第四章 三角形 单元测试卷 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 本卷为初中数学三角形单元测试卷，涵盖全等判定、中线性质等核心知识点，融合2025年多地期末真题，通过折叠、动态问题设计，培养几何直观与推理能力，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|全等判定（如ASA）、三角形三边关系|结合测量河宽情境，考查数学眼光| |填空题|8/24|中点面积（D、E、F、G为中点）、折叠角度|多中点模型培养空间观念| |解答题|8/66|尺规作图（作∠DCE=∠ADB）、动态全等（M、N运动）|综合全等证明与分类讨论，发展推理能力|

第四章 三角形 单元测试卷 用时:120分钟 总分:120分 得分: 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1. 如图,若∠B=∠C,下列结论正确的是( ). A. △BOE≌△COD B. △ABD≌△ACE C. AE=AD D. ∠AEC=∠ADB 2.如图，已知CA=CD，∠1=∠2，在不加辅助线的情况下，增加下列四个条件中的一个：①BC=EC；②∠B=∠E;③AB=DE;④∠A=∠D.能使△ABC≌△DEC 的条件的个数为( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. (2025·广东深圳坪山区期末)如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点A 和B,在岸边标记目标点C,D,使AC=CD,并利用测角仪测得∠BAC=∠EDC=90°.此时,利用三角形全等的性质，测量 DE 长度即可得到河宽.要说明两个三角形全等最恰当的理由是( ). A. SSS B. ASA C. SSA D. SAS 4.(2024·廊坊一模)平面内，将长分别为1，1，3，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形(如图)，x可能是( ). A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 5.(2025·广东梅州五华期末)如图，在长方形的纸片上画出△ABC，按下列方式折叠，能得到边AC 上的高的是( ). A.对折边 BC，使点 B 与点C 重合，则高在折痕上 B.沿着过点 A的直线对折△ABC，使点C 落在直线BC 上，则高在折痕上 C.沿着过点 B 的直线对折△ABC，使得边AB 与边BC 重合，则高在折痕上 D.延长CA，并沿着过点 B 的直线折叠，使得点C 落在直线AC上，则高在折痕上 6.如图,在△ABC 中,点 D 在AC 上,△ABD 沿BD 翻折得到△EBD,且DE∥BC,若∠C=70°,则∠DBC 的度数为( ). A. 70° B. 65° C. 55° D. 50° 7.(2025·浙江杭州期末)在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,若AB=5,AD=8,则AC 的取值范围是( ). A. 16<AC<20 B. 11<AC<21 C. 16<AC<21 D. 11<AC<20 8.(2025·重庆八中期中)如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E.线段AD,BE交于点F,若AD=BD,BF=5,EF=1,则△ABC的面积为( ). A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 9.如图,点B,C分别在AM,AN上运动(不与点A 重合),CD 是∠BCN 的平分线,CD 的反向延长线交∠ABC的平分线于点 P.知道下列哪个条件，不能求∠P 大小的是( ). ①∠ABC+∠ACB;②∠A;③∠NCD-∠ABP;④∠ABC. A. ① B. ② C. ③ D. ④ 10. (2025·河南周口鹿邑期中)在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“U”字形框架 PABQ，其中AB=42cm,AP,BQ足够长,PA⊥AB 于点A,QB⊥AB 于点B,点M从点B 出发向点A 运动,同时点N从点B 出发向点Q运动，M，N运动的速度之比为3：4，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP 上取点C,使△ACM与△BMN 全等,则线段AC 的长为( ). A. 18cm B. 24cm C. 18cm或28cm D. 18cm或24cm 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 11.(2025·四川成都西川中学期中)如图,△ABC 的面积是16,D,E,F,G分别是BC,AD,BE,CE的中点,则四边形 AFDG 的面积是 . 12.(2025·陕西西安交大附中期末改编)有4根长度分别为2cm,3cm,4cm,6cm的木棒,从中任意取3根,则这3根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是 . 13.如图,在△ABC中,∠C=40°,把△ABC沿边BC上的高AH 所在的直线翻折,使点C落在边CB的延长线上的点C'处.如果∠BAC'=20°,那么∠BAC= . 14.如图,AD 是△ABC 的中线,BE 是△ABD 的中线,EF⊥BC 于点F.若S△ABC=36,BD=6,则EF的长为 . 15.如图,在△ABC 中,∠A=m°,∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A₁,得∠A₁;∠A₁BC 和∠A₁CD 的平分线交于点 A₂,得∠A₂;…,∠A2024BC 和∠A2024 CD 的平分线交于点A2025,则∠A2025= °. 16.如图,B,F,E,D 四点共线,BE=DF,∠A=∠C.若要使△ABF≌△CDE，则需要添加的条件是 (只需添加一个你认为合适的条件即可). 17.(2025·陕西西安碑林区期中)如图,在△ABC中,D 为边AB 的中点,DE⊥AC,垂足为 E.以BC 为斜边作等腰直角三角形BFC，使得直角顶点 F 恰好在DE 上.若AC=10，DF=2，则 的值为 . 18.如图,∠ABC=∠ACB,BD,CD 分别平分△ABC的内角∠ABC,外角∠ACP,BE 平分外角∠MBC交DC 的延长线于点 E.以下结论： ②DB⊥BE;③∠BDC+∠ABC=90°;④∠BAC+2∠BEC=180°.其中正确的结论有(填序号) . 三、解答题(本大题共8小题，共66分) 19.(6分)在四边形ABCD 中,AB∥CD,BD 为对角线. (1)尺规作图：在线段 BD上找一点E，使得∠DCE=∠ADB；(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下,若BD=CD,试说明:AD=CE. 20.(6分)(2025·山西吕梁交城期末)如图,D 是 △ABC 外一点,连接BD,AD,AD与BC交于点O.下列三个等式:①BC=AD;②∠ABC=∠BAD;③AC=BD.请从这三个等式中,任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个正确的说法，将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该说法进行说明. 已知 , ,试说明: . 21.(8分)(2025·福建漳州期末)如图,在△ABC中,BD,CE 分别是边AC,AB 上的高,BD 与CE 相交于点F,且EB=EC,连接DE. (1)试说明:∠ABD=∠ACE; (2)试求∠EDC 的度数; (3)若F 是CE 的中点,则BD-CD=mDF,试求m 的值. 22.(8分)如图,在△ABC中,∠A=30°,∠ABC=70°,作∠BCD的平分线CE,交AB 的延长线于点E. (1)求∠BCE 的度数; (2)过点 D 作DF∥CE,交AB 的延长线于点F,求∠F 的度数. 23.(8分)通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例，请补充完整. [解决问题](1)如图(1),点 E,F 分别在正方形ABCD 的边BC,CD 上, 连接EF，则EF=BE+DF,试说明理由. 解:延长CD 到点G,使DG=BE,连接AG.在△ABE 和△ADG中, ∴△ABE≌△ADG(SAS),进而推出△AFE≌ ,理由; ,进而得EF=BE+DF. [探究变式](2)如图(2),在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,点E,F 分别在边BC,CD上,∠EAF=45°,当∠B+∠D=180°时,还有EF=BE+DF 吗?试说明你的猜想. 24.(8分)(2025·云南丽江古城区期中)如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足为F. (1)试说明:△ABC≌△ADE; (2)求∠FAE 的度数; (3)试说明:CD=2BF+DE. 25.(10分)(2025·陕西西安碑林区期中)[问题探究] (1)如图(1)，在直线l的异侧有A，B两点，其距离为4. P为直线l上的动点，则AP+BP 的最小值为 ; (2)如图(2),已知△ABC边AC上有一点D,且满足AD=CB,过点A作AE∥BC,并截取AE=AC,连接ED,试说明:ED=AB; [问题解决] (3)某村为了美化环境，准备在一块等腰三角形的空地上种植花卉，供居民观赏.等腰三角形空地为如图(3)所示的△ABC，其中CD 为原本的一条小路，为种植不同种类的花卉及方便游人观赏，还需再开发两条小路BE和AF，其中点E，F 分别在AC，CD上，且满足AE=CF，为节约成本，要求两条小路的长度和最小,即BE+AF 最小.已知,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=55°,CD⊥AB,垂足为D.那么这样的设计要求能否达到?若能，求出当BE+AF最小时， 的度数；若不能，请说明理由. 26.(12分)为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法. 已知:在四边形 ABCD 中,AC 平分 (1)如图(1),当 时，求证：CB=CD. (2)如图(2),当 时. ①试说明：CB=CD; ②若 ,则点 C 到AB 的距离是 cm. 1. D [解析]∵∠B=∠C,∠CAE=∠BAD, ∴∠AEC=∠ADB,∴D选项符合题意. ∵不能确定 BE=CD,AE=AD, ∴不能判定△BOE≌△COD,△ABD≌△ACE,∴A,B,C选项不符合题意.故选 D. 2. C [解析]∵∠1=∠2,∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE,即∠ACB=∠DCE: 又CA=CD,∴可以添加条件 BC=EC,此时满足 SAS,故①正确； 添加条件∠B=∠E,此时满足 AAS,故②正确; 添加条件∠A=∠D,此时满足 ASA,故④正确; 添加条件AB=DE,不能证明△ABC≌△DEC,故③不正确.故能使△ABC≌△DEC 的条件的个数为3.故选 C. 3. B [解析]在△ABC 和△DEC中, ∵∠BAC=∠EDC=90°,AC=CD,∠ACB=∠DCE, ∴△ABC≌△DEC(ASA).故选 B. 4. C [解析]如图,设这个凸四边形为ABCD,连接 BD,设BD=a, 在△BCD中,CD-BC<a<CD+BC,即2<a<4. 在△ABD 中,BD-AB<AD<BD+AB,即a-1<x<a+1,所以1<x<5. 观察四个选项，只有选项C符合题意.故选 C. 一题多解 如图，设这个凸四边形为ABCD， 在△ABC中,AB-BC<AC<AB+BC,即0<AC<2. 在△ACD 中,CD-AC<AD<CD+AC,即3-AC<x<3+AC,所以1<x<5. 观察四个选项，只有选项C符合题意.故选C. 5. D [解析]A.对折边 BC,使点 B 与点C重合,则边 BC垂直平分线在折痕上，故该选项不符合题意； B.沿着过点 A 的直线对折△ABC,使点 C 落在直线 BC上，则边 BC上的高在折痕上，故该选项不符合题意； C.沿着过点 B 的直线对折△ABC,使得边 AB 与边 BC 重合，则∠B 的平分线在折痕上，故该选项不符合题意； D.延长 CA，并沿着过点 B 的直线折叠，使得点 C 落在直线AC 上，则边 AC 上的高在折痕上，故该选项符合题意.故选 D. 6. C [解析]由折叠,得∠BDA=∠BDE. ∵DE∥BC,∴∠EDC=∠C=70°. 设∠BDA=∠BDE=x,则∠BDC=x-70°. ∵∠ADB+∠BDC=180°, 故选 C. 7. B [解析]在△ABC中,AD 是BC边上的中线,AB=5,AD═8,如图,延长AD至点E,使 DE=AD=8, ∴AE=16. ∵AD为BC边上的中线,∴BD=CD. 在△ADC 和△EDB 中, ∴△ADC≌△EDB(SAS), ∴BE=AC. ∵AE-AB<BE<AE+AB, ∴16-5<BE<16+5,即11<BE<21, ∴11<AC<21. 故选 B. 8. A [解析]∵AD⊥BC,BE⊥AC, ∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°, ∴∠DBF+∠C=∠C+∠DAC=90°, ∴∠DBF=∠DAC. 在△BDF 和△ADC中, ∴△BDF≌△ADC(ASA),∴AC=BF=5. ∵BE⊥AC,BE=BF+EF=5+1=6, ∴△ABC的面积 故选 A. 9. D [解析]∵CD 是∠BCN的平分线,CD 的反向延长线交∠ABC的平分线于点P， ∴∠NCD=∠BCD,∠ABP=∠CBP. ∵∠P=180°-∠PCB-∠CBP=∠DCB-∠CBP, ∴∠P=∠NCD-∠ABP,∴③能求出∠P 的大小; ∵∠A=180°-∠ACB-∠ABC=∠NCB-∠ABC=2(∠NCD-∠ABP),∠P=∠NCD-∠ABP, ∴②能求出∠P 的大小； ∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A, ∴①能求出∠P 的大小，④不能求出∠P 的大小.故选 D. 10. C [解析]设 BM=3x cm,则 BN=4x cm. 已知∠A=∠B=90°. 当△ACM≌△BNM时,有 BM=AM,BN=AC. 又AB=AM+BM=42cm, ∴3x+3x=42,解得x=7,∴AC=BN=4x=28; 当△ACM≌△BMN时,有AM=BN,BM=AC. 又AB=AM+BM=42cm, ∴4x+3x=42,解得x=6,∴AC=BM=3x=18. 综上,线段 AC 的长为18cm或28cm.故选 C. 11.8 [解析]∵点D,E,F,G分别是BC,AD,BE,CE的中点,∴AD 是△ABC 的中线,BE 是△ABD 的中线,CE 是△ACD 的中线,AF 是△ABE 的中线,AG 是△ACE 的中线,DG 是△CDE 的中线,DF 是△BDE 的中线, 同理，可得 12.9cm或13cm [解析]∵2+3>4,2+3<6,2+4=6,3+4>6，∴恰好能首尾相接构成三角形的三根木棒长为2cm,3cm,4cm或3cm,4cm,6cm, ∴这3根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是2+3+4=9(cm)或3+4+6=13(cm). 13.80° [解析]根据题意，补全图形如图. ∵AH⊥BC,∴∠AHC=90°. 由折叠的性质，得 14.3 [解析]∵AD 是△ABC的中线, ∵BE是△ABD 的中线, 即 解得 EF=3. [解析]∵BA₁ 平分∠ABC,CA₁ 平分∠ACD, 同理可得. 16.∠B=∠D(答案不唯一)[解析]根据题意，得添加的条件为∠B=∠D. ∵BE=DF,∴BE-EF=DF-EF,即BF=DE. ∵∠B=∠D,∠A=∠C,BF=DE, ∴△ABF≌△CDE(AAS). 17. [解析]过点B作BH⊥DE交ED的延长线于点H，如图所示. 设AE=a.∵AC=10,∴CE=AC-AE=10-a. ∵DF=2,∴DE=DF+EF=2+EF. ∵D 为AB的中点,∴AD=BD. ∵DH⊥BH,DE⊥AC,∴∠H=∠AED=90°. ∵∠ADE=∠BDH,∴△ADE≌△BDH(AAS), ∴BH=AE=a,DH=DE=2+EF. ∵以 BC为斜边作等腰直角三角形BFC， ∴FB=FC,∠BFC=90°,∴∠BFH+∠CFE=90°. ∵∠H=∠CEF=90°,∴∠FCE+∠CFE=90°, ∴∠BFH=∠FCE,∴△BFH≌△FCE(AAS), ∴BH=EF=a,FH=CE=10-a, ∴DH=2+FE=2+a, ∴FH=DH+DF=2+a+2=4+a. ∵FH=CE,CE=10-a,∴4+a=10-a,解得a=3,∴AE=a=3,CE=10-a=7, 18.①②③④ [解析]①BD,CD 分别平分△ABC 的内角∠ABC,外角∠ACP,BE 平分外角∠MBC 交DC 的延长线于点E， ∴∠ACP=2∠DCP ═2∠DCA,∠ABC=2∠DBC=2∠DBA,∠MBC=2∠CBE=2∠MBE. ∵∠DCP =∠BDC +∠CBD,2∠DCP =∠BAC +2∠DBC,∴2(∠BDC+∠CBD)=∠BAC+2∠DBC, 故①正确； 故②正确； ③∵∠ABC=∠ACB,∴∠BAC+2∠ABC=180°, ∴∠BDC+∠ABC=90°,故③正确; ④∵∠DBE=90°,∴∠BDE+∠BEC=90°. ∴∠BAC+2∠BEC=180°,故④正确.综上，正确的有①②③④. 19.(1)如图,∠DCE 即为所求. (2)∵AB∥CD,∴∠ABD=∠CDE. ∵BD=CD,∠ADB=∠DCE, ∴△ADB≌△ECD,∴AD=CE. 20.① ② ③(答案不唯一) 在△ABC和△BAD中, ∴△ABC≌△BAD(SAS),∴AC=BD. 21.(1)∵BD,CE 分别是边AC,AB上的高, ∴∠BEF=∠BDC=90°, ∴∠ABD=90°-∠EFB,∠ACE=90°-∠DFC. ∵∠EFB=∠DFC, ∴∠ABD=∠ACE. (2)如图(1),在线段 BD 上取点G,使得 BG=CD,连接EG. 在△BEG 和△CED 中 ∴△BEG≌△CED(SAS), ∴∠BEG=∠CED,EG=ED, ∴∠GED =∠GEF +∠CED =∠GEF +∠BEG =∠BEF=90°, ∴△GED 是等腰直角三角形,∴∠GDE=45°, ∴∠EDC=∠GDE+∠BDC=45°+90°=135°. (3)如图(2),过点 E作EH⊥BD 于点 H. ∵F是CE的中点,∴EF=CF. 在△EHF 和△CDF 中, ∴△EHF≌△CDF(AAS),∴HF=DF,∴HD=2DF.由(2),得EG=ED,BG=CD. 又EH⊥BD,∴GH=DH, ∴GD=2HD=2×2DF=4DF, ∴BD-CD=BD-BG=GD=4DF, ∴m=4. 22.(1)∵∠A=30°,∠ABC=70°, ∠ABC)=∠A+∠ABC=100°. 又 CE 平分∠BCD (2)∵∠BCE=50°,∠ABC=70°,∠A=30°, ∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=130°, ∴∠BEC=180°-∠A-∠ACE=20°.又DF∥CE,∴∠F=∠BEC=20°. 23.(1)△AFG SAS (2)仍有 EF=BE+DF.理由如下: 如图,延长 FD至点G,使DG=BE,连接AG. ∵∠ADF+∠ADG=180°,∠B+∠ADF=180°, ∴∠B=∠ADG. 在△ABE 和△ADG 中 ∴△ABE≌△ADG(SAS), ∴AE=AG,∠BAE=∠DAG. ∵∠BAD=90°,∠EAF=45°, ∴∠BAE+∠DAF=45°, ∴∠DAG+∠DAF=45°,即∠FAG=45°. 在△AFE 和△AFG 中 ∴△AFE≌△AFG(SAS),∴EF=FG. ∵FG=DF+DG,BE=DG,∴EF=BE+DF. 24.(1)∵∠BAD=∠CAE=90°, ∴∠BAC+∠CAD=90°,∠CAD+∠DAE=90°, ∴∠BAC=∠DAE. 在△ABC 和△ADE 中 ∴△ABC≌△ADE(SAS). (2)∵∠CAE=90°,AC=AE,∴∠E=45°. 由(1)知△ABC≌△ADE,∴∠BCA=∠E=45°. ∵AF⊥BC,∴∠CFA=90°,∴∠CAF=45°, ∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°. (3)如图,延长BF到点G,使得 FG=FB. ∵AF⊥BG,∴∠AFG=∠AFB=90°. 在△AFB 和△AFG 中, ∴△AFB≌△AFG(SAS), ∴AB=AG,∠ABF=∠G. ∵△ABC≌△ADE, ∴AB=AD,∠CBA=∠EDA,CB=ED,∠GCA=∠E=∠DCA=45°, ∴AG=AD,∠ABF=∠CDA,∴∠G=∠CDA.在△CGA 和△CDA 中 ∴△CGA≌△CDA(AAS),∴CG=CD. ∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,∴CD=2BF+DE. 25.(1)4 [解析]∵两点之间,线段最短, ∴当A,P,B 三点共线时,AP+BP 取得最小值,即AP+BP=AB=4. (2)∵AE∥BC,∴∠EAD=∠C. ∵AD=CB,AE=AC,∴△EAD≌△ACB(SAS), ∴ED=AB. (3)以 FC 为边、C 为顶点,向下作∠FCG=∠BAE,使得CG=AB,连接FG,如图(1). ∵AE=CF,∴△ABE≌△CGF(SAS), ∴BE=FG, ∴BE+AF=AF+FG. 当A,F,G三点共线时,BE+AF 最小,此时,点 F 位置如图(2)所示， 此时,∠AFD=∠FAC+∠ACD. 根据题意,得∠FCG=∠BAC=55°. ∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°,∴∠ACD=35°, ∴∠ACG=∠ACD+∠FCG=90°. ∵CG=AB,AC,∴∠FAC=45°, ∴∠AFD=∠ACD+∠FAC=80°. 26.(1)∵∠B+∠D=180°,∠B=90°,∴∠D=90°. ∵AC平分∠BAD,∴∠CAD=∠CAB. ∵AC=AC, ∴△ACD≌△ACB(AAS),∴CD=BC. (2)①如图,过点C作CE⊥BA于点E,过点C作CF⊥AD交AD 延长线于点F. ∵CF⊥AD,CE⊥AB,∴∠F=∠AEC=90°. ∵AC平分∠BAD,∴∠CAF=∠CAE. 又AC=AC,∴△ACE≌△ACF(AAS).∴CE=CF. ∵∠B+∠ADC=180°,∠ADC+∠FDC=180°, ∴∠B=∠FDC. ∵∠CEB=∠F=90°,CE=CF, ∴△CBE≌△CDF(AAS),∴BC=CD. ②2 [解析]由①可知△ACF≌△ACE,△CDF≌△CBE,∴AF=AE,DF=BE, ∴AD+DF=AB-BE,即AD+BE=AB-BE. ∴2BE=AB-AD. ∵AB=10cm,AD=6 cm,∴BE=2cm. ∵∠B=45°,∴△BCE为等腰直角三角形, ∴CE=BE=2cm,∴点C到AB的距离是2cm. 学科网（北京）股份有限公司 $