小升初奥数应用题：分段计费问题 （专项训练）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初奥数培优应用题：分段计费问题 【知识点梳理】 1. 问题背景与核心特征 “分段计费”是生活中常见的收费模式（如水电费、出租车费、个人所得税、快递费等）。其核心特征是：总量不同，单价不同。 (1) 基本结构：将使用量（或金额）划分为若干个区间（段），每个区间对应不同的收费标准。 (2) 关键概念： 1　 分段点（临界值）：区分不同收费标准的界限数值。 2　 基础用量：第一段通常包含的基础额度。 3　 超额用量：超过上一段界限的部分，需按更高（或更低）的单价计算。 (3) 核心原则：“分段计算，最后求和”。即每一段的费用 = 该段内的用量 该段单价，总费用 = 各段费用之和。 2. 基本解题步骤 步骤一：判断所属区间 根据给定的总用量，判断其落在哪个收费区间。 (1) 若用量 第一档上限，则只按第一档单价计算。 (2) 若用量 第一档上限，则需分段计算。 步骤二：分段计算费用 假设分为三档，分界点为 和 ( )，单价分别为 。 (1) 情况1：用量 (2) 情况2： (3) 情况3： 步骤三：逆向求解（已知费用求用量） (1) 估算区间：先计算各分界点的累计最大费用，确定总费用落在哪个区间。 1　 若总费用 第一档满额费用，说明用量超过第一档。 2　 若总费用 前两档满额费用之和，说明用量超过第二档。 (2) 扣除前段：从总费用中减去前面所有完整区间的费用。 (3) 计算余量：用剩余费用除以当前区间的单价，得到当前区间的用量。 (4) 累加总量：总用量 = 前面所有完整区间的用量之和 + 当前区间用量。 3. 常见变式类型 (1) 出租车计费：起步价（含一定里程）+ 超出部分单价 + 远途返空费（可能涉及第三段）。 (2) 阶梯水/电价：通常分为三档，用量越多单价越高，旨在鼓励节约。 (3) 个税计算：应纳税所得额分段累进税率。 (4) 最优方案选择：比较不同计费方式（如套餐A vs 套餐B，或分时电价），寻找最省钱的策略。 4. 易错点提示 (1) 忘记分段：直接用总用量乘以最高单价，这是最常见的错误。 (2) 区间边界处理：注意题目中“以内”、“超过”的定义，通常“以内”包含本数，“超过”不包含本数。 (3) 单位统一：注意重量单位（克/千克/吨）、长度单位（米/千米）的统一。 【培优练习】 【基础巩固篇】 1. 某市出租车收费标准如下：3千米以内（含3千米）收费10元；超过3千米的部分，每千米收费2元（不足1千米按1千米计算）。小明乘车行了8千米，应付车费多少元？ 2. 某地居民用电实行阶梯电价：每月用电量在200度以内（含200度），每度0.5元；超过200度的部分，每度0.6元。小红家上月用电250度，应交电费多少元？ 3. 某快递公司收费标准：1千克以内（含1千克）收费12元；超过1千克的部分，每千克收费5元（不足1千克按1千克计）。小李寄了一个重3.2千克的包裹，需付运费多少元？ 4. 某市自来水公司规定：每户每月用水10吨以内（含10吨），每吨2.5元；超过10吨的部分，每吨3.5元。小刚家上月水费为39元，他家上月用水多少吨？ 5. 停车费标准：2小时以内（含2小时）收费5元；超过2小时，每小时收费3元（不足1小时按1小时算）。王叔叔停车停了4.5小时，应付停车费多少元？ 【进阶提升篇】 6. 某市出租车起步价10元（3千米以内），3-10千米每千米2元，10千米以上每千米3元。李老师乘车行了15千米，应付车费多少元？ 7. 某商场促销规则：购物不超过200元不优惠；超过200元但不超过500元的部分打九折；超过500元的部分打八折。王老师购物原价600元，实际付款多少元？ 8. 某手机套餐：月租费18元，包含100分钟通话；超过100分钟，每分钟0.2元。小强上月话费共计38元，他上月通话多少分钟？ 9. 某市煤气收费：每月用气4立方米以内（含4立方米），每立方米1.5元；超过4立方米的部分，每立方米2元。小李家上月煤气费平均每立方米1.6元，他家上月用气多少立方米？ 【综合应用篇】 10. 某健身房年卡有两种办理方式： A卡：年费1200元，每次健身免费。 B卡：年费200元，每次健身收费20元。 问：一年健身多少次时，两种卡费用相同？超过多少次选A卡划算？ 11. 某市个人所得税规定：月收入5000元以内免税；超过5000元至8000元的部分，税率3%；超过8000元至17000元的部分，税率10%。小王上月纳税90元，他的税前月收入是多少？ 【高阶挑战篇】 12. 某电力公司实行“峰谷电价”： 高峰时段（8:00-22:00）：0.6元/度； 低谷时段（22:00-次日8:00）：0.3元/度。 小明家上月总用电300度，总电费135元。问高峰时段和低谷时段各用电多少度？ 13. 某物流公司对大件物品计费：体积1立方米以内收费100元；1-3立方米，每增加0.5立方米加收40元；3立方米以上，每增加0.5立方米加收30元。一个货物体积4.2立方米，运费多少元？ (注：不足0.5立方米按0.5立方米计算) 14. 某景区门票：单人票100元；团体票（10人及以上）每人80元；50人及以上团体，每人60元。 甲团45人，乙团55人。 (1) 两团分别购票，共需多少元？ (2) 两团合并购票，可节省多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优应用题：分段计费问题 【知识点梳理】 1. 问题背景与核心特征 “分段计费”是生活中常见的收费模式（如水电费、出租车费、个人所得税、快递费等）。其核心特征是：总量不同，单价不同。 (1) 基本结构：将使用量（或金额）划分为若干个区间（段），每个区间对应不同的收费标准。 (2) 关键概念： 1　 分段点（临界值）：区分不同收费标准的界限数值。 2　 基础用量：第一段通常包含的基础额度。 3　 超额用量：超过上一段界限的部分，需按更高（或更低）的单价计算。 (3) 核心原则：“分段计算，最后求和”。即每一段的费用 = 该段内的用量 该段单价，总费用 = 各段费用之和。 2. 基本解题步骤 步骤一：判断所属区间 根据给定的总用量，判断其落在哪个收费区间。 (1) 若用量 第一档上限，则只按第一档单价计算。 (2) 若用量 第一档上限，则需分段计算。 步骤二：分段计算费用 假设分为三档，分界点为 和 ( )，单价分别为 。 (1) 情况1：用量 (2) 情况2： (3) 情况3： 步骤三：逆向求解（已知费用求用量） (1) 估算区间：先计算各分界点的累计最大费用，确定总费用落在哪个区间。 1　 若总费用 第一档满额费用，说明用量超过第一档。 2　 若总费用 前两档满额费用之和，说明用量超过第二档。 (2) 扣除前段：从总费用中减去前面所有完整区间的费用。 (3) 计算余量：用剩余费用除以当前区间的单价，得到当前区间的用量。 (4) 累加总量：总用量 = 前面所有完整区间的用量之和 + 当前区间用量。 3. 常见变式类型 (1) 出租车计费：起步价（含一定里程）+ 超出部分单价 + 远途返空费（可能涉及第三段）。 (2) 阶梯水/电价：通常分为三档，用量越多单价越高，旨在鼓励节约。 (3) 个税计算：应纳税所得额分段累进税率。 (4) 最优方案选择：比较不同计费方式（如套餐A vs 套餐B，或分时电价），寻找最省钱的策略。 4. 易错点提示 (1) 忘记分段：直接用总用量乘以最高单价，这是最常见的错误。 (2) 区间边界处理：注意题目中“以内”、“超过”的定义，通常“以内”包含本数，“超过”不包含本数。 (3) 单位统一：注意重量单位（克/千克/吨）、长度单位（米/千米）的统一。 【培优练习】 【基础巩固篇】 1. 某市出租车收费标准如下：3千米以内（含3千米）收费10元；超过3千米的部分，每千米收费2元（不足1千米按1千米计算）。小明乘车行了8千米，应付车费多少元？ 【详解】 行程分为两段： 1. 起步段：3千米，费用10元。 2. 超出的段： （千米）。 超出部分费用： （元）。 总费用： （元）。 【答案】20元 2. 某地居民用电实行阶梯电价：每月用电量在200度以内（含200度），每度0.5元；超过200度的部分，每度0.6元。小红家上月用电250度，应交电费多少元？ 【详解】 1. 第一档（200度以内）： （元）。 2. 第二档（超过200度）： （度）。 第二档费用： （元）。 总电费： （元）。 【答案】130元 3. 某快递公司收费标准：1千克以内（含1千克）收费12元；超过1千克的部分，每千克收费5元（不足1千克按1千克计）。小李寄了一个重3.2千克的包裹，需付运费多少元？ 【详解】 1. 首重1千克：12元。 2. 续重部分： （千克）。 因“不足1千克按1千克计”，2.2千克需按3千克计算。 续重费用： （元）。 总运费： （元）。 【答案】27元 4. 某市自来水公司规定：每户每月用水10吨以内（含10吨），每吨2.5元；超过10吨的部分，每吨3.5元。小刚家上月水费为39元，他家上月用水多少吨？ 【详解】 1. 判断区间： 10吨水的费用 = （元）。 因为 ，所以用水量超过10吨。 2. 计算超出部分费用： （元）。 3. 计算超出部分水量： （吨）。 4. 总用水量： （吨）。 【答案】14吨 5. 停车费标准：2小时以内（含2小时）收费5元；超过2小时，每小时收费3元（不足1小时按1小时算）。王叔叔停车停了4.5小时，应付停车费多少元？ 【详解】 1. 前2小时：5元。 2. 超出时间： （小时）。 按3小时计算。 超出费用： （元）。 总费用： （元）。 【答案】14元 【进阶提升篇】 6. 某市出租车起步价10元（3千米以内），3-10千米每千米2元，10千米以上每千米3元。李老师乘车行了15千米，应付车费多少元？ 【详解】 分为三段计算： 1. 0-3千米：10元。 2. 3-10千米： （千米），费用 （元）。 3. 10-15千米： （千米），费用 （元）。 总费用： （元）。 【答案】39元 7. 某商场促销规则：购物不超过200元不优惠；超过200元但不超过500元的部分打九折；超过500元的部分打八折。王老师购物原价600元，实际付款多少元？ 【详解】 1. 0-200元部分：不打折，付200元。 2. 200-500元部分：金额 元，打九折，付 元。 3. 500-600元部分：金额 元，打八折，付 元。 总付款： （元）。 【答案】550元 8. 某手机套餐：月租费18元，包含100分钟通话；超过100分钟，每分钟0.2元。小强上月话费共计38元，他上月通话多少分钟？ 【详解】 1. 基础话费18元，剩余话费用于超时通话： （元）。 2. 超时通话时长： （分钟）。 3. 总通话时长： （分钟）。 【答案】200分钟 9. 某市煤气收费：每月用气4立方米以内（含4立方米），每立方米1.5元；超过4立方米的部分，每立方米2元。小李家上月煤气费平均每立方米1.6元，他家上月用气多少立方米？ 【详解】 设用气 立方米。 总费用可以用两种方式表示： 1. 按平均分： 2. 按分段： 方程： 。 验证：5立方米，前4方6元，第5方2元，共8元。平均 元。符合。 【答案】5立方米 【综合应用篇】 10. 某健身房年卡有两种办理方式： A卡：年费1200元，每次健身免费。 B卡：年费200元，每次健身收费20元。 问：一年健身多少次时，两种卡费用相同？超过多少次选A卡划算？ 【详解】 设健身 次。 A卡费用：1200。 B卡费用： 。 令 。 当健身50次时，费用相同。 当 时，B卡费用 ，故选A卡划算。 【答案】50次；超过50次选A卡 11. 某市个人所得税规定：月收入5000元以内免税；超过5000元至8000元的部分，税率3%；超过8000元至17000元的部分，税率10%。小王上月纳税90元，他的税前月收入是多少？ 【详解】 1. 第一档（5000-8000）满额税金： 元。 2. 小王正好纳税90元，说明他的应纳税所得额刚好填满第一档，没有进入第二档。 3. 应纳税所得额 = 3000元。 4. 税前收入 = 元。 【答案】8000元 【高阶挑战篇】 12. 某电力公司实行“峰谷电价”： 高峰时段（8:00-22:00）：0.6元/度； 低谷时段（22:00-次日8:00）：0.3元/度。 小明家上月总用电300度，总电费135元。问高峰时段和低谷时段各用电多少度？ 【详解】 设高峰用电 度，则低谷用电 度。 方程： 。 低谷用电： 度。 【答案】高峰150度，低谷150度 13. 某物流公司对大件物品计费：体积1立方米以内收费100元；1-3立方米，每增加0.5立方米加收40元；3立方米以上，每增加0.5立方米加收30元。一个货物体积4.2立方米，运费多少元？ (注：不足0.5立方米按0.5立方米计算) 【详解】 1. 第一段（0-1 ）：100元。 2. 第二段（1-3 ）： 体积差 。 包含 个计费单位。 费用： 元。 3. 第三段（3-4.2 ）： 体积差 。 计费单位： ，按3个单位计算（进位）。 费用： 元。 总运费： 元。 【答案】350元 14. 某景区门票：单人票100元；团体票（10人及以上）每人80元；50人及以上团体，每人60元。 甲团45人，乙团55人。 (1) 两团分别购票，共需多少元？ (2) 两团合并购票，可节省多少元？ 【详解】 (1) 分别购票： 甲团45人（不足50，但超10，享80元/人）： 元。 乙团55人（超50，享60元/人）： 元。 合计： 元。 (2) 合并购票： 总人数 人。 享60元/人单价。 总费： 元。 节省： 元。 【答案】(1) 6900元；(2) 900元 学科网（北京）股份有限公司 $