第19章 四边形（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材沪科版八年级下册

第19章 四边形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在中，，则（    ） A． B． C． D． 2．下列给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．如图，在矩形中，点在上，，，作于点，交于，则的长是（   ） A．4 B． C． D．3 4．直线与正六边形的边分别相交于点，如图，若，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，，，是对角线上的动点且，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．8 D．6 7．如图，在中，，以，和为边向上作正方形和正方形和正方形，点落在上，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A．100 B．72 C．36 D．28 8．如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 9．在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，连接，，，，，有以下结论：①四边形的周长是定值；②四边形的面积是定值；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．上述结论正确的个数是（   ） A． B． C． D． 10．如图，菱形中，，E和点F分别在边上，连接，，若M、N分别为线段的中点，则线段的长度等于（   ） A． B． C． D．3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．如图，汉画像石《庖厨图》是汉代徐州地区烧烤饮食文化的生动见证，图中建筑可近似地看成一个五边形，若，，则____． 12．如图，，两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量、间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，，并且测出的长为20米，则，间的距离为__________米． 13．如下图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为________． 14．如图，边长为2的正方形的对角线相交于点O，点E是边上的动点，连接并延长交的延长线于点P，过点O作交于点F，交延长线于点Q，连接． （1）的度数为________； （2）若点E恰好是中点时，则的长度为________． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知一个多边形的边数为． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的内角和是它的外角和的4倍．求的值． 16．如图，在的网格中每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，线段的两个端点都在格点上，以格点为顶点分别按下列要求画图． (1)在图①中，以为一边画平行四边形，使其面积为6； (2)在图②中，以为一边画一个菱形； 17．如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求和的长． 18．如图，在平行四边形中，点G为边的中点，点E 在边上，且 ， (1)求证：E为的中点； (2)若点F 为线段延长线上一点， ， 求证：； (3)在（2）的条件下， 交于点 H， 若， ，， 的长是 ． 19．如图，在四边形中，，对角线，相交于点，且． (1)求证： ． 四边形为平行四边形． (2)过点作，交于点，交于点，连结若，，求的度数． 20．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．以，为邻边构造平行四边形．在线段延长线上有一动点E，且满足，设点P运动时间为t秒． (1)当点C运动到线段中点时， ，点E的坐标为 ； (2)当点C在线段上运动时，求证：四边形为平行四边形； (3)当时，求四边形的周长． 21．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式的最小值为___________； (2)变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 (3)已知正数满足，求的值． 22．如图，在正方形中，对角线，相交于点O，P是上的一个动点，连接，作，交的延长线于点E，以和为邻边作，对角线，相交于点G (1)连接，若，则___（用含m的代数式表示）； (2)证明：； (3)若点为的中点，求的值． 23．如图，在边长为的正方形中， (1)如图1，，垂足为点，求证：； (2)如图2，垂直平分，且，求的长； (3)如图3，，点、和分别为、和的中点，，求的长． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第19章四边形（高效培优单元自测强化卷) (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1.在口ABCD中，∠A=130°，则∠B=() A.130° B.120° C.50° D.30° 【答案】C 【详解】解：如图，在口ABCD中，AD∥BC, .∠A+∠B=180°， :∠A=130°， .∠B=180°-130°=50°. 故选：C 2.下列给出的条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是() A.AB∥CD,AB=CD B.AB∥CD,AD=BC C.∠A=∠D,∠B=∠C D.AB=AD,CB=CD 【答案】A 【详解】选项A:根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形， 故本选项正确， 选项B:当AB∥CD,AD=BC时，四边形可能是等腰梯形，无法判定四边形ABCD是平行四边形，故本 选项错误。 选项C::∠A=∠D,∠B=∠C,四边形内角和为360°， ∴2∠A+2∠B=360°，即∠A+∠B=180°， .AD∥BC, 无法推出另一组对边平行或相等， ,不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误， 选项D:AB=AD,CB=CD仅能说明四边形邻边相等，例如筝形满足该条件，但不是平行四边形， 不能判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误. 1/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD=I0,CD=6,作AF⊥DE于点G,交CD于F,则 DF的长是() 10 A.4 B.3 c D.3 【答案】B 【详解】解：，矩形ABCD,AE=AD=I0,CD=6, .AD=BC=AE=10,AB=CD=6,∠B=∠C=90°， BE=VAE?-AB2=8 ..EC=BC-BE=2, :AD=AE=10,AF⊥DE, 直线AF是线段DE的垂直平分线， ..FE =FD, 设CF=x,则FE=DF=6-x, 则6-x=x2+4 解彩。 4DF=6-x=10 故选：B. ABCDEF AB,EF M,N 4.直线与正六边形 的边 分别相交于点M,N,如图，若“=5”，则B（) A /M B D 2/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.50° B.60° C.65° D.70° 【答案】c 【详解】解：正六边形ABCDEF 6-2)×180°÷6=120° 的每个内角均为 ∠A=120°，∠F=120° 0与 ∠AMN 0=55° 组成对顶角 .∠AMW=a=55° :. 与<FMH 组成对顶角， ∠FNM=B 在四边形AMNF中，内角和为360°， 即∠A+∠AMN+∠FNM+∠F=360°， 代入得120°+55°+B+120°=360°， 解得B=360°-120°-55°-120°=65° 故选：C 5.如图，在OA1BCD AB=AC,∠D=40° 中， ，则<BAC 的度数为() A.100° B.105° C.110° D.120° 【答案】A 【详解】解：，在ABCD中，∠D=40°， .∠B=∠D=40°， ..AB=AC, ,∠ACB=∠B=40°， ,∠BAC=180°-∠ACB-∠B=100°」 故选A. 6.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD=6,∠BAD=60°，E,F是对角线AC上的动点且 3/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF-片4C,连接DE,BF,则DE+BF的最小值为（） 3 B A.4V3 8.3V3 C.8 D.6 【答案】A 【详解】解：连接BD交AC于O,以EF,BF为邻边作平行四边形BFEG, D EF=BG,BF=GE .DE+BF=DE+EG≥DG, 故DE+BF的最小值为DG, 菱形ABCD,∠BAD=60°，AB=BC=CD=AD=6, ∴BD⊥AC,△ABD是等边三角形， BD=4B=6 OD=BD=3. 2 A0=√AD2-0D=35 AC=2A0=6N5 BG=EF=23 BD⊥AC,平行四边形BFEG, ∠DBG=∠D0A=90°， .DG=JGB+DB-23+6=43 4/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则DE+BF 的最小值为 w3 故选：A. 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以AC,BC和AB为边向上作正方形ACED和正方形BCMI和正方 形ABGF,点G落在MI上，若AC=6,BC=8,则图中阴影部分的面积是() M E A B A.100 B.72 C.36 D.28 【答案】B 【详解】解：如图，连接EF,BE与AF交于点N,FG与CM交于点H, G B :四边形ACED,BCMI,ABGF都为正方形， AC=AD,AB=AF=FG=GB,BC=BI ∠DAC=∠D=∠DEC=∠FAB=∠ABG=∠ACB=∠I=∠AFG=∠M=9O°， .∴，∠CAB+∠ABN=∠CAB+∠FAH=90°， .∠ABN=∠FAH, ÷△ABN≌aFAH(ASA ∠ANB=∠FHA=∠MHG=∠ENF,AN=FH .HG=NF, △FEN≌GMH(AAS) △ABC≌△AFD,△ABC≌AGBI 同理可得： 5/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S1=S.ABC,S+S2=S.ABC S.ABN =S.FAH S..w-S..c=S.rm-S..cv-S.uc Smm=S+5,S+S.=35.c=3xx6x8=7 8.如图，在长方形ABCD中，AB=6cm,AD=14cm,动点P从D点出发，以lcm/s的速度沿着DA向A 点运动，同时动点Q从B点出发以2cm/s的速度沿BC向C点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点 也同时停止.运动时间为，将四边 PDCQ以直线P为轴进行翻折，得到四边形 D'CO ,射线2C经 过点A时，可以是() A.t=3 B. C. D.t=4 【答案】D 【详解】解：连接AC D' A -D 四边形 是长方形， B ABCD AD∥BC,DB=90°， ∴.∠APQ=∠PQC 由翻折的性质可知：∠PQC=∠PQC', oc' 射线0C经过点，即 A,C,O 三点共线， .∠AQP=∠PQC', ∴.∠APQ=∠AQP, 6/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AP=AO 由题意得：DP=t,BQ=2t, .AP=AD-DP=14-t. 在 Rt△AB0中， AB2+BO2=A02 .62+(2)2=14-)2 40 解得6=4,5= 3 (舍去). :点Q到达终点的时间为14÷2=7s, .0≤t≤7， t=4符合题意 9.在如图所示的口ABCD中，E,G分别为边AD,BC的中点，点F,H分别在边AB,CD上移动（不 与端点重合)，且满足AF=CH,连接EG,EF,FG,GH,EH,有以下结论：①四边形EFGH的周 长是定值；②四边形EFGH的面积是定值；③四边形EFGH是平行四边形；④四边形ABGE是平行四边形. 上述结论正确的个数是（) E A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【详解】解：，四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AB∥CD,AD=BC,∠A=∠C,∠B=∠D,AB=CD, :E,G分别为AD,BC的中点， E-4D.BG-BC:DE-TAD.CG-BC ∴.AE=BG, 又：AE∥BG, ∴四边形ABGE是平行四边形，故④正确： AE-AD CG-TBC.AD=8C 2 2 ..AE=CG, 7/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△AEF和△CGH中， AE=CG ∠A=∠C AF=CH' ∴，△AEF≌ACGH(SAS) .EF=GH, .AB=CD,AF=CH, .AB-AF =CD-CH,BF=DH, 同理可证△BFG≌△DHE, ∴.FG=HE, ∴四边形EFGH是平行四边形，故③正确： ,四边形ABGE是平行四边形， AB∥EG, ∴点A到EG的距离等于点F到EG的距离， 设距离为h, 5E=EGh.S.FEG三2EGh S.. AB∥CD, EG∥CD, 又AD∥BC, 四边形CDEG是平行四边形。 1 同理可得，SHBo=2 SCDEG, 1 1 .Sron =S.ra+S,ocDroS mo8 S-cDcD ∴四边形EFGH的面积是定值，故②正确： 当点F在AB上移动时，AF的长度发生变化，在△AEF中，EF的长度随之变化，同理FG的长度也变化， 所以四边形EFGH的周长不是定值，故①错误； 综上所述，正确的结论有②③④，共3个. 8/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ABCD ∠B=60° 10.如图，菱形 中， ,E和点F分别在边 C,AB上，连接， AC BF=4,CE=2 ,若 M、N分别为线段EF、BC的中点，则线段MN的长度等于() D 6 A. 8V c.22 D.3 【答案】B 【详解】解：如图，连接CF,取CF的中点H,连接MH,H,过点N作NK⊥MH于K, D :四边形ABCD是菱形，∠B=60°， .AB=BC, ∴.△ABC是等边三角形， ∠ACB=60°=∠BAC, EF、BC CF BF=4,CE=2 M、N分别为线段 的中点，点H是的中点， ÷MH∥CE,MH=.CE=l,NH∥BF,NH=BF=2, ∠ACF=∠FHM,∠BFH+∠FHN=18O° ∠FHN=180°-∠BFH=180°-60°+∠ACF)=120°-∠ACF ,∠MHN=∠FHN+∠FHM=∠FHN+∠ACF=120°， .∠NHK=60°， ∵NK⊥MH, ∴∠HNK=30°， 9/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .HK=HN=1,NK =NH2-HK2=3 ∴MK=MH+KH=2, MW=MK2+K2-2+3=4+3=万 故选：B。 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.如图，汉画像石《庖厨图》是汉代徐州地区烧烤饮食文化的生动见证，图中建筑可近似地看成一个五 边形ABCDE,若∠A=∠D=125°，∠B=∠C=90°，则∠E=° 【答案】110 【详解】解：五边形的内角和为5-2列×180=540° ∴.∠E=540°-∠A-∠B-∠C-∠D=110° 12.如图，A,B两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一 位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A,B的点C,找到AC,BC的中点D,E, 并且测出DE的长为20米，则A,B间的距离为 米 D B 【答案】40 【详解】解：如下图，连接AB, D E B AC,BC的中点分别为D,E,DE的长为20米， AB=2DE=40米， 即A,B间的距离为40米. 10/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.如下图，正方形ABCD的边长为4cm,E为AB的中点，点P以2cm/s的速度从点B出发，沿 BC-CD向点D运动，同时点Q以lCm/s的速度从点E出发，沿EB-BC向点C运动，当点P运动到点D 时，P、两点同时停止运动，若在运动过程中，当5=2S.时， P№的长度为 D 【答案】5或2w5 【详解】解：如图所示，当0<t≤2时，点Q在线段EB上，P在BC上， D B 由条件可知AE=EB=2, EO=t OB=2-1 依题意， ',则10=2+4，BP=2x S.APO=2S.aP0 24OxPB=2x号BQxPB ..AO=2BO, .2+1=2(2-) 解得：1=3 QB=2-2-4,BP=4 33’ 3 11/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .Po-: 如图所示，当2<t≤4时，点Q在线段BC上，P在CD上， D D C E 依题意，B0=1-2,PC=21-4,则PD=4-(21-4到=8-2，C0=CB-B0=4-1-2=6-1 :SE方形-(SA+S,4e+S,eo=SAP四=2Sar0, 4x4-[248-20+2:96-0+x4t-2刘]=2x0-2x2r-4 2 解得：t=4或t=-2(舍去)， PC=2×4-4=4CQ=6-t=2 PO=PC2+CO=25 综上所达，P0=5或w5 14.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O,点E是BC边上的动点，连接OE并延长交AB 的延长线于点P,过点O作 01OP交CD于点R,交BC延长线于点Q,连接 D ∠OP9 (1) 的度数为 12/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OP PO (2)若点E恰好是 中点时，则的长度为 45° √0 【答案】 【详解】解：作OH⊥AB于H,连接EH, D ,四边形ABCD是正方形， △OBC,△OAB ∠AOB=∠BOC=90° 和 是等腰直角三角形， .∠BOP+∠EOC=90°， OQ⊥OP ∠P0Q=90° ∠QOC+∠E0C=90° ∠BOP=∠COO .'∠ABO=∠OCB=45° ∠OBP=∠0CQ=135 ..OB=OC, AOBP≌aOCQ(ASA) P0=Q0 △0P0是等腰直角三角形，且 ∠POQ=90° 13/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠0PQ=45° :OH⊥AB,点E是OP中点 AH=8H=)4B=1,0H-=)4B=l,E=0P=PE, BH=BP=1,则PH=2, OP=JOH2+PH2=22+=5 P№=2Po=0 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.已知一个多边形的边数为n, (1)若n=8,求这个多边形的内角和： (2)若这个多边形的内角和是它的外角和的4倍.求n的值. 180°×(8-2)=1080° 【详解】(1)解： 这个多边形的内角和为080°： (2)解：由题意得， 180°.(n-2)=4×360° 解得n=10 16.如图，在4×4的网格中每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，线段AB的两个端点都 在格点上，以格点为顶点分别按下列要求画图. ⑦ ② (1)在图①中，以AB为一边画平行四边形ABCD,使其面积为6： (2)在图②中，以AB为一边画一个菱形ABEF: 【详解】(1)解：如图①中，平行四边形ABCD即为所求： (2)解：如图②中，菱形ABEF即为所求。 14/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B ① ② 17.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E,EF⊥AD于点F,DG⊥AE于点G,DG 与EF交于点O. (1)求证：四边形ABEF是正方形： (2)若AD=AE,AB=2,求AG和OF的长， 【详解】(1)证明：四边形ABCD是矩形， ·∠BAF=∠ABE=90°. EF⊥AD」 ∴四边形ABEF是矩形. :AE平分∠BAD, .EF =EB, ∴四边形ABEF是正方形 (2)解：AE平分∠BAD, ∴.∠DAG=∠BAE=÷∠BAF=45° 在△AGD和△ABE中， ∠DAG=∠EAB ∠AGD=∠ABE AD=AE △AGD≌△ABE(AAS), .AG=AB=2 ,四边形ABEF是正方形， .AF=AB=BE=2 15/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △AGD≌△ABE, :DG=EB=AB=AF=AG=2, :AD=2N2∠DAG=∠ADG=450 .DF=22-2 :EF⊥AD, ∴.∠FD0=∠FOD=45°， ..OF=DF=22-2 18.如图，在平行四边形ABCD中，点G为BC边的中点，点E在AD边上，且 ∠DCE=∠BAG AH E 刀 B (1)求证：E为AD的中点： (2)若点F为线段BA延长线上一点，∠FCE=∠BAG,求证：AB=AF+CF; 3)在(2)的条件下， CF交4D于点H,若F=60,B=5,D=2万，F的长是. 【详解】(1)证明：点G为BC的中点， :BG-IBC, 2 :四边形ABCD为平行四边形， .AD=BC,AB=CD∠B=∠D 又∠DCE=∠BAG, ∴.△CDE≌△ABG(ASA .DEGC-AD. 即E为AD的中点. (2)证明：延长BF,CE相交于点P,如图. 16/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H D B G 由(1)知，AE=DE=BG=GC, 又AE∥GC, “四边形AGCE为平行四边形， .AG∥EC, ∠BAG=∠P, AD∥BC, ∠PAE=∠B, .△PAE≌△ABG, :'.AB=AP, :∠FCE=∠BAG, .∠FCE=∠P, ..CF=PF, ∴，AB=AP=AF+PF=AF+CF (3)解：过点C作CI⊥AB于点I,如图 设AF=x,则BF=5+x,CF=AB-AF=5-x, :∠BFC=60°， ∠FCI-30°， 1-5-:a-Gr-F-95-,8M=5+5-543刘， 在RtaBIC中，BI2+CI2=BC2, 5+3+25--2. 解得x=-1(舍去)或x=1, .AF=1 19.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O,且AO=OC 17/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证： ①△AOE≌ACOF. ②四边形ABCD为平行四边形. (2)过点O作EF⊥BD,交AD于点E,交BC于点F,连结BE.若∠BAD=1O0°，∠DBF=32°，求∠ABE 的度数。 ①：AD‖BC 【详解】(1)证明： .∠OAD=∠OCB 在△AOE和△COF中， ∠OAE=∠OCF, A0=OC, ∠AOE=∠COF, AAOE≌aCOF(ASA ②同理可证△AOD≌△COB, .AD=CB 又：AD‖BC, ∴.四边形ABCD为平行四边形： (2)解：△AOE≌△COF, :.OE=OF, :EF⊥BD, :BE BF, ∠OBF=∠OBE=32°， ∴.∠EBF=64° ADI‖BC, ·.∠ABC=180°-∠BAD=180°-100°=80° ∴.∠ABE=∠ABC-∠EBF=80°-64°=16° 18/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.如图，在平面直角坐标系中，点4，B的坐标分别是-30)，(06 ,动点P从点O出发，沿x轴正方 向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动.以 CP,CO为邻边构造平行四边形PCOD,在线段OP延长线上有一动点E,且满足PE=AO,设点P运动时 间为t秒， B E衣 (1)当点C运动到线段OB中点时，t=,点E的坐标为； (2)当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形： (3)当OC=2时，求四边形ADEC的周长. 【详解】(1)解：“点4,8的坐标分别是-3,0)，(0,6 ∴.OA=3,OB=6 :点C运动到线段OB的中点， ∴.OC=BC=-OB=3 2 则1=3÷2=3 0P=3 2 PE=OA, +39 OE=OP+PE=OP+04= 2 则。的坐标是 故答案为：：（0： (2)证明：：四边形PCOD是平行四边形， 19/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 \OC=PD,OC∥PD, .∠COP=∠DPO=90°， ∠AOC=∠EPD=90°， 在△AOC和△EPD中， AO=PE ∠AOC=∠EPD OC=PD ∴.△AOC≌△EPD(SAS .AC=DE,∠CAO=∠DEP, .AC∥DE, ·四边形ADEC是平行四边形： (3)解：当点C在线段B0上时， 当OC=2时，BC=OB-OC=4, .t=2, 0P=2, .PD=2,AP=AO+OP=3+2=5, .AD=AP2+PD2=2+22=29 :0C=2,0A=3, AC=√0C2+0AP=V22+32=√3 六平行四边形DEC的周长为2(4C+AD)=213+2V29 如图，当点C在线段BO的延长线上时， ◆B △AOC≌△EPD(SAS) 同(2)中原理可得 20/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AC=DE,∠CAO=∠DEP, AC∥DE, ∴四边形ADEC是平行四边形， 当OC=2时，BC=OB+OC=8, …t=4, .0P=4, .PD=2,AP=A0+OP=3+4=7. .AD=AP2+PD2=+22=53 OC=2,OA=3, .AC=V0C2+0=V22+32=V3 平行四边形DBC的周长为2(4C+AD)=213+253 综上，四边形AD5C的周长为2W5+22或213+2V5丽 21.“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的 问题 例：求代数式VF+3+12-+2的最小值。 分析：√2+3和V12-x+2是勾股定理的形式，√P+32是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边， V12-x+2”是直角边分别是12-x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF, 并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时 CF=x+12-x=12,AC=3,DF=2,问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点 间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值. 12-x B(E)12-x H 图1 图2 图3 【模型应用】 21/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1代数式V+3+12-x+2的最小值为 2变式训练：利用图3，求代数式V+4+5-+1的最小值： 【模型拓展】 3已知正数x满足V9-P+6-r=5,求x的值. 【详解】(1)解：如图2，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点I,连接AD, A 12-x F B(E D 图2 根据题意， ∠ACF=∠F=90°， ∠1G=180°-∠AG=90°， :DI⊥AI, ∠AID=90°， “四边形O正是矩形， ∴.0=F=2,1D=G=12, A=C+0=5, 在R△ADI中，AD=VA2+1D=V5+12=13 根据题意，AB=√2+3，BD=V12-x2+2, :AB+BD≥AD, 当A、B、D三点共线时，AB+BD取得最小值AD, V2+32+V12-x2+2的最小值为13： (2)解：如图3，设AC=2,BC=x,BF=5-x,DF=1,∠ACF=∠F=90° 22/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图3 同理(1)可得，四边形CHDF是矩形， ..CH=DF=1,DH F BC BF =5, ..AH=AC+CH=3, 由勾股定理可得，B=VAC2+BC2=√X2+4,BD=VBF2+DF2=V5-x2+1P AD=AH2+H2=3+5=34 AB+BD≥AD, ∴当A、B、D三点共线时，AB+BD取得最小值AD, :√2+4+V5-x+1的最小值为34： (3)解：如图，△ABC中，AC=3,BC=4,CD=x,CD⊥AB, D 由勾股定理可得，AD=VAC2-D=V9-X2,D=VBC2-D=V6-X 0+D=V9-X2+V16-X2=5,即4B=5, AB2=25=AC2+BC2 ∠ACB=90°， :Sc=号AB.CD=)4C-BC, 1 2 2 23/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..CD=AC.BC_3x4 12 AB 55 12 x=5· 22.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,P是OB上的一个动点，连接CP,作 PE⊥CP,交AB的延长线于点E,以PC和PE为邻边作口PEFC,对角线CE,PF相交于点G B E (1)连接OG,若OG=m,则AE=一（用含m的代数式表示）： (2)证明：AP=PE: BE (3)若点p为OB的中点，求AB的值. 【详解】(1)解：如图， D 0 E :四边形ABCD是正方形， :OC=OA,即O为AC中点， ,四边形PEFC是矩形， CG=EG,即G为CE中点， .OG是△ACE中位线， :0G=)AE=m, .AE=2m, 故答案为：2m: (2)如图，过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N, 24/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B .∠PNB=∠PME=∠PNC=90° :四边形ABCD是正方形， ∴，∠ABC=90°，BD平分∠ABC,BD垂直平分AC, .∠PNB=∠PME=∠ABC=90°，PC=PA, 四边形PMBN是矩形， :BD平分∠ABC,PM⊥AB,PN⊥BC, ∴PM=PN, ∴四边形PMBN是正方形， .∠MPN=90°， ∴∠MPE+∠EPN=90°， PE⊥CP .∠CPN+∠EPN=90°， .∠CPN=∠MPE, 在△CPV和△EPM中， ∠CPN=∠MPE PN=PM ∠CNP=∠EMP ∴.ACPN≌EPM(ASA ..PC=PE, ..PC=PA, ..AP=PE: (3)如图，过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N, 25/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E 由(2)得，四边形PMBN是正方形， MB=BN=PM,∠PBM=∠MPB=45°， 设MB=BN=PM=,则PB=2x :点P为OB的中点， PB=PO=2x OB=OA=2√2x AB=V0P+0B-=22+22x=4x, 2 .AM =AB-MB=3x, AP=PE,PM⊥AB, ..ME AM=3x, BE ME-MB=2x, BE2x1 AB4x2· 23.如图，在边长为4的正方形ABCD中， E B B 图1 图2 图3 (1)如图1，DF⊥CE,垂足为点O,求证：BE=CF; (2)如图2，FG垂直平分CE,且BE=BF,求DG的长； (3)如图3，FG⊥CE,点F、R和S分别为BC、FG和CE的中点，AG=7DG,求RS的长， 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是正方形， 26/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :BC=CD,∠EBC=∠FCD=90°， ∠BCE+∠OCD=90°， :DF⊥CE, ∴∠CDF+∠OCD=90°， ∠BCE=∠CDF, ∠BCE=∠CDF BC=CD 在 和 中， △CBE△DCF ∠EBC=∠FCD=90°' △CBE≌ADCF(ASA) BE=CF (2)解：连接EG, O 四边形ABCD是正方形， .AB=BC=CD=AD=4,∠EBC=∠FCD=∠A=∠D=90°， FG垂直平分CE,且BE=BF, ∴GE=GC,FE=FC,AE=CF, 设BE=BF=x, AE=CF=EF =4-x EF=BE2+BF2=2x ÷4-x=V2x 解得： x=4W2-4 、AE=CF=EF=4-x=8-4V5 DG=y AG=4-y 设 ,则 27/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE2+AG2=DG2+CD2 .8-42)32+(4-)2=y2+4 解得：y=12-8V ,即DG=I2-82 (3)解：如图，过点G作GN⊥BC于点N,连接CR,并延长交AD于点M,连接EM, A M G D E S :四边形ABCD是正方形， .BC=CD,∠GNC=∠NCD=∠CDA=90°， ∴四边形DGNC是矩形， ..DG=NC,GN=DC=CB=4, GF⊥CE, ∴∠GFN+∠FGN=90°，∠GFN+∠ECB=90°， .∠FGN=∠ECB, ∠FGN=∠ECB BC=GN 在 和 中， ECB△FGN ∠EBC=∠GNF=90°' △ECB≌△FGN(ASA) ..BE=FN, .AG=7DG, 1 ,G 1 DG=AD= 7 8 2 ..CN= 2 :F是BC的中点， 28/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 六BF=FC=2' 6R=N=2-,AE=AB-BE=4-33 22 :四边形ABCD是正方形， BC∥AD, .∠GMR=∠FCR,∠MGR=∠CFR, R是FG的中点， ..FR=GR, △GMR≌AFCR(AAS) ..MG=CF=2,MR=CR, .AM=4-MG-DG=4-2-7=号，1 EM =VAE+AM34 2, S是CE的中点， ∴SR是△CME的中位线， s-M=4网 4. 29/29