精品解析：湖南长沙市湖南师大附中双语实验学校等校2025-2026学年八年级下学期期中测试 数学(问卷)

八年级下学期期中测试 数学（问卷） 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 2. 在圆周长计算公式中，变量有（　　） A. L，π B. L，r C. L，π，r D. 2π，r 3. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列几组数，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 在中，：：：的值可以是（ ） A. ：：： B. ：：： C. ：：： D. ：：： 7. 菱形一定具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 邻边相等 B. 对角相等 C. 对边平行且相等 D. 对角线互相平分 8. 下列图象中，可以表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数是________． 12. 如图，受台风影响，一棵米高的树被风刮断了，树顶落在离树根米处，则折断处的高度为__________米． 13. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为________． 14. 如图，在数轴上找出表示3的点，则，过点作直线l垂直，在l上取点，使，以原点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点，则点表示的实数是________． 15. 在四边形中，，，若，则________． 16. 如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图像如图2所示.如果将正方体铁块取出，又经过____秒恰好将水槽注满. 三、解答题（本大题共9个小题，17，18，19题每小题6分，20，21题每小题8分，22，23题每小题9分，24，25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中，，． 19. 如图，当温度在时，水的密度（单位：）随着温度（单位：）的变化关系图象，看图象回答问题： （1）图中的自变量是什么？ （2）当温度为时，水的密度为多少？ （3）图中点表示的意义是什么？ 20. 如图，四边形中，，． （1）求的度数; （2）求四边形的面积． 21. 如图，在中，，分别是，的中点，是延长线上的点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由． 22. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，过点作交的延长线于点，连接． （1）若，求证：四边形是菱形： （2）在（1）的条件下，若菱形的面积为，求的长． 23. 刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元． （1）求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？ （2）该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？ 24. 定义：若点满足，则称这个点为“完美点”．例如，，故点是“完美点”． （1）点，，中，不是“完美点”的是________； （2）若点是“完美点”，求的值； （3）若点是“完美点”，求出的值． 25. 下面是八年级教科书中的一道题． 如图1，四边形是正方形，是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接．） （1）如图1，通过添加辅助线，易知，进一步可证明________（请写出图中一组全等三角形），由这一组三角形全等可知． （2）如图2，若点是边上任意一点（不与，重合），其他条件不变．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，过点作于点．设，当四边形是平行四边形时，求的值； （4）如图4，点是边长为1的正方形的边上的一点，在外角平分线上取点使得，连接，，其中的最小值为，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下学期期中测试 数学（问卷） 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】勾股定理逆定理：若一个三角形三边长为，且满足，则该三角形是直角三角形，边长为的边所对的角为直角．根据勾股定理逆定理即可求解． 【详解】解：∵在中，满足， 根据勾股定理逆定理，两条较短边的平方和等于最长边的平方，最长边所对的角是直角， ∴是斜边，斜边所对的角是， 因此． 2. 在圆周长计算公式中，变量有（　　） A. L，π B. L，r C. L，π，r D. 2π，r 【答案】B 【解析】 【分析】常量是变化过程中保持不变的量，变量是变化过程中可以发生变化的量，根据概念判断即可． 【详解】解：∵在圆周长公式中，和都是常量，随半径的变化而变化， ∴变量为和，则B符合题意． 3. 若有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数，据此列出不等式求解x的取值范围． 【详解】解：要使有意义， ∴，解得， ∴x的取值范围是． 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，可化简，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，可化简，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 5. 下列几组数，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股数的定义和勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：、∵， ∴能构成直角三角形，但边不是整数，不是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能构成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项符合题意． 6. 在中，：：：的值可以是（ ） A. ：：： B. ：：： C. ：：： D. ：：： 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，，，根据以上结论即可选出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， 即和的数相等，和的数相等，且， 故选：D． 【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能根据平行四边形的性质进行判断是解此题的关键，题目比较典型，难度适中． 7. 菱形一定具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 邻边相等 B. 对角相等 C. 对边平行且相等 D. 对角线互相平分 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．邻边相等的平行四边形为菱形，故符合题意； B．菱形和矩形都具有对角线相等的性质，故不符合题意； C．平行四边形的对边平行且相等，由于菱形和矩形都是特殊的平行四边形，都具有对边平行且相等的性质，故不符合题意； D．平行四边形的对角线互相平分，由于菱形和矩形都是特殊的平行四边形，都具有对角线互相平分的性质，故不符合题意． 8. 下列图象中，可以表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数的定义：对于自变量的每一个确定的值，函数值都有唯一确定的值与其对应． 【详解】解：A．对于任意一个值，可能有多个值与之对应，故不是函数图象； B．对于任意一个值，可能有两个值与之对应，故不是函数图象； C．对于任意一个值，可能有两个值与之对应，故不是函数图象； D．对于任意一个值，有唯一确定的值与之对应，故是函数图象． 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质，求一个数的立方根，幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选；B． 10. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接AG，延长AG交CD于M，连接FM，由正方形ABCD推出AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°，证明△AEG≌△MDG，得到AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，根据三角形中位线定理得到GH＝FM，由勾股定理求出FM即可得到GH． 【详解】解：连接AG，延长AG交CD于M，连接FM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°， ∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG， ∵G为DE的中点， ∴GE＝GD， ∴△AEG≌△MDG（AAS）， ∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD， ∴CM＝CD＝2， ∵点H为AF的中点， ∴GH＝FM， ∵F为BC的中点， ∴CF＝BC＝2， ∴FM＝， ∴GH＝FM＝， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，正确作出辅助线，证出AG＝MG是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数是________． 【答案】十 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角，根据正多边形的外角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：； ∴该正多边形的边数是10； 故答案为：十． 12. 如图，受台风影响，一棵米高的树被风刮断了，树顶落在离树根米处，则折断处的高度为__________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握直角三角形边长之间的关系是解题的关键． 假设的长度为米，故长度为米，根据勾股定理，可求出的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，可知三角形为直角三角形， 根据勾股定理，得， 设的长度为米，故长度为米，结合米， 可得方程， 解得， 故的长度为米， 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质证得，根据三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ． 14. 如图，在数轴上找出表示3的点，则，过点作直线l垂直，在l上取点，使，以原点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点，则点表示的实数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上点的含义、勾股定理解直角三角形等知识点．根据数轴上的点及勾股定理求解即可． 【详解】解：在直角三角形中， ， ∴， ∴点C所表示的数为． 故答案为：． 15. 在四边形中，，，若，则________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，根据已知条件先判定四边形的形状，再利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】解: 在四边形中，，， 四边形是平行四边形， ， 又， ， 解得． 16. 如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图像如图2所示.如果将正方体铁块取出，又经过____秒恰好将水槽注满. 【答案】4 【解析】 【分析】根据函数图像可得正方体的棱长为10cm，同时可得水面上升从10cm到20cm,所用的时间为16秒，结合前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒可得答案. 【详解】解：由题意可得:12秒时,水槽内水面的高度为10cm,12秒后水槽内水面高度变化趋势改变，正方体的棱长为10cm； 没有立方体时,水面上升从10cm到20cm,所用的时间为:28-12=16秒 前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒 将正方体铁块取出, 又经过4秒恰好将此水槽注满. 故答案：4 【点睛】本题主要考查一次函数的图像及应用，根据函数图像读懂信息是解题的关键. 三、解答题（本大题共9个小题，17，18，19题每小题6分，20，21题每小题8分，22，23题每小题9分，24，25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中，，． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并，然后把，代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， 当，时，原式． 19. 如图，当温度在时，水的密度（单位：）随着温度（单位：）的变化关系图象，看图象回答问题： （1）图中的自变量是什么？ （2）当温度为时，水的密度为多少？ （3）图中点表示的意义是什么？ 【答案】（1） （2） （3） 由图可知，点表示当温度时，水的密度 【解析】 【分析】（1）横坐标为自变量，纵坐标为因变量，作答即可； （2）根据图象进行作答即可； （3）根据点的含义作答即可； 【小问1详解】 解：由图可知，自变量是温度． 【小问2详解】 解：由图可知，当温度为时，水的密度为． 【小问3详解】 解：略． 20. 如图，四边形中，，． （1）求的度数; （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2）33 【解析】 【分析】（1）连接，如图，分别证明为等腰直角三角形，为直角三角形，从而可得结论； （2）直接利用割补法求解四边形的面积即可． 【小问1详解】 解：连接. ∵在中， ∴. ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∴． 【小问2详解】 ． 21. 如图，在中，，分别是，的中点，是延长线上的点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵点是的中点， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2） 解：当时，四边形是矩形．理由如下： ∵点是的中点，且， ∴， ∴， ∴是矩形． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，推出，，再求得，，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据对角线相等的平行四边形是矩形即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，过点作交的延长线于点，连接． （1）若，求证：四边形是菱形： （2）在（1）的条件下，若菱形的面积为，求的长． 【答案】（1） 证明：， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形； （2）5 【解析】 【分析】（1）根据题意证明四边形是平行四边形，再导角证明，即可证明平行四边形是菱形； （2）利用菱形面积求出，再结合直角三角形性质求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是菱形， 菱形的面积为， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余、菱形的判定与性质、菱形面积公式及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质、直角三角形性质是解决问题的关键． 23. 刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元． （1）求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？ （2）该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？ 【答案】（1）A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元 （2）最多能购买100件A种湘绣作品 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，根据“购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可解题； （2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件，总费用单价数量，结合总费用不超过50000元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的值，再取其中的最大整数值即可得出该校最大可以购买湘绣的数量． 【小问1详解】 设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元． 根据题意，得 ， 解得 答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元． 【小问2详解】 设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件． 根据题意，得， 解得． 答：最多能购买100件A种湘绣作品． 24. 定义：若点满足，则称这个点为“完美点”．例如，，故点是“完美点”． （1）点，，中，不是“完美点”的是________； （2）若点是“完美点”，求的值； （3）若点是“完美点”，求出的值． 【答案】（1） （2） （3）2026或2028 【解析】 【分析】（1）根据“完美点”的定义解答即可； （2）根据点是“完美点”，得出，即，当时，当时，分别求解即可； （3）根据点是“完美点”，得出，即，分当时，当时，分别求解即可； 【小问1详解】 解：∵，故点是“完美点”； ∵，故点是“完美点”； ∵，故点不是“完美点”； 【小问2详解】 解：∵点是“完美点”， ∴， ∴， 当时，则，解得或（舍去）， 当时，则，解得或（舍去）， ∴． 【小问3详解】 解：∵点是“完美点”， ∴，即， ∴， 当时，恒成立，则； 当时，，则， ∴， ∴ ． 综上，原式的值为2026或2028． 25. 下面是八年级教科书中的一道题． 如图1，四边形是正方形，是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接．） （1）如图1，通过添加辅助线，易知，进一步可证明________（请写出图中一组全等三角形），由这一组三角形全等可知． （2）如图2，若点是边上任意一点（不与，重合），其他条件不变．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，过点作于点．设，当四边形是平行四边形时，求的值； （4）如图4，点是边长为1的正方形的边上的一点，在外角平分线上取点使得，连接，，其中的最小值为，直接写出的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图1，在边上取一点，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是正方形外角的平分线， , ， ， ， ， ， ， ∴． （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据是边的中点，可得答案； （2）取，连接，说明是等腰直角三角形，再证明，可得答案； （3）设，，则，，再利用等腰直角三角形的性质表示的长，利用平行四边形的判定得只要，即可解决问题； （4）延长至点，使，可得，即，根据三角形三边关系可知，当，，三点共线时，值最小，则即为所求． 【小问1详解】 解：作的中点，连接， 四边形是正方形，是边的中点， ， ， ， ， ， 是正方形外角的平分线， , , ， ， , , ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，， ， 设，则， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得． 【小问4详解】 如图3，延长至点，使， 是正方形外角的平分线， , ， ， ， ， ， 过点作垂直于交延长线于点， ，， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $