第五章 图形的轴对称 提优测评卷 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦图形轴对称，分层设计覆盖基础巩固、能力提升、综合拓展，通过中考真题与原创题结合，强化从概念识别到动态综合应用的知识巩固路径，适配期末复习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|轴对称图形识别、性质应用|以选择1（汉字轴对称）、填空11（矩形中弧与等腰三角形）为例，强化几何直观与概念理解| |能力提升|尺规作图、折叠与等腰三角形综合|如选择4（尺规作等角）、填空14（折叠后等腰三角形存在性），培养推理能力与空间观念| |综合拓展|动态几何、旋转与多知识点融合|解答26（动态中点与等边三角形），体现模型意识，发展创新思维与综合应用能力|

第五章 图形的轴对称 提优测评卷 用时:120分钟 总分:120分 得分: 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.(2025·遂宁中考)汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受.下面是“遂宁之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是( ). 2.(2024·河北中考)如图,AD与BC交于点O,△ABO和△CDO关于直线PQ 对称,点A,B 的对称点分别是点C，D.下列不一定正确的是( ). A. AD⊥BC B. AC⊥PQ C. △ABO≌△CDO D. AC∥BD 3.(2025·哈尔滨中考)如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A 和点B 为圆心、大于 的长为半径作弧，两弧相交于M，N 两点，作直线MN交BC 于点 D，连接AD，若∠B=50°，则∠DAC 的度数为( ). A. 20° B. 50° C. 30° D. 80° 4.(2025·吉林中考) 如图,在△ABC中,∠B=45°,∠A>∠ACB>∠B.尺规作图操作如下：(1)以点 B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边 BA，BC 于点M，N；(2)以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB 于点N'；再以点 N'为圆心，MN 长为半径画弧，与前一条以点 C为圆心的弧相交于三角形内部的点M'；(3)过点 M'画射线CM'交边AB 于点D.下列结论错误的为( ). A. ∠B=∠DCB B. ∠BDC=90° C. DB=DC D. AD+DC=BC 5.(2025·辽宁中考)如图,在△ABC中,AB=16,BC=12,CA=10,∠ABC的平分线BP 与AC相交于点D.在线段AD 上取一点K，以点C为圆心，CK 长为半径作弧，与射线BP 相交于点M 和点N，再分别以点M 和点N 为圆心，大于 MN 的长为半径作弧，两弧相交于点Q，作射线CQ，与 AB 相交于点E,连接 DE.则△DAE 的周长为( ). A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 6.(2024·山东菏泽定陶区期末)如图,在四边形 ABCD 中,∠B=∠C=90°,边AD 的垂直平分线分别交BC,AD 于点E,F,且AF=EF.若AB=5,CD=12,则BE 的长为( ). A. 7 B. 12 C. 13 D. 17 7.如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=40°,在直线AC上取一点P,使得△PAB 是等腰三角形,则符合条件的点 P 共有( ). A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 8.如图,已知在△ABC中,CD是边AB上的高线,BE 平分∠ABC,交CD 于点E,BC=10,DE=3,则△BCE 的面积等于( ). A. 6 B. 9 C. 15 D. 1 9.如图,在△ABC中,AB=AC,AD 平分∠BAC,点 P 在AD 上,连接BP,CP,过点 D 作DE⊥BP,DF⊥CP,垂足分别为E,F.给出下列结论:①AD⊥BC;②△ABP≌△ACP;③DE=PE;④△BCP是等腰三角形.其中正确的结论有( ). A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10.如图,△DAC和△EBC均是等边三角形,A,C,B三点共线,AE 与BD 相交于点P,AE 和BD 分别与CD,CE 交于点M,N.给出下列结论:①△ACE≌△DCB;②DC∥EB;③AC=DN;④EM=BN;⑤∠CMN=60°.其中正确的结论有( ). A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 11.(2025·本溪二模)如图，在长方形ABCD 中，分别以A，B为圆心，以AB长为半径画弧，两弧交于点E,连接AE,DE.若AD=DE,则∠DEA 的大小为 . 12.(2025·沈阳铁西区二模)如图,在等边三角形ABC中,BC=15,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,分别以点 B 和点O 为圆心，以大于 BO的长为半径作弧，两弧相交于点 D 和点E，作直线DE，交边AB于点P，连接PO并延长，交边AC于点Q，则线段AQ 的长为 . 13.(2025·重庆九十五中期末)如图,在△ABC中,∠B=42°,D 为边BC上一点,将△ADC 沿直线AD折叠后,点C落在点E 处,若DE∥AB,则∠ADE 的度数为 . 14.(2025·河南郑州新郑期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D为斜边AB 上不与端点A,B 重合的一动点,过点D 作DE⊥AC,垂足为E,将△ADE 沿DE 翻折,点A 的对应点为点F,连接BF，若△BFC为等腰三角形，则AE 的长为 . 15.(2025·辽宁沈阳于洪区期末)如图,在△ABC中, 射线 BC上有一点P,M,N分别为点 P 关于直线AB,AC 的对称点,连接BM,若BM=3BN,则BP 的长为 . 16.如图,在△ABC中,BC=10,AC-AB=4,AD 是∠BAC的平分线,( 则△BDC面积的最大值为 . 17.(2025·河南周口淮阳区期末改编)如图,△ABC 是等腰三角形,O是底边BC上任意一点,OE,OF 分别与两边垂直，等腰三角形ABC的腰长为5，面积为12，则OE+OF 的值为 . 18.(2025·东营模拟)如图,在△ABC中, 的平分线交BC 于点 D,M,N 分别是AD 和AB 上的动点,则 BM+MN 的最小值是 . 三、解答题(本大题共8小题，共66分) 19.(6分)(2025·南充中考)如图,在五边形ABCDE中, (1)试说明:△ABC≌△AED; (2)试说明:∠BCD=∠EDC. 20.(6分)(2024·陕西西安第八十九中学期末)如图，AD 为线段BC 的垂直平分线，在线段 AD 上取一点E，使得∠ACE=20°,在线段CE 上取一点F,使得 连接BE,AF.若 (1)求∠EBC 的度数; (2)判断AE 与EF 的数量关系，并说明理由. 21.(8分)请你分别在下面的三个网格(两相邻格点的距离均为1个单位长度)中，各补画一个小正方形，要求：①三个图形形状各不相同，②所设计的图案是轴对称图形. 22.(8分)(2024·四川成都天府第七中学期末)如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上. (1)在图中画出与△ABC 关于直线l成轴对称的△DEF； (2)在直线l上找一点 P,使 PB+PC 的长最短; (3)△ABC 的面积是 . 23.(8分)(2025·广东深圳光明区期末)如图,在 中， 以点 B 为圆心、BA 长为半径作弧,交AC 于点D,连接BD. (1)请用尺规作线段CD 的垂直平分线PQ(保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)若PQ交BC 于点E,连接DE,且.AB=3,BC=7,求 的周长. 24.(8分)(2025·河南平顶山汝州期末)如图,在 Rt△ABC 中, D 为BC上的一点,连接AD,且BD=AD=CD,E为边AB 上一动点(不与点A,B 重合),以D 为直角顶点、射线 DE为一边作∠MDN=90°,另一条直角边 DN 与边AC 交于点F,连接EF. (1)判断△DEF 的形状，并说明理由. (2)若△ABC 的面积为10，四边形AEDF 的面积是否会随着点E 的位置不同而发生变化?若不会发生变化，请直接写出四边形 AEDF 的面积；若会发生变化，请说明理由. 25.(10分)(2025·北京朝阳区二模)在 Rt△ABC 中, D为射线BC上一点(不与点B，C重合)，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE，线段 BE 与直线AC 相交于点F. (1)如图，当DC=BC时，用等式表示线段BD 与CF 之间的数量关系，并说明理由； (2)若对于任意的点 D，上一问的结论总成立，写出满足条件的α的值，画出相应的图形，并说明理由. 26.(12分)(2025·重庆九十五中期末)如图,在等腰三角形ABC 中,AB=AC=4,M 为平面内一点. (1)如图(1),当点M在BA 的延长线上时,连接MC,若∠BAC=90°,BD⊥MC 交AC 于点N,AM=3,求 CN 的长; (2)如图(2),当点 M 在BA 的延长线上时,连接MC,若∠BAC=60°,在MC 的右侧有一点H,连接MH 和BH,若∠HMC=120°,且MH=MC,G为BH 的中点,连接MG,请猜想线段MG,BC,MB之间的数量关系，并说明你的理由； (3)如图(3),若∠BAC=60°,点M 在∠ABC 的平分线上运动(不与点 B 重合),取 BC 中点E,以EM 为边向左作等边三角形PME,连接PM,PB,设∠BPE=α,当P 在直线BC 上方时,请用含α的式子表示∠PMB 的度数. 1. D[解析]A.不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意； B.不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意； C.不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意； D.能看作是轴对称图形，故本选项符合题意. 故选 D. 解后反思 本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫作轴对称图形. 2. A [解析]如图,连接AC,BD. ∵△ABO 和△CDO 关于直线 PQ 对称, ∴△ABO≌△CDO,PQ⊥AC,PQ⊥BD, ∴AC∥BD,故B,C,D选项正确, AD 不一定垂直BC，故 A 选项不一定正确.故选 A. 3. C[解析]由作图过程可得，直线 MN 为线段AB 的垂直平分线,∴AD=BD, ∴∠DAB=∠B=50°. ∵AB=AC,∠B=50°, ∴∠C=∠B=50°, ∴∠BAC=180°-∠C-∠B=80°, ∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=80°-50°=30°. 故选 C. 4. D [解析]由作图方法可得∠B=∠DCB=45°,故 A 结论正确，不符合题意； ∴∠BDC=180°-∠B-∠DCB=90°,BD=DC,故 B,C结论都正确，不符合题意； ∵∠A>∠ACB>∠B, ∴BC>AB. ∵AD+DC=AD+BD=AB, ∴AD+DC<BC,故 D结论错误,符合题意. 故选 D. 方法诠释 本题主要考查了三角形内角和、大角对大边、作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得∠B=∠DCB=45°,则∠BDC=90°,BD=DC,由大角对大边得到BC>AB,再由AD+DC=AD+BD=AB 可得AD+DC<BC. 5. B [解析]由作图可知,CE⊥BD,设CE,BD 交于点O,则∠BOC=∠BOE=90°. ∵BP 平分∠ABC,∴∠ABO=∠CBO. ∵OB=OB,∴△BOC≌△BOE, ∴OC=OE,BC=BE=12, ∴BD 垂直平分CE,AE=AB-BE=4, ∴DE=CD, ∴△ADE 的周长为AE+DE+AD=AE+AD+CD=AE+AC=14.故选 B. 6. B [解析]如图,连接AE,DE. ∵边 AD 的垂直平分线分别交 BC,AD 于点E,F, ∴AD⊥EF,AF=DF,AE=DE. ∵AF=EF, ∴AF=EF=DF, ∴△AED 是等腰直角三角形， ∴∠AED=90°. ∵∠B=∠C=90°, ∴∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠DEC=90°, ∴∠BAE=∠DEC. 在△AEB 和△EDC 中, ∴△AEB≌△EDC(AAS), ∴BE=DC=12.故选 B. 方法诠释 本题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键. 7. C [解析]分三种情况:①AP=AB,②BA=BP,③PA=PB.如图，①以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧交直线AC 于点P₁,P₂; ②以点 B 为圆心，BA 长为半径画弧交直线 AC 于点A,P₃; ③线段AB 的垂直平分线与直线AC 的交点记为点P₄， ∴符合条件的点 P 共有 4个.故选 C. 8. C [解析]如图,过点 E 作EF⊥BC交BC于点 F. ∵CD 是边AB上的高线,BE 平分∠ABC, ∴EF=DE=3. ∵BC=10, ∴△BCE 的面积为 故选C. 9. C [解析]①∵AB=AC,AD 平分∠BAC,∴AD⊥BC,故①正确; ②∵AD平分∠BAC, ∴∠BAP=∠CAP, ∵AB=AC,AP=AP, ∴△ABP≌△ACP(SAS),故②正确; ③∵DE⊥BP,但无法确定∠BPD 的大小, ∴DE=PE 不一定成立,故③不正确; ④∵△ABP≌△ACP,∴BP=CP,∴△BCP 是等腰三角形，故④正确.综上所述，正确的结论有 3个.故选 C. 10. D [解析]∵△DAC 和△EBC 均是等边三角形, ∴AC=DC,CE=CB,∠DAC=∠ACD=∠BCE=60°, ∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB, ∴∠ACE=∠DCB, ∴△ACE≌△DCB(SAS),故①正确; ∵A,C,B 三点共线,∠DCA=∠CBE=60°, ∴DC∥EB,故②正确; ∵△ACE≌△DCB, ∴AE=BD,∠AEC=∠DBC. ∵∠DCE=180°-60°-60°=60°, ∴∠MCE=∠NCB=60°. ∵CE=CB,∴△CME≌△CNB(ASA), ∴CM=CN,ME=BN,故④正确; ∵ME=BN,AE=BD, ∴AE-ME=DB-BN, ∴AM=DN. ∵AC>AM, ∴AC>DN,故③错误; ∵CM=CN,∠MCN=60°, ∴△CMN 为等边三角形, ∴∠CMN=60°,故⑤正确. 综上所述，正确的结论有4个.故选 D. 11.30° [解析]连接BE,如图. 根据尺规作图,可得AB=AE=BE, ∴△ABE 是等边三角形, ∴∠BAE=60°. 在长方形ABCD 中,∠DAB=90°, ∴∠DAE=90°-60°=30°. ∵DA=DE, ∴∠DEA=∠DAE=30°. 12.10 [解析]∵△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=AC=BC=15. ∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, 由作图方法可知,PE 垂直平分BO,∴PB=PO, ∴∠POB=∠PBO=30°, ∴∠POB=∠CBO, ∴PQ∥BC, ∴∠QOC=∠BCO=30°, ∴∠QOC=∠QCO, ∴OQ=CQ. ∵PQ∥BC, ∴∠APQ=∠ABC=60°,∠AQP=∠ACB=60°, ∴△APQ 是等边三角形, ∴AP=AQ=PQ, ∴AB-AP=AC-AQ,即BP=CQ, ∴CQ=OQ=OP, ∵AC=AQ+CQ=15, ∴AQ=10. 13.111°[解析]∵DE∥AB,∠B=42°, ∴∠BDE=∠B=42°, 由折叠的性质得∠ADE=∠ADC. ∵∠ADB+∠ADC=180°,∠ADB=∠ADE-∠BDE=∠ADC-42°, ∴∠ADC-42°+∠ADC=180°, ∴∠ADC=111°, ∴∠ADE=∠ADC=111°. 方法诠释 本题考查了折叠的性质，平行线的性质，根据平行线的性质得到∠BDE=∠B=42°，根据折叠的性质得到∠ADE=∠ADC,根据平角的定义可得∠ADB+∠ADC=180°，由此可以求出∠ADC 的度数即可得到答案. 14. 或 [解析]∵∠ACB=90°,△BFC为等腰三角形, ∴△BFC 是等腰直角三角形， ∴CF=BC=3. 由折叠的性质可知，AD=FD. ∵DE⊥AF, 如图(1),当点 F 在边AC 上时,AF=AC-CF=1,则 如图(2),当点 F 在AC 的延长线上时,AF=AC+CF=7,则 综上，AE 的长为 15.6或12 [解析]如图(1)中,当点 N 在线段BC 上时, ∵M,N 分别为点 P 关于直线AB,AC 的对称点, ∴BM=BP,CN=CP. ∵BM=3BN,∴PB=3BN, ∴BN=CN=PC=2,∴PB=6. 如图(2)中，当点 N 在 CB 的延长线上时，同法可得PB=3BN, 设PC=CN=x,则BN=x-4,PB=4+x, ∴4+x=3(x-4),∴x=8, ∴PB=4+8=12. 综上所述，BP 的长为6或12. 16.10 [解析]如图,延长AB,CD 交于点E. ∵AD平分∠BAC, ∴∠CAD=∠EAD. ∵CD⊥AD,∴∠ADC=∠ADE=90°. 在△ADE 和△ADC 中, ∴△ADE≌△ADC(ASA), ∴AC=AE,DE=CD, ∴BE=AE-AB=AC-AB=4. ∴当BE⊥BC 时,S△BDC 最大, ∴S△BDC 的最大值 4=10. 17. [解析]连接AO,如图. 由题意,AB=AC=5, 由图知， 18.3 [解析]如图,作BH⊥AC,垂足为H,交AD 于点M',过点 M'作 M'N'⊥AB,垂足为 N',则 BM'+M'N'为所求的最小值. ∵AD 是∠BAC 的平分线, ∴BH 是点 B 到直线AC 的最短距离(垂线段最短). ∵AB=6,∠BAC=30°, 根据含 30°角的直角三角形为等边三角形的一半可得 ∴BM+MN 的最小值是BM'+M'N'=BM'+M'H=BH=3. 方法诠释 本题考查的是轴对称——最短路线问题、直角三角形的性质、角平分线的性质，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质、垂线段最短，确定线段和的最小值.作BH⊥AC，垂足为 H，交AD 于点M',过点 M'作 M'N'⊥AB,垂足为 N',则 BM'+M'N'为所求的最小值，再根据AD 是∠BAC 的平分线可知M'H=M'N',即可得出结论. 19.(1)∵∠BAD=∠EAC, ∴∠BAD-∠CAD=∠EAC-∠CAD, ∴∠BAC=∠EAD. 在△ABC与△AED中, ∴△ABC≌△AED(SAS). (2)∵△ABC≌△AED, ∴∠ACB=∠ADE. ∵AC=AD, ∴∠ACD=∠ADC, ∴∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC, ∴∠BCD=∠EDC. 20.(1)∵AD 为线段BC 的垂直平分线, ∴AB=AC,EB=EC,AD⊥BC, ∴∠ABC=∠ACB=50°,∠EBC=∠ECB. ∵∠ACE=20°, ∴∠ECB=∠ACB-∠ACE=50°-20°=30°, ∴∠EBC=∠ECB=30°. (2)AE=EF.理由如下: ∵∠EBC=∠ECB=30°,∠FBC=10°, ∴∠EFB = 180°-∠BFC =∠ECB+∠FBC =40°,∠ABE=∠ABC-∠EBC=20°,∠FBE =∠EBC-∠FBC=20°, ∴∠ABE=∠FBE=20°. ∵AD⊥BC,∠ABC=50°, ∴∠EAB=90°-50°=40°, ∴∠EAB=∠EFB=40°. 在△ABE 和△FBE 中, ∴△ABE≌△FBE(AAS),∴AE=EF. 关键提醒 本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 21.如图所示(答案不唯一)： 解题关键 本题考查了利用轴对称性质设计图案，利用轴对称图形是沿某条直线折叠后能够与直线的另一边完全重合的图形设计图案是解题的关键. 22.(1)如图,△DEF 即为所求. (2)如图,连接 BF 交直线l 于点 P,则点 P 即为所求. (3)8 [解析]△ABC 的面积是 23.(1)如图,直线 PQ 即为所求. (2)如图，因为以点 B 为圆心、BA 长为半径作弧，交AC于点D,所以AB=BD. 因为 PQ 垂直平分CD,所以DE=CE. 所以△BDE 的周长为BD+BE+DE=AB+BC=10. 24.(1)△DEF 是等腰直角三角形.理由如下: ∵在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC, ∴∠B=∠C=45°. ∵BD=AD=CD, ∴AD⊥BC,∠BAD=∠DAC=45°=∠B=∠C,∠BDE+∠ADE=90°. ∵∠MDN=90°, ∴∠ADF+∠ADE=90°, ∴∠BDE=∠ADF, ∴△BDE≌△ADF(ASA), ∴BE=AF,DE=DF, ∴△DEF 是等腰直角三角形. (2)∵D为BC 的中点, 由(1),得△BDE≌△ADF, ∴S△BDE=S△ADF, ∴四边形 AEDF 的面积=S△AED +S△ADF =S△AED +S△BDE=S△ABD=5. 25.(1)BD=2CF.理由如下: 如图(1),连接DF. 由题意,AE=AD,∠DAE=90°. ∵DC=BC,∠ACB=90°, ∴AC 垂直平分BD, ∴AB=AD=AE,BF=DF, ∴∠ABD=∠ADB,∠FBD=∠FDB,∠ABF=∠E, ∴∠ABF=∠ADF=∠E, ∴∠DFE=∠DAE=90°. ∴BD=2CF. (2)α=45°.理由如下: 如图(2),作EG⊥AC 于点G. 由题意,AE=AD,∠DAE=90°, ∴∠GAE+∠CAD=90°. ∵∠ACB=90°,∴∠DCA=∠G=90°, ∴∠D+∠CAD=90°,∴∠D=∠GAE, ∴△ACD≌△EGA, ∴AC=EG,CD=GA. ∵α=45°,∴∠ABC=∠CAB=45°, ∴AC=BC,∴BC=EG. ∵∠BCF=∠G=90°,∠BFC=∠EFG, ∴△BCF≌△EGF,∴CF=GF,∴CG=2CF. ∵BC=AC,CD=GA,∴BD=CG,∴BD=2CF. 26.(1)在 Rt△BDM中, ∠MBD+∠AMC=90°, 在 Rt△ACM中,∠ACM+∠AMC=90°, ∴∠ABN=∠ACM. ∵AB=AC,∠BAN=∠CAM=90°, ∴Rt△ABN≌Rt△ACM(ASA), ∴AN=AM=3, ∴CN=AC-AM=4-3=1. (2)MB=BC+2MG.理由如下: 如图(1),延长MG 至点F,使得GF=MG,连接AF,BF. ∵G为BH 的中点, ∴BG=HG. 在△BGF 和△HGM中, ∴△BGF≌△HGM(SAS), ∴BF=HM=CM,∠GBF=∠H, ∴MH∥BF, ∴∠ABF=∠1. ∵∠ACM+∠AMC=∠BAC=60°,∠1+∠AMC=180°-∠CMH=60°, ∴∠ABF=∠1=∠ACM. ∵AB=AC, ∴△ABF≌△ACM(SAS), ∴∠BAF=∠CAM,AF=AM, ∴∠BAF-∠CAF =∠CAM-∠CAF,即∠BAC=∠MAF=60°, ∴△AFM 是等边三角形, ∴MF=AM, ∴MB=BA+AM=BC+MF=BC+2MG. (3)∵AB=AC=4,∠BAC=60°,点 M在∠ABC 的平分线上，∴△ABC 为等边三角形， ∴∠ABM=∠CBM=30°. 当点 P 在BM 上方时，如图(2)，在 BE 下方作等边三角形BEQ,连接 PQ. ∵△EPM 是等边三角形, ∴EP=EM,∠PEM=60°. ∵△BEQ 是等边三角形, ∴EB=EQ,∠BEQ=60°, ∴∠BEM=∠PEQ, ∴△BEM≌△QEP(SAS), ∴∠BME=∠QPE,∠MBE=∠PQE=30°,则 QP 平分∠BQE, ∴PQ 垂直平分BE,则BP=PE=PM, 当点 P 在BM 与BC 之间时,如图(3),在 BE 下方作等边三角形BEQ,连接 PQ, 同理可证△BEM≌△QEP(SAS), ∴∠BME=∠QPE,∠MBE=∠PQE=30°,则 QP 平分∠BQE, ∴PQ 垂直平分BE,则BP=PE=PM, 综上，当点 P 在 BM 上方时， 当点 P在BM 与BC 之间时, 学科网（北京）股份有限公司 $