小升初奥数培优应用题：追及问题（专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初奥数培优应用题：追及问题 【知识点梳理】 1. 基本公式与概念 (1) 核心三要素： 1　 速度差 ( )：快者速度 - 慢者速度。 2　 路程差 ( )：追及开始时，两者之间的距离。 3　 追及时间 ( )：快者追上慢者所需的时间。 (2) 基本公式： 变形公式： 2. 常见模型分类 (1) 直线追及模型 1　 同时不同地：两人同时出发，但起点不同。路程差即为初始间距。 2　 同地不同时：一人先出发，另一人后出发。路程差即为先出发者在等待时间内走过的路程。 3　 注意：若快者在后，慢者在前，且 ，则一定能追上；若 ，则永远追不上。 (2) 环形跑道追及模型 在封闭的环形跑道上，同向而行： 1　 第一次追上：快者比慢者多跑一圈（周长）。 2　 第 次追上：快者比慢者多跑 圈。 3　 关键点：每次追上，两人的路程差增加一个周长。 (3) 特殊情境模型 (1) 火车追及： 1　 快车追慢车（从车头对齐到车尾离开）：路程差 = 两车车长之和。 2　 快车追慢车（从车头对齐到车头对齐/完全超越）：通常指完全超越，路程差 = 两车车长之和。若仅指车头追上，路程差为0（同起点）或初始间距。注：奥数中“追上”通常指完全超越，需根据题意判断是否包含车身长度。 (2) 时钟问题： 1　 分针追时针：分针速度 /分，时针速度 /分，速度差 /分。 2　 重合即追上，路程差为初始夹角。 3. 解题策略与技巧 (1) 画图辅助：务必画出线段图或环形图，标出起点、终点、方向及初始距离。 (2) 统一单位：确保速度、时间、路程的单位一致（如千米/小时与米/秒的换算）。 (3) 寻找不变量：在多次追及或变速问题中，寻找“路程差不变”或“时间相同”等隐含条件。 (4) 比例法：当时间相同时，路程比等于速度比；当路程相同时，时间比等于速度的反比。利用比例可简化计算。 【培优练习】 【基础巩固篇】 1. 甲、乙两人相距100米，甲在前，乙在后，甲每秒走4米，乙每秒走6米。两人同时同向出发，乙多久能追上甲？ 2. 小明和小红在操场跑步，小明每秒跑5米，小红每秒跑3米。如果小红先跑10秒，小明再开始追，小明需要多少秒才能追上小红？ 3. 一辆汽车以60千米/小时的速度行驶，前方20千米处有一辆自行车以15千米/小时的速度同向行驶。汽车多久能追上自行车？ 4. 猎狗发现前方30米处有一只狐狸，猎狗每秒跑10米，狐狸每秒跑7米。猎狗追上狐狸时，猎狗跑了多少米？ 5. 哥哥和弟弟从家去学校，弟弟每分钟走60米，哥哥每分钟走80米。弟弟出发5分钟后，哥哥才出发。哥哥出发后几分钟能追上弟弟？ 【进阶提升篇】 6. 甲、乙两人在400米的环形跑道上跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑3米。两人从同一地点同时同向出发，甲第一次追上乙需要多少秒？ 7. 甲、乙两人在400米的环形跑道上跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑3米。两人从同一地点同时同向出发，甲第二次追上乙时，甲一共跑了多少米？ 8. 一列快车长150米，速度25米/秒；一列慢车长200米，速度15米/秒。两车同向行驶，快车从后面追上慢车，从快车头追上慢车尾到快车尾离开慢车头（即完全超越），需要多少秒？ 9. 钟表上3点整时，时针和分针成90度角。问经过多少分钟，分针第一次追上时针（即重合）？ 10. 甲、乙两地相距120千米，A车从甲地出发，B车从乙地出发，同向而行（A在后，B在前）。A车速度80千米/小时，B车速度50千米/小时。A车多久能追上B车？ 【思维拓展篇】 11. 甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，跑道长400米。甲的速度是乙的1.5倍。如果两人从同一地点同时同向出发，甲第一次追上乙时，乙跑了多少米？ 12. 一艘轮船在静水中的速度是20千米/小时，水流速度是4千米/小时。轮船从上游A港到下游B港，另一艘快艇同时从B港返回A港（逆流）。已知A、B两港相距120千米。若改为同向追及问题：轮船从A出发顺流而下，1小时后，快艇从A出发顺流而下追赶轮船。快艇在静水中速度30千米/小时。快艇多久能追上轮船？ 13. 甲、乙、丙三人进行百米赛跑。当甲到达终点时，乙离终点还有10米，丙离终点还有20米。如果乙和丙保持原速继续跑，当乙到达终点时，丙离终点还有多少米？ 14. 一个坏人骑自行车以200米/分的速度逃跑，警察骑摩托车以500米/分的速度追击。坏人出发5分钟后，警察才出发。警察出发时，坏人已经跑了多远？警察需要多久才能追上？ 15. 在一条笔直的公路上，A、B两车同向行驶。A车在前，速度60千米/小时；B车在后，速度90千米/小时。上午10:00时，两车相距45千米。问几点几分B车追上A车？ 【综合挑战篇】 16. 甲、乙两人在周长为600米的环形跑道上散步。甲每分钟走60米，乙每分钟走40米。若两人从同一地点同时出发，背向而行，多久第一次相遇？若同向而行，多久甲第一次追上乙？ 17. 某队伍长120米，以2米/秒的速度前进。通讯员从队尾以6米/秒的速度跑到队首传达命令，然后立即以原速返回队尾。求通讯员往返一次共用了多少时间？ 18. 甲、乙两车同时从A地出发前往B地。甲车每小时行60千米，乙车每小时行40千米。甲车到达B地后立即返回，在距B地30千米处与乙车相遇。求A、B两地的距离。 19. 甲、乙两人绕湖跑步，湖周长3000米。甲速200米/分，乙速150米/分。两人从同一地点同时同向出发。当甲第三次追上乙时，甲离出发点多少米？ 20. 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯慢，于是从扶梯上走向楼上。男孩每分钟走20级，女孩每分钟走15级。结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问该扶梯共有多少级？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优应用题：追及问题 【知识点梳理】 1. 基本公式与概念 (1) 核心三要素： 1　 速度差 ( )：快者速度 - 慢者速度。 2　 路程差 ( )：追及开始时，两者之间的距离。 3　 追及时间 ( )：快者追上慢者所需的时间。 (2) 基本公式： 变形公式： 2. 常见模型分类 (1) 直线追及模型 1　 同时不同地：两人同时出发，但起点不同。路程差即为初始间距。 2　 同地不同时：一人先出发，另一人后出发。路程差即为先出发者在等待时间内走过的路程。 3　 注意：若快者在后，慢者在前，且 ，则一定能追上；若 ，则永远追不上。 (2) 环形跑道追及模型 在封闭的环形跑道上，同向而行： 1　 第一次追上：快者比慢者多跑一圈（周长）。 2　 第 次追上：快者比慢者多跑 圈。 3　 关键点：每次追上，两人的路程差增加一个周长。 (3) 特殊情境模型 (1) 火车追及： 1　 快车追慢车（从车头对齐到车尾离开）：路程差 = 两车车长之和。 2　 快车追慢车（从车头对齐到车头对齐/完全超越）：通常指完全超越，路程差 = 两车车长之和。若仅指车头追上，路程差为0（同起点）或初始间距。注：奥数中“追上”通常指完全超越，需根据题意判断是否包含车身长度。 (2) 时钟问题： 1　 分针追时针：分针速度 /分，时针速度 /分，速度差 /分。 2　 重合即追上，路程差为初始夹角。 3. 解题策略与技巧 (1) 画图辅助：务必画出线段图或环形图，标出起点、终点、方向及初始距离。 (2) 统一单位：确保速度、时间、路程的单位一致（如千米/小时与米/秒的换算）。 (3) 寻找不变量：在多次追及或变速问题中，寻找“路程差不变”或“时间相同”等隐含条件。 (4) 比例法：当时间相同时，路程比等于速度比；当路程相同时，时间比等于速度的反比。利用比例可简化计算。 【培优练习】 【基础巩固篇】 1. 甲、乙两人相距100米，甲在前，乙在后，甲每秒走4米，乙每秒走6米。两人同时同向出发，乙多久能追上甲？ 【详解】 速度差 (米/秒)。 路程差 米。 追及时间 (秒)。 【答案】50秒。 2. 小明和小红在操场跑步，小明每秒跑5米，小红每秒跑3米。如果小红先跑10秒，小明再开始追，小明需要多少秒才能追上小红？ 【详解】 小红先跑的路程（即路程差） (米)。 速度差 (米/秒)。 追及时间 (秒)。 【答案】15秒。 3. 一辆汽车以60千米/小时的速度行驶，前方20千米处有一辆自行车以15千米/小时的速度同向行驶。汽车多久能追上自行车？ 【详解】 速度差 (千米/小时)。 路程差 千米。 追及时间 (小时)。 小时 (分钟)。 【答案】 小时（或约26.67分钟）。 4. 猎狗发现前方30米处有一只狐狸，猎狗每秒跑10米，狐狸每秒跑7米。猎狗追上狐狸时，猎狗跑了多少米？ 【详解】 速度差 (米/秒)。 追及时间 (秒)。 猎狗跑的路程 (米)。 【答案】100米。 5. 哥哥和弟弟从家去学校，弟弟每分钟走60米，哥哥每分钟走80米。弟弟出发5分钟后，哥哥才出发。哥哥出发后几分钟能追上弟弟？ 【详解】 弟弟先走的路程 (米)。 速度差 (米/分)。 追及时间 (分钟)。 【答案】15分钟。 【进阶提升篇】 6. 甲、乙两人在400米的环形跑道上跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑3米。两人从同一地点同时同向出发，甲第一次追上乙需要多少秒？ 【详解】 环形跑道同向出发，第一次追上意味着甲比乙多跑一圈。 路程差 米。 速度差 (米/秒)。 追及时间 (秒)。 【答案】200秒。 7. 接上题，甲第二次追上乙时，甲一共跑了多少米？ 【详解】 第二次追上，甲比乙多跑2圈。 总路程差 米。 追及总时间 (秒)。 甲跑的总路程 (米)。 【答案】2000米。 8. 一列快车长150米，速度25米/秒；一列慢车长200米，速度15米/秒。两车同向行驶，快车从后面追上慢车，从快车头追上慢车尾到快车尾离开慢车头（即完全超越），需要多少秒？ 【详解】 完全超越的过程，快车比慢车多跑的距离 = 快车长 + 慢车长。 路程差 (米)。 速度差 (米/秒)。 追及时间 (秒)。 【答案】35秒。 9. 钟表上3点整时，时针和分针成90度角。问经过多少分钟，分针第一次追上时针（即重合）？ 【详解】 分针速度 /分，时针速度 /分，速度差 /分。 3点整时，分针落后时针 （路程差）。 追及时间 (分钟)。 【答案】 分钟。 10. 甲、乙两地相距120千米，A车从甲地出发，B车从乙地出发，同向而行（A在后，B在前）。A车速度80千米/小时，B车速度50千米/小时。A车多久能追上B车？ 【详解】 路程差 千米。 速度差 (千米/小时)。 追及时间 (小时)。 【答案】4小时。 【思维拓展篇】 11. 甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，跑道长400米。甲的速度是乙的1.5倍。如果两人从同一地点同时同向出发，甲第一次追上乙时，乙跑了多少米？ 【详解】 设乙的速度为 ，则甲的速度为 。 速度差 。 第一次追上，路程差为400米。 追及时间 。 乙跑的路程 (米)。 另解（比例法）：速度比 ，相同时间内路程比 。甲比乙多跑1份，对应400米。乙跑2份，即 米。 【答案】800米。 12. 一艘轮船在静水中的速度是20千米/小时，水流速度是4千米/小时。轮船从上游A港到下游B港，另一艘快艇同时从B港返回A港（逆流）。已知A、B两港相距120千米。若改为同向追及问题：轮船从A出发顺流而下，1小时后，快艇从A出发顺流而下追赶轮船。快艇在静水中速度30千米/小时。快艇多久能追上轮船？ 【详解】 轮船顺流速度 (千米/小时)。 快艇顺流速度 (千米/小时)。 轮船先走1小时，路程差 (千米)。 速度差 (千米/小时)。 追及时间 (小时)。 【答案】2.4小时。 13. 甲、乙、丙三人进行百米赛跑。当甲到达终点时，乙离终点还有10米，丙离终点还有20米。如果乙和丙保持原速继续跑，当乙到达终点时，丙离终点还有多少米？ 【详解】 此题虽非典型追及，但可利用速度比转化。 甲跑100米时，乙跑90米，丙跑80米。 速度比 。 当乙到达终点时，乙又跑了10米。 设丙此时跑了 米。 米。 丙总共跑了 米。 丙离终点距离 (米)。 【答案】 米。 14. 一个坏人骑自行车以200米/分的速度逃跑，警察骑摩托车以500米/分的速度追击。坏人出发5分钟后，警察才出发。警察出发时，坏人已经跑了多远？警察需要多久才能追上？ 【详解】 坏人先跑距离 (米)。 速度差 (米/分)。 追及时间 (分钟)。 【答案】坏人先跑1000米，警察需 分钟追上。 15. 在一条笔直的公路上，A、B两车同向行驶。A车在前，速度60千米/小时；B车在后，速度90千米/小时。上午10:00时，两车相距45千米。问几点几分B车追上A车？ 【详解】 速度差 (千米/小时)。 路程差 千米。 追及时间 (小时) = 1小时30分。 10:00 经过 1小时30分 是 11:30。 【答案】11:30。 【综合挑战篇】 16. 甲、乙两人在周长为600米的环形跑道上散步。甲每分钟走60米，乙每分钟走40米。若两人从同一地点同时出发，背向而行，多久第一次相遇？若同向而行，多久甲第一次追上乙？ 【详解】 (1) 背向相遇（相遇问题）： 速度和 (米/分)。 时间 (分钟)。 (2) 同向追及： 速度差 (米/分)。 路程差 米。 时间 (分钟)。 【答案】背向6分钟相遇，同向30分钟追上。 17. 某队伍长120米，以2米/秒的速度前进。通讯员从队尾以6米/秒的速度跑到队首传达命令，然后立即以原速返回队尾。求通讯员往返一次共用了多少时间？ 【详解】 去程（追及问题）：通讯员追队首。 路程差 = 队伍长 = 120米。 速度差 (米/秒)。 去程时间 (秒)。 回程（相遇问题）：通讯员从队首回队尾，与队尾相向而行。 路程和 = 队伍长 = 120米。 速度和 (米/秒)。 回程时间 (秒)。 总时间 (秒)。 【答案】45秒。 18. 甲、乙两车同时从A地出发前往B地。甲车每小时行60千米，乙车每小时行40千米。甲车到达B地后立即返回，在距B地30千米处与乙车相遇。求A、B两地的距离。 【详解】 此题为“相遇+追及”混合，也可看作广义追及。 甲比乙多走的路程 千米（甲多走了一个往返段）。 速度差 (千米/小时)。 行驶时间 (小时)。 此时乙走了 千米。 乙离B地还有30千米，所以全程 千米。 验证：甲走了 千米。 ，符合。 【答案】150千米。 19. 甲、乙两人绕湖跑步，湖周长3000米。甲速200米/分，乙速150米/分。两人从同一地点同时同向出发。当甲第三次追上乙时，甲离出发点多少米？ 【详解】 第三次追上，甲比乙多跑3圈。 路程差 米。 速度差 (米/分)。 追及时间 (分钟)。 甲跑的总路程 米。 甲跑的圈数 圈。 因为正好是整数圈，所以甲回到出发点。 距离出发点 0 米。 【答案】0米。 20. 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯慢，于是从扶梯上走向楼上。男孩每分钟走20级，女孩每分钟走15级。结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问该扶梯共有多少级？ 【详解】 此题为“牛吃草”变种，也可视为追及/相遇模型的变体（人速+梯速）。 设扶梯每分钟上行 级。 男孩走的总级数（扶梯可见部分） 。 女孩走的总级数（扶梯可见部分） 。 因为扶梯总级数不变： (级/分)。 扶梯总级数 (级)。 【答案】150级。 学科网（北京）股份有限公司 $