小升初奥数培优应用题：工程问题（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

**基本信息** 以单位“1”为核心构建“公式-题型-技巧”三阶方法体系，通过分层训练培养抽象能力与模型意识，系统突破工程问题。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|5类题型+4技巧|基本公式为基，合作效率、周期法、假设法、方程法分层突破|从基本公式到5类典型题型（合作/轮流/效率变化/水管/牛吃草），结合4大技巧（统一单位、设而不求等）形成完整逻辑链| |分层练习|19题（基础5+进阶5+高阶9）|基础巩固公式应用，进阶强化多变量关系，高阶突出综合情境|由单一到综合，从具体到抽象，逐步提升问题解决与推理能力|

小升初奥数培优应用题：工程问题 【知识点梳理】 1. 基本公式 在工程问题中，通常不关注具体的工作量数值，而是关注相对比例。 (1) 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 (2) 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间 (3) 工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率 关键设定： 通常设工作总量为单位“1”。如果甲单独做需要 天完成，则甲的工作效率为 ；如果乙单独做需要 天完成，则乙的工作效率为 。 2. 常见题型与解题策略 (1) 基本合作问题 1　 情境：甲、乙两人合作完成一项工程。 2　 思路：合作效率 = 甲效率 + 乙效率。 3　 公式：合作时间 = 。 (2) 轮流工作与中途休息 1　 情境：甲做几天，乙做几天；或者甲中途休息了几天。 2　 思路： 轮流工作：寻找周期。计算一个周期（如甲1天+乙1天）完成的工作量，看总工作量包含多少个完整周期，剩余部分再单独计算。 中途休息：假设所有人都全程工作，计算多算的工作量，或者扣除休息期间未做的工作量。常用方程法或假设法。 (3) 效率变化问题 1　 情境：某人的效率提高了或降低了。 2　 思路：先求出原效率，根据变化比例求出新效率，再分段计算工作时间或工作量。注意区分“提高到”和“提高了”。 (4) 水管问题（特殊工程问题） 1　 情境：进水管注水，出水管排水。 2　 思路： 只进不出：效率为正。 只出不进：效率为负（或视为减少水量）。 同时进出：净效率 = 进水效率 - 出水效率。 注意：若净效率为负，说明永远注不满；若中间有关闭过程，需分段计算。 (5) 牛吃草问题（变种工程问题） 1　 情境：草地原有草量固定，每天均匀生长，牛每天吃草量固定。 2　 思路： 设每头牛每天吃草量为“1”。 草的生长速度 = (牛头数1 × 天数1 - 牛头数2 × 天数2) ÷ (天数1 - 天数2)。 原有草量 = 牛头数 × 天数 - 草的生长速度 × 天数。 3. 解题技巧总结 (1) 统一单位：确保时间单位一致（如都化为小时或天）。 (2) 设而不求：有时不需要算出具体效率值，利用比例关系更快捷。 (3) 方程思想：对于复杂的多阶段问题，设未知数建立方程往往比算术方法更清晰。 (4) 整体法：将多个人的工作看作一个整体，或者将整个过程看作几个阶段的叠加。 【培优练习】 【基础巩固篇】 1. 一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。两人合作需要多少天完成？ 【详解】 设工作总量为1。 甲的效率为 ，乙的效率为 。 两人合作的效率和为： 。 合作所需时间： （天）。 【答案】6天 2. 修一条路，甲队单独修需12天，乙队单独修需18天。甲队先修3天，剩下的由乙队单独修，还需要多少天？ 【详解】 甲队3天完成的工作量： 。 剩余工作量： 。 乙队单独修所需时间： （天）。 【答案】13.5天 3. 一份稿件，甲单独打需6小时，乙单独打需8小时。两人合打2小时后，还剩下几分之几没打？ 【详解】 甲效率 ，乙效率 。 两人合作效率： 。 2小时完成的工作量： 。 剩余工作量： 。 【答案】 4. 一个水池，单开进水管4小时注满，单开出水管6小时放完。如果两管同时打开，多少小时能注满水池？ 【详解】 进水效率 ，出水效率 。 净进水效率： 。 注满所需时间： （小时）。 【答案】12小时 5. 甲、乙两人加工一批零件，甲单独做需10小时，乙单独做需15小时。两人合作几小时后，还剩这批零件的 ？ 【详解】 已完成的工作量： 。 合作效率： 。 所需时间： （小时）。 【答案】5小时 【进阶提升篇】 6. 一项工程，甲独做12天完成，乙独做18天完成。现在甲先做若干天后，由乙接着做完，共用14天。甲做了多少天？ 【详解】 设甲做了 天，则乙做了 天。 根据工作总量为1列方程： 两边同乘36： 【答案】8天 7. 甲、乙合作一项工程，12天可以完成。如果甲先做8天，乙再做6天，完成了工程的 。求甲、乙单独做各需多少天？ 【详解】 设甲效率为 ，乙效率为 。 由题意得： 1. 2. 由1)得 ，代入2)： ，所以甲单独做需20天。 ，所以乙单独做需30天。 【答案】甲20天，乙30天 8. 一件工作，甲、乙合作需10天完成，乙、丙合作需12天完成，甲、丙合作需15天完成。三人合作需多少天完成？ 【详解】 三式相加： 三人合作时间： （天）。 【答案】8天 9. 一项工程，甲单独做需20天，乙单独做需30天。两人合作，中途甲休息了2天，乙没有休息。完成这项工程共用了多少天？ 【详解】 设共用了 天。 乙工作了 天，甲工作了 天。 两边同乘60： （天） 【答案】13.2天 10. 水池有甲、乙两个进水管和一个丙出水管。单开甲6小时注满，单开乙8小时注满，单开丙12小时放完。三管齐开，多少小时注满？ 【详解】 净效率： 时间： （小时）。 【答案】4.8小时 【高阶培优篇】 11. 一项工程，甲单独做需10天，乙单独做需15天。两人合作，中途甲因事离开几天，结果共用8天完成。甲离开了几天？ 【详解】 乙全程工作8天，完成工作量： 。 剩余工作量由甲完成： 。 甲工作的天数： （天）。 甲离开的天数： （天）。 【答案】 天（或 天） 12. 甲、乙两队合修一条公路，计划8天完成。实际工作中，甲队休息了2天，乙队休息了3天，结果比计划推迟1天完成。已知甲队单独做需12天，求乙队单独做需多少天？ 【详解】 实际用时： 天。 甲实际工作： 天。 乙实际工作： 天。 甲完成工作量： 。 乙完成工作量： 。 乙的效率： 。 乙单独做所需时间： （天）。 【答案】14.4天 13. 有一项工程，甲、乙合作12天完成，乙、丙合作15天完成，甲、丙合作20天完成。若甲、乙、丙三人合作，其中甲中途休息了2天，丙中途休息了3天，乙一直工作，问完成这项工程共需多少天？ 【详解】 首先求三人效率： 相加除以2得： 。 分别求得： 设共需 天。 乙工作 天，甲工作 天，丙工作 天。 两边同乘60： （天）。 【答案】 天 14. 一个水池，底部有一个常开的排水管。上部有若干个同样的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时注满；当打开2个进水管时，需要15小时注满。现在要在2小时内注满水池，至少需要打开几个进水管？ 【详解】 这是典型的“牛吃草”变种问题。 设每个进水管每小时进水量为1，排水管每小时排水量为 ，水池原有空余容量（或需注入总量）为 。注意：这里通常理解为水池是空的，但要克服排水。更准确的模型是：净进水量 = 进水管数 - 排水速度。 设水池总容量为1（或者设为具体数值方便计算，这里设总容量为 ）。 为了简化，设每个进水管效率为1，排水效率为 ，总工作量为 。 联立： 。 。 现在要求2小时注满，设需要 个进水管： 因为管子数量必须是整数，且要“至少”，所以取9个。 【答案】9个 15. 甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，相遇后继续前进。甲到达B地后立即返回，乙到达A地后立即返回。已知甲的速度是乙的1.5倍。第二次相遇点距离第一次相遇点30千米。求A、B两地距离。 【详解】 虽然这是行程问题，但可用工程问题的“比例法”思维解决，或者视为共同完成路程的工程。 设AB距离为 。 速度比 。 第一次相遇：两人共走 。甲走了 ，乙走了 。相遇点距A地 。 第二次相遇：两人共走 。甲总共走了 。 甲的位置： 。即甲到达B后返回，距B地 ，也就是距A地 。 两次相遇点的距离： 。 （千米）。 【答案】75千米 16. 一项工程，甲单独做需12天，乙单独做需18天。如果甲先做3天，然后乙加入合作，还需多少天完成？ 【详解】 甲3天完成： 。 剩余： 。 合作效率： 。 还需时间： （天）。 【答案】5.4天 17. 某工程由甲、乙、丙三人合作需10天完成。若甲休息5天，乙休息3天，丙休息2天，工程延期4天完成。已知甲的效率是乙的2倍，乙的效率是丙的2倍。求甲单独做需多少天？ 【详解】 设丙效率为 ，则乙为 ，甲为 。 总效率 。总工作量 。 实际用时 天。 甲工作 天，乙工作 天，丙工作 天。 （恒成立，说明题目条件自洽，需直接求甲的时间）。 甲单独做时间： （天）。 【答案】17.5天 18. 一个蓄水池有甲、乙两个进水管。单开甲管10小时注满，单开乙管15小时注满。现两管同时开放，中途甲管因故障关闭，乙管继续注水，前后共用9小时注满。甲管关闭了多少小时？ 【详解】 乙全程工作9小时，注水： 。 甲注水： 。 甲工作时间： （小时）。 甲关闭时间： （小时）。 【答案】5小时 19. 一项工作，甲、乙合作需12天完成。若甲先做5天，乙再做9天，可完成工作的 。求甲、乙单独做各需多少天？ 【详解】 设甲效率 ，乙效率 。 将 代入第二式： ，乙单独做需24天。 ，甲单独做需24天。 【答案】甲24天，乙24天 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优应用题：工程问题 【知识点梳理】 1. 基本公式 在工程问题中，通常不关注具体的工作量数值，而是关注相对比例。 (1) 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 (2) 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间 (3) 工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率 关键设定： 通常设工作总量为单位“1”。如果甲单独做需要 天完成，则甲的工作效率为 ；如果乙单独做需要 天完成，则乙的工作效率为 。 2. 常见题型与解题策略 (1) 基本合作问题 1　 情境：甲、乙两人合作完成一项工程。 2　 思路：合作效率 = 甲效率 + 乙效率。 3　 公式：合作时间 = 。 (2) 轮流工作与中途休息 1　 情境：甲做几天，乙做几天；或者甲中途休息了几天。 2　 思路： 轮流工作：寻找周期。计算一个周期（如甲1天+乙1天）完成的工作量，看总工作量包含多少个完整周期，剩余部分再单独计算。 中途休息：假设所有人都全程工作，计算多算的工作量，或者扣除休息期间未做的工作量。常用方程法或假设法。 (3) 效率变化问题 1　 情境：某人的效率提高了或降低了。 2　 思路：先求出原效率，根据变化比例求出新效率，再分段计算工作时间或工作量。注意区分“提高到”和“提高了”。 (4) 水管问题（特殊工程问题） 1　 情境：进水管注水，出水管排水。 2　 思路： 只进不出：效率为正。 只出不进：效率为负（或视为减少水量）。 同时进出：净效率 = 进水效率 - 出水效率。 注意：若净效率为负，说明永远注不满；若中间有关闭过程，需分段计算。 (5) 牛吃草问题（变种工程问题） 1　 情境：草地原有草量固定，每天均匀生长，牛每天吃草量固定。 2　 思路： 设每头牛每天吃草量为“1”。 草的生长速度 = (牛头数1 × 天数1 - 牛头数2 × 天数2) ÷ (天数1 - 天数2)。 原有草量 = 牛头数 × 天数 - 草的生长速度 × 天数。 3. 解题技巧总结 (1) 统一单位：确保时间单位一致（如都化为小时或天）。 (2) 设而不求：有时不需要算出具体效率值，利用比例关系更快捷。 (3) 方程思想：对于复杂的多阶段问题，设未知数建立方程往往比算术方法更清晰。 (4) 整体法：将多个人的工作看作一个整体，或者将整个过程看作几个阶段的叠加。 【培优练习】 【基础巩固篇】 1. 一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。两人合作需要多少天完成？ 2. 修一条路，甲队单独修需12天，乙队单独修需18天。甲队先修3天，剩下的由乙队单独修，还需要多少天？ 3. 一份稿件，甲单独打需6小时，乙单独打需8小时。两人合打2小时后，还剩下几分之几没打？ 4. 一个水池，单开进水管4小时注满，单开出水管6小时放完。如果两管同时打开，多少小时能注满水池？ 5. 甲、乙两人加工一批零件，甲单独做需10小时，乙单独做需15小时。两人合作几小时后，还剩这批零件的 ？ 【进阶提升篇】 6. 一项工程，甲独做12天完成，乙独做18天完成。现在甲先做若干天后，由乙接着做完，共用14天。甲做了多少天？ 7. 甲、乙合作一项工程，12天可以完成。如果甲先做8天，乙再做6天，完成了工程的 。求甲、乙单独做各需多少天？ 8. 一件工作，甲、乙合作需10天完成，乙、丙合作需12天完成，甲、丙合作需15天完成。三人合作需多少天完成？ 9. 一项工程，甲单独做需20天，乙单独做需30天。两人合作，中途甲休息了2天，乙没有休息。完成这项工程共用了多少天？ 10. 水池有甲、乙两个进水管和一个丙出水管。单开甲6小时注满，单开乙8小时注满，单开丙12小时放完。三管齐开，多少小时注满？ 【高阶培优篇】 11. 一项工程，甲单独做需10天，乙单独做需15天。两人合作，中途甲因事离开几天，结果共用8天完成。甲离开了几天？ 12. 甲、乙两队合修一条公路，计划8天完成。实际工作中，甲队休息了2天，乙队休息了3天，结果比计划推迟1天完成。已知甲队单独做需12天，求乙队单独做需多少天？ 13. 有一项工程，甲、乙合作12天完成，乙、丙合作15天完成，甲、丙合作20天完成。若甲、乙、丙三人合作，其中甲中途休息了2天，丙中途休息了3天，乙一直工作，问完成这项工程共需多少天？ 14. 一个水池，底部有一个常开的排水管。上部有若干个同样的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时注满；当打开2个进水管时，需要15小时注满。现在要在2小时内注满水池，至少需要打开几个进水管？ 15. 甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，相遇后继续前进。甲到达B地后立即返回，乙到达A地后立即返回。已知甲的速度是乙的1.5倍。第二次相遇点距离第一次相遇点30千米。求A、B两地距离。 16. 一项工程，甲单独做需12天，乙单独做需18天。如果甲先做3天，然后乙加入合作，还需多少天完成？ 17. 某工程由甲、乙、丙三人合作需10天完成。若甲休息5天，乙休息3天，丙休息2天，工程延期4天完成。已知甲的效率是乙的2倍，乙的效率是丙的2倍。求甲单独做需多少天？ 18. 一个蓄水池有甲、乙两个进水管。单开甲管10小时注满，单开乙管15小时注满。现两管同时开放，中途甲管因故障关闭，乙管继续注水，前后共用9小时注满。甲管关闭了多少小时？ 19. 一项工作，甲、乙合作需12天完成。若甲先做5天，乙再做9天，可完成工作的 。求甲、乙单独做各需多少天？ 学科网（北京）股份有限公司 $