精品解析：新疆师范大学附属中学2025-2026学年下学期高一年级期中考试数学试题

新疆师范大学附属中学2025-2026学年下学期高一年级期中考试数学试题 考试时间：120分钟 命题人：刘华玲 审核人：惠燕 第I卷（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上） 1. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合，根据二次根式的性质， 可得， 解得，即， 因为，所以， 又，解不等式， 可得，即， 所以，所以A选项正确. 2. 若，其中，是虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数相等的条件，结合虚部的概念求解即可 【详解】因为，故，故复数的虚部为2 故选：D 3. 已知，向量，，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若，则，故，故； 若，则，故或， 故“”是“”的充分不必要条件. 4. 在中，已知是边上一点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题设， 而，则. 5. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积运算律，，与同向的单位向量为，进而转化求解即可. 【详解】解：因为，且，所以， 即，所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 6. 在中，内角A，，的对边分别为，，，，则的形状一定为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角计算即可. 【详解】在中，， 则由正弦定理得：则， 因为三角形中，，故， 所以，则的形状一定为等腰三角形． 故选：B 7. 已知函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 曲线的对称轴为 C. 在区间单调递增 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，再根据三角函数的性质逐项判断即可. 【详解】 ， 即， 对于A，，易知为偶函数，所以A正确； 对于B，对称轴为，故B错误； 对于C，，单调递减，则 单调递增，故C正确； 对于D，，则，所以，故D错误； 故选：AC 8. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为（其中为向量的夹角），余弦距离为.已知，若的余弦距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先代入余弦距离公式，结合向量数量积坐标表示求得三角函数值，最后代入二倍角公式求解. 【详解】因， 由定义可知，， 则， . 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上） 9. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；利用平面向量垂直的坐标表示与同角三角函数的基本关系可判断B选项；利用平面向量模的三角不等式可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项. 【详解】对A：若，则，解得，A正确； 对B：若，则，所以， 所以，B错误； 对C：因为，，而， 当且仅当、反向时等号成立，此时，解得， 即当时，取最大值，C对； 对D：若，即，故， 所以，D正确． 故选：ACD. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值是2 B. 的最小值是2 C. 的最小值是2 D. 的最小值是4 【答案】BD 【解析】 【分析】根据基本不等式逐项判断. 【详解】对A，当时，，A错误； 对B，，则，，当且仅当即时取等号，B正确； 对C，，当且仅当，即时等号成立，但无实数解，因此C错误； 对D，，，当且仅当时取等号，D正确. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 函数在定义域内单调递减 B. ，且时，成立，则在上不是单调递增的 C. 若函数的单调递减区间是，则 D. 已知函数是定义在上的偶函数，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】函数在区间内单调递减，在上单调递减， 但是在定义域上不具有单调性，故A错误； 若对，且时，都有，称在上是单调递增函数， 若，且时，成立，则在上不是单调递增的，故B正确； 函数的对称轴为，所以函数的单调递减区间为， 又函数的单调递减区间是，所以，解得，故C正确； 因为函数是定义在上的偶函数，所以，解得. 所以函数是定义在上的偶函数， 所以对恒成立， 所以对恒成立， 所以对恒成立，所以，故D正确. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若复数，且满足，则点所围成的图形面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】在复平面中，表示复数对应点之间的距离． 【详解】由可知到的距离为1， 即点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆， 点所围成的图形面积为． 故答案为：． 13. 如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为______m． 【答案】 【解析】 【分析】由题设得，利用正弦定理求两点间的距离. 【详解】由题设， 在中，由正弦定理，得 ∴m. 故答案为：. 14. 已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图像，运用数形结合的思想可求得答案. 【详解】解：：首先画出函数的图像，令有两个不同的交点，根据图像分析，如果有两个不同的交点，． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对应函数的零点问题，就是函数与轴的交点，或可以将方程进行化简，转化为两个函数的交点问题，一般转化为两个简单，易画的函数． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. （1）如图，已知在梯形ABCD中，分别是DC，AB的中点，设试用为基底表示 （2）已知向量 ①求的坐标，； ②求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1），；（2）①，；② 【解析】 【详解】（1）由题意得，，； （2）①由题意得，，，则； ②向量与的夹角的余弦值为. 16. 计算 （1）． （2）已知，化简；若角是的内角，且，求的值． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）利用指数对数的运算性质即可求解. （2）利用诱导公式化简可得的表达式，由同角三角函数的基本关系求得的值，进而计算即可求解. 【小问1详解】 【小问2详解】 . 因为，所以， 又角是的内角，所以， 所以，所以. 17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若，，求，． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解B的大小． （2）利用正弦定理余弦定理，转化求解即可． 【详解】（1）在中， 由正弦定理，得． 又因为在中． 所以． 法一：因为，所以，因而． 所以， 所以． 法二：即， 所以，因为， 所以． （2）由正弦定理得， 而， 所以　，① 由余弦定理，得， 即， ② 把①代入②得. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 18. 已知函数是奇函数，. （1）求的值; （2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 （1）利用，计算得的值； （2）将不等式不等式恒成立转化为且同时恒成立，再转化为求最值即可. 【详解】（1）， 则或， 因为是奇函数， 故，， 即， 所以； （2）， 令，， 所以，. 易知，当时取等号， 所以， 又由， 故， 所以. 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，以及不等式恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，是关键，另外要注意对数的真数部分也要恒大于零，是一道中档题. 19. 已知，，函数． （1）求函数的解析式及对称中心； （2）若，且，求的值； （3）在锐角，角，，分别为，，三边所对的角，若，，求面积的取值范围． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据数量积坐标运算公式，再应用三角恒等变换化简，结合正弦函数对称中心计算求解； （2）根据二倍角公式计算化简结合弦切转化计算求解； （3）先求出，再应用正弦定理结合三角函数值域求解周长范围. 【小问1详解】 因为，， 所以 ， 即函数的解析式为 所以对称中心的横坐标满足，，解得，， 所以函数的对称中心， 【小问2详解】 因为， 所以 即 所以，即 又由得， 所以， 又 所以 【小问3详解】 若，，即， 可得，，所以，解得 由正弦定理可得：，即， 所以 ， 即 而在锐角三角形中，，可得， 所以，即， 所以三角形的面积的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新疆师范大学附属中学2025-2026学年下学期高一年级期中考试数学试题 考试时间：120分钟 命题人：刘华玲 审核人：惠燕 第I卷（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上） 1. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，其中，是虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，向量，，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在中，已知是边上一点，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角A，，的对边分别为，，，，则的形状一定为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 7. 已知函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 曲线的对称轴为 C. 在区间单调递增 D. 的最小值为 8. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为（其中为向量的夹角），余弦距离为.已知，若的余弦距离为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上） 9. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最大值为 D. 若，则 10. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值是2 B. 的最小值是2 C. 的最小值是2 D. 的最小值是4 11. 下列说法正确的是（ ） A. 函数在定义域内单调递减 B. ，且时，成立，则在上不是单调递增的 C. 若函数的单调递减区间是，则 D. 已知函数是定义在上的偶函数，则 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若复数，且满足，则点所围成的图形面积为__________. 13. 如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为______m． 14. 已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. （1）如图，已知在梯形ABCD中，分别是DC，AB的中点，设试用为基底表示 （2）已知向量 ①求的坐标，； ②求向量与的夹角的余弦值． 16. 计算 （1）． （2）已知，化简；若角是的内角，且，求的值． 17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若，，求，． 18. 已知函数是奇函数，. （1）求的值; （2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知，，函数． （1）求函数的解析式及对称中心； （2）若，且，求的值； （3）在锐角，角，，分别为，，三边所对的角，若，，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $