精品解析：甘肃渭源县第四高级中学2025-2026学年第二学期期中试题高一数学

甘肃省渭源县第四高级中学2025-2026学年第二学期期中试题 高一 数学 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、单选题（本部分共8个小题，每题5分共40分） 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，那么此三角形（ ） A. 解的个数不确定 B. 无解 C. 有一解 D. 有两解 7. 已知向量与的夹角为，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6 8. 枣庄青檀寺历史悠久、风景秀丽，寺内有塔，相传民族英雄岳飞曾因得眼疾来此养病，所以也有岳飞养眼楼之称，如图1.某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底O的同一水平面上的A，B两点处进行测量，如图2.已知在A处测得塔顶P的仰角为，在B处测得塔顶P的仰角为，米，，则该塔的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 二、多选题（本部分共3个小题，每题6分共18分） 9. 已知向量，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 在上的投影向量坐标为 10. 中，角的对边分别是，向量，且，则下列说法正确的是（ ） A. C= B. 若，则 C. 若，则周长为16 D. 若，则面积的最大值为 11. 已知复数，是关于的方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本部分共3个小题，每题5分共15分） 12. 若向量满足，且与的夹角为，则___________． 13. 已知复数的模等于2，则实数的值为______. 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为___________. 四、解答题（本部分共5个小题，共77分） 15. 已知在中，为中点，. （1）若，求； （2）若线段上一动点满足，试确定点的位置. 16. 如图，在平行四边形中，，且． （1）证明：三点共线； （2）连接并延长，交于点．若，证明：函数（且）恒过定点． 17. 已知函数. （1）求的单调减区间及对称轴； （2）当时，求函数的值域. 18. 记的内角，，的对边分别为，，，已知点为线段上的一点，为的平分线，. （1）若，， （i）求角的大小： （ii）求的面积： （2）当时，求的最小值. 19. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，且的外接圆半径为1，求的面积； （3）若为边上一点，且，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省渭源县第四高级中学2025-2026学年第二学期期中试题 高一 数学 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、单选题（本部分共8个小题，每题5分共40分） 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以， 所以， 所以的虚部为. 2. 在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以. 设，， 则. 代入，得. 又，所以，解得. 因此. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助完全平方公式及二倍角公式可得，结合原式计算即可得解. 【详解】由， 故， 故，故，即. 4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知两边及其中一边所对的角，适合使用余弦定理，把已知的，，代入余弦定理，得到关于 的一元二次方程，再结合边长必须为正数确定结果. 【详解】在中，由余弦定理得， 将已知条件代入，得， 即，化简得， 整理得，因式分解得，所以或， 因为三角形边长为正数，所以. 故选项C正确. 5. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用同角三角函数关系求出，再应用两角差余弦公式计算求解. 【详解】已知， 则， 则 6. 在中，，那么此三角形（ ） A. 解的个数不确定 B. 无解 C. 有一解 D. 有两解 【答案】B 【解析】 【分析】借助正弦定理计算即可判断. 【详解】由正弦定理可得，即， 由，显然无解，故此三角形无解. 7. 已知向量与的夹角为，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】由，则. 8. 枣庄青檀寺历史悠久、风景秀丽，寺内有塔，相传民族英雄岳飞曾因得眼疾来此养病，所以也有岳飞养眼楼之称，如图1.某数学兴趣小组成员为测量该塔的高度，在塔底O的同一水平面上的A，B两点处进行测量，如图2.已知在A处测得塔顶P的仰角为，在B处测得塔顶P的仰角为，米，，则该塔的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据在A处、B处的仰角求出，然后在中利用余弦定理求解. 【详解】由题意，设， 在中，，， 在中，，， 在中，， 即， 则，（米）. 二、多选题（本部分共3个小题，每题6分共18分） 9. 已知向量，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 在上的投影向量坐标为 【答案】BCD 【解析】 【详解】解：选项，由向量的模长公式，所以错误； 选项，由，可得，因为，则由向量共线的坐标公式， 可得，所以，因此正确； 选项，由，，当时，由向量垂直的坐标公式， 可得，所以，因此正确； 选项，由投影向量坐标公式可得在上的投影向量为，又，， 代入得投影向量，所以正确. 10. 中，角的对边分别是，向量，且，则下列说法正确的是（ ） A. C= B. 若，则 C. 若，则周长为16 D. 若，则面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用数量积的坐标表示及和角的正弦求解判断A；利用余弦定理及三角形面积公式求解判断BCD. 【详解】选项A:或, 若 若与矛盾，故，A正确. 选项B:由A知，，若, 由余弦定理得：故B正确. 选项C:, 由余弦定理得： 的周长为，故C错误. 选项D:,由余弦定理得：, 即,, 当且仅当时成立,故D正确. 11. 已知复数，是关于的方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】在复数域解一元二次方程可得，，再利用复数的乘法运算、共轭复数定义、模长公式一一判定选项即可. 【详解】根据题意知，所以， 不妨令，， 则，， ，而， 故A、B、C正确，D错误. 故选：ABC 三、填空题（本部分共3个小题，每题5分共15分） 12. 若向量满足，且与的夹角为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积公式计算即可得. 【详解】. 13. 已知复数的模等于2，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【详解】复数的模等于2，故， 故，解得. 14. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则tanA的最大值为___________. 【答案】##0.75 【解析】 【分析】利用三角形射影定理结合正弦定理可得，再由和角的正切公式，配方变形即可计算作答. 【详解】在中，由射影定理及得：， 由正弦定理边化角为：，于是得， 由得，，即角是钝角，， ， 当且仅当，即时取“=”， 所以tanA的最大值为. 故答案为： 四、解答题（本部分共5个小题，共77分） 15. 已知在中，为中点，. （1）若，求； （2）若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】（1） （2）点为线段的中点 【解析】 【分析】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值； （2）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 因为，所以，可得， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 所以， . 【小问2详解】 因为点在线段上的一点，设，其中， 则，所以，， 又因为，且、不共线， 所以，解得，此时点为线段的中点. 16. 如图，在平行四边形中，，且． （1）证明：三点共线； （2）连接并延长，交于点．若，证明：函数（且）恒过定点． 【答案】（1）证明:平行四边形中，，. 因为，所以. ， 又与有公共点，所以三点共线. （2）证明:令，则，所以， 故函数（且）恒过定点. 因为，所以，则. 平行四边形中，，， 则，所以，即， 则，即，所以， 又向量与方向相反，所以. 又，则，此时点为. 故函数（且）恒过定点. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，结合与有公共点证明即可. （2）根据指数型函数的性质求出恒过点，由（1）知，，根据三角形相似得到，进而得到，结合求出的值，代入点验证即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 17. 已知函数. （1）求的单调减区间及对称轴； （2）当时，求函数的值域. 【答案】（1）单调减区间为；对称轴为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换得，再根据正弦函数，结合整体代换求解即可； （2）由题意知，进而结合正弦函数的性质得. 【小问1详解】 解：， 因为正弦函数的减区间为， 令，则， 解得. 所以的单调减区间为 对称轴：正弦函数的对称轴为， 令，解得 所以的对称轴为. 【小问2详解】 解：令，因为，所以， 所以，，即 所以 因此，即的值域为. 18. 记的内角，，的对边分别为，，，已知点为线段上的一点，为的平分线，. （1）若，， （i）求角的大小： （ii）求的面积： （2）当时，求的最小值. 【答案】（1） （i）（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i)可利用正弦定理将边转化为角，再结合三角形内角和定理与两角和的正弦公式化简，进而求出角； (ii)先利用余弦定理求出b，再结合三角形面积公式计算面积; （2）可利用角平分线性质和余弦定理建立、的关系式，再结合基本不等式，即可求出的最小值. 【小问1详解】 （i）已知，由正弦定理得 整理得即 左边，因此 因为，，所以，又，故 (ii) 设，在中，已知，，， 由余弦定理得代入得， 整理得，解得​（负根舍去）   【小问2详解】 设，是角平分线，​，代入面积公式： ，代入，得   由余弦定理，​，且， 代入化简得 整理得 ​ 令，，得 由基本不等式， ​，且，代入得  当且仅当​​时等号成立，故的最小值为. 19. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，且的外接圆半径为1，求的面积； （3）若为边上一点，且，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和正弦公式、同角三角函数关系式中的商关系进行求解即可； （2）根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式进行求解即可； （3）根据正弦定理，结合辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 又，则， 所以， 即，又，则， 所以， 所以，由，得； 【小问2详解】 由，得， 由，得，可得， 所以． 【小问3详解】 因为， 所以， 在中，由正弦定理得，所以， 又在中，， 所以 ， 因为，所以， 当即时，的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $