精品解析：2026年宁夏中考第一次模拟考试数学试卷

2026年中考第一次模拟考试 数学试卷 本卷120分，时间120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求） 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. B. C. D. 3 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，若移走一个小正方体后，该几何体的左视图和主视图均不变，则可移走的小正方体的编号为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 4. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 手术前检查各项医疗器械是否准备妥当 B. 调查某批蔬菜种子的发芽率 C. 调查重庆高新区范围内一纵线车流量 D. 调查2026年春节联欢晚会收视率 5. 《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡、七鸭共重24千克，鸡重鸭轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，根据题意可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，射线与相切于点B，经过圆心O的射线与相交于点D，C，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 对于任意4个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 8. 为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超限站工作模型：如图1，是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻绝缘并紧密接触，已知电源电压恒定且压力表量程为，压力表示数与的函数图象如图2所示，（单位：）与检测物的质量m（单位：kg）的函数关系式为，则下列说法不正确的是（ ） A. 当时，的阻值为 B. 当托盘上货物的质量为时， C. 在一定范围内，随的增大而减小 D. 因为压力表量程为，所以该模型可测量检测物的最大质量是 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 中国空间站“天宫”的建设引起了全世界的瞩目，其重量为180000千克，把180000用科学记数法表示为____________． 10. 在一个暗箱里有m个除颜色外完全相同的球，其中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为________． 11. 如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为_____． 12. 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为______． 13. 石墨烯材料可能成为将来制造芯片的关键材料．下面各图是二维石墨烯的晶格结构，图中的黑色圆点是石墨烯二维晶格结构中的碳原子，第1个图形中有14个碳原子，第2个图形中有18个碳原子，第3个图形中有22个碳原子，按这样的规律，第n个图形中，碳原子的个数为________（用含n的式子表示） 14. 在抛物线上有，两点，若抛物线与轴的交点在负半轴上，则，的大小关系为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______． 16. 在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点为“平衡”点．例如：点，，，，都是“平衡”点．函数图象上的“平衡”点是______． 三、解答题（本题共10小题，其中17-22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 在菱形中，点为的中点．请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）： （1）在图1中，若，作的垂直平分线； （2）在图2中，过点作的平行线． 20. 如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于E，交于F，交的延长线于G，若． （1）求证：四边形是正方形； （2）求的长． 21. 随着“人工智能+”的逐步拓展，工具越来越多的渗透到学生学习的各个领域．为了解工具对学生学习生活的影响，某校对该校各年级学生进行了题为“对中学生学习生活影响”的调查问卷，并从参与调查的学生中随机抽取若干同学的调查结果进行整理和分析． 对中学生学习生活影响 亲爱的同学：你好！本次问卷旨在了解工具对你学习生活的影响，共5道题，每题满分20分，总分100分，请根据你的真实情况打分（0-20分，分数越高代表符合程度/影响程度越高），感谢你的配合！ 1．你日常使用工具辅助学习（如答疑、整理知识点、写作辅助等）的频率有多高？ 2．工具对你解决学科难题、提升学习效率的帮助程度有多大？ 3．你认为使用学习，对帮助你学会思考的作用有多大？ 4．工具占用你课后自主学习、运动、社交等时间的程度有多高？ 5．你对合理使用、避免过度依赖工具的自我约束和管控能力有多强？ 你的总分是________分 数据收集与整理：评分结果用x表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理（A：；B：；C：；D：；E：），并绘制统计图，部分信息如下： 数据分析：请根据以上信息，完成下列问题： （1）计算：本次抽样调查共抽取________人，并补全频数直方图； （2）被调查的学生在“对中学生学习生活影响”调查评分的中位数落在________组； （3）研究表明学生评价的平均分高于75分时，可认定为工具对于该群体学生学习有积极影响．若分别用50，60，70，80，90作为A，B，C，D，E这五组评分的平均数，请通过计算分析工具对于该校学生是否有积极影响． 22. 快递公司为了提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，甲种型号机器人每小时分拣的快递量比乙种型号机器人每小时分拣的快递量多件．甲种型号机器人分拣件快递的时间与乙种型号机器人分拣件快递的时间相同． （1）求甲、乙两种型号的机器人每小时各分拣多少件快递？ （2）已知甲种型号机器人每台万元，乙种型号机器人每台万元．该公司计划购买这两种型号的机器人共台，且这台机器人每小时分拣快递量的总和不少于件．求购买多少台甲种型号的机器人所花总费用最少？最少费用是多少？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式及的值； （2）若为反比例函数图象上的点，且，求满足条件的点坐标． 24. 如图，为的直径，射线交于点，过上点作直线于点，交的延长线于点．直线是切线，连接并延长交于点． （1）求证：平分； （2）若，请判断和的数量关系．并证明结论； （3）在（2）的条件下，若半径为1，求图中阴影部分面积_________． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，并且与轴交于另一点（点在点的右侧），点是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，设点的横坐标为，请用含的代数式表示出的长度； （3）在（2）的条件下，当三角形的面积为6时，求点的坐标． 26. 在中，，点是边上的一个动点，连接． 【问题发现】 （1）如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，，若，则与的数量关系是_______， _______度； 【类比迁移】 （2）如图，将绕点逆时针旋转得到，点在上，且，若，，则与的数量关系是_______， _______度．请证明你的结论； 【拓展应用】 （3）如图，在（2）的条件下，当点在直线上移动时，其他条件不变，取线段的中点，连接，，当是直角三角形时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第一次模拟考试 数学试卷 本卷120分，时间120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中只有一个符合题目要求） 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】数轴上点到原点的距离为该数的绝对值，比较各数绝对值的大小即可求解． 【详解】解：，，，， ∵， ∴， ∴离原点最近． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．，错误； B．，错误； C．与不是同类项，不能合并，错误； D．，正确． 3. 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，若移走一个小正方体后，该几何体的左视图和主视图均不变，则可移走的小正方体的编号为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图为2列，第1列有2个，第2列有1个，主视图为3列，第1列为1个，第2列为2个，第3列为1个，进行判断即可. 【详解】解：观察可知：左视图为2列，第1列有2个，第2列有1个，主视图为3列，第1列为1个，第2列为2个，第3列为1个， 移走①，左视图发生改变，移走②，左视图和主视图均不变，移走③，左视图和主视图都发生改变，移走④主视图发生改变. 故可移走②号小正方体. 4. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 手术前检查各项医疗器械是否准备妥当 B. 调查某批蔬菜种子的发芽率 C. 调查重庆高新区范围内一纵线车流量 D. 调查2026年春节联欢晚会收视率 【答案】A 【解析】 【分析】需根据全面调查（普查）的适用条件判断，普查适合精确度要求高，事关重大，无破坏性，调查范围小的情况． 【详解】解：A、手术前检查各项医疗器械是否准备妥当，事关手术安全，必须逐一检查所有器械，符合普查的适用条件； B、选项中调查种子发芽率，调查具有破坏性，不适合普查； C、选项中车流量调查范围大，工作量大，不适合普查； D、选项中春晚收视率调查范围广，工作量大，不适合普查； ∴最适合采用全面调查的是A选项． 5. 《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡、七鸭共重24千克，鸡重鸭轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，根据题意可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意可得方程． 6. 如图，射线与相切于点B，经过圆心O的射线与相交于点D，C，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．连接，如图，利用切线的性质得，再利用互余得到，然后根据三角形外角性质和等腰三角形的性质计算的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵边与相切，切点为B， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7. 对于任意4个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】先根据新运算规则整理出关于x的一元二次方程，再利用根的判别式判断方程根的情况． 【详解】解：根据新运算定义可得：， 整理方程得， ∴， ∵对任意实数，都有， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 8. 为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超限站工作模型：如图1，是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻绝缘并紧密接触，已知电源电压恒定且压力表量程为，压力表示数与的函数图象如图2所示，（单位：）与检测物的质量m（单位：kg）的函数关系式为，则下列说法不正确的是（ ） A. 当时，的阻值为 B. 当托盘上货物的质量为时， C. 在一定范围内，随的增大而减小 D. 因为压力表量程为，所以该模型可测量检测物的最大质量是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用． 根据所给函数图象即可判断选项A、C，再求出当时，观察图象即可判断选项B，当时，的阻值为，此时有最大值，进行计算即可判断选项D． 【详解】解：根据图2得，当时，的阻值为，故选项A说法正确； 当托盘上货物的质量为时，令，， 观察图象可知当时，在和之间， 故选项B说法错误，符合题意； 在一定范围内，随的增大而减小，故选项C说法正确； 当时，的阻值为，最小，此时有最大值，即， 解得：， 即电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是，故选项D正确； 故选：B． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 中国空间站“天宫”的建设引起了全世界的瞩目，其重量为180000千克，把180000用科学记数法表示为____________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：把180000用科学记数法表示为． 故答案为：． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 10. 在一个暗箱里有m个除颜色外完全相同的球，其中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，由题意得出摸到红球的概率为0.4，从而得到，计算即可得解，解题的关键是掌握利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率． 【详解】解：∵通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4， ∴摸到红球的概率为0.4， ∴， ∴m约为， 故答案为：． 11. 如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为_____． 【答案】72° 【解析】 【分析】首先根据正五边形的性质得到AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，然后利用三角形内角和定理得∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，最后利用三角形的外角的性质得到∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°． 【详解】∵五边形ABCDE为正五边形， ∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°， ∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°， ∴∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°， 故答案为72°． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，利用数形结合求解是解答此题的关键． 12. 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据弧长公式，进行计算即可求解． 【详解】解： ， 解得：． 13. 石墨烯材料可能成为将来制造芯片的关键材料．下面各图是二维石墨烯的晶格结构，图中的黑色圆点是石墨烯二维晶格结构中的碳原子，第1个图形中有14个碳原子，第2个图形中有18个碳原子，第3个图形中有22个碳原子，按这样的规律，第n个图形中，碳原子的个数为________（用含n的式子表示） 【答案】 【解析】 【详解】解：第1个图形中有个碳原子， 第2个图形中有个碳原子， 第3个图形中有个碳原子， 按这样的规律，第n个图形中，碳原子的个数为个． 14. 在抛物线上有，两点，若抛物线与轴的交点在负半轴上，则，的大小关系为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由抛物线与轴的交点在负半轴上，得出，从而可得对称轴是直线，开口向下，然后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴交点在负半轴， ∴， ∴对称轴是直线，开口向下， ∴离对称轴越近函数值越大， ∵比离对称轴更近， ∴． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，， ∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴， ∴在中， ， 故答案为：5 16. 在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点为“平衡”点．例如：点，，，，都是“平衡”点．函数图象上的“平衡”点是______． 【答案】 【解析】 【分析】设“平衡”点为，代入求解即可． 【详解】解：设“平衡”点为，代入， 得， 解得， 故函数图象上的“平衡”点是． 三、解答题（本题共10小题，其中17-22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分） 17. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】；整数解为，， 【解析】 【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的整数解即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴不等式组的解集为，整数解为，，． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的运算法则把所给代数式化简，再把代入计算即可． 【详解】解：原式 当时， 原式． 19. 在菱形中，点为的中点．请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）： （1）在图1中，若，作的垂直平分线； （2）在图2中，过点作的平行线． 【答案】（1） 直线即为所求， （2） 直线即为所求， 【解析】 【分析】（1）作直线，则直线即为所求； （2）连接，相交于点O，作直线，则直线即为所求． 【小问1详解】 解：如图1，直线即为所求， 理由：连接， ∵菱形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∵点为的中点， ∴直线是的垂直平分线； 【小问2详解】 解：如图，直线即为所求， 理由：∵四边形是菱形， ∴， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴． 20. 如图，在四边形中，，，，，的垂直平分线交于E，交于F，交的延长线于G，若． （1）求证：四边形是正方形； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：∵的垂直平分线交于E，交于F， ∴， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； （2）a 【解析】 【分析】（1）先根据，判定四边形是矩形，再根据，即可得到四边形是正方形； （2）先判定，得出，再根据正方形中，，即可得到，即． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵正方形中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质的综合应用，等腰三角形的性质和平行线的性质等知识．解决问题的关键是掌握：有一组邻边相等的矩形是正方形；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 21. 随着“人工智能+”的逐步拓展，工具越来越多的渗透到学生学习的各个领域．为了解工具对学生学习生活的影响，某校对该校各年级学生进行了题为“对中学生学习生活影响”的调查问卷，并从参与调查的学生中随机抽取若干同学的调查结果进行整理和分析． 对中学生学习生活影响 亲爱的同学：你好！本次问卷旨在了解工具对你学习生活的影响，共5道题，每题满分20分，总分100分，请根据你的真实情况打分（0-20分，分数越高代表符合程度/影响程度越高），感谢你的配合！ 1．你日常使用工具辅助学习（如答疑、整理知识点、写作辅助等）的频率有多高？ 2．工具对你解决学科难题、提升学习效率的帮助程度有多大？ 3．你认为使用学习，对帮助你学会思考的作用有多大？ 4．工具占用你课后自主学习、运动、社交等时间的程度有多高？ 5．你对合理使用、避免过度依赖工具的自我约束和管控能力有多强？ 你的总分是________分 数据收集与整理：评分结果用x表示（单位：分），将全部评分结果按以下五组进行整理（A：；B：；C：；D：；E：），并绘制统计图，部分信息如下： 数据分析：请根据以上信息，完成下列问题： （1）计算：本次抽样调查共抽取________人，并补全频数直方图； （2）被调查的学生在“对中学生学习生活影响”调查评分的中位数落在________组； （3）研究表明学生评价的平均分高于75分时，可认定为工具对于该群体学生学习有积极影响．若分别用50，60，70，80，90作为A，B，C，D，E这五组评分的平均数，请通过计算分析工具对于该校学生是否有积极影响． 【答案】（1） 120， 补全统计图如下： （2）D （3）工具对于该校学生未产生积极影响． 【解析】 【分析】（1）用E组频数除以其所占的百分比可得到本次抽样调查的总人数，从而得到D组，B组的频数，即可求解； （2）根据中位数的定义解得即可； （3）求出这五组评分的平均数，即可求解． 【小问1详解】 解：本次抽样调查共抽取人， ∴D组的频数为 ∴B组的频数为； 【小问2详解】 解：A，B，C组的频数之和为，A，B，C，D组的频数之和为， ∴被调查的学生在“对中学生学习生活影响”调查评分的中位数落在D组； 【小问3详解】 解：分． ， 工具对于该校学生未产生积极影响． 22. 快递公司为了提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，甲种型号机器人每小时分拣的快递量比乙种型号机器人每小时分拣的快递量多件．甲种型号机器人分拣件快递的时间与乙种型号机器人分拣件快递的时间相同． （1）求甲、乙两种型号的机器人每小时各分拣多少件快递？ （2）已知甲种型号机器人每台万元，乙种型号机器人每台万元．该公司计划购买这两种型号的机器人共台，且这台机器人每小时分拣快递量的总和不少于件．求购买多少台甲种型号的机器人所花总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】（1）甲种型号机器人每小时分拣件快递，乙种型号机器人每小时分拣件快递； （2）购买台甲种型号的机器人所花总费用最少，最少费用是万元． 【解析】 【分析】（）设甲种型号机器人每小时分拣件快递，则乙种型号机器人每小时分拣件快递，根据题意得  ，然后解分式方程并检验即可； （）设购买台甲种型号机器人，则购买台乙种型号机器人，总费用为万元，根据题意得，得出的取值范围，再表示出总费用，然后根据一次函数的性质求出最小费用即可． 【小问1详解】 解：设甲种型号机器人每小时分拣件快递，则乙种型号机器人每小时分拣件快递， 根据题意得  ， ， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合实际意义， ∴（件）， 答：甲种型号机器人每小时分拣件快递，乙种型号机器人每小时分拣件快递； 【小问2详解】 解：设购买台甲种型号机器人，则购买台乙种型号机器人，总费用为万元， 根据题意得，  化简得， 解得， 总费用， ∵， ∴随的增大而增大， 又∵为整数， ∴的最小值为，此时最小值为：（万元）， 答：购买台甲种型号的机器人所花总费用最少，最少费用是万元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式及的值； （2）若为反比例函数图象上的点，且，求满足条件的点坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，求正切值． （1）先求得点的坐标，待定系数法求得，进而求得的坐标和点的坐标，根据正切的定义，即可求解； （2）先求得，则，进而根据三角形的面积公式可得，即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入中， 得， ， 将代入反比例函数中，得， 则反比例函数的表达式为：． 在中，令，则， 令，则． 在中，． 【小问2详解】 由（1）得，， ， ． ， 在中，当时，，此时； 当时，，此时． 故点的坐标为或． 24. 如图，为的直径，射线交于点，过上点作直线于点，交的延长线于点．直线是切线，连接并延长交于点． （1）求证：平分； （2）若，请判断和的数量关系．并证明结论； （3）在（2）的条件下，若半径为1，求图中阴影部分面积_________． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 直线是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2） 解：，证明： 直线是的切线， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质得出，证出，则可得出结论； （2）证明是等边三角形，得出，由直角三角形的性质可得出结论； （3）由（2）得，，由勾股定理求出的长，由三角形的面积及扇形的面积可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）得，， 半径为1， ， ， 图中阴影部分面积． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，并且与轴交于另一点（点在点的右侧），点是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，设点的横坐标为，请用含的代数式表示出的长度； （3）在（2）的条件下，当三角形的面积为6时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点A、B的坐标，然后代入二次函数解析式，求出b、c的值即可； （2）如图，设，则，然后根据求解即可； （3）根据列式求解即可． 【小问1详解】 解：对于， 当时，；当时，， ∴，， 代入抛物线，得 ， 解得， ∴ 【小问2详解】 解：设，， 【小问3详解】 解：如图，连接， ， 解得或， 故或． 26. 在中，，点是边上的一个动点，连接． 【问题发现】 （1）如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，，若，则与的数量关系是_______， _______度； 【类比迁移】 （2）如图，将绕点逆时针旋转得到，点在上，且，若，，则与的数量关系是_______， _______度．请证明你的结论； 【拓展应用】 （3）如图，在（2）的条件下，当点在直线上移动时，其他条件不变，取线段的中点，连接，，当是直角三角形时，求线段的长． 【答案】（1）， （2） 解：，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，即：， ，； （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质和等腰直角三角形的性质，通过证明三角形全等，从而得到线段的数量关系和角度； （2）通过证明两边对应成比例且夹角相等，判定三角形相似，结合相似三角形的性质推导线段关系和角度； （3）结合直角三角形斜边中线的性质，得出，再根据等腰直角三角形的特征求出的长度，分点在线段上和在的延长线上两种情况，利用勾股定理列方程求解线段的长． 【小问1详解】 解：由旋转的性质可知：，， 又， ， 即， 在和中： ， ，， 在中， ，， ， ， ； 综上，与的数量关系是，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知，点是的中点， ， ， ， ， 是直角三角形， ，， ， ， 设，则， ，，， ， ①如图，当点在线段上时， ， ， ， ， ，（舍去）， ②如图，当点在的延长线上时， ， ， ， ， ， ，（舍去）， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $