小升初奥数培优应用题：找次品问题（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初奥数培优应用题：找次品问题 【知识点梳理】 1. 问题背景与核心特征 “找次品”问题是经典的优化与逻辑推理问题。其核心特征是：利用天平（无砝码）通过比较重量，从一批外观相同的物品中找出一个质量不同（较轻或较重）的次品。 (1) 关键工具：天平。天平有三种状态：左重、右重、平衡。 (2) 核心假设： 1　 只有一个次品。 2　 次品的重量与正品不同（通常题目会告知是轻还是重，若未告知则难度倍增）。 3　 正品重量全部相同。 2. 基本策略：三分法 解决找次品问题的最优策略是三分法。即将待测物品尽量平均分成三份。 (1) 原理：天平有左盘、右盘、外部（不称）三个位置。 1　 若天平平衡，次品在外部的那一份。 2　 若天平不平衡，次品在较轻（或较重）的那一盘里。 (2) 结论：无论哪种情况，都能将搜索范围缩小到原来的 。 3. 核心公式与数据表 设称量次数为 ，能分辨的最大物品数量为 。 情形A：已知次品比正品轻（或重） 这是小升初最常见的考法。 (1) 公式： (2) 推导： 1　 ：最多测 个物品。（分1,1,1。称1vs1，平衡则第3个是次品，不平则轻/重者是次品） 2　 ：最多测 个物品。 3　 ：最多测 个物品。 4　 ：最多测 个物品。 (3) 逆向应用：若有 个物品，至少需要称量次数 满足 。 物品数量范围 至少称量次数 2 ~ 3 1 4 ~ 9 2 10 ~ 27 3 28 ~ 81 4 82 ~ 243 5 情形B：未知次品是轻还是重（拓展/竞赛级） 若题目未告知次品轻重，难度增加。 (1) 公式： （此公式较复杂，小升初较少涉及，通常通过具体逻辑推导）。 (2) 简化记忆： 1　 ：无法判断轻重，只能测2个（若平衡则无次品或第3个是次品但不知轻重，通常认为1次无法在3个中找出并确定轻重，除非允许额外标准件）。注：小学阶段通常默认已知轻重，或仅要求找出次品而不需确定轻重，此时仍参考 逻辑，但需更谨慎分组。 2　 本讲义主要聚焦于情形A（已知轻重或只需找出），这是小升初主流考点。 4. 解题思维模型 (1) 定次数：根据物品总数 ，查找 表，确定最少次数 。 (2) 分组策略： 1　 将物品分成3份，尽量平均。 2　 例如 8 个物品：分为 (3, 3, 2)。 3　 例如 10 个物品：分为 (3, 3, 4) 或 (4, 4, 2)？最优是 (3,3,4) 吗？ 若称 3 vs 3： 平衡：次品在4个中，还需2次（共3次）。 不平：次品在3个中，还需1次（共2次）。 最坏情况是3次。 若称 4 vs 4（剩2）： 平衡：次品在2个中，还需1次（共2次）。 不平：次品在4个中，还需2次（共3次）。 结论：尽量让三份的数量接近，最大那份不超过 。 (3) 执行称量：模拟天平状态，逐步缩小范围。 5. 常见变式类型 (1) 给定次数求最大数量：直接套用 。 (2) 给定数量求最少次数：寻找最小的 使得 。 (3) 具体操作方案：要求写出每一步怎么称。 (4) 有标准件辅助：若有足够的已知正品，策略可能微调，但三分法依然有效。 【培优练习】 【基础巩固篇】 1. 有3瓶钙片，其中1瓶少了3片（较轻）。用天平至少称几次能保证找出这瓶次品？ 【详解】 将3瓶分成 (1, 1, 1)。 天平两端各放1瓶。 若平衡，则剩下那瓶是次品。 若不平衡，轻的那瓶是次品。 只需称1次。 【答案】1次 2. 有9个零件，其中1个是次品（较轻）。用天平至少称几次能保证找出次品？ 【详解】 根据公式 ，理论上2次即可。 操作： 1. 分成 (3, 3, 3)。称第一组3个和第二组3个。 (1) 若平衡，次品在第三组3个中。 (2) 若不平，次品在轻的那组3个中。 2. 从含有次品的3个中，取2个称量 (1, 1, 1)。 (1) 若平衡，剩的是次品。 (2) 若不平，轻的是次品。 共需2次。 【答案】2次 3. 有27颗珍珠，其中1颗是假的（较轻）。用天平至少称几次能保证找出假珍珠？ 【详解】 。 1. 分成 (9, 9, 9)，称一次锁定9颗。 2. 9颗分成 (3, 3, 3)，称一次锁定3颗。 3. 3颗分成 (1, 1, 1)，称一次锁定1颗。 共需3次。 【答案】3次 4. 有5袋白糖，其中1袋质量不足（较轻）。至少称几次能保证找出？ 【详解】 。所以需要2次。 操作： 1. 分成 (2, 2, 1)。称 2 vs 2。 (1) 若平衡，剩下的1袋是次品（此时1次就找到了，但我们要保证“一定”找到，看最坏情况）。 (2) 若不平，次品在轻的2袋中。 2. 将轻的2袋分成 (1, 1)，称一次找出轻者。 最坏情况需2次。 【答案】2次 5. 有10个乒乓球，其中1个稍轻。至少称几次能保证找出？ 【详解】 。所以需要3次。 操作： 1. 分成 (3, 3, 4)。称 3 vs 3。 (1) 若平衡，次品在4个中。4个需2次（见下题逻辑）。总共1+2=3次。 (2) 若不平，次品在轻的3个中。3个需1次。总共1+1=2次。 (3) 保证找出，取最坏情况，即3次。 【答案】3次 【进阶提升篇】 6. 有81瓶水，其中1瓶是盐水（较重），其余是淡水。至少称几次能保证找出盐水？ 【详解】 。 直接对应公式，需4次。 每次三分：81 -> 27 -> 9 -> 3 -> 1。 【答案】4次 7. 有20个零件，其中1个次品（较轻）。至少称几次？ 【详解】 。需3次。 验证： 分成 (7, 7, 6)。称 7 vs 7。 若平衡，次品在6个中。6个需2次（ ）。总3次。 若不平，次品在7个中。7个需2次（ ）。总3次。 【答案】3次 8. 有100个硬币，其中1个较轻。至少称几次？ 【详解】 。 需5次。 【答案】5次 9. 老师有15盒粉笔，其中1盒用了几支（较轻）。至少称几次？ 【详解】 。 需3次。 【答案】3次 【综合应用篇】 10. 有25个物品，1个较轻。至少称几次？ 【详解】 。 需3次。 【答案】3次 11. 有8个网球，1个较轻。请设计一种方案，保证2次找出。 【详解】 1. 将8个分成 (3, 3, 2)。 2. 第一次：天平两边各放3个。 (1) 情况A：平衡。次品在剩下的2个中。 第二次：称这2个 (1 vs 1)，轻者为次品。 (2) 情况B：不平衡。次品在轻的3个中。 第二次：从这3个中取2个称 (1 vs 1)。 若平衡，第3个是次品。 若不平，轻者是次品。 【答案】方案如上，2次。 12. 有1001个零件，1个次品（较轻）。至少称几次？ 【详解】 需7次。 【答案】7次 13. 某工厂生产了64个零件，其中1个不合格（较轻）。质检员用天平称，至少称几次能保证找出？ 【详解】 需4次。 【答案】4次 14. 有18枚金币，1枚较轻。至少称几次？ 【详解】 需3次。 【答案】3次 【高阶挑战篇】 15. 有243瓶药，其中1瓶是毒药（重量与其他不同，较轻）。至少称几次？ 【详解】 。 正好是3的5次方。 需5次。 【答案】5次 16. 有50个乒乓球，1个次品（较轻）。至少称几次？ 【详解】 需4次。 【答案】4次 17. 有80个棋子，1个较轻。至少称几次？如果第一次称量时，天平平衡，那么次品在多少个棋子中？ 【详解】 第一问： 。需4次。 第二问：为了效率最高，第一次应尽量平均分。 80分成 (27, 27, 26)。 天平两边各放27个。 若平衡，次品在剩下的26个中。 【答案】4次；26个 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优应用题：找次品问题 【知识点梳理】 1. 问题背景与核心特征 “找次品”问题是经典的优化与逻辑推理问题。其核心特征是：利用天平（无砝码）通过比较重量，从一批外观相同的物品中找出一个质量不同（较轻或较重）的次品。 (1) 关键工具：天平。天平有三种状态：左重、右重、平衡。 (2) 核心假设： 1　 只有一个次品。 2　 次品的重量与正品不同（通常题目会告知是轻还是重，若未告知则难度倍增）。 3　 正品重量全部相同。 2. 基本策略：三分法 解决找次品问题的最优策略是三分法。即将待测物品尽量平均分成三份。 (1) 原理：天平有左盘、右盘、外部（不称）三个位置。 1　 若天平平衡，次品在外部的那一份。 2　 若天平不平衡，次品在较轻（或较重）的那一盘里。 (2) 结论：无论哪种情况，都能将搜索范围缩小到原来的 。 3. 核心公式与数据表 设称量次数为 ，能分辨的最大物品数量为 。 情形A：已知次品比正品轻（或重） 这是小升初最常见的考法。 (1) 公式： (2) 推导： 1　 ：最多测 个物品。（分1,1,1。称1vs1，平衡则第3个是次品，不平则轻/重者是次品） 2　 ：最多测 个物品。 3　 ：最多测 个物品。 4　 ：最多测 个物品。 (3) 逆向应用：若有 个物品，至少需要称量次数 满足 。 物品数量范围 至少称量次数 2 ~ 3 1 4 ~ 9 2 10 ~ 27 3 28 ~ 81 4 82 ~ 243 5 情形B：未知次品是轻还是重（拓展/竞赛级） 若题目未告知次品轻重，难度增加。 (1) 公式： （此公式较复杂，小升初较少涉及，通常通过具体逻辑推导）。 (2) 简化记忆： 1　 ：无法判断轻重，只能测2个（若平衡则无次品或第3个是次品但不知轻重，通常认为1次无法在3个中找出并确定轻重，除非允许额外标准件）。注：小学阶段通常默认已知轻重，或仅要求找出次品而不需确定轻重，此时仍参考 逻辑，但需更谨慎分组。 2　 本讲义主要聚焦于情形A（已知轻重或只需找出），这是小升初主流考点。 4. 解题思维模型 (1) 定次数：根据物品总数 ，查找 表，确定最少次数 。 (2) 分组策略： 1　 将物品分成3份，尽量平均。 2　 例如 8 个物品：分为 (3, 3, 2)。 3　 例如 10 个物品：分为 (3, 3, 4) 或 (4, 4, 2)？最优是 (3,3,4) 吗？ 若称 3 vs 3： 平衡：次品在4个中，还需2次（共3次）。 不平：次品在3个中，还需1次（共2次）。 最坏情况是3次。 若称 4 vs 4（剩2）： 平衡：次品在2个中，还需1次（共2次）。 不平：次品在4个中，还需2次（共3次）。 结论：尽量让三份的数量接近，最大那份不超过 。 (3) 执行称量：模拟天平状态，逐步缩小范围。 5. 常见变式类型 (1) 给定次数求最大数量：直接套用 。 (2) 给定数量求最少次数：寻找最小的 使得 。 (3) 具体操作方案：要求写出每一步怎么称。 (4) 有标准件辅助：若有足够的已知正品，策略可能微调，但三分法依然有效。 【培优练习】 【基础巩固篇】 1. 有3瓶钙片，其中1瓶少了3片（较轻）。用天平至少称几次能保证找出这瓶次品？ 2. 有9个零件，其中1个是次品（较轻）。用天平至少称几次能保证找出次品？ 3. 有27颗珍珠，其中1颗是假的（较轻）。用天平至少称几次能保证找出假珍珠？ 4. 有5袋白糖，其中1袋质量不足（较轻）。至少称几次能保证找出？ 5. 有10个乒乓球，其中1个稍轻。至少称几次能保证找出？ 【进阶提升篇】 6. 有81瓶水，其中1瓶是盐水（较重），其余是淡水。至少称几次能保证找出盐水？ 7. 有20个零件，其中1个次品（较轻）。至少称几次？ 8. 有100个硬币，其中1个较轻。至少称几次？ 9. 老师有15盒粉笔，其中1盒用了几支（较轻）。至少称几次？ 【综合应用篇】 10. 有25个物品，1个较轻。至少称几次？ 11. 有8个网球，1个较轻。请设计一种方案，保证2次找出。 12. 有1001个零件，1个次品（较轻）。至少称几次？ 13. 某工厂生产了64个零件，其中1个不合格（较轻）。质检员用天平称，至少称几次能保证找出？ 14. 有18枚金币，1枚较轻。至少称几次？ 【高阶挑战篇】 15. 有243瓶药，其中1瓶是毒药（重量与其他不同，较轻）。至少称几次？ 16. 有50个乒乓球，1个次品（较轻）。至少称几次？ 17. 有80个棋子，1个较轻。至少称几次？如果第一次称量时，天平平衡，那么次品在多少个棋子中？ 学科网（北京）股份有限公司 $