专项13 正方形与长方形问题-小升初奥数思维提升讲义

小升初经典奥数——正方形与长方形问题 9种类型讲练测 本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！ 三大板块： 经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。 巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。 综合测试——提升综合能力，累积考试经验。 朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的孩子思维得到发展，素养得到提升！ ‌‌ 求规则图形面积时，可以直接使用面积公式；而求不规则图形或组合图形面积时，则可以使用添加辅助线和使用分割、平移、割补、和差、比例、分解、方程等方法进行转化或求解。 长方形和正方形基本公式： 长方形周长=（长+宽）×2 长方形面积=长×宽 正方形周长=边长×4 正方形面积=边长×边长 【分割法求面积】如图多边形的每条边都垂直于它的邻边，且所有的边长都相等,周长是108cm,这个图形的面积是多少平方厘米? 【思维点拨】可以先使用平移法求出每一小格的长度，然后使用分割法把图形分割为若干个小方格，求出一个小方格的面积，在乘以方格个数即可。 【解答】分割如图所示： 把图形分割为1+3+5+7+9+7+5+3+1=41个小方格，每个小方格的边长为： 108÷4÷9=3（厘米） 每个小方格面积：3×3=9（平方厘米） 总面积：9×41=369（平方厘米） 1.正方形ABCD中，E、F、G、H分别为正方形四条边的三等分点。已知正方形EFGH的面积是10平方米，那么正方形ABCD的面积是多少？ 2.用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形,长方形纸片面积分别44cm2与28cm2,原正方形纸片面积是多少平方厘米? 【和差法求面积】两个同样的矩形摆放如左下图,图中单位为cm,每个矩形的面积是多少? 【思维点拨】因为两个长方形相同，从图中观察得出长方形的长、宽之和为10厘米，长、宽之差为2厘米；使用和差公式求出每个长方形的长、宽即可。长=（和+差）÷2，宽=（和-差）÷2 【解答】 长方形的长为：（10+2）÷2=6（厘米） 长方形的宽为：（10-2）÷2=4（厘米） 矩形面积为：6×4=24（平方厘米） 1.用四个一样的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形(如图所示),大、小正方形的面积分别为64cm2和9cm2。问:长方形的宽和长各是多少? 2.两个正方形的面积相差9cm2,边长相差1cm。求两个正方形的面积和。 【割补法求面积】一块长方形纸片,在长边剪去5cm,宽边剪去2cm后，得到的正方形面积比原长方形面积少31cm2。求原长方形纸片的面积。 【思维点拨】因为减去后的图形为正方形，所以可以把减去的不规则图形进行分割成三块，其中一块面积为5×2=10平方厘米，另外两块面积和为31-10=21平方厘米，把这两块拼接为一个长为5+2=7厘米的长方形，利用长方形面积公式求出长方形的宽（即小正方形的边长） 【解答】割补方法如下： （31-5×2）÷（5+2）=3（厘米） 长方形长为5+3=8（厘米） 长方形宽为2+3=5（厘米） 长方形面积为8×5=40（平方厘米） 1.一块正方形的玻璃,长截去2厘米,宽截去3厘米后,剩下的小长方形比原来少29平方厘米,这块正方形玻璃原来的面积是多大? 2.长方形ABCD的周长是20m，在它的每条边上各画一个以该边为边长的正方形(如下图)。已知这四个正方形的面积和是104m2,求长方形ABCD 的面积。 【比例法求面积】如图的长方形被分割成5个正方形，已知每个大正方形比每个小正方形面积大5cm2,求原长方形的面积。 【思维点拨】根据图中观察不难发现：答长方形的长相当于大正方形边长的2倍，又相当于小正方形边长的3倍，所以大小正方形的边长之比为3:2（转化为面积之比），大小正方形的面积差为5平方厘米，运用面积差比方法求解大小正方形的面积即可。 【解答】 大小正方形边长之比为3:2，所以大小正方形面积之比为32:22=9:4 大小正方形的面积之差为5平方厘米 大正方形面积为5÷（9-4）×9=9（平方厘米） 小正方形面积为5÷（9-4）×4=4（平方厘米） 长方形面积为9×2+4×3=30（平方厘米） 1.如图由两个相同的正方形和三个相同的长方形组成，它的周长为104cm，其中一个长方形ABCD的宽是长的。求长方形 ABCD 的面积。 2.如图的长方形被分割成5个正方形，已知原长方形的面积为120cm2,求原长方形的长与宽。 【方程法求面积】如图的长方形被分割成6个正方形，已知中央小正方形的面积为1cm2。求原长方形的面积。 【思维点拨】如下图所示，因为①小正方形的面积为1平方厘米，所以其边长为1厘米。设②正方形的边长为x厘米，则③正方形边长为1+x厘米，④正方形边长为2+x厘米，⑤正方形的边长为3+x厘米。又因为⑤正方形的边长是②正方形边长的2倍少1厘米。所以得出方程2x-1=3+x，得x=4，再计算出每个正方形的面积后相加得到长方形面积。 【解答】 解：设②正方形的边长为x厘米，则③正方形边长为1+x厘米，④正方形边长为2+x厘米，⑤正方形的边长为3+x厘米。 x-1=3+x， 得x=4 长方形面积：1+42×2+（1+4）2+（2+4）2+（3+4）2 =1+32+25+36+49 =143（平方厘米） 1.如图，长方形 ABCD中有6个形状,大小相同的小长方形,根据图中所标尺寸，求小长方形的面积。 2. 9张正方形的纸a，b，c，d，e，f，g，h，i拼成如图的长方形，如果正方形纸片d，e的边长分别是4和7，求大长方形的面积。 【平移法求面积】有一块白色的正方形桌布,边长16厘米,桌布的中间横竖有两道宽为3厘米的蓝条。问:这块白色的面积是多少? 【思维点拨】如下图所示，把把桌布中间的横竖蓝条平移到旁边后，空白部分还是一个正方形，空白正方形的边长为16-3×2=10厘米，白色部分面积为10×10=100（平方厘米） 【解答】 （16-3×2）2=100（平方厘米） 1.有一块白色的正方形桌布,边长60厘米,桌布的中间横竖有3道宽为2厘米的蓝条。问:这块布白色的面积是多少? 2.要在一块正方形的绿化区域内修一个长方形的水池,已知正方形区域的边长为36米,长方形的四个角的顶点恰好把正方形的每一条边都分成两段,其中长的一段是短的一段的两倍,水池以外的实际绿化区域的面积是多少平方米? 【公式法求面积】 某工人要截取一块铁皮。如果宽截去3米,或者长截去5米,则面积均减少了30平方米。那么这块铁皮原来的面积是多少? 【思维点拨】宽减少3米，长没有变化，由减少的面积除以减少的宽可以求出原来的长；同理，可以求出原来的宽。 【解答】 原来的长：30÷3=10（米） 原来的宽：30÷5=6（米） 原来的面积：10×6=60（平方米） 1.一个长方形的长增加3米,长方形的面积就增加12平方米；如果宽减少2米,长方形面积就减少14平方米。问:原来的长方形面积是多少平方米? 2. 一个长方形,如果宽增加2厘米,则面积增加16平方厘米；若长增加2厘米,则面积增加10平方厘米。若长和宽都增加2厘米,面积增加多少平方厘米? 【分解法求面积】从一块正方形木板上锯下宽5cm的一个木条后,剩下的面积是750cm2。问:锯下的木条面积是多少? 【思维点拨】由于原来木板是一个正方形，现在木板锯下宽5厘米一个木条后，变为了一个长方形，此长方形的长为原来正方形的边长，宽为边长减去5厘米。此时长方形木板的面积为750平方厘米，可以把750分解成两个因数的积，使此两个因数相差5即可。 【解答】 750=5×5×5×2×3=25×30=30×（30-5） 所以正方形木板的边长为30厘米 锯下的每条的面积为30×5=150（平方厘米） 1.从一块正方形土地上，划出一块宽为10米的长方形土地(如下图),剩下的长方形土地面积是1575平方米。那么，划出的长方形土地的面积是多少? 2.如图，ABCD是正方形，长方形AEFD的面积是150cm2，EB=5cm，求红色部分面积。 【整体法求周长】如图所示,放置四块相同的木块在桌子旁边。求桌子的高度。（单位：cm） 【思维点拨】设木块的长为x厘米，宽为y厘米。桌子高为38+x-y或52+y-x 【解答】 38+x-y=52+y-x 2（x-y）=52-38 x-y=7 所以桌子高度：38+7=45（厘米） 1.在长方形ABCD中，已知阴影部分是正方形，FB=3厘米，DE=5厘米。求长方形ABCD的周长。 2.如图,甲、乙、丙、丁四个长方形拼成一个正方形EFGH,中间阴影为正方形。已知甲、乙丙、丁四个长方形面积的和是32cm2,四边形ABCD的面积是20cm2,求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和。 时间：60分钟 1.用四个相同的长方形拼成一个面积为100cm2的大正方形(见右上图)，每个长方形的周长是多少厘米? 2.有一个长方形,如果宽减少2米,或长减少3米,则面积均减少24平方米。求这个 长方形的面积。 3.从一块面积为12m2的长方形木板上锯下宽为m的一个木条后,剩下的面积是9m2,求剩下部分的周长。 4.有一块黑白格子布,白色大正方形和白色小正方形的面积之比为4:1。问:这块布中白色面积占总面积的几分之几? 5.10个相同的小矩形拼成一个面积为30cm2的大矩形(如右图)。求大矩形的周长。 6.有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片,放在一个底面为正方形的盒内,它们之间互相叠合(如图),已知露在外面的部分中,红色面积是20,黄色面积是14,绿色面积是10。求正方形盒底的面积。 7.一个长方形被两条直线分成四个长方形(右图)，其中三个的面积分别是12m2，8m2，20m=2,求另一个(图中阴影部分)长方形的面积。 8.如图所示,在长方形ABCD中，AB=12cm,截去一个正方形EBCF后,求剩下的长方形AEFD的周长。 9.用同样大小的长方形小纸片摆成如图所示图形，已知每张小纸片的宽是12cm,求阴影部分的总面积。 10.将一个大正方形划分成21个相同的小长方形(如图),已知每一个小长方形的周长恰好是100cm,求大正方形的面积。 11.如图所示，在正方形ABCD中，红色、绿色正方形的面积分别是52和13，且红、绿两个正方形有一个顶点重合。黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点。求黄色正方形的面积。 12.一块正方形的玻璃,长截去2厘米,宽截去6厘米后,剩下的小长方形比原来少308平方厘米。原来正方形玻璃的面积是多少平方厘米? 13.有大、小两个长方形,对应边的距离均为1cm,已知两个长方形之间部分的面积是16cm2,且小长方形的长是宽的2倍,求大长方形的面积。 【巩固提升】参考答案 1.正方形ABCD中，E、F、G、H分别为正方形四条边的三等分点。已知正方形EFGH的面积是10平方米，那么正方形ABCD的面积是多少？ 【思维点拨】根据三等分点，把答正方形分割为9个相等的小正方形，正方形EFGH的面积为10平方米，相当于5个小正方形的面积，每个小正方形面积为10÷5=2（平方米），所以大正方形的面积为2×9=18（平方米） 【解答】 a+b为一个小正方形面积 小正方形面积为：10÷5=2（平方米） 答正方形面积为：2×9=18（平方米） 2.用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形,长方形纸片面积分别44cm2与28cm2,原正方形纸片面积是多少平方厘米? 【思维点拨】根据题意两个长方形面积之差为44-28=16（平方厘米），如图所示，16平方厘米为一个小正方形的面积16=42，所小正方形的边长为4厘米，中正方形的边长为28÷4=7（厘米），正方形纸片面积为7×7=49（平方厘米） 【解答】 44-28=16=4×4 正方形纸片边长为28÷4=7（厘米） 正方形纸片面积为7×7=49（平方厘米） 1.用四个一样的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形(如图所示),大、小正方形的面积分别为64cm2和9cm2。问:长方形的宽和长各是多少? 【思维点拨】通过大小正方形的面积可以得出但正方形的边长分别为8厘米、3厘米。8厘米为大正方形边长即每个长方形的长、宽之和，3厘米为小正方形边长即长方形长、宽之差为3厘米，再运用和差法就可求出长方形的长与宽。 【解答】 64=8×8 9=3×3 长+宽=8厘米 长-宽=3厘米 长=（8+3）÷2=5.5（厘米） 宽=（8-3）÷2=2.5（厘米） 2.两个正方形的面积相差9cm2,边长相差1cm。求两个正方形的面积和。 【思维点拨】设大正方形边长为a厘米，小正方形边长为b厘米，则a2-b2=9，a-b=1 因为a2-b2=（a+b）（a-b）=9，所以a+b=9，a-b=1，再运用和差法求解。 【解答】 解：设大正方形边长为a厘米，小正方形边长为b厘米 则a2-b2=9，a-b=1 因为a2-b2=（a+b）（a-b）=9，所以a+b=9，a-b=1 得到a=（9+1）÷2=5（厘米） b=（9-1）÷2=4（厘米） 所两个正方形面积之和为a2+b2=5×5+4×4=41（平方厘米） 或分割法求解： （9-1×1）÷2=4（平方厘米） 小正方形边长为4÷1=4（厘米） 大正方形边长为4+1=5（厘米） 大小正方形面积和为5×5+4×4=41（平方厘米） 1.一块正方形的玻璃,长截去2厘米,宽截去3厘米后,剩下的小长方形比原来少29平方厘米,这块正方形玻璃原来的面积是多大? 【思维点拨】此题可以使用割补法进行求解，关键抓住正方形边长相等有利条件，把截去的玻璃何在一起，再添加一个阴影部分，刚好合成一个以正方形边长为长、以2+3=5厘米为宽的长方形。如图所示 【解答】 玻璃边长为：（29+2×3）÷（2+3）=7（厘米） 正方形玻璃面积：7×7=49（平方厘米） 2.长方形ABCD的周长是20m，在它的每条边上各画一个以该边为边长的正方形(如下图)。已知这四个正方形的面积和是104m2,求长方形ABCD 的面积。 【思维点拨】如下图所示，再借助一个长方形ABCD，按下图方法合并成一个正方形（红色线条正方形），正方形的边长为长方形ABCD的长+宽的和，即20÷2=10米，拼成的红色正方形面积为10×10=100平方米，减去两个白色正方形面积，得到2个长方形ABCD的面积为100-104÷2=48平方米，所以长方形ABCD的面积为48÷2=24平方米。 【解答】 大正方形边长为：20÷2=10（米） 长方形ABCD面积为（10×10-104÷2）÷2=24（平方米） 1.如图由两个相同的正方形和三个相同的长方形组成，它的周长为104cm，其中一个长方形ABCD的宽是长的。求长方形 ABCD 的面积。 【思维点拨】如图所示，通过平移法，使原来组合图形周长转化为长方形EFGH的周长；EF+FG=104÷2=52（厘米），EF:FG=（2+2+2）：（2+2+3）=6:7，利用和比问题可以求出EF和EG的长度，再求出长方形ABCD的长与宽即可求解。 【解答】 EF+FG=104÷2=52（厘米） EF:FG=（2+2+2）：（2+2+3）=6:7 EF=52÷（6+7）×6=24（厘米），所以AD=24÷3=8（厘米） FG=52÷（6+7）×7=28（厘米），所以AD=28-8×2=12（厘米） 长方形ABCD的面积：12×8=96（平方厘米） 2.如图的长方形被分割成5个正方形，已知原长方形的面积为120cm2,求原长方形的长与宽。 【思维点拨】观察上图，很容易得出大、小正方形边长之比为3:2，则原长方形长与宽之比为（3+3）：（3+2）=6:5。把长方形面积进行分解120=12×10（符合长宽之比6:5），所以长方形长为12厘米，宽为10厘米。 【解答】 大小正方形边长之比为3:2 原长方形长与宽之比为（3+3）：（3+2）=6:5。 把长方形面积进行分解120=12×10（符合长宽之比6:5） 长为12厘米，宽为10厘米。 1.如图，长方形 ABCD中有6个形状,大小相同的小长方形,根据图中所标尺寸，求小长方形的面积。 【思维点拨】仔细观察发现，长方形ABCD的长相当于一个小长方形长与3倍的宽之和，其宽相当于一个小长方形的长与宽之和。通过方程法可以求出小长方形的长和宽。 【解答】 设一个小长方形的长为x厘米，宽为y厘米。 X+3y=16 8+2y=x+y即x=8+y 把x=8+y代入方程X+3y=16，可以得到y=2，x=10 所以小长方形面积为10×2=20（平方厘米） 2. 9张正方形的纸a，b，c，d，e，f，g，h，i拼成如图的长方形，如果正方形纸片d，e的边长分别是4和7，求大长方形的面积。 【思维点拨】可以用方法解答，假设最小正方形h的边长为x，依次用字母表示出哥哥正方形的边长，然后建立等量关系求出x即可。 【解答】 已知正方形纸片d，e的边长分别是4和7。 假设上图中，最小的正方形h的边长为x，可以依次推导出： ①正方形f的边长为：x＋7； 正方形b的边长为：x＋7＋7＝x＋14； 正方形a的边长为：x＋14＋7－4＝x＋17； ②正方形g的边长为：4＋7－x＝11－x； 正方形c的边长为：11－x＋4＝15－x； 正方形a的边长为：15－x＋4＝19－x。 正方形a的边长是一定的，可得： x＋17＝19－x 解得：x＝1 则正方形c的边长为：15－x＝15－1＝14（厘米） 正方形b的边长为：x＋14＝1＋14＝15（厘米） 正方形a的边长为：x＋17＝1＋17＝18（厘米） 拼成的大长方形的长为：18＋15＝33（厘米） 拼成的大长方形的宽为：18＋14＝32（厘米） 所求大长方形的面积为： 33×32＝1056（平方厘米） 1.有一块白色的正方形桌布,边长60厘米,桌布的中间横竖有3道宽为2厘米的蓝条。问:这块布白色的面积是多少? 【思维点拨】如下图所示，把把桌布中间的横竖蓝条平移到旁边后，空白部分还是一个正方形，空白正方形的边长为60-3×2=54厘米，白色部分面积为54×54=2916（平方厘米） 【解答】 空白正方形的边长为60-3×2=54（厘米） 白色部分面积为54×54=2916（平方厘米） 2.要在一块正方形的绿化区域内修一个长方形的水池,已知正方形区域的边长为36米,长方形的四个角的顶点恰好把正方形的每一条边都分成两段,其中长的一段是短的一段的两倍,水池以外的实际绿化区域的面积是多少平方米? 【思维点拨】通过分割在平移把阴影部分合并成两个正方形（如图所示）。通过这两个正方形边长关系求出边长，在求出绿化区域面积即可。 【解答】 大正方形边长为36÷4=9（米） 两个小正方形边长分别为：9÷（2+1）×2=6（米），9-6=3（米） 绿化区域面积为3×3+6×6=45（平方米） 1.一个长方形的长增加3米,长方形的面积就增加12平方米；如果宽减少2米,长方形面积就减少14平方米。问:原来的长方形面积是多少平方米? 【思维点拨】长增加3米，宽没有变化，由增加的面积除以增加的长可以求出原来的宽；同理，可以求出原来的长。 【解答】 原来的宽：12÷3=4（米） 原来的长：14÷2=7（米） 原来的面积：4×7=28（平方米） 2. 一个长方形,如果宽增加2厘米,则面积增加16平方厘米；若长增加2厘米,则面积增加10平方厘米。若长和宽都增加2厘米,面积增加多少平方厘米? 【思维点拨】同上 【解答】 原来的长为16÷2=8（厘米） 原来的宽为10÷2=5（厘米） 原来的面积8×5=40（平方厘米） 现在的面积（8+2）×（5+2）=70（平方厘米） 增加面积70-40=30（平方厘米） 1.从一块正方形土地上，划出一块宽为10米的长方形土地(如下图),剩下的长方形土地面积是1575平方米。那么，划出的长方形土地的面积是多少? 【思维点拨】剩下的长方形长与宽相差10米，把面积分解为两个因数的乘积，且这两个因数相差10即可 【解答】 1575=45×35（相差10） 所以原来正方形边长为45米 划出的土地面积为45×10=450（平方米） 2.如图，ABCD是正方形，长方形AEFD的面积是150cm2，EB=5cm，求红色部分面积。 【思维点拨】方法同上 【解答】 150=15×10（相差5） 红色部分面积为15×5=75（平方厘米） 1.在长方形ABCD中，已知阴影部分是正方形，FB=3厘米，DE=5厘米。求长方形ABCD的周长。 【思维点拨】本题无法求出长方形的长与宽的长度，但是长于宽之和可以求出，即可以先求出整体：“长+宽”。因为FB=BC+EC,长+宽=DE+EC+BC=5+3=8厘米，再求出周长即可。 【解答】（5+3）×2=16（厘米） 2.如图,甲、乙、丙、丁四个长方形拼成一个正方形EFGH,中间阴影为正方形。已知甲、乙丙、丁四个长方形面积的和是32cm2,四边形ABCD的面积是20cm2,求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和。 【思维点拨】四边形ABCD的面积=S（甲+乙+丙+丁）÷2+阴影部分面积；即32÷2+阴影部分面积=20，所以阴影部分面积为20-32÷2=4（平方厘米），所以正方形EFGH的面积为32+4=36（平方厘米）=6×6，所以正方形EFGH的边长为6厘米。因为甲、乙、丙、丁四个长方形周长为正方形EFGH周长的2倍，即6×4×2=48（厘米）。 【解答】 阴影小正方形面积=20-32÷2=4（平方厘米） 正方形EFGH的面积=32+4=36（平方厘米）=6×6 正方形EFGH的边长为6厘米 甲、乙、丙、丁四个长方形的周长之和=6×4×2=48（厘米） 【综合测试】参考答案 1.用四个相同的长方形拼成一个面积为100cm2的大正方形(见右上图)，每个长方形的周长是多少厘米? 【思维点拨】大正方形的边长等于一个小长方形周长的一半 【解答】 100=10×10 小长方形长+宽=10（厘米） 小长方形周长：10×2=20（厘米） 2.有一个长方形,如果宽减少2米,或长减少3米,则面积均减少24平方米。求这个 长方形的面积。 【思维点拨】直接用公式法求解 【解答】 长为24÷2=12（米） 宽为24÷3=8（米） 面积为12×8=96（平方米） 3.从一块面积为12m2的长方形木板上锯下宽为m的一个木条后,剩下的面积是9m2,求剩下部分的周长。 4.有一块黑白格子布,白色大正方形和白色小正方形的面积之比为4:1。问:这块布中白色面积占总面积的几分之几? 【思维点拨】把上面图形划分为9个相同部分，每个部分大白色正方形面积与小白色正方形的面积之比仍然为4:1，所以大小白色正方形的边长之比为2:1，大小表示正方形边长与大正方形（黑白之和）的比为2：（1+2）=2:3,1：（1+2）=1:3。所以大、小白色正方形的面积与大正方形面积的比为22：32=4:9,12：32=1:9。所以白色部分面积占总面积的+=。 【解答】 大白色正方形边长：小白色正方形边长=1:2 大白色正方形边长：大正方形边长=为2：（1+2）=2:3 小白色正方形边长：大正方形边长=1：（1+2）=1:3 大白色正方形面积：大正方形面积=22：32=4:9 小白色正方形面积：大正方形面积=12：32=1:9 白色部分面积占总面积的分率：+= 5.10个相同的小矩形拼成一个面积为30cm2的大矩形(如右图)。求大矩形的周长。 【思维点拨】观察图形，通过大长方形的第一层和第二层可以得出小长方形的长、宽之比为4:3，所以大长方形的长、宽之比为（4×3）：（3+4+3）=6:5.在通过长方形的面积可以求出大长方形的长为6厘米，宽为5厘米，周长为22厘米。 【解答】 小长方形长：宽=4:3 大长方形长：宽=（4×3）：（3+4+3）=6:5 大长方形面积为30平方厘米，30=6×5 所以大长方形的长为6厘米，宽为5厘米 大长方形的周长为（6+5）×2=22（厘米） 6.有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片,放在一个底面为正方形的盒内,它们之间互相叠合(如图),已知露在外面的部分中,红色面积是20,黄色面积是14,绿色面积是10。求正方形盒底的面积。 【思维点拨】利用分割法，寻找到面积及边之间的关系即可。 【解答】 解:根据题意,得到各块面积如右图所示。矩形EFCD面积为20+10+2=32,因为==,所以 ABCD 面积为32×(1+)=51.2 7.一个长方形被两条直线分成四个长方形(右图)，其中三个的面积分别是12m2，8m2，20m=2,求另一个(图中阴影部分)长方形的面积。 【思维点拨】根据底高模型关系：高相等，面积之比为底之比，所以上面两个长方形面积之比为8:12，下面两个长方形的面积之比页等于8:12 【解答】 解：设阴影部分面积为x 8:12=20：x 解得x=30 8.如图所示,在长方形ABCD中，AB=12cm,截去一个正方形EBCF后,求剩下的长方形AEFD的周长。 【思维点拨】因为EBCF为正方形，所以EB=EF,阴影部分周长为（AE+EF）×2=（AE+EB）×2=120×2 【解答】 120×2=240（厘米） 9.用同样大小的长方形小纸片摆成如图所示图形，已知每张小纸片的宽是12cm,求阴影部分的总面积。 【思维点拨】从图中上面2层可以得出小长方形的5条长等于3条长+3条宽，所以小长方形的长与宽的比为3:2。再求出小长方形的长为12÷2×3=18（厘米），每个小长方形的面积为18×12=216（平方厘米），再求出22个小长方形的面积和大长方形的总面积，作差即可求解。 【解答】 小长方形的长与宽的比为3:2 小长方形的长为12÷2×3=18（厘米） 每个小长方形的面积为18×12=216（平方厘米） 22个小长方形面积216×22=4752（平方厘米） 总面积为（18×5）×（18+12×3）=90×54=4860（平方厘米） 阴影部分面积：4860-4752=108（平方厘米） 10.将一个大正方形划分成21个相同的小长方形(如图),已知每一个小长方形的周长恰好是100cm,求大正方形的面积。 【思维点拨】大正方形中，每个小长方形的长：宽=7:3，长+宽=100÷2=50（厘米） 可以求出每个小长方形的长与宽，再求出大正方形的边长和面积即可。 【解答】 小长方形的长：宽=7:3 长+宽=100÷2=50（厘米） 长=50÷（3+7）×7=35（厘米） 大正方形边长为35×3=105（厘米） 答正方形面积为105×105=11025（平方厘米） 11.如图所示，在正方形ABCD中，红色、绿色正方形的面积分别是52和13，且红、绿两个正方形有一个顶点重合。黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点。求黄色正方形的面积。 【思维点拨】关键是抓住红色和绿色正方形的面积关系，再转化为边长关系，利用分割法求解。 【解答】 解:红色正方形面积是绿色正方形的52÷13=4倍，所以红色正方形边长是绿色正方形的2倍。又因为黄色正方形边长是红、绿正方形边长之和的一半，所以黄色正方形可以被分割成面积相等的9个小正方形(如图所示)，每个小正方形面积是绿色正方形的,黄色正方形面积等于 13÷4×9=29 12.一块正方形的玻璃,长截去2厘米,宽截去6厘米后,剩下的小长方形比原来少308平方厘米。原来正方形玻璃的面积是多少平方厘米? 【思维点拨】此题可以使用割补法进行求解，关键抓住正方形边长相等有利条件，把截去的玻璃何在一起，再添加一个阴影部分，刚好合成一个以正方形边长为长、以2+6=8厘米为宽的长方形。如图所示 【解答】 玻璃边长为：（308+2×6）÷（2+6）=40（厘米） 正方形玻璃面积：40×40=1600（平方厘米） 13.有大、小两个长方形,对应边的距离均为1cm,已知两个长方形之间部分的面积是16cm2,且小长方形的长是宽的2倍,求大长方形的面积。 【思维点拨】通过分割法，把16平方厘米的面积分成了8个部分，其中4个小正方形的面积分别为1平方厘米，其余4个长方形面积之和为16-4=12（平方厘米），这4个长方形的长之和为12÷1=12（厘米），根据题意之间长方形的长与宽的比为2:1，所以之间长方形的长为12÷2÷（2+1）×2=4（厘米），宽为4÷2=2（厘米），所以大长方形的长为4+2=6（厘米），宽为2+2=4（厘米），面积即可求解 【解答】 16-1×1×4=12（平方厘米） 之间小长方形长为12÷2÷（2+1）×2=4（厘米）， 宽为4÷2=2（厘米）， 所以大长方形的长为4+1×2=6（厘米），宽为2+1×2=4（厘米）， 大长方形面积为6×4=24（平方厘米） 2 学科网（北京）股份有限公司 $$