江西吉水县第二中学等校2025-2026学年高一下学期数学学科素养阶段训练

**基本信息** 聚焦高一数学核心内容，通过测量河对岸古树高度等现实情境与梯度设计，考查三角函数、解三角形及向量的综合应用，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|三角函数化简、终边相同角、三角形形状判断、测量问题|第4题以测量情境考查解三角形，体现用数学眼光观察现实世界| |多选|3/18|三角形解的个数、向量性质、函数图像与根|第11题结合函数图像判断根的个数，考查数学思维的逻辑性| |填空|3/15|三角函数值、向量投影、内心向量表示|第14题以内心为背景，强化数学语言表达几何关系| |解答|5/77|三角函数计算与不等式、向量坐标与夹角、解三角形最值、函数图像与方程根、向量线性表示|第19题综合几何与向量，通过线性表示及范围探究，考查数学思维的系统性与创新意识|

高一数学学科素养阶段训练·答题卡 2026.4.28 班 级： 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1[/1 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7[AJ[B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、多项选择题：本题共3小题， 每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.[A1[B][C][D1 11.A1[B][C1[DJ 10.[A][B][C][D] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 13. 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(13分) 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 18.(17分) 12 2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19。(17分) B H R O 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！高一数学学科素养阶段训练 命题学校：新干二中 命题人：李强 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。) 1.化简AB+BO+CD-CO=() A.OD B.OA C.AC D.AD 2.下列与要的终边相同的角的表达式中正确的是() A.2m-45(k∈ZB.k-360°+9(k∈Z)C.k360°-315(k∈Z)D.km+k∈Z) 3.在△ABC中，AB=5,AC=6,BC=8,则△ABC为() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 4.为了测量河对岸一古树高度AB(如图)，某同学选取与树底B在 同一水平面内的两个观测点C与D,得∠BCD=15°，∠BDC=30°， 在点C处测得树顶A的仰角为60°，树高AB约为483米， 则cD( A.100.8米 B.33.6米 C.482米 D.48V3米 5.将函数y=sx,x∈R的图像上各点向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原 来的一半，然后再把所得点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到函数y=f()的图像，则函数 f(x)=( ) A.3sin B. c.3sim2x+） D.3m2x-2 BA BC 6.己知三角形ABC满足 AC=0,则三角形ABC的形状一定是() A.正三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 7当x0,2元时，曲线=0sx与y3c0s2x 的交点个数为() A.3 B.4 C.6 D.8 8.已知向量d==2,且ā.b=0,若向量c满足-ā-=1，则的最大值为() A.3 B.√2 C.1 D.√2+1 第1页共4页 二、选择题（共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列对三角形解的个数的判断正 确的是() A.a=7,b=14,A=30°，有两解 B.a=30,b=25,A=150°，有一解 C.a=√3，b=√6，A=60°，无解 D.a=6,b=9,A=45°，有两解 10.己知向量ā=(4,2)，b=(,1),则下列说法正确的是() A.若a∥b,则=2 1 B.若a1b,则m= -2 c.若ab=-2,则=2 D.当m=0时，a在b上的投影向量为2b lsinπd,0≤x≤2 11.已知函数f(x)= 12-2-1,x>2 且￥<<5<<， f(x)=f(x2)=f(x)=f(x)=f(x),则() A.0<f(x)<1 B.,+4的值可能 5-2 C.x+x2+x3+x4+x的取值范围是(6,7) D.关于x的方程f(f(x)=a至多有13个不同的根 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分。） 12.知o则m列 18.己知向量a与6的夹角为，且问-3，-4，则6在a方向上的投影数量是 14.已知点I为△ABC的内心，AC=2,BC=3,AB=4,五=xAB+yAC则x+y= 第2页共4页 四、解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） sin()co(2)sin 15.己知f() cos(π+a)cos g-a a球1)月 ②懈关于a的不等式2r[行a+5≥0。 16.己知a=(2,1), 6=25 (1)若a/乃，求i的坐标： (2)若(5a-2b)1(a+b),求a与b的夹角 17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,己知AB=4,S△ABc=2V3. (Q)若C-子，求△ABC的周长； (2)求sin AsinB的最大值. 第3页共4页 18.已知函数f(x)=Asin(ax+p)A>0,o>0,pk 的部分图象如图所示 (1)求∫(x)的解析式，并求出其对称轴： 2若方程f()-m=0在0,3」 。4π 上恰有三个不相等的实数根x,x2,x(x<x2<x),求m的 取值范围和ta1(x+2x,+x)的值 12 3 -2 19.在△ABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R;且AO=2OC,设AB=a, AC=B. (1)试用a,b表示AR: (2)已知园=2，=1,8=（ā，） ①若日=60°，求∠ARB的余弦值： CH ②已知H在BC上，且RH⊥BC,若日∈ π2π 33 的范围 CB B 力 H 第4页共4页高一数学学科素养阶段训练参考答案 1.D【详解】AB+BO+CD-CO=AO+OD=AD 2.c【详解1由题意处-2+牙-360÷45， 4 选项A、B中，角度与弧度混用，单位不统一，故A、B错误： 选项C:k.360°-315(k∈Z)与k.360°+45(k∈Z)终边相同，含义相同，故C正确： 选项D:当k=1时，元+亚亚与终边不同，故D错误 44 4 3.C【详解1由余弦定理得c0sA=4B+1CBC-子+6-8-人0， 2AB.AC 2×5×620 又在△ABC中，A∈(O,π)，则A为钝角，所以△ABC为钝角三角形 4.C【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=60°，AB=48V5, 因为tan60°=A迟 及所以BC=AB一=483=48米 tan60°√3 又因为∠BCD=15°，∠BDC=30°，所以∠CBD=180°-15°-30°=135°， CD 48 根据正弦定理： BC sin∠CBD sin∠BDc,即D sinl35°sin30° 又因为sn135= 8rV2 2 所以CD= ,sn30= 2=48√2 1 5.A【详解】将函数y=sinx,x∈R的图像上各点向左平移汇个单位可得y=simx+ 6 6 将y=sinx+ 所得各点的横坐标缩短到原来的一半， 6 然后再把所得点的纵坐标伸长到原来的3倍可得y=3sm2x+ 6 BA BC 6.B【详解】由几何意义知， 对应向量在∠B的角平分线上， BAI BC y-3cos(2x-ξ) BA BC 由 AC=0,即∠B的角平分线与边AC垂直， 所以三角形ABC的形状一定是等腰三角形， 7,.B【详解】y-ox与y=3co2x-写到在02刘上的函数图象如图所不， 由图象可知，两个函数图象交点的个数为4个 答案第1页，共6页 8.A【详解】因为a6=0,所以a16,又同=5=V2,所以a+=2 所以-a-=c2-2c-(a+b)++b+2a.6=1, 所以c2-2E(a+b)+3=0,所以c2+3=2c-(a+b), 所以c2+3=2a+bcos6(6是向量与a+6的夹角)所以c2+3=4cos0≤4G, 所以2-4+3≤0，所以1≤≤3，所以的最大值为3. 9.BC【详解】选项A,由正弦定理a=b Sn4imB得simB=bsin4-14sin30=1,又geo,西， 7 故B=受则三角形有一解，故A错误： 选项B,因为bsm4=25s150-空，所以a>b>bsmA,则三角形有一解，枚B正确： 选项C,因为osinA=6sim60°=5，所以a<bsin4,则三角形无解，故C正确： 2 选项D,因为6simA=9sim45°)√2，所以a<bmA,则三角形无解，故D错误 10.ACD【详解】由a∥b,得4×1-2m=0,解得m=2,A正确： 由al万，得4m+2x1=0,解得m=2,B错误： 由ā.b=-2,得4m+2x1=-2,解得m=-1,所以=√-1)2+12=√2，C正确： 雪u=0时，a三42，乃=0，所以a在方上的投影向量为万同20，DE确 11.ACD【详解】对于A,f(x)的图象如图所示.由图可知，0<∫(x)<1,A正确. 对于B,由图可知0<x1<x2<x<x,<x,+x2=1,x3+x4=3, 色)子以当H当5=：=时，等号成立 1,95 因为x<x2<x<x4,所以x2+xx4< 442,B错误 对于C,设f(x)=,则m∈(0,1).由2*2-1=m,得x=1og2(+1)+2,得x,∈(2,3)， 因为x+x2=1,x3+x4=3,所以x1+x2+x,+x4+x的取值范围是(6,7)，C正确 对于D,令∫(x)=t,则f(t)=a至多有5个不同的根，此时0<a<1,f(t)=a有5个不同 答案第2页，共6页 的根设这5个不同的根从小到大分别为，5，，t4,t,则0<<t2<1<t<t4<2<t 由图可知f(x)=t,f()=t,均有5个不同的根， y=f(x) V-a f(x)=t,f(x)=t4,f(x)=t均有1个根， 所以关于x的方程f(f(x)=a至多有13个不同的根，D正确. 2专【详解1因为o后小所以m得小o号得小心名月 13.-2【详解】由题意.b=3×4×cos 2π =-6 3 所以b在a方向上的投影数量为： 14. (详解】~点I为△ABC的内心，即为△ABC角平分线交点，如下图所示，∠A 角平分线交BC于D,则 贸曾a DC AC 2 s0-2D0,D-B+4c,-号D-得+号4c号+号4c, 3 15.【详解】(1)依题意，cosa≠0，且sina≠0，所以a≠，k∈Z, 又因为sin(π+a)=-sina,cos(2T-a)=cos(-a)=cosa, 2分 cos(+a)=-cosa, 所以f(&)= -sinacosa(-cosa)sinacosacosa -cosa(-sina) =C0S0;5分 cosasin a .6分 ②由(1)知，f(a)=c0sa,a≠，k∈Z:7分 所以径a好aa: .8分 答案第3页，共6页 又2r径c小520，所以2ma+5≥0.即au 2 9分 解得-2m≤a≤4红2kπ，且a≠，k∈Z:11分 3 3 2 所以原不等式的解集为{a-+2m≤a≤机+2π且a≠匹，k∈Z】 3 3 2 13分 （邀题漏写a±经keZ扣2分，漏k∈Z扣1分) 16.(1)因为a/i,设五=ā=(2元，2)，则5=V2)}'+2=525, 解得见=士25分 因此b=(4,2)或b=(4,-2)7分 (3)由(1)知，=5.因为(5a-2b)1(a+b), 则(5a-20(a+)=5-2+3a.方=5×(W⑤-2×(2V⑤+3a.7 =3a.6-15=0,11分 0a不-5，商以o6-骨骑又05<远5取商5d石 3” 14分 故a与方的夹角为 15分 17.【详解】1)因为，Se=bsnc= 2b=2W3,所以ab=8,2分 2 4 由余弦定理得c2=a2+b2-2 bcosC=a2+b2-ab,所以(a+b)2=c2+3ab,5分 又AB=c=4,ab=8,所以(a+b)2=40,即a+b=2V10, 故△ABC的周长为4+2W10.7分 smAs咖gsmC,所以sinA:sinB=absin'C (2)由正弦定理得a=6=。 c2 9分 又5a4c=absinC=23,c=4,所以imA:si血B=5 sinc5 ，11分 4 4 当smC=1时，即C=子此时a2+B-c2-16,b-45, 12分 解得a=25,b=2或a=2,b=2W3,.14分 故C-受时，sin d.sin取得最大值5 4 15分 18【详解101)解山孟蛋倒的图象可得A=2。且导号后年解得7=， 答案第4页，共6页 所以0=2云=2，即f()=2sim(2x+到），2分 将点（合2习代入f()的解折式，可得2×号+口=计2xke乙。 解得0=2红+管cZ,因为州外分可得-管4分 π 所以f=2sm2x+孕 6分 令2x+号-号+k,keZ,则x=品+经，kEZ.7分 所以函数f(的对称轴为直线x=音+受，k∈Z8分 2)方程f)-m=0在[0 上恰有三个不相等的实数根， /π 12 则函数f(x)与y=m的图象在0 4π 上有三个不同的交点， =fx) 3 设交点的横坐标分别为x,x,x(化<x,<x)函数(d)在 元 ,3 上的图象如下图所示： 由图可知，0≤L<√312分 x72+2x1310e 由对称性可知，+2，+龙=G+x)+(,+)=2x亚 123 15分 故t5+2飞+)-号x=im管=5l17分 10 19.【详解】(1)由P,R,C共线，得PR=PC,1eR,则AR-AP=AC-AP）, 整理得孤=0-利D4c=片号a+5, 由B,R,O共线，得BR=uBO,L∈R,则AR-AB=uAO-AB), 整理得A派=Q-四+u40=Q-心a+2头万，而a5不共线， 3 1-2=1- 2s1 由平面向量基本定理，得 2 2 ,解得 3,所以派=a+方 2 5分 u 3 4 (2)①(1)得AR=a+b=a+20,BR=AR-AB=五-3a= a=-(←3a+2b), 4 2 4 24 4 由a=2,b=1,(a,b=60°，得a.i=2x1x号-1， 则亚承=6a+西(5+西46-云4a可=子 A=√@+2历2=V2+462+4顿6=V22+4x12+4×1=, 答案第5页，共6页 B=(-3a+22=92+462-12a:6=9x22+4×12-12×1-号 所以sAB=6a(饭丽)-=R深- AR.BR√21 10分 ②由(1)知PR=Pc,则Rc=1PC=b-1a, 21 24 由C豆，CB共线，设C7=kCB=k(AB-AG=k(a-D,k>0. 由RH LBC,得R陋Bc=0,而Rǖ=kb+k-子a,BC=五-a, 则[k5+(-孕6-=0，整理得写k历2-k-子a2+Qk-子a万=0， 5k、3 即-5k+号+22k-}c00-0.显然2-40，则cos0- 2 3 4k- 2 0,得cos9,期1水、 s21 24k- 2，解得sks9 1 41 281 2 所以的范围是片号 17分 CB 4'28 答案第6页，共6页 ( 11 ) 高一数学学科素养阶段训练· ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 )答题卡 2026.4.28 ( 班 级： _____________ 姓 名： _____________ 准考证号： ) ( 一、 单项 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、 多项 选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得 部分 分，有选错的得0分。 9 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 三、填空题：本题共 3 小题，每小题5分，共 15 分。 1 2 . ________________ 1 3 . ________________ 1 4 . ________________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 1 5 ．（1 3 分） 1 6 ．（1 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17. （1 5 分） （1 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （1 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学学科素养阶段训练 命题学校：新干二中 命题人：李强 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．化简 (     ) A． B． C． D． 2．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．在△ABC中，，，，则△ABC为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．为了测量河对岸一古树高度AB（如图），某同学选取与树底B在 同一水平面内的两个观测点C与D,得∠BCD=15°，∠BDC=30°， 在点C处测得树顶A的仰角为60°,树高 AB约为48米， 则CD（    ）. A．100.8米 B．33.6米 C．48米 D．48米 5．将函数的图像上各点向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的一半，然后再把所得点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到函数的图像，则函数（    ） A． B． C． D． 6．已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（    ） A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 7．当时，曲线与的交点个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 8．已知向量，且，若向量满足，则的最大值为（    ） A．3 B． C．1 D． 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 二、选择题（共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对三角形解的个数的判断正确的是（    ） A．a＝7，b＝14，A＝30°，有两解 B．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 C．，，A＝60°，无解 D．a＝6，b＝9，A＝45°，有两解 10．已知向量，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．当时，在上的投影向量为 11．已知函数且，，则（   ） A． B．的值可能为 C．的取值范围是 D．关于x的方程至多有13个不同的根 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分。） 12．已知，则________. 13.已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影数量是______． 14.已知点为△ABC的内心，，则__________． 四、解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知 (1)求； (2)解关于的不等式． 16．已知，. (1)若，求的坐标； (2)若，求与的夹角. 17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)若，求△ABC的周长； (2)求的最大值． 18.已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式，并求出其对称轴； (2)若方程在上恰有三个不相等的实数根，求的取值范围和的值. 19．在△ABC中，为的中点，在边上，交于；且，设，. (1)试用，表示； (2)已知，，. ①若，求的余弦值； ②已知在上，且，若，求的范围. 第 4 页 共 4 页 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $