精品解析：2026年江苏泰州市初中学业水平适应性试题（一）【泰州卷】数学试题

2026年初中学业水平适应性试题（一）【泰州卷】 数学试题 注意事项： 1．本试题共6页，26小题，考试时间120分钟，试卷满分150分． 2．本试题分为第一部分和第二部分，共两部分； 3．所有试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效； 4．作图题必须用2B铅笔，且加黑加粗． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 计算的结果是（ ） A. 3 B. C. 13 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别计算绝对值和乘方，再计算加法即可． 【详解】解： ． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂除法法则，积的乘方法则和完全平方公式，逐一判断各选项运算是否正确． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不合题意； B．，故该选项计算错误，不合题意； C．，故该选项计算正确，符合题意； D．，故该选项计算错误，不合题意． 3. 如图，在平行四边形中，分别是边上的点，连接相交于点，延长交的延长线于点，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，根据相似三角形的性质列出比例式，判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，错误、正确，符合题意； ，正确，不符合题意； ，正确，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 4. 某射击队要从甲、乙两名运动员中选拔一名参加决赛，两人在相同条件下各打靶5次，成绩如下：甲：8，9，9，10，9；乙：8，8，9，10，10．教练最终选择了甲，他最看重的数据是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算甲乙两人成绩的平均数、众数、中位数、方差，根据各统计量的结果判断，方差反映数据的波动程度，方差越小成绩越稳定． 【详解】解：将甲乙成绩从小到大排序，甲为8，9，9，9，10，乙为8，8，9，10，10， ∴甲的中位数为9，乙的中位数为9，两人中位数相同，排除C选项； 平均数：，， ∴两人平均数相同，排除A选项； 甲的众数为9，乙的众数为8和10，众数不是选拔运动员稳定发挥的核心判断依据，排除B； 方差：∵， ， ∴，甲的成绩更稳定，因此教练最看重的数据是方差．    5. 如图，将一平行四边形纸片沿着虚线EF剪成两个全等的梯形纸片，点E，F分别在边AD，BC上． AB＝5， AD＝10，tan∠BAD＝，∠AEF＝45°，则AE的长为（ ） A. 1.5 B. 7 C. 8 D. 8.5 【答案】D 【解析】 【分析】分别过点B、F作BM⊥AD于点M，作FN⊥AD于点N，则四边形BMNF是矩形，再利用已知的角度和三角函数值找到边长间的关系，利用全等梯形的性质列方程，进行计算解答． 【详解】分别过点B、F作BM⊥AD于点M，作FN⊥AD于点N，则四边形BMNF是矩形， ∴BF＝MN，BM＝FN， 在Rt△ABM中，AB＝5，tan∠BAD＝， ∴BM＝3，AM＝4， ∴BM＝FN＝3， 而Rt△FNE中，∠AEF＝45°， ∴NE＝FN＝3， 设BF ＝a，则MN＝a， 而沿着虚线EF剪成的两个梯形纸片全等， ∴BF＝ED， ∴AM＋MN＋NE＋ED＝AD，即：4＋a＋3＋a＝10，解得a＝， ∴AE＝AM＋MN＋NE＝4＋＋3＝8.5， 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角函数值、方程思想，比较综合． 6. 如图，正方形的边长为，延长至使，以为边长在上方作正方形，延长交于，连接，，为的中点，连接分别与交于点．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形的性质得到FG=BE=2，∠FGB=90°，AD=4，AH=2，∠BAD=90°，求得∠HAN=∠FGN，AH=FG，根据全等三角形的定理得到△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；根据全等三角形的性质得到∠AHN=∠HFG，推出∠AFH≠∠AHF，得到∠AFN≠∠HFG，故②错误；根据矩形的性质得到DM=AG=2，根据三角形的面积公式即可得到，故③错误；根据全等三角形的性质得到AN=AG=1，根据相似三角形的性质得到∠AHN=∠AMG，根据平行线的性质得到∠HAK=∠AMG，根据直角三角形的性质得到，故④正确． 【详解】解：∵四边形EFGB是正方形，EB=2，∴FG=BE=2，∠FGB=90°， ∵四边形ABCD是正方形，H是AD的中点，∴AD=4，AH=2，∠BAD=90°， ∴∠HAN=∠FGN，AH=FG， ∵∠ANH=∠GNF， ∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正确； ∴∠AHN=∠HFG， ∵AG=FG=AH=2，∴AF=FG=AH， ∴∠AFH≠∠AHF， ∴∠AFN≠∠HFG，故②错误； ∵延长FG交DC于M，∴四边形ADMG是矩形， ∴，， ∴，故③错误； ∵△ANH≌△GNF，∴AN=AG=1， ∵GM=BC=4，∴， ∵∠HAN=∠AGM=90°，∴△AHN∽△GMA， ∴∠AHN=∠AMG， ∵∠AHK=∠HAK，∴AK=HK=NK，故④正确． 故答案选B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、矩形的判定和性质、直角三角形的性质． 第二部分 非选择题（132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 故答案为：． 8. 泰州凤城河风景区五一假期共接待游客约268000人次，将268000用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 9. 已知一个正多边形的一个内角等于，则这个多边形的边数是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角和定理．根据已知，求这个多边形的一个内角的邻补角，即可得这个多边形的一个外角的度数，结合多边形的外角和，即可得这个多边形的边数． 【详解】解：∵正多边形的一个内角为， ∴其一个外角为， ∵多边形的外角和为， ∴这个多边形的边数为． 故答案为：． 10. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 11. 如图，正六边形ABCDEF的顶点B、C分别在正方形AGHI的边AG、GH上，如果，那么CH的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出正六边形的内角的度数，根据直角三角形的性质求出BG、CG，根据正多边形的性质计算． 【详解】解：正六边形的内角的度数， 则， ， ，， ， 四边形AGHI是正方形， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正多边形的有关计算，掌握正多边形的性质、内角的计算公式是解题的关键，还考查了解直角三角形． 12. 已知点在反比例函数的图像上，则与的大小关系是___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：在反比例函数中，， 函数图象分布在二、四象限，在每一个分支的图象上，y随x的增大而增大， ， ∴点在第二象限，点在第四象限， ∴， ∴． 13. 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分．某队参赛12场，总得分为20分．设该队胜了x场，则可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据参赛总场数用表示出负场的场数．再根据总得分等于胜场得分与负场得分的和列出方程． 【详解】解：设该队胜了场，则负了场， 胜场得分为分，负场得分为分， 故可列方程为． 14. 如图，四边形是的内接四边形，且， ，垂足分别为，若，则_____． 【答案】5． 【解析】 【分析】连接DO并延长，与⊙O相交于点G，连接BG，CG，由AC⊥BD， DG是直径，可得∠DBG=90°=∠DCG可证AC∥BG，可得，可得AB=CG，由OF⊥CD，可证OF∥CG，可证△DOF∽△DGC，由性质，由OF=，可求CG即可． 【详解】解：如图，连接DO并延长，与⊙O相交于点G，连接BG，CG， ∵AC⊥BD，DG是直径， ∴∠DBG=90°=∠DCG， ∴BG⊥DB, ∴AC∥BG， ∴， ∴AB=CG， ∵OF⊥CD， ∴OF∥CG， ∴∠DOG=∠DGC ∴△DOF∽△DGC，， ∴， ∵OF=， ∴CG， 所以AB=CG=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查平行弦的性质，圆的性质，直径所对圆周角的性质，相似三角形的判定与性质，掌握平行弦的性质，圆的性质，直径所对圆周角的性质，相似三角形的判定与性质是解题关键． 15. “黄金螺旋”的画法通常以斐波那契数列为边长作正方形，再画四分之一圆弧连接而成．若换用数列（从第三项起，每一项等于前两项之和）作为正方形的边长，按同样方式构造螺旋线．如图，最小的正方形边长为2，依次得到边长分别为2，2，4，6，10的五个正方形，并在每个正方形内画圆心角为的圆弧，连成一段螺旋线，则这段螺旋线的长度为___________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】这段螺旋线由5段圆心角为的圆弧组成，每段圆弧的半径等于对应正方形的边长，利用弧长公式计算各段弧长后求和即可得到总长度． 【详解】解：根据弧长公式，其中为圆心角度数，为圆弧半径， 由题意得，5段圆弧的半径依次为2，2，4，6，10， 分别计算各段弧长： ，，，，， 总螺旋线长度为：． 16. 如图是一张矩形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝6，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在矩形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边上的高的长是_____． 【答案】或或6 【解析】 【分析】分情况讨论：①当AP＝AE＝5时，则△AEP是等腰直角三角形，得出底边PE＝AE＝5，由等腰直角三角形的性质可求AH的长； ②当P'E＝AE＝5时，求出BE，由勾股定理求出P'B，再由勾股定理求出AP'，由锐角三角函数可求EM的长； ③当P''A＝P''E时，由平行线间距离处处相等，可求AD＝6，即可得出结论． 【详解】解：①当AP＝AE＝5时，如图所示：过点A作AH⊥PE于H， ∵∠BAD＝90°， ∴△AEP是等腰直角三角形， ∴底边PE＝AE＝5， ∵AH⊥PE，△AEP是等腰直角三角形， ∴AH＝PE＝； ②当P'E＝AE＝5时， ∵BE＝AB﹣AE＝8﹣5＝3，∠B＝90°， ∴P'B＝＝4， ∴底边AP'＝＝＝4， ∵tan∠P'AB＝， ∴， ∴ME＝； ③当P''A＝P''E时， ∵AB∥CD， ∴底边AE的高为AD＝6； 综上所述：等腰三角形AEP的底边上的高的长是或或6． 故答案为：或或6． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 三、解答题（本大题共有10题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算和解不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质、特殊角三角函数值以及零指数幂的运算法则分别化简各项，然后再合并即可； （2）分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后再取它们的公共部分即可得到不等式组的解集． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， 解①，得 ， 解②，得 ， ∴原不等式组的解集为． 18. 某校为了解九年级同学的中考体育考试准备情况，随机抽查该年级部分学生进行体育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）分为四个类别：，，，，将分类结果制成如下两幅统计图（尚不完整）． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽样的样本容量为　　　　； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中a的值为　　　　，圆心角的度数为　　　　； （4）若九年级有612名学生，估计测试成绩少于54分的学生有多少名？ 【答案】（1）60 （2） 补全后的条形统计图如下所示： （3）20， （4）306名 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图与扇形统计图的综合应用，利用样本估计总体等，能看懂统计图是解题的关键． （1）根据D组的人数和百分比即可求出样本容量； （2）根据C组所占的百分比即可求出C组的人数； （3）根据A组的人数即可求出A组所占的百分比，根据C组所占的百分比即可求出对应的圆心角； （4）算出成绩少于54分的学生的比例，利用样本估计总体． 【小问1详解】 解：D组的人数为6，占比， 故本次抽样的样本容量为：， 故答案为：60； 【小问2详解】 解：C组的人数为：， 补全后的条形统计图如下所示： 【小问3详解】 解：扇形统计图中a的值为：， 圆心角的度数为：， 故答案为：20，； 【小问4详解】 解：（名） 答：估计测试成绩少于54分的学生有306名． 19. 为丰富校园生活，学校举办“经典咏流传”朗诵比赛，内容分为：A．唐诗、B．宋词、C．元曲． （1）小华从三个项目中随机抽取一个朗诵，求恰好抽中“宋词”的概率； （2）若小敏和小杰两人采用抽签方式，每人从三个项目中随机抽取一个，且两人抽取的项目不能相同．请用列表或树状图法，求小敏抽中“唐诗”且小杰抽中“元曲”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据列举法求概率求解即可； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出小敏和小杰都没有抽到“元曲”的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：随机抽取一个朗诵的结果：A．唐诗、B．宋词、C．元曲，总共有3种等可能的结果，抽中“宋词”的情况有1种，故（抽中宋词）； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共6种等可能性的结果，其中小敏抽中唐诗、小杰抽中元曲的情况有1种，故（小敏抽唐诗且小杰抽元曲）． 20. 如图，正方形中，对角线，交于点，为线段上一点，请在线段上找一点，并使得________，连接，，则四边形是菱形．请补全条件，画出图形，并说明理由． 【答案】 ， 补全图形． 理由如下： ∵四边形是正方形， ，． ，， ∴四边形是平行四边形． 又， 是菱形． 【解析】 【分析】根据题意，添加条件并补全图形，根据正方形的性质以及，由对角线互相平分的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，根据正方形的性质可得，即可证明四边形是菱形． 【详解】略 21. 某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段表示该产品每千克生产成本（单位：元）与产量x（单位：）之间的函数关系；线段表示该产品销售价（单位：元/）与产量x（单位：）之间的函数关系，且关系式为：． （1）求线段所表示的与x之间的函数表达式； （2）该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）与x之间的函数关系式为； （2）该产品产量为时，获得的利润最大，最大利润是1350元． 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、二次函数的求最值等知识点，掌握运用配方法求最值成为解题的关键． （1）先根据题意求得，然后再运用待定系数法解答即可； （2）设产量为时，获得的利润为W元，根据题意得到利润W与产量的函数关系式，然后根据配方法求最值即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得：，解得：，即，则， 设线段所表示的与x之间的函数关系式为， 把点和代入得 ，解得：， ∴与x之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：设产量为时，获得的利润为W元，根据题意得： ， ∴当时，W取得最大值，最大值为1350． 答：若，该产品产量为90kg时，获得的利润最大，最大利润是1350元． 22. 元旦节期间，重庆动物园以“庆元旦迎新年”为主题开展保护教育系列科普活动，营造欢乐喜庆的科普场景．如图是动物园的平面图，已知馆在馆的正北方向，游客中心在馆的北偏东方向，馆在馆的北偏西方向相距200米处，馆在馆的东北方向，且馆在游客中心的南偏西方向．（参考数据： （1）求馆和馆之间的距离；（结果保留根号） （2）小明和小红恰好都在该动物园游玩，小明从馆出发沿路线行走，小红从馆出发沿路线行走，若小明和小红同时出发，且小明的速度是小红速度的2倍，当小明到馆的距离恰好是小红到馆的距离的3倍时，求小红与游客中心之间的距离．（结果保留小数点后一位） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方向角，利用合适的辅助线构建直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，过点B作于点M，则，结合方向角的定义，可知，，然后在中可求得、，进而在中可求得，即可解答； （2）设小红到馆的距离是米，则小明到馆的距离是米，此时小明，小红分别在，处，连接，则，，，得到，然后在中，利用勾股定理建立方程，解得，过点作，垂足为，结合，在中可求得，在中可求得，最后由，即可解答． 【小问1详解】 解：过点作于点，过点B作于点M， 则， 由题意得，， ∴，， ∴， 在中，，米， （米），（米）， 在中，， 米， 米， 答：馆和馆之间的距离是米． 【小问2详解】 解：设小红到馆的距离是米，则小明到馆的距离是米， 如图，此时小明，小红分别在，处，连接， 则米，米， ∵小明和小红同时出发，且小明的速度是小红速度的2倍， ∴米， 由（1）可知，米， ∴米， 在中，， ， 即， 解得（负值舍去）， 米， 过点作，垂足为， 由（1）可知，（米）， 在中，， （米），（米）， 在中，， 米， （米）． 答：此时小红与游客中心之间的距离是米． 23. 如图，在矩形中，，，点是边上的定点，且．动点从点出发，以的速度沿的方向在矩形的边上匀速运动，最终到达点停止．设点的运动时间为秒，的面积为． （1）当点在边上运动时，求与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； （2）求点在整个运动过程中，与之间的函数解析式，并写出对应的自变量的取值范围； （3）当的面积为时，求的值； （4）是否存在某一时刻，使得的面积等于矩形面积的？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）存在， 【解析】 【分析】（）根据三角形的面积公式及题意即可求解； （）分， 和解答即可求解； （）把代入（）所得的函数解析式解答即可求解； （）求出矩形的面积，可得当的面积等于矩形面积的时，，进而即可求解； 本题考查了一次函数的几何应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵矩形中， ∴，， 当点在上运动时，， ∴ ， ∵点在上运动， ∴自变量的取值范围为， ∴； 【小问2详解】 解：当时，； 当时，； 当时，， ∴； 综上，； 【小问3详解】 解：当时，由，解得； 由，解得， ∴的值为或； 【小问4详解】 解：存在，理由如下： ∵， ∴当的面积等于矩形面积的时，， ∵时，， ∴存在，使得的面积等于矩形面积的． 24. 已知抛物线与轴交于两点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线在第一象限内的一点，连接．设点的横坐标为的面积为，求关于的函数关系式，并求出的最大值． 【答案】（1）． （2）；． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式； （2）先利用待定系数法求直线的解析式，过作轴交于，交轴于点，得，进而得，再根据得关于的一元二次方程，配方即可得最值，根据点是抛物线在第一象限内的一点得取值范围，验证最值即可． 【小问1详解】 解：抛物线过，代入得： ， 解得， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：由解析式得， 设直线的解析式为， 将，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 点在第一象限抛物线上， ， 过作轴交于，交轴于点，如图所示， ， ， ， ， ，当时，． 25. 已知： 如图， 在中，，，． 以点O为原点， 斜边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，以点为圆心， 长为半径画圆，与x轴的另一交点为N，点M在上，且满足． 以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，设运动时间为，解答下列问题： （发现）（1） 的长度为多少； （2） 当时， 求扇形（阴影部分） 与重叠部分的面积． （探究） 当和的边所在的直线相切时，求点 P的坐标． （拓展）当 与的边有两个交点时，请你直接写出t的取值范围． 【答案】【发现】（1）的长度为；（2）重叠部分的面积为；【探究】：点P 的坐标为或 或 ；【拓展】t的取值范围是或， 【解析】 【分析】发现：（1）先确定出扇形半径，进而用弧长公式即可得出结论； （2） 先求出，进而求出，即可用面积公式得出结论； 探究：分圆和直线 和直线 相切，利用三角函数即可得出结论； 拓展：先找出和直角三角形的两边有两个交点时的分界点，即可得出结论． 【详解】发现： （1）∵， ∴． ∵， ∴， ∴的长度为 故答案为 （2）设半径为r， 则有， 当时， 如图1， 点N与点A重合， ， 设与相交于点 Q． 在中， ∵． ，即重叠部分的面积为 [探究] ①如图2， 当与直线相切于点C时， 连接， 则有 ∵， ∴， ∴； ∴点P的坐标为； ②如图3， 当与直线相切于点D时， 连接， 则有， ， ∴， ∴， · 点 P的坐标为 ③如图4， 当与直线相切于点 E时， 连接， 则有， 同②可得∶ ∴点 P的坐标为 [拓展] t的取值范围是 或，理由： 如图5，当点N运动到与点 A 重合时，与 的边有一个公共点，此时； 当 ，直到运动到与相切时， 由探究①得： 与 的边有两个公共点， 如图6， 当运动到与重合时， 与 的边有两个公共点，此时； 直到运动到点 N与点 O 重合时，与 的边有一个公共点，此时； ∴， 综上可知，t的取值范围是或． 【点睛】本题考查了弧长公式，切线的性质，锐角三角函数，含30度角的直角三角形的性质，三角形面积公式，作出图形是解答本题的关键． 26. 【阅读材料】 在平面内，取一个定点A和定线段，对于平面内不与、重合的任意一点B，若点D在射线上，且满足，则称点D为点B关于线段的等角对应点． 例如：如图1，在中，点D在边上，且，则点D是点B关于线段的等角对应点． 【基础理解】 （1）如图1，在中，，，点D是点B关于线段的等角对应点，则线段的长为___________； 【探索应用】 （2）如图2，在中，，，，请以A为定点为定线段，利用无刻度的直尺和圆规，作出点B关于线段的等角对应点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （3）在（2）的条件下，求证：，并求线段的长． 【拓展延伸】 （4）如图3，已知的半径为5，点A为上一定点，为的直径，点为上的动点（不与点重合）．若点为点关于线段的等角对应点，试判断点的运动路径是直线还是圆弧？请说明理由；在点从点运动到弧中点的过程中，直接写出点的运动路径的长度． 【答案】（1） （2）如图2，点D即为所求： （3）证明：∵，，， ∴， 由（2）作图可得，， ∵， ∴， ∴，， ∴，； （4）点的运动路径是直线；运动路径的长度为10 【解析】 【分析】（1）证明，再利用相似三角形对应边成比例即可求解； （2）作，交于点，则点D即为所求： （3）利用勾股定理求出，证明，再利用相似三角形的性质即可证明以及求出线段的长； （4）连接、、，由为的直径，得到，根据“等角对应点”的定义得到，则，点的轨迹为过且垂直于的直线；再讨论点分别在点以及弧中点时，对应的点的位置，即可求出点的运动路径的长度． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：连接、、， ∵为的直径， ∴， ∵点为点关于线段的等角对应点， ∴，点在射线上， ∴，点的轨迹为过且垂直于的直线， ∴点的运动路径是直线； 当点与点重合时，点恰好与点重合， 当点运动到弧中点时， 如图3，连接， ∵点运动到弧中点，的半径为5， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动路径的长度为10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平适应性试题（一）【泰州卷】 数学试题 注意事项： 1．本试题共6页，26小题，考试时间120分钟，试卷满分150分． 2．本试题分为第一部分和第二部分，共两部分； 3．所有试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效； 4．作图题必须用2B铅笔，且加黑加粗． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 计算的结果是（ ） A. 3 B. C. 13 D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平行四边形中，分别是边上的点，连接相交于点，延长交的延长线于点，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 某射击队要从甲、乙两名运动员中选拔一名参加决赛，两人在相同条件下各打靶5次，成绩如下：甲：8，9，9，10，9；乙：8，8，9，10，10．教练最终选择了甲，他最看重的数据是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 5. 如图，将一平行四边形纸片沿着虚线EF剪成两个全等的梯形纸片，点E，F分别在边AD，BC上． AB＝5， AD＝10，tan∠BAD＝，∠AEF＝45°，则AE的长为（ ） A. 1.5 B. 7 C. 8 D. 8.5 6. 如图，正方形的边长为，延长至使，以为边长在上方作正方形，延长交于，连接，，为的中点，连接分别与交于点．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④ 第二部分 非选择题（132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 8. 泰州凤城河风景区五一假期共接待游客约268000人次，将268000用科学记数法表示为___________． 9. 已知一个正多边形的一个内角等于，则这个多边形的边数是 ___________． 10. 分解因式：2x2﹣8=_______ 11. 如图，正六边形ABCDEF的顶点B、C分别在正方形AGHI的边AG、GH上，如果，那么CH的长为______． 12. 已知点在反比例函数的图像上，则与的大小关系是___________． 13. 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分．某队参赛12场，总得分为20分．设该队胜了x场，则可列方程为___________． 14. 如图，四边形是的内接四边形，且， ，垂足分别为，若，则_____． 15. “黄金螺旋”的画法通常以斐波那契数列为边长作正方形，再画四分之一圆弧连接而成．若换用数列（从第三项起，每一项等于前两项之和）作为正方形的边长，按同样方式构造螺旋线．如图，最小的正方形边长为2，依次得到边长分别为2，2，4，6，10的五个正方形，并在每个正方形内画圆心角为的圆弧，连成一段螺旋线，则这段螺旋线的长度为___________．（结果保留） 16. 如图是一张矩形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝6，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在矩形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边上的高的长是_____． 三、解答题（本大题共有10题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算和解不等式组： （1）； （2）． 18. 某校为了解九年级同学的中考体育考试准备情况，随机抽查该年级部分学生进行体育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）分为四个类别：，，，，将分类结果制成如下两幅统计图（尚不完整）． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次抽样的样本容量为　　　　； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中a的值为　　　　，圆心角的度数为　　　　； （4）若九年级有612名学生，估计测试成绩少于54分的学生有多少名？ 19. 为丰富校园生活，学校举办“经典咏流传”朗诵比赛，内容分为：A．唐诗、B．宋词、C．元曲． （1）小华从三个项目中随机抽取一个朗诵，求恰好抽中“宋词”的概率； （2）若小敏和小杰两人采用抽签方式，每人从三个项目中随机抽取一个，且两人抽取的项目不能相同．请用列表或树状图法，求小敏抽中“唐诗”且小杰抽中“元曲”的概率． 20. 如图，正方形中，对角线，交于点，为线段上一点，请在线段上找一点，并使得________，连接，，则四边形是菱形．请补全条件，画出图形，并说明理由． 21. 某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段表示该产品每千克生产成本（单位：元）与产量x（单位：）之间的函数关系；线段表示该产品销售价（单位：元/）与产量x（单位：）之间的函数关系，且关系式为：． （1）求线段所表示的与x之间的函数表达式； （2）该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ 22. 元旦节期间，重庆动物园以“庆元旦迎新年”为主题开展保护教育系列科普活动，营造欢乐喜庆的科普场景．如图是动物园的平面图，已知馆在馆的正北方向，游客中心在馆的北偏东方向，馆在馆的北偏西方向相距200米处，馆在馆的东北方向，且馆在游客中心的南偏西方向．（参考数据： （1）求馆和馆之间的距离；（结果保留根号） （2）小明和小红恰好都在该动物园游玩，小明从馆出发沿路线行走，小红从馆出发沿路线行走，若小明和小红同时出发，且小明的速度是小红速度的2倍，当小明到馆的距离恰好是小红到馆的距离的3倍时，求小红与游客中心之间的距离．（结果保留小数点后一位） 23. 如图，在矩形中，，，点是边上的定点，且．动点从点出发，以的速度沿的方向在矩形的边上匀速运动，最终到达点停止．设点的运动时间为秒，的面积为． （1）当点在边上运动时，求与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； （2）求点在整个运动过程中，与之间的函数解析式，并写出对应的自变量的取值范围； （3）当的面积为时，求的值； （4）是否存在某一时刻，使得的面积等于矩形面积的？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 24. 已知抛物线与轴交于两点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线在第一象限内的一点，连接．设点的横坐标为的面积为，求关于的函数关系式，并求出的最大值． 25. 已知： 如图， 在中，，，． 以点O为原点， 斜边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，以点为圆心， 长为半径画圆，与x轴的另一交点为N，点M在上，且满足． 以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，设运动时间为，解答下列问题： （发现）（1） 的长度为多少； （2） 当时， 求扇形（阴影部分） 与重叠部分的面积． （探究） 当和的边所在的直线相切时，求点 P的坐标． （拓展）当 与的边有两个交点时，请你直接写出t的取值范围． 26. 【阅读材料】 在平面内，取一个定点A和定线段，对于平面内不与、重合的任意一点B，若点D在射线上，且满足，则称点D为点B关于线段的等角对应点． 例如：如图1，在中，点D在边上，且，则点D是点B关于线段的等角对应点． 【基础理解】 （1）如图1，在中，，，点D是点B关于线段的等角对应点，则线段的长为___________； 【探索应用】 （2）如图2，在中，，，，请以A为定点为定线段，利用无刻度的直尺和圆规，作出点B关于线段的等角对应点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （3）在（2）的条件下，求证：，并求线段的长． 【拓展延伸】 （4）如图3，已知的半径为5，点A为上一定点，为的直径，点为上的动点（不与点重合）．若点为点关于线段的等角对应点，试判断点的运动路径是直线还是圆弧？请说明理由；在点从点运动到弧中点的过程中，直接写出点的运动路径的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $