小升初奥数培优应用题：植树问题（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初奥数培优应用题：植树问题 【知识点梳理】 1. 问题背景与核心特征 “植树问题”是研究总路程、株距（间距）、段数（间隔数）和棵数之间数量关系的应用题。其核心特征是：点与间隔的对应关系。 (1) 关键概念： 1　 总长：路线的全长。 2　 间距：相邻两棵树（或物体）之间的距离。 3　 间隔数：总长被分成的段数，即 。 4　 棵数：树（或物体）的数量。 (2) 核心逻辑：解决植树问题的关键在于判断“两端是否植树”，从而确定棵数与间隔数的关系。 2. 基本模型与公式 模型一：非封闭路线（直线型） 在非封闭的直线上植树，根据两端的情况分为三种类型： 类型 棵数与间隔数的关系 公式 两端都植 棵数 = 间隔数 + 1 只植一端 棵数 = 间隔数 两端不植 棵数 = 间隔数 - 1 记忆技巧：伸出你的手，5根手指代表5棵树，4个指缝代表4个间隔。 (1) 两端都有手指：棵数(5) = 间隔(4) + 1 (2) 切掉一根手指（只植一端）：棵数(4) = 间隔(4) (3) 再切掉一根（两端不植）：棵数(3) = 间隔(4) - 1 模型二：封闭路线（圆形、方形等） 在封闭的曲线上植树，首尾相接，起点和终点重合。 (1) 关系：棵数 = 间隔数 (2) 公式： 1　 2　 3　 3. 常见变式类型 植树问题不仅限于种树，许多生活场景可转化为该模型： (1) 锯木头问题： 1　 次数 = 段数 - 1 （相当于“两端不植”的变种，因为锯口在中间，头尾不需要锯）。 2　 时间 = 每次锯的时间 (段数 - 1)。 (2) 爬楼梯问题： 1　 层数差 = 间隔数。 2　 从1楼到N楼，实际爬了 层。 (3) 敲钟问题： 1　 间隔数 = 敲击次数 - 1。 2　 总时间 = 间隔时间 (敲击次数 - 1)。 (4) 方阵/队列问题：往往涉及封闭路线或二维平面的植树逻辑。 (5) 公交站点问题：通常属于“两端都植”模型（起点站和终点站都有站点）。 4. 解题思维模型 (1) 求间隔数：无论哪种情况，第一步通常先求出 。 (2) 定类型：判断是封闭还是非封闭？非封闭中是两端植、一端植还是两端不植？ (3) 求棵数：根据类型调整加减1的关系。 (4) 注意单位：确保总长和间距单位一致。 【培优练习】 【基础巩固篇】 1. 在一条长100米的公路一侧植树，每隔5米栽一棵（两端都要栽）。一共需要栽多少棵树？ 【详解】 这是典型的“两端都植”模型。 间隔数 = （个）。 棵数 = 间隔数 + 1 = （棵）。 【答案】21棵 2. 学校有一条长80米的小路，准备在小路的一旁每隔4米放一盆花（只在一端放，另一端不放）。需要多少盆花？ 【详解】 这是“只植一端”模型。 间隔数 = （个）。 棵数 = 间隔数 = 20（盆）。 【答案】20盆 3. 两根电线杆相距60米，要在中间每隔5米栽一棵树（两端电线杆处不栽）。需要栽多少棵树？ 【详解】 这是“两端不植”模型。 间隔数 = （个）。 棵数 = 间隔数 - 1 = （棵）。 【答案】11棵 4. 一个圆形池塘周长为120米，每隔3米栽一棵柳树。一共可以栽多少棵柳树？ 【详解】 这是“封闭路线”模型。 棵数 = 间隔数 = （棵）。 【答案】40棵 5. 把一根木头锯成5段，每锯一次需要3分钟。全部锯完需要多少分钟？ 【详解】 锯木头属于“两端不植”的变种，锯的次数 = 段数 - 1。 锯的次数 = （次）。 总时间 = （分钟）。 【答案】12分钟 【进阶提升篇】 6. 小明家住在6楼，他从1楼走到3楼用了30秒。照这样计算，他从1楼走到6楼需要多少秒？ 【详解】 爬楼梯看的是“层数间隔”。 从1楼到3楼，走了 层。 每层用时 = （秒）。 从1楼到6楼，需要走 层。 总时间 = （秒）。 【答案】75秒 7. 时钟6点钟敲6下，10秒钟敲完。那么12点钟敲12下，需要多少秒钟敲完？ 【详解】 敲钟问题看的是“间隔”。 敲6下有 个间隔。 每个间隔用时 = （秒）。 敲12下有 个间隔。 总时间 = （秒）。 【答案】22秒 8. 在一条长200米的跑道两侧插彩旗，每隔5米插一面（两端都要插）。一共需要插多少面彩旗？ 【详解】 注意是“两侧”。 先算一侧： 间隔数 = （个）。 一侧棵数 = （面）。 两侧总数 = （面）。 【答案】82面 9. 一个正方形花坛，每边长10米，要在四周每隔2米摆一盆菊花（四个角都要摆）。一共需要多少盆菊花？ 【详解】 封闭路线，且四个角都摆，可以直接用周长除以间距。 周长 = （米）。 棵数 = （盆）。 验证：每边10米，间隔2米，每边有5个间隔。若单独算每边 盆，4边 ，减去重复计算的4个角， 。结果一致。 【答案】20盆 10. 公交车路线全长12千米，相邻两站之间的路程都是1千米。这条路线一共有多少个车站？ 【详解】 公交线路通常包含起点站和终点站，属于“两端都植”。 间隔数 = （个）。 车站数 = （个）。 【答案】13个 【综合应用篇】 11. 科学家进行一项实验，每隔5小时做一次记录。做第12次记录时，挂钟的时针恰好指向9。问做第一次记录时，时针指向几？ 【详解】 从第1次到第12次，经过了 个间隔。 总时间 = （小时）。 55小时换算成天数和余数： 天 ... 7 小时。 这意味着时针倒推7个小时，或者顺推7个小时（取决于方向，这里用减法更直观，因为是回溯）。 当前是9点，往前推7小时： 。 如果不够减则加12，这里够减。 所以第一次记录时是2点。 【答案】2 12. 有一列火车长180米，每秒行20米。这列火车通过一座长320米的大桥，需要多少秒？ 【详解】 火车过桥问题可视为特殊的植树/行程问题。 总路程 = 车长 + 桥长 = （米）。 时间 = 总路程 速度 = （秒）。 【答案】25秒 13. 某大学从校门口的门柱到教学楼墙根，有一条长1000米的甬路，每边相隔8米栽一棵白杨（门柱和墙根处都不栽）。可以栽白杨多少棵？ 【详解】 “两端不植”模型，且是“每边”。 间隔数 = （个）。 一边棵数 = （棵）。 两边总数 = （棵）。 【答案】248棵 14. 工人师傅把一根钢管锯成4段需要12分钟。如果要锯成8段，需要多少分钟？ 【详解】 锯成4段，锯了 次。 每次用时 = （分钟）。 锯成8段，需要锯 次。 总时间 = （分钟）。 【答案】28分钟 【高阶挑战篇】 15. 一个长方形广场，长100米，宽60米。要在广场四周每隔10米插一面旗帜（四个角都要插）。一共需要插多少面旗帜？ 【详解】 封闭路线。 周长 = （米）。 旗帜数 = （面）。 【答案】32面 16. 某部队进行军训，排成一个实心方阵，最外层每边有10人。这个方阵一共有多少人？ 【详解】 实心方阵总人数 = 每边人数 每边人数。 总人数 = （人）。 扩展：若问最外层有多少人？ 人。 【答案】100人 17. 甲、乙两人在长30米的泳池内游泳。甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5米。两人同时从两端出发，触壁后原路返回，不计转向时间。请问从开始到第3次相遇，经过了多少分钟？ 【详解】 此题为相遇问题与植树/间隔思想的结合（多次相遇）。 第一次相遇，两人合游1个全程。 第二次相遇，两人合游3个全程。 第三次相遇，两人合游5个全程。 速度和 = （米/分）。 总路程 = （米）。 时间 = （分钟）= 1分40秒。 【答案】分钟（或1分40秒） 18. 有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点钟就敲几下。已知敲6下用了5秒钟，那么敲12下需要用多少秒？ 【详解】 敲6下，有5个间隔，用时5秒，说明每个间隔1秒。 敲12下，有11个间隔。 用时 = （秒）。 【答案】11秒 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优应用题：植树问题 【知识点梳理】 1. 问题背景与核心特征 “植树问题”是研究总路程、株距（间距）、段数（间隔数）和棵数之间数量关系的应用题。其核心特征是：点与间隔的对应关系。 (1) 关键概念： 1　 总长：路线的全长。 2　 间距：相邻两棵树（或物体）之间的距离。 3　 间隔数：总长被分成的段数，即 。 4　 棵数：树（或物体）的数量。 (2) 核心逻辑：解决植树问题的关键在于判断“两端是否植树”，从而确定棵数与间隔数的关系。 2. 基本模型与公式 模型一：非封闭路线（直线型） 在非封闭的直线上植树，根据两端的情况分为三种类型： 类型 棵数与间隔数的关系 公式 两端都植 棵数 = 间隔数 + 1 只植一端 棵数 = 间隔数 两端不植 棵数 = 间隔数 - 1 记忆技巧：伸出你的手，5根手指代表5棵树，4个指缝代表4个间隔。 (1) 两端都有手指：棵数(5) = 间隔(4) + 1 (2) 切掉一根手指（只植一端）：棵数(4) = 间隔(4) (3) 再切掉一根（两端不植）：棵数(3) = 间隔(4) - 1 模型二：封闭路线（圆形、方形等） 在封闭的曲线上植树，首尾相接，起点和终点重合。 (1) 关系：棵数 = 间隔数 (2) 公式： 1　 2　 3　 3. 常见变式类型 植树问题不仅限于种树，许多生活场景可转化为该模型： (1) 锯木头问题： 1　 次数 = 段数 - 1 （相当于“两端不植”的变种，因为锯口在中间，头尾不需要锯）。 2　 时间 = 每次锯的时间 (段数 - 1)。 (2) 爬楼梯问题： 1　 层数差 = 间隔数。 2　 从1楼到N楼，实际爬了 层。 (3) 敲钟问题： 1　 间隔数 = 敲击次数 - 1。 2　 总时间 = 间隔时间 (敲击次数 - 1)。 (4) 方阵/队列问题：往往涉及封闭路线或二维平面的植树逻辑。 (5) 公交站点问题：通常属于“两端都植”模型（起点站和终点站都有站点）。 4. 解题思维模型 (1) 求间隔数：无论哪种情况，第一步通常先求出 。 (2) 定类型：判断是封闭还是非封闭？非封闭中是两端植、一端植还是两端不植？ (3) 求棵数：根据类型调整加减1的关系。 (4) 注意单位：确保总长和间距单位一致。 【培优练习】 【基础巩固篇】 1. 在一条长100米的公路一侧植树，每隔5米栽一棵（两端都要栽）。一共需要栽多少棵树？ 2. 学校有一条长80米的小路，准备在小路的一旁每隔4米放一盆花（只在一端放，另一端不放）。需要多少盆花？ 3. 两根电线杆相距60米，要在中间每隔5米栽一棵树（两端电线杆处不栽）。需要栽多少棵树？ 4. 一个圆形池塘周长为120米，每隔3米栽一棵柳树。一共可以栽多少棵柳树？ 5. 把一根木头锯成5段，每锯一次需要3分钟。全部锯完需要多少分钟？ 【进阶提升篇】 6. 小明家住在6楼，他从1楼走到3楼用了30秒。照这样计算，他从1楼走到6楼需要多少秒？ 7. 时钟6点钟敲6下，10秒钟敲完。那么12点钟敲12下，需要多少秒钟敲完？ 8. 在一条长200米的跑道两侧插彩旗，每隔5米插一面（两端都要插）。一共需要插多少面彩旗？ 9. 一个正方形花坛，每边长10米，要在四周每隔2米摆一盆菊花（四个角都要摆）。一共需要多少盆菊花？ 10. 公交车路线全长12千米，相邻两站之间的路程都是1千米。这条路线一共有多少个车站？ 【综合应用篇】 11. 科学家进行一项实验，每隔5小时做一次记录。做第12次记录时，挂钟的时针恰好指向9。问做第一次记录时，时针指向几？ 12. 有一列火车长180米，每秒行20米。这列火车通过一座长320米的大桥，需要多少秒？ 13. 某大学从校门口的门柱到教学楼墙根，有一条长1000米的甬路，每边相隔8米栽一棵白杨（门柱和墙根处都不栽）。可以栽白杨多少棵？ 14. 工人师傅把一根钢管锯成4段需要12分钟。如果要锯成8段，需要多少分钟？ 【高阶挑战篇】 15. 一个长方形广场，长100米，宽60米。要在广场四周每隔10米插一面旗帜（四个角都要插）。一共需要插多少面旗帜？ 16. 某部队进行军训，排成一个实心方阵，最外层每边有10人。这个方阵一共有多少人？ 17. 甲、乙两人在长30米的泳池内游泳。甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5米。两人同时从两端出发，触壁后原路返回，不计转向时间。请问从开始到第3次相遇，经过了多少分钟？ 18. 有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点钟就敲几下。已知敲6下用了5秒钟，那么敲12下需要用多少秒？ 学科网（北京）股份有限公司 $