第四章 因式分解【章末复习】课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月28日 章末复习 第四章 因式分解 北师大版八年级数学下册 完全平方公式（因式分解） 练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：45分钟 本次练习题围绕“完全平方公式因式分解”核心知识点设计，重点考查完全平方公式的特征、公式的识别与运用，以及与提公因式法的综合运用，分层考查基础掌握、辨析判断与灵活运算能力，助力熟练掌握完全平方公式因式分解的技巧，明确公式适用条件，规避常见易错点。 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列多项式中，能用完全平方公式因式分解的是（ ） A. $$x^2+4x+4$$ B. $$x^2+4x-4$$ C. $$x^2-2x-1$$ D. $$x^2+2x+2$$ 2. 下列关于完全平方公式因式分解的说法，正确的是（ ） A. 完全平方公式为$$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$$，其中$$a$$、$$b$$只能是单项式 B. 能用完全平方公式因式分解的多项式，一定是二次三项式 C. $$x^2+6x+9$$因式分解的结果是$$(x+3)^2$$ D. $$4x^2+4x+1$$不能用完全平方公式因式分解 3. 多项式$$x^2-8x+16$$因式分解的结果是（ ） A. $$(x-4)^2$$ B. $$(x+4)^2$$ C. $$(x-8)(x+2)$$ D. $$(x-2)(x-8)$$ 4. 把多项式$$4a^2-12ab+9b^2$$因式分解，正确的是（ ） A. $$(2a-3b)^2$$ B. $$(2a+3b)^2$$ C. $$(4a-3b)^2$$ D. $$(2a-9b)^2$$ 5. 下列因式分解正确的是（ ） A. $$x^2+2x+1=x(x+2)+1$$ B. $$x^2-4x+4=(x-2)^2$$ C. $$2x^2+4x+2=2(x^2+2x)$$ D.$$x^2-6x+9=(x+3)^2$$ 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 完全平方公式因式分解：两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的________，等于这两个数的和（或差）的________。用字母表示为：$$a^2+2ab+b^2=$$________，$$a^2-2ab+b^2=$$________。 2. 能用完全平方公式因式分解的多项式，必须满足两个条件：①是________项式；②其中两项是________的平方，另一项是这两项底数乘积的________倍。 3. 多项式$$x^2+10x+25$$的因式分解结果是________；$$9x^2-6x+1$$的因式分解结果是________。 4. 因式分解：$$m^2-4mn+4n^2=$$________；$$16a^2+24ab+9b^2=$$________。 5. 若多项式$$x^2+kx+16$$能用完全平方公式因式分解，则$$k$$的值为________。 三、解答题（共70分） 1. （10分）基础应用题，考查完全平方公式的识别及因式分解定义。 （1）判断下列多项式是否能用完全平方公式因式分解，若是，说明理由；若不是，说明理由： ①$$x^2+4x+4$$；② $$x^2-2x-4$$；③ $$4x^2+4x+1$$；④ $$x^2+6x+9$$。 （2）指出下列多项式中，哪些符合完全平方公式的特征（填序号）： ① $$a^2+8a+16$$；② $$b^2-10b+25$$；③ $$x^2+2x-1$$；④ $$9m^2-6mn+n^2$$。 解： 2. （12分）计算题，运用完全平方公式进行因式分解。 （1）$$x^2+6x+9$$；（2）$$x^2-10x+25$$；（3）$$4x^2+4x+1$$；（4）$$9x^2-12x+4$$； （5）$$m^2+14mn+49n^2$$；（6）$$16a^2-24ab+9b^2$$。 解： 3. （12分）辨析与纠错题，改正完全平方公式因式分解中的错误。 （1）指出下列因式分解的错误，并改正（均运用完全平方公式）： ① $$x^2+4x+4=(x+4)^2$$；② $$x^2-6x+9=(x-3)^2$$（判断对错，错则改正）； ③ $$4x^2+4x+1=(2x+1)^2$$（判断对错，错则改正）；④ $$x^2+2x+4=(x+2)^2$$。 （2）说明完全平方公式因式分解与整式乘法中完全平方公式的关系，并举例说明。 解： 4. （12分）综合题，结合提公因式法与完全平方公式因式分解。 （1）因式分解：$$2x^2+4x+2$$（提示：先提公因式，再用完全平方公式）； （2）因式分解：$$3a^2-12ab+12b^2$$； （3）先将多项式$$4x^2-8x+4$$因式分解，再求值（其中$$x=3$$）； （4）已知多项式$$ax^2+bx+9$$因式分解的结果是$$(2x+3)^2$$，求$$a$$、$$b$$的值。 解： 5. （12分）应用题，运用完全平方公式因式分解解决简单实际问题。 （1）一个正方形的面积为$$x^2+8x+16$$（$$x>0$$），求这个正方形的边长； （2）已知一个长方形的面积为$$2x^2+4x+2$$，且它的长和宽相等，求这个长方形的边长（用因式分解求解）； （3）若一个多项式因式分解后结果为$$3(x-2)^2$$，且这个多项式的一次项系数为$$k$$，求$$k$$的值，并写出原多项式。 解： 6. （10分）拓展题，提升完全平方公式的灵活运用能力。 （1）因式分解：$$(x+y)^2-6(x+y)+9$$（提示：把$$x+y$$看作一个整体）； （2）因式分解：$$4(x-1)^2+12(x-1)+9$$； （3）已知$$a-b=5$$，$$ab=3$$，求多项式$$a^2-2ab+b^2$$的值（提示：先因式分解，再代入求值）。 解： 参考答案（简要提示） 一、选择题：1.A 2.C 3.A 4.A 5.B 二、填空题：1.积的2倍；平方；$$(a+b)^2$$；$$(a-b)^2$$ 2.三；两个数；2 3.$$(x+5)^2$$；$$(3x-1)^2$$ 4.$$(m-2n)^2$$；$$(4a+3b)^2$$ 5.$$\pm8$$ 三、解答题：1.（1）①是，符合$$a^2+2ab+b^2$$；②不是，常数项为负，不符合特征；③是，符合$$(2x)^2+2\cdot2x\cdot1+1^2$$；④是，符合$$a^2+2ab+b^2$$；（2）①②④ 2.（1）$$(x+3)^2$$；（2）$$(x-5)^2$$；（3）$$(2x+1)^2$$；（4）$$(3x-2)^2$$；（5）$$(m+7n)^2$$；（6）$$(4a-3b)^2$$ 3.（1）①错误，改正：$$(x+2)^2$$；②正确；③正确；④错误，改正：无法用完全平方公式，无实数因式；（2）略 4.（1）$$2(x+1)^2$$；（2）$$3(a-2b)^2$$；（3）因式分解为$$4(x-1)^2$$，值为16；（4）$$a=4$$，$$b=12$$ 5.（1）$$x+4$$；（2）$$\sqrt{2}(x+1)$$（或$$x+1$$，结合题意取正值）；（3）$$k=-12$$，原多项式为$$3x^2-12x+12$$ 6.（1）$$(x+y-3)^2$$；（2）$$(2x+1)^2$$；（3）25 (a＋b＋c) (a±b)2 2 例1 判断下列各式变形是不是分解因式，并说明理由： (1) a2 - 4 + 3a = (a + 2)(a - 2) + 3a； (2) (a + 2)(a - 5) = a2 - 3a - 10； (3) x2 - 6x + 9 = (x - 3)2； (4) 3x - 2xy + x = x(3x - 2y)2. 考点一 因式分解与整式乘法的关系 不是 不是 是 不是 考点二 提公因式法分解因式 例2 因式分解： (1) 8a3b2＋12ab3c； (2) 2a(b＋c)－3(b＋c)； (3) (a＋b)(a－b)－a－b. 解：(1) 原式 ＝ 4ab2(2a2＋3bc). (2) 原式 ＝ (2a－3)(b＋c). (3) 原式 ＝ (a＋b)(a－b－1). 方法归纳：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 例3 计算： (1) 39×37－13×91； (2) 29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14. 考点三 利用提公因式法求值 解：(1) 39×37－13×91＝3×13×37－13×91 ＝ 13×(3×37－91)＝13×20＝260； (2) 29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14 ＝ 20.16×(29＋72＋13－14)＝2016. 考点四 平方差公式分解因式 例4 分解因式： (1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2. 解：(1) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a) ＝(b－a)(3a＋b). (2) 原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n) ＝(2m＋4n)(4m＋2n) ＝4(m＋2n)(2m＋n)． 考点五 完全平方公式分解因式 例5 因式分解： (1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2) (a2＋4)2－16a2. 解：(1) 原式＝－3a2(x2－8x＋16) ＝－3a2(x－4)2. (2) 原式＝(a2＋4)2－(4a)2 ＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a) ＝(a＋2)2(a－2)2. D 返回 1． [教材P109习题T1] 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(　　) A．m(a－2)＝am－2m B．(x＋3)(x－3)＝x2－9 C．x2＋3x－5＝x(x＋3)－5 D．4x2－1＝(2x＋1)(2x－1) 中考考法 8 返回 C 2． 若2(x＋5)(x－2)是多项式2x2－mx－20因式分解的结果，则m的值为(　　) A．－3 B．3 C．－6 D．6 中考考法 9 B 返回 3． 如图，两条线段把正方形ABCD分割成边长分别为a，b的两个小正方形和两个长方形，则利用该图形可以验证因式分解成立的是(　　) A．b2－a2＝(b－a)(b＋a) B．a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 C．a2－2ab＋b2＝(a－b)2 D．a2＋b2＝ab(a＋b) 中考考法 10 4． 返回 A 多项式①2x2－x；②4x2＋1＋4x；③x2－4x＋4； ④－4x2－1＋4x在分解因式后，结果含有相同因式的是(　　) A．①④ B．①② C．③④ D．②③ 中考考法 11 5． 【解】原式＝x2－y2－2x－4y－4＋1＝(x2－2x＋1)－(y2＋4y＋4) ＝(x－1)2－(y＋2)2＝[(x－1)＋(y＋2)]· [(x－1)－(y＋2)] ＝(x＋y＋1)(x－y－3)． 因式分解： (1)x2－y2－2x－4y－3； 中考考法 12 (2)x4＋4；     (3)(m2－2m－1)(m2－2m＋3)＋4. 原式＝x4＋4x2－4x2＋4＝(x4＋4x2＋4)－4x2 ＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2＋2x＋2)(x2－2x＋2)． 令m2－2m＝y，则原式＝(y－1)(y＋3)＋4＝y2＋2y－3＋4 ＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2. 将y＝m2－2m代入，得原式＝(m2－2m＋1)2＝(m－1)4. 中考考法 【点方法】 拆项和添项是在因式分解难以进行的情况下采用的一种辅助方法，通过适当的“拆项”或“添项”，再分组，以达到因式分解的最终目的． . . . . 返回 中考考法 6． [2025淄博期中]已知a－b＝3，b－c＝－4，则整式 a2－ac－b(a－c)的值为(　　) A．－12 B．－4 C．－3　 D．3 中考考法 15 【点拨】 【答案】C ∵a－b＝3，b－c＝－4，∴a－c＝－1.∴a2－ac－b(a－c)＝a(a－c)－b(a－c)＝(a－b)(a－c)＝3×(－1)＝－3. 返回 中考考法 7． 返回 －11或13 若二次三项式4a2－(k－1)a＋9是一个关于a的完全平方式，则k＝________. 【点拨】 ∵4a2－(k－1)a＋9是一个关于a的完全平方式，∴k－1＝±12，解得k＝13或－11. 中考考法 17 8． 返回 －7 实数m满足(m－2 025)2＋(2 026－m)2＝15， 则(m－2 025)(2 026－m)的值是________． 【点拨】 ∵(m－2 025)2＋(2 026－m)2＝15，∴[(m－2 025)＋(2 026－m)]2－2(m－2 025)(2 026－m)＝15.∴1－2(m－2 025)(2 026－m)＝15.∴1－15＝2(m－2 025)(2 026－m)．∴(m－2 025)(2 026－m)＝－7. 中考考法 18 9． 152010 (答案不唯一) 生活中我们经常用到密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解，如多项式x3－x可以因式分解为x(x－1)(x＋1)，当 x＝29时，x－1＝28，x＋1＝30，此时可以得到的数字密码为282930，292830等．根据上述方法，当x＝15， y＝5时，对于多项式x3－xy2分解因式后可以形成的数字密码是________(写出一个即可)． 中考考法 19 【点拨】 x3－xy2＝x(x＋y)(x－y)，当x＝15，y＝5时，x＋y＝20，x－y＝10，∴形成的密码可以是152010，151020，201510等． 返回 中考考法 10． 返回 【解】原式＝2.1×31.4＋6.2×31.4＋1.7×31.4 ＝31.4×(2.1＋6.2＋1.7)＝31.4×10＝314. 计算： (1)2.1×31.4＋62×3.14＋0.17×314； (2)－101×190＋1012＋952. 原式＝1012－2×101×95＋952＝(101－95)2＝36. 中考考法 21 11． 返回 【解】(m＋2n)2－(3m－n)2＝(m＋2n＋3m－n)(m＋2n－3m＋n)＝(4m＋n)(3n－2m)＝－(4m＋n)(2m－3n)． 当4m＋n＝40，2m－3n＝5时，原式＝－40×5＝－200. 已知4m＋n＝40，2m－3n＝5，求(m＋2n)2－(3m－n)2的值． 中考考法 12． 返回 【解】(n＋7)2－(n－5)2＝[(n＋7)＋(n－5)]·[(n＋7)－(n－5)]＝(n＋7＋n－5)·(n＋7－n＋5)＝(2n＋2)×12＝24(n＋1)． ∵n为自然数，且24(n＋1)中含有24这个因数， ∴(n＋7)2－(n－5)2能被24整除． [教材P120复习题T10 ]对于任意自然数n，(n＋7)2－(n－5)2是否能被24整除？ 中考考法 13． 返回 【解】该三角形是等边三角形．理由如下： ∵a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0， ∴a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0， ∴(a－b)2＋(b－c)2＝0. ∴a－b＝0且b－c＝0.∴a＝b且b＝c，即a＝b＝c. ∴该三角形是等边三角形． [教材P120复习题T7] 若一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，试判断该三角形的形状，并说明理由． 中考考法 因式分解 定义 提公因式法 公式法 平方差公式 完全平方公式 课堂小结 $