精品解析：河北衡水中学2025-2026学年高一下学期4月期中数学试题

河北衡水中学2025-2026学年高一下学期4月期中数学试题 主命题人：张红伟 其他命题成员：张贺 张玲玲 第I卷（选择题 共60分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 垂直 【答案】B 【解析】 【分析】将正方体的平面展开图，还原为正方体，即可得答案. 【详解】由题意可将展开图还原为如图的正方体，故. 故选：B 2. 如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的线性运算，可得解 【详解】由题意，． 故选：B 3. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】， 所以复数在复平面内对应的点为，在第一象限. 4. 如图，平面平面，所在的平面与，分别交于，，若，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用面面平行的性质，证得，得到，结合，即可求解. 【详解】因为平面平面，且平面平面，平面平面， 所以，所以， 可得，所以. 故选：C. 5. 已知l，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，且，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面、面面位置关系，结合线面平行的性质逐项判断即得. 【详解】对于A，由，，，得或与相交或与是异面直线，A错误； 对于B，由，，，，得或与相交，B错误； 对于C，由，，，得，C正确； 对于D，由，，，且，，得或与相交，D错误. 故选：C 6. 如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：，则破裂的断点两点间距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于点，求得，根据正弦定理即可求得，进而可求得，在中，由余弦定理即可求解. 【详解】如图，延长交于点，因为，所以， 在中，由正弦定理，得， 由题意得20， 在中，由余弦定理，得， 故两点之间的距离为. 故选：D. 7. 如图，三棱台中，，则三棱锥，，的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三棱锥和三棱台的体积公式，分别求出相应多面体的体积，再计算体积之比． 【详解】设棱台的高为，，则， ， ， 又， ， ，故C正确． 故选：C． 8. 已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A. －1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果. 【详解】∵分别表示与方向的单位向量， ∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故所在直线为的平分线所在直线， ∵，∴的平分线与垂直，故. 取的中点，连接，则， 由题意得，， ∴. 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，故. 设，则，∴， ∴，， ∴， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则的最小值为1 D. 若是关于的方程的根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，设，代入共轭复数计算，结合复数的模可得；对于B，设，，利用复数相等求解；对于C，根据不等式 确定；对于D，由根与系数关系求解. 【详解】对于A，设， ，选项A正确； 对于B，设，， ， 所以，若且， 则，选项B错误； 对于C，， ，所以的最小值为1，选项C正确； 对于D，是关于的方程的根， 则也是方程的根， ，，选项D正确. 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为6 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由余弦定理解出的长，确定为直角三角形，结合向量的模长计算与数量积公式即可求解. 【详解】由余弦定理得， 解得，因为，所以为直角三角形，， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D错误. 11. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1甲)，图乙是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧所在圆的半径分别是3和6，且，则该圆台的（ ） A. 高为 B. 体积为 C. 表面积为 D. 内切球的半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】将圆台的侧面展开图还原可得圆台，并根据圆弧所在圆的半径和圆心角，可计算圆台的高、体积、表面积以及内切球的半径. 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为， 则，即；，即； 圆台的母线长，所以圆台的高，故A正确； 圆台的体积，故B错误； 圆台的表面积，所以C正确； 由于圆台的母线长等于上下底面半径和，所以圆台的高即为内切球的直径，所以内切球的半径为，即D正确. 故选：ACD. 第II卷（共92分） 二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分；双空题第一个空2分，第二个空3分） 12. 如图，是水平放置的的直观图，，，则原的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法规则将直观图图形还原成一个直角三角形，再根据长度变化规则可得直角边长，进而可得面积. 【详解】根据斜二测画法规则：平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度还原后变为直观图的2倍；且原图形中，. 由题得：原三角形中 ，，， 因此原的面积为： . 13. 已知一平面截球所得截面圆的半径为1，且球心到截面圆所在平面的距离为2，则球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件求出截面圆的半径，根据垂径定理，求出球的半径，即可求出球O的表面积． 【详解】作出对应的截面图， ∵截面圆的半径为1，∴BC， ∵球心O到截面圆所在平面的距离为2，∴OC＝2， 设球的半径为R， 在直角三角形OCB中，OB2＝OC2+BC2＝5． 即R2＝5， ∴该球的表面积为4πR2＝20π， 故答案为20π． 【点睛】本题主要考查球O的表面积的计算，根据条件求出球半径是解决本题的关键，属于中档题. 14. 若三角形的两个内角和满足，则称该三角形为“准互余三角形”．在中，，，，点是边上一点，若是准互余三角形，则______；的面积为______． 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】根据以及准互余的定义可得，进而可判断为的平分线，即可根据三角形相似可得，，即可根据面积公式求解. 【详解】，，，由勾股定理得， 易知，所以，又易知， 所以在准互余三角形中，， 又因为， 所以，所以为的平分线， 如图，过点作的垂线交于点， 则，，， 因为，所以，则， 所以．因为， 所以的面积为． 故答案为：， 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量，，且与垂直． （1）求； （2）若与互相垂直，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示可得，进而可表示，即可得； （2）利用坐标法表示，再根据向量垂直的坐标表示可得解. 【小问1详解】 由已知向量，，且与垂直， 则，即， 所以， 则， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 解得. 16. 如图，在正方体中为的中点，为棱的中点，为棱的中点． （1）求证：四点共面； （2）求证：平面； （3）求正方体的外接球的表面积和体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）； 【解析】 【分析】（1）只需证明即可证明四点共面； （2）先由中位线定理得，再由线面平行的判定定理可得； （3）根据正方体的体对角线即为外接球的直径，进而可得外接球的表面积和体积. 【小问1详解】 如图：连接. 因为分别是线段的中点，所以. 又因为在长方体中，且，所以四边形是平行四边形， 所以，因此，根据平面的性质，四点在同一个平面内， 所以四点共面. 【小问2详解】 连接，交于点，因为是正方形，对角线互相平分，所以是的中点. 又是的中点，因此在​中，是中位线，故. 因为平面，平面，且， 由线面平行判定定理得：平面. 【小问3详解】 因为正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长， 正方体棱长，体对角线长，因此外接球半径. 所以外接球的表面积：， 外接球的体积： 17. 如图，在平面四边形中，，，． （1）若面积是2，求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由结合余弦定理化简即可求解； （2）设，在中利用正弦定理可得，在中利用正弦定理可得，求出即可求解. 【小问1详解】 ， 所以， 由余弦定理可得， 所以； 【小问2详解】 ，则，， 在中，即，所以， 在中，，即，所以， 所以，解得， 又，，解得，所以. 18. 如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）平面与侧棱相交于点，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）连接，证明四边形为平行四边形，即得，再由线线平行证明线面平行即可； （2）由（1）得，证得平面，再证，即可证平面，最后由线面平行推出面面平行； （3）由（1）已得，可证平面，又因面，由线面平行的性质可推得，继而得到，利用平行线分线段成比例定理即可求得的值. 【小问1详解】 连接， 在中，，，且， 又，，且， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）得，又平面，平面， 平面， 在中，，， 又平面，平面，平面， 又因且均在平面中， 平面平面. 【小问3详解】 由（1）知，又面，面，平面， 又平面，面面， ，又，，． 19. 现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍． （1）求该几何体的表面积； （2）若分别为棱的中点，求四面体的体积； （3）若分别是线段上的动点，求的最小值． 【答案】（1） （2）96 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，则，求得，得到，且，结合棱锥的侧面积公式和正方形的面积公式，即可求解； （2）解法1：根据题意，得到三棱锥为底面边长为，侧棱长正三棱锥， 解法2：作于点，于点，结合割补法，利用棱柱和棱锥的体积公式，即可求解； 解法3：利用体积转换法，化简，结合锥体的体积公式，即可求解. （3）将长方形， 和 展开在一个平面，设，求得的值，得到当四点共线时，最短，结合余弦定理，即可求解. 【小问1详解】 连接，则，因为，所以， 所以正方形中，可得， 又因为，在中，， 故四棱锥的侧面积为， 又由正方体5个面的面积为， 所以多面体的表面积为． 【小问2详解】 解法1：在直角中，可得，则， 又由，同理可得：， 所以三棱锥为底面边长为，侧棱长为正三棱锥， 如图所示，过点作底面的高，垂足为， 因为底面是正三角形，故是正三角形的重心，可得, 所以，即三棱锥的高为， 所以． 解法2：如图所示，作于点，于点． 则， 其中， 所以． 解法3：转换法，由 , 所以四面体的体积为. 【小问3详解】 如图所示，将长方形， 和 展开在一个平面， 可得， 设， ，所以， 所以，， ， 当四点共线时，最短， 所以， 所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北衡水中学2025-2026学年高一下学期4月期中数学试题 主命题人：张红伟 其他命题成员：张贺 张玲玲 第I卷（选择题 共60分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 垂直 2. 如下图，是线段的中点，设向量，，那么能够表示为（ ） A. B. C. D. 3. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，平面平面，所在的平面与，分别交于，，若，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 5. 已知l，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，且，，则 6. 如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：，则破裂的断点两点间距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，三棱台中，，则三棱锥，，的体积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A. －1 B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则的最小值为1 D. 若是关于的方程的根，则 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为6 C. D. 11. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1甲)，图乙是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧所在圆的半径分别是3和6，且，则该圆台的（ ） A. 高为 B. 体积为 C. 表面积为 D. 内切球的半径为 第II卷（共92分） 二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分；双空题第一个空2分，第二个空3分） 12. 如图，是水平放置的的直观图，，，则原的面积为__________． 13. 已知一平面截球所得截面圆的半径为1，且球心到截面圆所在平面的距离为2，则球的表面积为__________． 14. 若三角形的两个内角和满足，则称该三角形为“准互余三角形”．在中，，，，点是边上一点，若是准互余三角形，则______；的面积为______． 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量，，且与垂直． （1）求； （2）若与互相垂直，求实数的值． 16. 如图，在正方体中为的中点，为棱的中点，为棱的中点． （1）求证：四点共面； （2）求证：平面； （3）求正方体的外接球的表面积和体积． 17. 如图，在平面四边形中，，，． （1）若面积是2，求； （2）若，求． 18. 如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）平面与侧棱相交于点，求的值． 19. 现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍． （1）求该几何体的表面积； （2）若分别为棱的中点，求四面体的体积； （3）若分别是线段上的动点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $