5.3《分式方程》课后巩固练习2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2026 年春季北师大版八年级(下) 第五章 分式与分式方程 5.3分式方程 一、 单选题   1.（25-26·河北月考）下列方程中不是分式方程的是（     ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 依据“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”逐一判断选项. 【解答】 解：A选项：分母含未知数t，是分式方程; B选项：分母含未知数x，是分式方程; C选项：分母含未知数x，是分式方程; D选项：所有分母中均不含未知数，不是分式方程; 2.（25-26·河南期中）方程，去分母正确的是（     ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解： 去分母得：   3.（25-26·江苏月考）解分式方程，去分母后的结果是（     ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 先将互为相反数的分母变形，再给方程两边同乘最简公分母得到去分母后的结果. 【解答】 解：原方程为 ， ， 原方程可变形为 ， 方程的最简公分母为 ， 方程两边同时乘 ，去分母得 .   4.（25-26·河北月考）用换元法解方程，若设，则原方程可化为（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 设y=x+1，则原方程化为y-=-1，方程两边乘y再变形即可. 【解答】 解：x+1-=-1, 设y=x+1，则原方程化为：y-=-1, 整理得：y^2+y-2=0， 故选C.   5.（25-26·河南月考）设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的可能值为（       ）． A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 先根据新运算的规定，转化为方程，再根据分式方程、一次方程无解的情况得结论. 【解答】 解：， ， ， ， ， ， 无解， 或， 当，， 当，即，将代入，解得：， 当无解，则的值为6或0. 根据选项，故选：A. 6.（25-26·河南月考）若方程有增根，则a的值为（     ） A. B.4 C.3 D.2 【答案】 B 【解析】 先将分式方程化为整式方程，再根据增根定义确定增根的值，代入增根计算得到a的值。 【解答】 解：， 方程两边同乘x-4去分母，得， 去括号得， 则， 原分式方程分母为x-4，方程有增根， 增根满足，即x=4， 将x=4代入整式方程，得， 解得：a=4.   7.（25-26·河南月考）若关于的分式方程无解，则的值为（       ） A.－3 B.－3或－5 C.1或－3 D.1或－5 【答案】 B 【解析】 本题考查分式方程无解的问题，先将分式方程化为整式方程，分式方程无解分为两种情况，一是所得整式方程无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，分情况讨论求解即可. 【解答】 解：给分式方程 两边同乘最简公分母 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 原分式方程无解 分两种情况讨论： ①当 时，即 ，此时整式方程变为 ，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合要求； ②当 时，即 ，整式方程的解为 原分式方程无解， 为增根，原分式方程的增根为 或 当 时，，解得 ，符合要求； 当 时，，整理得 ，等式不成立，无解. 综上， 的值为 -3 或 -5.   8.（25-26·河南月考）我国明代《永乐大典》中记载了“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，一尺绫布和一尺罗布一共需要120文．问两种布每尺各多少钱？”设绫布有尺，则可列方程为（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 根据“绫罗各一尺总价120文”的等量关系列方程. 【解答】 解：1丈=10尺， 绫罗总长度为 尺， 设绫布有尺， 罗布长度为 尺， 绫布总售价为896文， 绫布每尺价格为 文， 同理可得，罗布每尺价格为 文， 绫、罗各一尺共值钱120文， ， 移项整理得 . 二、 填空题   9.（25-26·湖南月考）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是分式方程的是______③④⑤⑨_____．（填序号） 【答案】 ③④⑤⑨ 【解析】 本题考查了分式方程的定义．根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程称为分式方程．逐项判断各方程的分母是否含有未知数即可． 【解答】 解：方程①的分母为，是常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程②的分母为，是常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程③的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程④的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程⑤的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程⑥无分母或分母为常数，故不是分式方程； 方程⑦的分母为和，均为常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程⑧不是方程，故不考虑； 方程⑨的分母为和，均含有未知数，故是分式方程． 因此，分式方程为③④⑤⑨． 故答案为：③④⑤⑨． 10.（25-26·海南月考）分式方程的解是________． 【答案】 【解析】 先将分式方程化为整式方程，再解方程即可得. 【解答】 解： ， 方程两边同乘以得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 故答案为：. 11.（25-26·河南月考）关于的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数的值之和是___11_____． 【答案】 11 【解析】 先解分式方程，用a表示方程的解，根据方程的解是整数的要求得出a的值，即可得到答案. 【解答】 解：， , , 关于y的分式方程的解是整数， 时，解得：或； 时，解得：或； 时，解得：或； ， ， ，解得：， 综上可得：满足条件的整数a的值为-1或1或2或4或5， 所有满足条件的整数a的值之和是. 12.（25-26·重庆月考）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为__18_____． 【答案】18 【解析】 解：先分别解不等式，再根据不等式组的解集是x≤4，得到，解得a>5，再解分式方程得到y=，根据关于y的分式方程有非负整数解，得到且y=，是非负整数，即可求出a的取值范围，最后求所有满足条件的整数a的值之和即可。 【解答】 解：解不等式2x-5≤3得x≤4， 解不等式得x<， ∴ 关于x的一元一次不等式组的解集是x≤4， ∴ ， 解得a>5， 两边同乘(y-1)得11-a-2=2(y-1), 解得y=， ∴ 关于y的分式方程有非负整数解， ∴ 且y=，是非负整数， 解得a≤11，且a≠9，a是奇数， 综上所述，a的取值范围是5∴ 所有满足条件的整数a的值之和为7+11=18。 13.（25-26·河南月考）若关于x的分式方程 无解，则 ___-3_____． 【答案】 【解析】 先化简分式方程，得 ，由分式方程无解，则 ，得 ，代入 求解即可. 【解答】 解： ， 去分母，得： 解得： 分式方程无解， 其解是使原方程分母为0的增根，故 解得：   14.（25-26·山东期末）2025全球人工智能终端展暨第六届深圳国际人工智能展览会5月在深圳会展中心启幕，人工智能的迅速发展为物流运输和配送带来了巨大便利．某快递公司的仓库主要使用A，B两种不同型号的分拣机器人，已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣快递200件，且A型机器人分拣10000件快递所用时间与B型机器人分拣9000件所用时间相等．则A，B型机器人每小时各分拣快递多少件．设B型机器人每小时分拣快递件，则列方程为____ ____． 【答案】 【解析】 先表示出A型机器人每小时分拣快递 件，再根据两型机器人分拣快递所用时间相等列出方程即可。本题主要考查了列分式方程，根据题意找等量关系是解题的关键。 【解答】 解：设B型机器人每小时分拣快递 件，则A型机器人每小时分拣快递 件， 根据题意，得 故答案为： 三、 解答题   15.（25-26·吉林月考）解方程： （1）； （2）． 【答案】 x=1 无解 【解析】 （1）根据解分式方程的步骤解方程即可； （2）根据解分式方程的步骤解方程即可. 【解答】 （1）解： 去分母得：x+3=4x， 整理得：3x=3， 解得：x=1, 经检验x=1是分式方程的解. （2）解： 去分母得：x(x+2)-(x^2-4)=8, 去括号得：x^2+2x-x^2+4=8, 整理得：2x=4， 解得：x=2, 经检验：x=2是增根， ∴ 原分式方程无解.   16.（25-26·四川月考）解分式方程 （1）； （2）； 【答案】 x=0 无解 【解析】 （1）根据去分母，去括号，合并同类项，化系数为1，即可求解； （2）去分母，去括号，合并同类项，化系数为1，即可求解. 【解答】 （1）解： 经检验，x=0是原分式方程的解； （2）解： 经检验，x=-是原分式方程的增根， 原分式方程无解.   17.（25-26·河南期中）已知关于的分式方程． （1）若该分式方程的解是，求的值； （2）若该分式方程的解是非负数，求的取值范围． 【答案】 且 【解析】 （1）将 代入原方程得到关于 的方程求解即可； （2）先求得分式方程的解，然后再根据解是非负数列不等式求解即可. 【解答】 （1）解：将 代入方程 ，得 ，解得： . （2）解： ， , , , . 分式方程的解是非负数， ，且 ，解得 且 . 18.（25-26·四川月考）已知关于的分式方程， （1）若分式方程无解，求的值； （2）若分式方程的解为正数，求的取值范围． 【答案】 m的值为-1或-3 m>-3且m≠-1 【解析】 （1）分式方程无解分两种情况：①方程有增根；②原分式方程化简后的整式方程无解， （2）先表示出分式方程的解，由分式方程的解为正数，求出m的取值范围即可. 【解答】 （1）解：去分母，得1+3(x-2)=-1-mx， 移项、合并同类项，得(m+3)x=4， 分式方程无解， ①当方程有增根时，原方程无解，即x=2， 2(m+3)=4，解得m=-1； ②当m+3=0时，原方程无解，即m=-3， 综合①②，若分式方程无解，m的值为-1或-3. （2））由（1）可得(m+3)x=4， 原分式方程的解为正数， ，x-2≠0， ，且2(m+3)≠4， 且m≠-1.   19.（25-26期末）【问题情境】年某城市文创市集推出了书包和笔记本两款文创产品，某摊主购进这两种产品开展销售．已知用元购进书包的数量比用元购进笔记本的数量少个，且书包的进价是笔记本进价的倍． （1）若小宇同学列出方程：，解得，经检验是原方程的解且符合题意，则此方程中的x表示___笔记本的进价_____． （2）小轩同学有不同的解法；设笔记本的数量为y个，请你帮他求笔记本和书包的进价． （3）该摊主再次以相同进价购进这两种产品，若购进笔记本的数量比书包数量的倍多个，且购进两种产品的总资金不超过元，则最多可以购进书包多少个？ 【答案】 笔记本的进价； 笔记本的进价是20元/个，书包的进价是60元/个； 个. 【解析】 （1）根据列出的方程, 确定 表示的意义即可; （2）设笔记本的数量为 个, 则书包的数量为 个, 列出方程 , 解方程即可求解; （3）设购进书包 个, 则购进笔记本 个, 根据购进两种产品的总资金不超过 1800 元, 列出不等式 , 解不等式即可. 【解答】 （1）解：小宇同学列出方程 表示笔记本的进价, 故答案为：笔记本的进价； （2）根据题意列方程, 得 , 解得 经检验 是原方程的解， 笔记本的进价是: 元/个, 书包的进价是： 元/个， 答：笔记本的进价是20元/个，书包的进价是60元/个； （3）设购进书包 个, 则购进笔记本 个, 由题意得 解得： 因为 为整数， 所以 的最大值为 17, 答：最多购进书包17个. 20.（24-25·四川期中）对于两个不相等的非零实数、，分式的值为零，则或．又因为，所以关于的方程有两个解，分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： （1）方程有两个解，分别为__1_____，___6____； （2）关于的方程的两个解分别为，，若与互为倒数，则_______，_______； （3）关于的方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】 ， ， 【解析】 （1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可； （2）方程变形后，根据利用题中的结论，以及与互为倒数，确定出与的值即可； （3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为、，代入原式计算即可得到结果． 【解答】 （1）解：，， 方程有两个解，分别为， 故答案为：，； （2）解：， 方程变形得：， 由题中的结论得：有两个解，分别为 ，， 与互为倒数， ， 故答案为：，； （3）解：， 方程整理得， 得或，且， 可得，． ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年春季北师大版八年级(下) 第五章 分式与分式方程 5.3分式方程 一、 单选题   1.（25-26·河北月考）下列方程中不是分式方程的是（     ） A. B. C. D. 2.（25-26·河南期中）方程，去分母正确的是（     ） A. B. C. D.   3.（25-26·江苏月考）解分式方程，去分母后的结果是（     ） A. B. C. D.   4.（25-26·河北月考）用换元法解方程，若设，则原方程可化为（       ） A. B. C. D.   5.（25-26·河南月考）设，为实数，定义一种新运算：，若关于的方程无解，则的可能值为（       ）． A. B. C. D. 6.（25-26·河南月考）若方程有增根，则a的值为（     ） A. B.4 C.3 D.2   7.（25-26·河南月考）若关于的分式方程无解，则的值为（       ） A.－3 B.－3或－5 C.1或－3 D.1或－5   8.（25-26·河南月考）我国明代《永乐大典》中记载了“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，一尺绫布和一尺罗布一共需要120文．问两种布每尺各多少钱？”设绫布有尺，则可列方程为（       ） A. B. C. D. 二、 填空题   9.（25-26·湖南月考）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是分式方程的是___________．（填序号） 10.（25-26·海南月考）分式方程的解是________． 11.（25-26·河南月考）关于的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数的值之和是________． 12.（25-26·重庆月考）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为______． 13.（25-26·河南月考）若关于x的分式方程 无解，则 ________．   14.（25-26·山东期末）2025全球人工智能终端展暨第六届深圳国际人工智能展览会5月在深圳会展中心启幕，人工智能的迅速发展为物流运输和配送带来了巨大便利．某快递公司的仓库主要使用A，B两种不同型号的分拣机器人，已知A型机器人比B型机器人每小时多分拣快递200件，且A型机器人分拣10000件快递所用时间与B型机器人分拣9000件所用时间相等．则A，B型机器人每小时各分拣快递多少件．设B型机器人每小时分拣快递件，则列方程为____ ____． 三、 解答题   15.（25-26·吉林月考）解方程： （1）； （2）．   16.（25-26·四川月考）解分式方程 （1）； （2）；   17.（25-26·河南期中）已知关于的分式方程． （1）若该分式方程的解是，求的值； （2）若该分式方程的解是非负数，求的取值范围． 18.（25-26·四川月考）已知关于的分式方程， （1）若分式方程无解，求的值； （2）若分式方程的解为正数，求的取值范围．   19.（25-26期末）【问题情境】年某城市文创市集推出了书包和笔记本两款文创产品，某摊主购进这两种产品开展销售．已知用元购进书包的数量比用元购进笔记本的数量少个，且书包的进价是笔记本进价的倍． （1）若小宇同学列出方程：，解得，经检验是原方程的解且符合题意，则此方程中的x表示_______． （2）小轩同学有不同的解法；设笔记本的数量为y个，请你帮他求笔记本和书包的进价． （3）该摊主再次以相同进价购进这两种产品，若购进笔记本的数量比书包数量的倍多个，且购进两种产品的总资金不超过元，则最多可以购进书包多少个？ 20.（24-25·四川期中）对于两个不相等的非零实数、，分式的值为零，则或．又因为，所以关于的方程有两个解，分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： （1）方程有两个解，分别为_____，_______； （2）关于的方程的两个解分别为，，若与互为倒数，则_______，_______； （3）关于的方程的两个解分别为，，求的值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $