2， 解得x=9， 即DE=9； 综上所述：DE的长为9或18； 故答案为：9或18． 【分析】分类讨论：①当∠CED′=90°时，②当∠ED′A=90°时，再分别画出图象并求解即可。 16．已知矩形，把矩形沿直线翻折，点A落在点E处，如果的长度等于该矩形的一条边长，那么　 　． 【答案】6或 【解析】【解答】解：当AD＜ AB且CE =CB时，如下图所示，设EB交CD于点F， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB= CD=3，AB//CD，∠BCD = 90° ， ∴∠ABD = ∠CDB， 由翻折得：AB = EB，∠ABD = ∠EBD， ∴CD = EB，∠CDB = ∠EBD， ∴DF=BF， ∴CD-DF=EB-BF， ∴CF = EF， ∴∠FCE = ∠FEC， ∴∠FCE+ ∠FEC = 2∠FEC = ∠DFE，∠CDB + ∠EBD =2∠EBD = ∠DFE， ∴2∠FEC =2∠EBD， ∴∠FEC = ∠EBD， ∵∠FEC = ∠CBE，∠CBE+ ∠EBD + ∠CDB= ∠CBD+∠CDB = 90°， ∴∠CBE = ∠EBD = ∠CDB =×90°=30°， ∴BC = BD， ∴， ∴； 当AD＞AB且CE = CD时，如下图所示，设ED交CB于点G， ∵AD =CB，AD =ED， ∴CB= ED， ∵AD//CB， ∴∠ADB = ∠CBD， ∵∠ADB = ∠EDB， ∴∠CBD = ∠EDB， ∴BG=DG， ∴CB-GB=ED-DG， ∴CF=EG， ∴∠GCE = ∠GEC， ∴∠CBD+∠EDB =2∠CBD = ∠CGD，∠GCE+∠GEC=2∠GCE=∠CGD， ∴2∠CBD=2∠GCE， ∴∠CBD=∠GCE， ∵EB = AB =CD， ∴EB = CE， ∴∠GCE = ∠EBC， ∴∠CBD = ∠EBC= ∠EDB， ∵∠DEB= ∠A =90°， ∴∠CBD+∠EBC+∠EDB= ∠DBE+∠EDB = 90°， ∴∠CBD =x90°=30°， ∴BD=2CD=6， 综上所述：BD的长为6或. 故答案为：6或. 【分析】分类讨论，结合图形，利用矩形的性质，折叠的性质以及平行线的性质等计算求解即可。 三、综合题 17．在正方形ABCD中，AB＝4，点E是边AD上一动点，以CE为边，在CE的右侧作正方形CEFG，连结BF. （1）如图1，当点E与点A重合时，则BF的长为　 　. （2）如图2，当AE＝1时，求点F到AD的距离和BF的长. （3）当BF最短时，请直接写出此时AE的长. 【答案】（1） （2）解：如图，过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，FH⊥BC交BC的延长线于K， ∵四边形CEFG是正方形，∴EC=EF，∠FEC=90°， ∴∠DEC+∠FEH=90°， 又∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC=90°， ∴∠DEC+∠ECD=90°， ∴∠ECD=∠FEH， 又∵∠EDC=∠FHE=90°， 在△ECD和△FEH中， ， ∴△ECD≌△FEH（AAS）， ∴FH=ED， ∵AD=4，AE=1， ∴ED=AD-AE=4-1=3， ∴FH=3，即点F到AD的距离为3， ∴∠DHK=∠HDC=∠DCK=90°， ∴四边形CDHK为矩形， ∴HK=CD=4， ∴FK=FH+HK=3+4=7， ∵△ECD≌△FEH， ∴EH=CD=AD=4， ∴AE=DH=CK=1， ∴BK=BC+CK=4+1=5， 在Rt△BFK中，BF＝； （3）解：AE=2. 【解析】【解答】解：（1）如图，连接DF， ∵∠CAF=90°，∠CAD=45°， ∴∠DAF=45°， 在△CAD和△FAD中， ， ∴△CAD≌△FAD（SAS）， ∴DF=CD， ∴∠ADC=∠ADF=90°， ∴C，D，F共线， ∴BF2=BC2+CF2=42+82=80， ∴BF＝， 故答案为：； （3）∵当A，D，F三点共线时，BF的最短， ∴∠CBF=45°， ∴FH=DH， 由（2）知FH=DE，EH=CD=4， ∴ED=DH=4÷2=2， ∴AE=2. 【分析】（1）连接DF，则∠DAF=∠CAF-∠CAD=45°，根据正方形的性质可得AF=AC，证明 △CAD≌△FAD，得到DF=CD，推出C，D，F共线，然后利用勾股定理进行计算； （2）过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，FH⊥BC交BC的延长线于K，根据正方形的性质可得 EC=EF，∠FEC=90°，∠ADC=90°，根据同角的余角相等可得∠ECD=∠FEH，证明△ECD≌△FEH，得到FH=ED，易得ED=AD-AE=4-1=3，HK=CD=4，FK=FH+HK=7，EH=CD=AD=4，AE=DH=CK=1，BK=BC+CK=5，然后利用勾股定理进行计算； （3）由题意可得∠CBF=45°，FH=DH，由（2）知FH=DE，EH=CD=4，则ED=DH=2，据此可得AE的长. 18．如图，在 中，经过A，C两点分别作 ， ，E，F为垂足. （1）求证： ； （2）求证：四边形AFCE是平行四边形 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 在△AED和△CFB中 ∴ . （2）证明：∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴四边形AFCE是平行四边形. 【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得 ，再根据 ， ，可得 ，即可证明 .（2）根据全等三角形的性质得 ，再根据 ， ，可得 ，即可证明四边形 是平行四边形. 19．如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，点E是CD边的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF. （1）求证：DB=CF； （2）如果AC=BC，试判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论. 【答案】（1）证明：∵CF∥AB， ∴∠DAE＝∠CFE．又∵DE＝CE，∠AED＝∠FEC， ∴△ADE≌△FCE，∴AD＝CF．∵AD＝DB，∴DB＝CF． （2）解：四边形BDCF是矩形． 证明：由(1)知DB＝CF，又DB∥CF， ∴四边形BDCF为平行四边形． ∵AC＝BC，AD＝DB，∴CD⊥AB． ∴四边形BDCF是矩形． 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出∠DAE＝∠CFE，根据AAS可证△ADE≌△FCE，可得AD＝CF．由AD＝DB，利用等量代换即得DB＝CF； （2）四边形BDCF是矩形．理由：由(1)知DB＝CF，DB∥CF，可证四边形BDCF为平行四边形，根据等腰三角形三线合一的性质得出BD⊥AB，即得∠CDB=90°，根据矩形的判定定理即证. 20．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形，使得它们的顶点均在小正方形的顶点上； （1）①在图中画一个以AB为边的菱形ABCD，使得菱形ABCD的面积为24； ②画一个以点B为直角顶点的等腰直角三角形ABE； （2）连接CE，请直接写出线段CE的长． 【答案】（1）解：①如图，菱形ABCD即为所求作． ②如图，△ABE即为所求作． （2）解： ． 【解析】【分析】（1）①作对角线分别为6、8的菱形即可；②根据等腰直角三角形的定义画出图形即可； （2）利用勾股定理求得即可。 21． （1）化简： （2）如图，在四边形 中， ， ， ， 分别是 ， ， 的中点，连接 ， ．求证： ． 【答案】（1）解：原式 （2）证明：∵ ， 分别是 ， 的中点， ∴ ， ∵ ， 为 的中点， ∴ ， ∴ ． 【解析】【分析】（1）根据平方差公式和多项式乘多项式法则计算即可；（2）根据三角形中位线定理和直角三角形斜边中线的性质证明即可． 22．综合题：探索发现 （1）自主阅读：在三角形的学习过程，我们知道三角形一边上的中线将三角形分成了两个面积相等三角形，原因是两个三角形的底边和底边上的高都相等，在此基础上我们可以继续研究：如图1，AD∥BC，连接AB，AC，BD，CD，则S△ABC=S△BCD． 证明：分别过点A和D，作AF⊥BC于F．DE⊥BC于E，由AD∥BC，可得AF=DE，又因为S△ABC= ×BC×AF，S△BCD= ． 所以S△ABC=S△BCD 由此我们可以得到以下的结论：像图1这样　 　 （2）问题解决：如图2，四边形ABCD中，AB∥DC，连接AC，过点B作BE∥AC，交DC延长线于点E，连接点A和DE的中点P，请你运用上面的结论证明：S▱ABCD=S△APD （3）应用拓展： 如图3，按此方式将大小不同的两个正方形放在一起，连接AF，CF，若大正方形的面积是80cm2，则图中阴影三角形的面积是　 　cm2． 【答案】（1）同底等高的两三角形面积相等 （2）证明：∵AB∥CE，BE∥AC， ∴四边形ABEC为平行四边形， ∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等， ∴S△ABC=S△AEC， ∴S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED （3）40 【解析】【解答】解；（1）利用图形直接得出：同底等高的两三角形面积相等； 故答案为：同底等高的两三角形面积相等；（3）设正方形ABCD的边长为a，正方形DGFE的边长为b， ∵S△ACF=S四边形ACEF﹣S△CEF=S△AFG+S正方形DEFG+S△ADC﹣S△CEF= ×b×（a﹣b）+b×b+ ×a×a﹣ ×b×（b+a）= ab﹣ b2+b2+ a2﹣ b2﹣ ab= a2， ∴S△ACF= S正方形ABCD= ×80cm2=40cm2； 故答案为：40． 【分析】(2)可把梯形面积转化为三角形面积之和，在利用（1）的结论进行转化，证出结论；（3）设出大、小正方形边长，阴影面积S△ACF=S四边形ACEF﹣S△CEF，用边长表示空白三角形面积，化简后可得出结果. 23．在菱形 中， ， 是对角线 上任意一点， 是线段 延长线上一点，且 ，连接 、 ． （1）如图 ，当 是线段 的中点时，易证 ． （2）如图 ，当点 不是线段 的中点，其它条件不变时，请你判断（ ）中的结论：　 　（填“成立”或“不成立”）． （3）如图 ，当点 不是线段 延长线上的任意一点，其它条件不变时，（ ）中的结论是否成立？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由． 【答案】（1）解：∵菱形 ， ， ∴ ， ， ∵ 为 中点， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ （2）成立 （3）解：成立． 取 ，连 ， 由（ ）得： 、 均为等边三角形， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ． 【解析】【解答】解：（ ）成立，取 ，连 ， ∵菱形 ， ， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ 为等边三角形． ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ． 【分析】（1）由菱形的性质易得三角形ABC是等边三角形，E为AC的中点，根据等边三角形的性质可得∠BAC=，由题意有CF=AE=EF，所以可得∠CFE=，所以可得BE=EF； （2）成立，取AH=AE，连HE，构造全等三角形，用边角边可证得△HBE≌△CEF；则可得BE=EF； （3）延长AB至M，使AM=AE，连接ME，构造等边三角形AME，方法同（2），用边角边可证得△BHE≌△ECF，则结论可得。 24．如图 （1）如图1，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=5 cm，BD=8 cm.则AC=　 　cm； （2）在宽为8 cm 的长方形纸带上，用图1中的四边形设计如图2所示的图案. ①如果用7个图1中的四边形设计图案，那么至少需要　 　cm长的纸带； ②设图1中的四边形有x个，所需的纸带长为y cm，求y与x之间的函数表达式；　 　 ③在长为40 cm的纸带上，按照这种方法，最多能设计多少个图1中的四边形？　 　 【答案】（1）6 （2）24；解：由①中规律可得： ；解：将y≤40代入②的表达式中，可得x≤ . 所以最多能设计12个四边形 【解析】【解答】(1)设AC与BD的交点为O， ∵AB=BC=CD=DA=5 cm， ∴四边形ABCD为菱形， ∴OD= ，AC⊥BD， ∴OC= . ∴AC=6. ( 2 )①由图可知：1个四边形需要2×3=6cm，2个四边形需要3×3=9cm，3个四边形需要4×3=12cm……， 所以7个四边形需要8×3=24cm长的纸带. 【分析】(1)由题意得，四边形为菱形，根据菱形的性质利用勾股定理解出即可.(2)①通过前三个四边形寻找规律即可解出.②利用①中的规律表示出来即可.③令y≤40解出x的范围，即可找到最大的值. 25．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF． （1）试说明AC=EF； （2）求证：四边形ADFE是平行四边形. 【答案】（1）【解答】证明：∵Rt△ABC中，∠BAC=30°， ∴AB=2BC， 又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB， ∴AB=2AF ∴AF=BC， 在Rt△AFE和Rt△BCA中 ∴△AFE≌△BCA（HL）， ∴AC=EF； （2）【解答】∵△ACD是等边三角形， ∴∠DAC=60°，AC=AD， ∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90° 又∵EF⊥AB， ∴EF∥AD， ∵AC=EF，AC=AD， ∴EF=AD， ∴四边形ADFE是平行四边形． 【解析】【分析】（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因为△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF；（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $