专题03圆与扇形复习讲义(知识梳理+14大题型+突破题型)2025-2026学年沪教版五四制六年级数学下册

专题03圆与扇形复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.认识圆的圆心、半径、直径，掌握直径与半径的数量关系，了解圆的轴对称特征。 2.理解圆周率的含义，熟记圆的周长、面积公式。 3.认识圆心角、弧、扇形、圆环，掌握弧长、扇形面积、圆环面积计算公式。 4.理解扇形、弧与整圆之间的部分与整体关系。 1.熟练运用公式，正确计算圆的周长、面积、弧长和扇形面积。 2.能根据已知条件，反向求出半径、直径、圆心角等未知量。 3.学会辨析半圆、扇形周长易混概念，简单解决圆环及基础组合图形问题。 4.结合生活实际，运用圆与扇形知识解决常规应用题。 1.夯实基础概念与公式，选择、填空、计算题减少基础失误。 2.熟练掌握常考题型，规范解题步骤，提升计算准确率。 3.规避半圆周长、面积平方书写等高频易错点，适应期中考查要求。 题型01.画图及扇形 题型02.圆的概念及特点 题型03.与圆相关的轴对称图形 题型04.圆的周长 题型05.弧.圆心角.扇形的认识 题型06.求弧长 题型07.求圆心角 题型08.圆的面积 题型09.圆环的面积 题型10.扇形的周长和面积 题型11.含圆的组合图形的计算 题型12.组合图形的面积 题型13.阴影部分的周长和面积 题型14.不规则图形的面积 解答题8题 知识点01:圆的认识 1.圆的定义 在同一平面内，到定点距离相等的所有点组成的封闭曲线图形，叫做圆。 2.圆的各部分名称 3.半径与直径的关系 在同一个圆或等圆中d=2r r= 4.圆的特征 (1)同一个圆内，有无数条半径、无数条直径。 (2)所有半径长度相等，所有直径长度相等。 (3)圆是轴对称图形，有无数条对称轴，每条直径所在直线都是对称轴。 知识点02:圆的周长 1.周长含义 围成圆的曲线的总长，叫做圆的周长。 2.圆周率 圆的周长与直径的比值叫做圆周率，用字母 π 表示。 π 是无限不循环小数，日常计算取值 π≈3.14。 3.周长计算公式 C=πd C=2πr 4.半圆的弧长与半圆周长 半圆弧长:πr 5.半圆周长=半圆弧长＋直径 C半圆πr+2r 知识点03:圆的面积 1.面积含义 圆所占平面的大小，叫做圆的面积。 2.面积推导 通过割补拼接，把圆转化为近似长方形，推导出面积公式。 3.圆的面积公式 S=πr2 4.半圆面积 S半圆=πr2 知识点04:弧与圆心角 弧长公式 圆心角为 n° 的弧长l=πr 知识点05:扇形 1.扇形定义 由一条弧和经过这条弧两端的两条半径围成的图形，叫做扇形。如图，空白部分记作扇形 AOB。 2.扇形大小 在同圆中，扇形大小由圆心角的大小决定。 3.扇形周长 扇形周长 = 弧长＋两条半径 4.扇形面积公式 S扇形lr 知识点06:圆环 1.定义：两个圆心相同、半径不同的圆，大圆减去小圆的部分叫做圆环（大圆半径 R，小圆半径 r）。 2.圆环面积公式：S圆环​=πR2−πr2 高频易错点 1.半圆周长 ≠ 圆周长的一半，必须加上直径。 2.扇形周长不要遗漏两条半径。 3.圆面积公式中半径必须平方，避免漏写 r2。 4.已知直径求面积时，先算半径再代入公式。 5.弧长、扇形面积公式中的 n 是圆心角度数，单位为 “度”。 题型01.画图及扇形 【典例】下列实线部分围成的图形是扇形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形叫做扇形，掌握扇形的定义是解题的关键． 【详解】解：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形叫做扇形． 根据定义结合图形可得：A、C、D顶点不在圆心，不符合定义，B符合扇形定义． 故选：B． 【跟踪专练1】．下列图形中的阴影部分是扇形的是（    ） A．    B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了扇形，掌握扇形的定义是解答本题的关键．根据扇形的定义判断即可． 【详解】解：根据扇形的定义（由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形）可知选项D是扇形，其它选项不是扇形． 故选：D． 【跟踪专练2】画图并计算． (1)在上面的正方形中画一个最大的圆． (2)计算出圆的周长． 【答案】(1)见详解 (2)厘米 【分析】本题考查画圆、圆的概念及特点、圆的周长，熟练掌握是解答本题的关键． （1）由于正方形的边长是4厘米，画一个最大的圆，圆的直径和正方形的边长相同，也是4厘米，据此画圆即可； （2）根据圆的周长公式：，把数代入即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：（厘米）， 所以圆的周长是厘米． 题型02.圆的概念及特点 【典例】一个圆的半径是，下列说法错误的是（   ） A．该圆的直径是 B．圆上任意一点到圆心的距离都是 C．该圆的对称轴有条 D．用圆规画该圆时，两脚间距离需调为 【答案】C 【分析】本题考查了圆的半径与直径的关系、半径的性质、对称性及圆规画圆的方法，核心是掌握“同一圆内半径与直径的关系”和“圆的对称性”． 【详解】解：A选项：同一个圆内直径，半径，则直径，故A选项正确； B选项：半径是圆上任意一点到圆心的距离，同一圆内所有半径相等，均为，故B选项正确； C选项：圆是轴对称图形，直径所在的直线都是对称轴，有无数条，而非条，故C选项错误； D选项：圆规画圆时，两脚间距离等于半径，故需调为，故D选项正确． 故选：C． 【跟踪专练1】学校的铅球场地，由投掷区、抵趾板和落地区组成．如图所示，运动员推出的铅球着地后会留下痕迹．裁判员会按照如下步骤测量并给出成绩：①将皮尺的零刻度线拉至铅球落点；②将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心；③将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩．确定铅球比赛成绩的数学公理是_______________________________． 【答案】圆上的点到圆心的距离相等 【分析】本题考查了圆的基本概念，根据圆上的点到圆心的距离相等即可解答． 【详解】解：根据题意确定铅球比赛成绩的数学公理是：圆上的点到圆心的距离相等． 故答案为：圆上的点到圆心的距离相等． 【跟踪专练2】在长厘米、宽厘米的长方形纸中能剪_____个半径1厘米的圆． 【答案】18 【分析】本题主要考查了圆的直径，理解圆与正方形的关系是解题的关键．半径是1厘米，直径就是2厘米；可以看作是剪出边长为2厘米的正方形，然后用厘米、厘米分别除以2厘米，即可得出沿着长和宽各能剪出几个半径是1厘米的圆，再把这两个个数相乘即可解答． 【详解】解：直径：（厘米）； 沿着长剪的个数：（个）， 沿着宽剪的个数：（个）， 最多一共剪的个数：（个）． 故答案为：18． 题型03.与圆相关的轴对称图形 【典例】下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，根据“若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”，即可求解． 【详解】解：A有无数条对称轴；B有2条对称轴；C有3条对称轴；D有4条对称轴； 所以对称轴条数最多的是A． 故选：A 【跟踪专练1】下面的轴对称图形中，（    ）的对称轴数量最多． A．（两个圆形） B．（半圆形） C．（三个圆形） D．（外方内圆形） 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出各选项图形的对称轴的条数，然后选择即可． 【详解】解：选项A有两条对称轴， 选项B有一条对称轴， 选项C有三条对称轴， 选项D有四条对称轴， 对称轴数量最多的是选项D． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【跟踪专练2】画一画．（如图，O为圆心，A为圆周上的一点） (1)以A点为圆心，画一个与已知圆同样大小的圆． (2)画出这两个圆组成图形的两条对称轴． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了画圆，找对称轴． （1）画圆时，圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小，以点A为圆心，为半径画出与已知圆大小一样的圆； （2）将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分能够完全重合，折痕所在的直线叫做它的对称轴，两个圆心连线所在的直线与两个圆交点所在的直线就是这个图形的对称轴，对称轴用虚线表示，据此解答． 【详解】（1）如图所示，圆A即为所求； （2）如图所示，虚线即为所求． 题型04.圆的周长 【典例】 将一个圆形纸片平均分成16份，然后拼成一个近似的平行四边形（如图所示），它的一边长a相当于圆的（    ） A．半径 B．直径 C．圆周长的一半 D．圆周长 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的周长的理解，把一个圆形纸片平均分成16份拼成一个近似的平行四边形，平行四边形的两个边长为a的两个边之和等于圆的周长，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，拼成的近似平行四边形中边长为a的边的长相当于圆的周长的一半，与边长为a的边相邻的边的长相当于圆的半径， 故选：C． 【跟踪专练1】月球绕着地球的运动轨道可近似为圆形轨道．经研究发现月球每年远离地球3.8厘米，那么100年后的月球轨道将比今天的月球轨道长______米．（已知地月距离约为38万千米，保留） 【答案】 【分析】先求解100年后远离的总距离，再根据圆的周长公式求解即可． 【详解】解：∵月球每年远离地球3.8厘米， ∴100年后远离的总距离为厘米米， 即轨道半径增加了3.8米， ∴周长增加了米， ∴100年后的月球轨道将比今天的月球轨道长米 ． 【跟踪专练2】如图，学校运动场的直道的长度是85.96m，第一条半圆形跑道的直径为72.6m，每条跑道宽1.25m．400m跑时，每条起跑线相差______米．（取3.14） 【答案】 【分析】本题为平面图形的认识与计算题，考查了学生对圆、圆环的周长的知识内容的掌握和运用，此题计算公式是大圆直径乘圆周率减小圆直径乘圆周率，关键是找出400米跑道差距是两边的半圆组成的同心圆的周长之差． 【详解】解： （米）． 即每条起跑线相差7.85米， 故答案为：7.85． 题型05.弧.圆心角.扇形的认识 【典例】下面涂色部分的图形为扇形的是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形的定义，熟知“扇形是由两条半径及圆心角所对的弧组成的图形”是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，只有B选项中的涂色部分是扇形， 故选B． 【跟踪专练1】河南登封“天地之中”历史建筑群是世界文化遗产之一，由郭守敬修建的“观星台”是我国最古老的天文台，距今已有700多年的历史．在观星台的顶上，还可以看到一件日晷．由铜制的指针垂直穿过圆盘中心，石制的圆盘南高北低，平行于赤道面．圆盘上等分为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二时辰．表示每个时辰的扇形对应的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，圆盘上等分为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二时辰．周角的度数是，表示每个时辰的扇形对应的圆心角的度数为周角的度数÷12，据此解答即可． 本题考查了圆心角的计算，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 表示每个时辰的扇形对应的圆心角的度数为． 故答案为：B． 【跟踪专练2】如图，长方形的长是6厘米，宽是4厘米，在这个长方形内有一个边长为2厘米的等边三角形（等边三角形的三个内角都是），三角形沿长方形的边在长方形内部向左滚动一周，顶点所经过的路程为___________厘米．（保留） 【答案】/ 【分析】本题考查了求弧长，画出图形，结合弧长公式计算即可得解，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， 由弧长公式可得． ∴三角形沿长方形的边在长方形内部向左滚动一周，顶点所经过的路程为． 故答案为：． 题型06.求弧长 【典例】如图①，表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢，图②是其示意图，点是圆心，半径为12m，点是圆上的两点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求弧长，利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得： 的长为； 故选B． 【跟踪专练1】“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为________．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．先求出摩天轮半径，再求出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：∵最高点离水面平台的距离为，圆心O到的距离为， ∴摩天轮的半径为， ∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点A出发，后到达点B， ∴， ∴该轿厢所经过的路径长度为： ． 故答案为：． 【跟踪专练2】每年8月8日是“全民健身日”．为了认真发展体育运动，增强人民体质，贯彻执行《中华人民共和国体育法》，网上各种健身项目层出不穷．如图是侧抬腿运动，可以保证全身得到锻炼！已知小敏大腿根部距脚尖，即，当其完成图中一次动作时，脚尖划过的轨迹长度为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 根据弧长公式列式计算即可． 【详解】解：由题意得，轨迹长为：． 故选：A． 题型07.求圆心角 【典例】如图，将一张圆形纸片剪开成甲乙两个扇形，如果甲扇形所在的弧长是60厘米．乙扇形所在的弧长是40厘米，则甲扇形的圆心角比乙扇形的圆心角大______度． 【答案】72 【分析】根据甲、乙两个扇形的弧长，结合甲、乙两个扇形的圆心角度数之和为360度求出甲、乙两个扇形的圆心角度数即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故甲扇形的圆心角比乙扇形的圆心角大． 【跟踪专练1】将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长公式，圆心角的计算，掌握弧长公式的计算方法是解题的关键． 根据弧长公式（是弧长，是圆心角度数，是扇形半径）得到，由此即可求解． 【详解】解：扇形的半径为，弧长为，弧长公式（是弧长，是圆心角度数，是扇形半径）， ∴， 故选：D ． 【跟踪专练2】“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动2周时，上的点P随之旋转，则__． 【答案】72 【分析】本题主要考查了求弧长．先求出点移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：∵的周长为， ∴顺时针转动2周时，点P移动的弧长为， ∴， 解得：． 故答案为：． 题型08.圆的面积 【典例】周长相等时，（   ）的面积最大． A．长方形 B．正方形 C．圆 D．无法确定 【答案】C 【分析】我们可假设三个图形周长为同一个定值，分别利用各图形的周长、面积公式计算面积，比较大小后即可得到结论． 【详解】解：设长方形、正方形和圆的周长均为厘米，取． 周长一定的长方形，长与宽越接近面积越大，取长为厘米，宽为厘米， 长方形的面积为 平方厘米． 正方形的边长为 厘米， 正方形的面积为 平方厘米． 圆的半径为 厘米， 圆的面积为 平方厘米． 比较面积大小得 ，因此周长相等时，圆的面积最大． 【跟踪专练1】如图，已知三角形的面积是4平方厘米，则圆的面积为 __________ 平方厘米（取3.14）． 【答案】25.12 【分析】根据题意设圆的半径为r，利用三角形的面积公式列出方程求得的值，最后利用圆的面积公式即可得出结果． 【详解】解：设圆的半径为r， ∴，则， ∴（平方厘米）． 【跟踪专练2】中国建筑中经常能见到“外圆内方”和“外方内圆”的设计，如图，在外圆内方图案中，圆与正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查圆的面积公式和正方形与圆的关系．因为正方形的对角线为直径，对角线将正方形分成两个三角形，三角形的底为直径，高为半径，假设圆的半径为，三角形的面积底高，即可算出一个三角形的面积，最后乘2可得到这个正方形的面积，根据圆的面积公式表示出圆的面积，再根据比的意义，即可得解． 【详解】解：设圆的半径为．则正方形的面积为： ； 圆的面积：； 圆与正方形的面积比是： ． 故选：A． 题型09.圆环的面积 【典例】有一个环形铁片，如下图所示：它的外圆半径是5厘米，内圆半径是3厘米．这个环形铁片的面积是______平方厘米．（取） 【答案】 【分析】根据圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积，结合公式求解即可 【详解】解：环形面积（平方厘米）． 【跟踪专练1】环形铁片的外半径是，内直径是，它的面积是（   ）（取） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆环的面积计算，用外圆的面积减去内圆的面积即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：D． 【跟踪专练2】如图所示，一张桌面直径的圆形折叠桌，桌面折叠后成了正方形，折叠部分的面积是_________． 【答案】1.14 【分析】本题主要考查圆、正方形、三角形面积公式的灵活运用，解题关键是熟记公式． 连接正方形的两条对角线，会把正方形分成四个面积相等的等腰直角三角形，其边长为圆的半径，根据圆和三角形的面积公式分别计算，最后作差即可． 【详解】解：如图，连接正方形的两条对角线与， 由圆的直径为，可得圆的半径为， 由正方形的性质可知，两条对角线会把正方形分割成四个面积一样的等腰直角三角形，其边长等于圆的半径，即， 圆的面积为， 正方形面积为， 因此，折叠部分的面积为． 故答案为：． 题型10.扇形的周长和面积 【典例】圆心角为的扇形面积为，该扇形所在圆的半径是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求扇形的半径，根据扇形的面积公式进行求解即可．熟练掌握扇形的面积公式，是解题的关键． 【详解】解：设扇形所在圆的半径为，由题意，得： ， ∴（负值舍去）； ∴圆的半径为． 故选B． 【跟踪专练1】如果扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩短为原来的，那么这个扇形的面积是原来的______． 【答案】 【分析】设原来扇形的半径为r，圆心角为n，则现在的扇形半径为，圆心角为，根据扇形的面积公式分别表示出原来扇形的面积和现在扇形的面积，进而可得答案． 【详解】解：设原来扇形的半径为r，圆心角为n，则现在的扇形半径为，圆心角为， 所以原来扇形的面积为，现在的扇形的面积为， ∴这个扇形的面积是原来的． 【跟踪专练2】如图所示，把圆心角为，半径为6的扇形在直线l上向右作无滑动翻滚一周，那么圆心O所经过的路径长为________．（计算结果保留π） 【答案】 【分析】观察图形得从图（1）到图（2）的过程中，圆心O没移动；从图（2）到图（3）的过程和从图（4）到图（5）的过程中，圆心O所经过的路径都是以6为半径、圆心角为的弧；从图（3）到图（4）的过程中，圆心O所经过的路径是以6为半径、圆心角为的弧，然后根据圆的周长公式分别进行计算． 【详解】解：如图，从图（2）到图（3）的过程中，圆心O所经过的路径长， 从图（3）到图（4）的过程中，圆心O所经过的路径长， 从图（4）到图（5）的过程中，圆心O所经过的路径长， 所以扇形在直线l上向右作无滑动翻滚一周，则圆心O所经过的路径长． 题型11.含圆的组合图形的计算 【典例】如图，三角形是边长为的等边三角形，分别以，，三点为圆心，为半径长画弧，那么阴影部分的周长为________．（结果保留两位小数） 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，弧长的计算，熟记弧长的计算公式是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，，然后根据弧长的计算公式计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴阴影部分的弧长总和为：， ∴阴影部分的周长为：， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，由直径分别为厘米、厘米和厘米的三个半圆所组成的图形，则图中阴影部分的面积为____平方厘米．（结果保留 ） 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积公式的应用，解题的关键是通过分析图形，将阴影部分面积转化为几个半圆面积的组合来计算． 分别计算出三个半圆的面积，再根据图形组合关系求出阴影部分的面积． 【详解】解；直径为10厘米的半圆，其半径厘米，面积平方厘米． 直径为厘米的半圆，其半径厘米，面积平方厘米． 直径为厘米的半圆，其半径厘米，面积平方厘米． 通过观察图形可知，阴影部分的面积（平方厘米） 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，长方形的长厘米，宽厘米．、分别为、上的点，且，，一个半径为厘米的圆，沿着长方形的外侧从点经过点滚动到点，则圆滚过的面积为________平方厘米．（答案保留） 【答案】 【分析】如图把圆滚过的面积分为部分，个长方形，起点、终点分别为两个半圆，两个角处分别为半径为厘米的圆；起点、终点加起来正好是一个半径长为厘米圆的面积；两个角面积之和是半径为厘米的半圆的面积；据此解答即可． 【详解】解：如图， 由题意，， ∴圆滚过的面积为． 题型12.组合图形的面积 【典例】如图、小圆乙的半径为，大圆甲的半径是小圆乙半径的3倍，则甲空白部分面积比乙空白部分面积多______．（保留） 【答案】 【分析】此题主要考查了组台图形的面积的求法，解答此题的关键是熟练掌握圆的面积的求法． 根据图示，可得大圆空白部分的面积加上阴影部分的面积等于大圆的面积，小圆空白部分的面积加上阴影部分的面积等于小圆的面积，所以大圆空白部分的面积减去小圆空白部分的面积等于大圆的面积和小圆的面积的差，据此解答即可． 【详解】． 答∶大圆空白部分的面积比小圆空白部分的面积多． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图所示，像图中这样从圆环上截取的部分叫扇环（实线围成部分），则该扇环的面积为___________．（取3.14） 【答案】15.7 【分析】本题主要考查了组合图形面积．熟练掌握基本图形面积的计算，是解决问题的关键．利用大扇形的面积减去小扇形的面积求解即可． 【详解】解：， ， ， 答：该扇环的面积为， 故答案为：． 【跟踪专练2】图A阴影部分面积比图B的阴影部分面积小______．（结果保留π） 【答案】/ 【分析】本题考查圆与长方形面积的计算，解题的关键是分别求出图和图阴影部分的面积． 分别计算图、图阴影部分面积，再求二者差值． 【详解】图A阴影部分面积等于长方形的面积减去减去4个空白的叶形的面积， ， 图B阴影部分面积等于4个阴影的叶形的面积， ， 图A阴影部分面积比图B的阴影部分面积小， ， 故答案为：． 题型13.阴影部分的周长和面积 【典例】已知大正方形边长为2厘米，阴影部分的面积是( )平方厘米． 【答案】2 【分析】本题考考查了平移，长方形的面积等知识，如下图，把图形左边的两个阴影移补到右边空白部分，这样阴影部分组合成一个长等于正方形的边长，宽等于正方形边长一半的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如下图，把图形左边的两个阴影移补到右边空白部分，这样阴影部分组合成一个长等于正方形的边长，宽等于正方形边长一半的长方形， （平方厘米） 答：阴影部分的面积是2平方厘米． 【跟踪专练1】如图，长方形面积等于圆的面积．已知圆的半径为2厘米，那么，阴影部分的面积是_______平方厘米． 【答案】9.42 【分析】根据长方形面积圆的面积可得出阴影部分的面积圆的面积，据此求解即可． 【详解】解： （平方厘米） 答：阴影部分的面积是9.42平方厘米． 【跟踪专练2】如图，以正方形的4个顶点为圆心的4个圆都经过该正方形的中心．如果每个圆的半径都是，那么阴影部分的总面积是（　　）平方厘米 A．8 B． C．24 D．32 【答案】D 【分析】本题主要考查了不规则图形的面积，解答本题的关键是把不规则的图形转化成规则的图形．如图把大正方形外边的八部分补到中间空白部分，拼成一个完整的大正方形，大正方形的对角线的长度正好等于两条直径的和，然后根据正方形的面积=对角线的长度×对角线的长度解答即可． 【详解】解：如图，把大正方形外边的八部分补到中间空白部分，拼成一个完整的大正方形， ∴圆的直径是：(厘米)， (平方厘米)， 故选：D． 题型14.不规则图形的面积 【典例】下列四个图中，阴影部分面积不等于正方形面积的的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不规则图形的面积，解题的关键是将不规则图形转化为规则图形． 借助割补法，将不规则图形转化为规则图形，对比选项分析判断即可． 【详解】解： 根据观察，结合割补法可知， 选项中阴影部分面积不等于正方形面积的，选项、、中阴影部分面积等于正方形面积的， ∴只有选项符合题意， 故选：． 【跟踪专练1】已知图1、图2中两个半圆的半径相等，、分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，则与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】设两个圆的半径都是r，则图1中长方形的长为2r，宽为r，图2中三角形的底为2r，高为r，图1中阴影部分的面积为长方形的面积减去半圆的面积，图2中阴影部分的面积为半圆的面积减去三角形的面积，再进行比较所得面积的大小． 【详解】解:设两个半圆的半径都是r，则图1中长方形的长为2r，宽为r， 图2中三角形的底为2r，高为r， ∴ ． 故选A 【点睛】本题考查了求阴影部分的面积，圆的性质，半圆、矩形、三角形的面积公式，解题的关键是明确半圆、矩形、三角形的面积求法及阴影部分求面积的方法． 【跟踪专练2】如图，如果直角三角形的面积是平方厘米，那么圆内空白部分的面积是( )平方厘米． 【答案】 【分析】此题考查不规则图形面积的计算方法，直角三角形的面积底高2，刚好底和高都是圆的半径，则三角形的面积可以表示为，圆的面积，求出圆的面积减去阴影部分的面积即可求出空白部分的面积，利用圆的面积公式求出圆的面积是解题的关键． 【详解】解：设圆的半径是，； ； ， 圆的面积：（平方厘米）， 空白部分的面积：（平方厘米）， 空白部分的面积是平方厘米， 故答案为：． 【解答题】 1．春节期间亲戚来访，爸爸让小梁到便利店买罐易拉罐饮料，营业员将罐易拉罐捆扎在一起（接口不计），中间形成一个正方形，如图所示，且易拉罐的直径为厘米，那么捆圈至少用绳子多少厘米？ 【答案】捆圈至少用绳子厘米． 【分析】由图可知，一圈长度可以看作个直径为厘米的圆的周长和正方形的周长之和，计算出单圈的长度再乘以即可． 【详解】解：单圈的长度为（厘米）， ∴捆圈至少用绳子（厘米）． 2．如图，扇形的圆心角是，弧的长度是厘米，的长是15厘米．求阴影部分的周长．（取） 【答案】厘米 【分析】先根据弧长公式求出厘米，再根据弧长公式求出弧的长为厘米，最后求出结果即可． 【详解】解：∵扇形的圆心角是，弧的长度是厘米， ∴（厘米）， ∴（厘米）， ∴弧的长为：（厘米）， ∴阴影部分的周长为：（厘米）． 3． 如图是一座立体交叉桥的示意图（道路宽度忽略不计），为入口，为出口，其中直行道为，且米，弯道为以点为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为，半径为米．甲车由口驶入立交桥，以米/秒的速度行驶，从口驶出用时多少秒？ 【答案】 【分析】本题考查了弧长、路程、速度和时间的关系，先计算直行道长度、弯道弧长，得到总路程后，结合速度求出时间． 【详解】解：米，米， 总路程为：米， 时间为：秒． 答：从口驶出用时秒． 4．在半径为的圆中，一个圆心角所对的弧长为，求这个圆心角的度数．（π取3.14） 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式的运用，解题关键是熟记弧长公式，准确进行计算． 【详解】解：半径为的圆中，一个圆心角所对的弧长为，设圆心角的度数为n度, 所以, 解得，， 这个圆心角的度数为． 5．如图，正方形的边长是6，求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】 【分析】先计算正方形边长为6的两个扇形面积和，再求“叶子”重叠面积；接着算出角落空白部分，进而求得单个阴影块面积为，最后乘以2即可得解． 【详解】解：如图， 由图可得，， ∴扇形的面积为：， ∴， 由图可得，两个四分之一圆在正方形内部重叠，重叠部分为叶子， ∴正方形面积：，叶子面积：， 由图可得， ， ∴ ， ∴． 6．看图列算式并解答． (1) (2)花坛周围建有宽的水泥路，水泥路的面积是多少平方米？（π取3.14，单位：m） 【答案】(1) (2)水泥路的面积是213.3平方米 【分析】（1）根据多列式计算即可； （2）先求出花坛半圆的直径为，进而列式计算水泥路的面积即可． 【详解】（1）解：； （2）解：花坛两侧半圆的直径为 ， ， 答：水泥路的面积是213.3平方米． 7．一个扇形的元素有：半径（r）、圆心角（n）、弧长（l）、面积（）．它们之间存在相关的数量关系．我们分别进行探究： (1)填空：________；________．根据这两个公式推导出． (2)当扇形面积不变，圆心角减少时，求它的半径增加了百分之几． (3)当扇形周长为40厘米时，请用含圆心角的代数式表示半径．（结果保留） (4)当一个扇形圆心角增大所对应的弧长减小时，它的面积增大还是减小？如果增大，求出增大了百分之几；如果减小，求出减小了百分之几． 【答案】(1)； (2) (3) (4)面积减小，减小了 【分析】（1）根据扇形的弧长和面积公式解答即可； （2）设原扇形的圆心角为，半径为，新扇形的圆心角为，半径为，则，根据扇形面积不变得到，因此，从而计算即可求解； （3）根据题意得到，将式子化为用含n的式子表示r即可解答； （4）设原来的圆心角为n，弧长为l，半径为r，面积为S，则现在的圆心角，弧长，根据弧长公式得到，因此，从而根据面积公式得到，即可求解． 【详解】（1）解：；． 由此可得． （2）解：设原扇形的圆心角为，半径为，新扇形的圆心角为，半径为， ∴， ∵扇形面积不变， ∴， ∴， ∴， ∴半径增加了． （3）解：当扇形的周长为40厘米时， ， ∴． （4）解：设原来的圆心角为n，弧长为l，半径为r，面积为S， 则现在的圆心角， 弧长 ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴现在的面积， ∵， ∴面积减小， 减少的百分比为． 答：它的面积减小了，减小了． 8．一个场馆铺设了一块装饰草坪，草坪的形状如图所示，若每平方米的铺设费用是100元，则该场馆铺设该草坪需要多少费用？（取3.14） 【答案】该场馆铺设该草坪需要费用244200元 【分析】本题考查扇形、长方形面积的计算方法，掌握扇形面积和长方形面积的计算方法是正确计算的前提； 先求出草坪的面积，再求出需要的费用. 【详解】解：（平方米）， （平方米） （平方米）， 所以铺设该草坪需要费用元， 答：该场馆铺设该草坪需要费用244200元. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03圆与扇形复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.认识圆的圆心、半径、直径，掌握直径与半径的数量关系，了解圆的轴对称特征。 2.理解圆周率的含义，熟记圆的周长、面积公式。 3.认识圆心角、弧、扇形、圆环，掌握弧长、扇形面积、圆环面积计算公式。 4.理解扇形、弧与整圆之间的部分与整体关系。 1.熟练运用公式，正确计算圆的周长、面积、弧长和扇形面积。 2.能根据已知条件，反向求出半径、直径、圆心角等未知量。 3.学会辨析半圆、扇形周长易混概念，简单解决圆环及基础组合图形问题。 4.结合生活实际，运用圆与扇形知识解决常规应用题。 1.夯实基础概念与公式，选择、填空、计算题减少基础失误。 2.熟练掌握常考题型，规范解题步骤，提升计算准确率。 3.规避半圆周长、面积平方书写等高频易错点，适应期中考查要求。 题型01.画图及扇形 题型02.圆的概念及特点 题型03.与圆相关的轴对称图形 题型04.圆的周长 题型05.弧.圆心角.扇形的认识 题型06.求弧长 题型07.求圆心角 题型08.圆的面积 题型09.圆环的面积 题型10.扇形的周长和面积 题型11.含圆的组合图形的计算 题型12.组合图形的面积 题型13.阴影部分的周长和面积 题型14.不规则图形的面积 解答题8题 知识点01:圆的认识 1.圆的定义 在同一平面内，到定点距离相等的所有点组成的封闭曲线图形，叫做圆。 2.圆的各部分名称 3.半径与直径的关系 在同一个圆或等圆中d=2r r= 4.圆的特征 (1)同一个圆内，有无数条半径、无数条直径。 (2)所有半径长度相等，所有直径长度相等。 (3)圆是轴对称图形，有无数条对称轴，每条直径所在直线都是对称轴。 知识点02:圆的周长 1.周长含义 围成圆的曲线的总长，叫做圆的周长。 2.圆周率 圆的周长与直径的比值叫做圆周率，用字母 π 表示。 π 是无限不循环小数，日常计算取值 π≈3.14。 3.周长计算公式 C=πd C=2πr 4.半圆的弧长与半圆周长 半圆弧长:πr 5.半圆周长=半圆弧长＋直径 C半圆πr+2r 知识点03:圆的面积 1.面积含义 圆所占平面的大小，叫做圆的面积。 2.面积推导 通过割补拼接，把圆转化为近似长方形，推导出面积公式。 3.圆的面积公式 S=πr2 4.半圆面积 S半圆=πr2 知识点04:弧与圆心角 弧长公式 圆心角为 n° 的弧长l=πr 知识点05:扇形 1.扇形定义 由一条弧和经过这条弧两端的两条半径围成的图形，叫做扇形。如图，空白部分记作扇形 AOB。 2.扇形大小 在同圆中，扇形大小由圆心角的大小决定。 3.扇形周长 扇形周长 = 弧长＋两条半径 4.扇形面积公式 S扇形lr 知识点06:圆环 1.定义：两个圆心相同、半径不同的圆，大圆减去小圆的部分叫做圆环（大圆半径 R，小圆半径 r）。 2.圆环面积公式：S圆环​=πR2−πr2 高频易错点 1.半圆周长 ≠ 圆周长的一半，必须加上直径。 2.扇形周长不要遗漏两条半径。 3.圆面积公式中半径必须平方，避免漏写 r2。 4.已知直径求面积时，先算半径再代入公式。 5.弧长、扇形面积公式中的 n 是圆心角度数，单位为 “度”。 题型01.画图及扇形 【典例】下列实线部分围成的图形是扇形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】．下列图形中的阴影部分是扇形的是（    ） A．    B．   C．   D．   【跟踪专练2】画图并计算． (1)在上面的正方形中画一个最大的圆． (2)计算出圆的周长． 题型02.圆的概念及特点 【典例】一个圆的半径是，下列说法错误的是（   ） A．该圆的直径是 B．圆上任意一点到圆心的距离都是 C．该圆的对称轴有条 D．用圆规画该圆时，两脚间距离需调为 【跟踪专练1】学校的铅球场地，由投掷区、抵趾板和落地区组成．如图所示，运动员推出的铅球着地后会留下痕迹．裁判员会按照如下步骤测量并给出成绩：①将皮尺的零刻度线拉至铅球落点；②将皮尺的另一端拉长并经过投掷区的圆心；③将皮尺拉直，读取皮尺上落在投掷区抵趾板内沿处的数值，作为运动员的成绩．确定铅球比赛成绩的数学公理是_______________________________． 【跟踪专练2】在长厘米、宽厘米的长方形纸中能剪_____个半径1厘米的圆． 题型03.与圆相关的轴对称图形 【典例】下列图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下面的轴对称图形中，（    ）的对称轴数量最多． A．（两个圆形） B．（半圆形） C．（三个圆形） D．（外方内圆形） 【跟踪专练2】画一画．（如图，O为圆心，A为圆周上的一点） (1)以A点为圆心，画一个与已知圆同样大小的圆． (2)画出这两个圆组成图形的两条对称轴． 题型04.圆的周长 【典例】 将一个圆形纸片平均分成16份，然后拼成一个近似的平行四边形（如图所示），它的一边长a相当于圆的（    ） A．半径 B．直径 C．圆周长的一半 D．圆周长 【跟踪专练1】月球绕着地球的运动轨道可近似为圆形轨道．经研究发现月球每年远离地球3.8厘米，那么100年后的月球轨道将比今天的月球轨道长______米．（已知地月距离约为38万千米，保留） 【跟踪专练2】如图，学校运动场的直道的长度是85.96m，第一条半圆形跑道的直径为72.6m，每条跑道宽1.25m．400m跑时，每条起跑线相差______米．（取3.14） 题型05.弧.圆心角.扇形的认识 【典例】下面涂色部分的图形为扇形的是（    ）． A．   B．   C．   D．   【跟踪专练1】河南登封“天地之中”历史建筑群是世界文化遗产之一，由郭守敬修建的“观星台”是我国最古老的天文台，距今已有700多年的历史．在观星台的顶上，还可以看到一件日晷．由铜制的指针垂直穿过圆盘中心，石制的圆盘南高北低，平行于赤道面．圆盘上等分为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二时辰．表示每个时辰的扇形对应的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，长方形的长是6厘米，宽是4厘米，在这个长方形内有一个边长为2厘米的等边三角形（等边三角形的三个内角都是），三角形沿长方形的边在长方形内部向左滚动一周，顶点所经过的路程为___________厘米．（保留） 题型06.求弧长 【典例】如图①，表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢，图②是其示意图，点是圆心，半径为12m，点是圆上的两点，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为________．（结果保留） 【跟踪专练2】每年8月8日是“全民健身日”．为了认真发展体育运动，增强人民体质，贯彻执行《中华人民共和国体育法》，网上各种健身项目层出不穷．如图是侧抬腿运动，可以保证全身得到锻炼！已知小敏大腿根部距脚尖，即，当其完成图中一次动作时，脚尖划过的轨迹长度为（    ）． A． B． C． D． 题型07.求圆心角 【典例】如图，将一张圆形纸片剪开成甲乙两个扇形，如果甲扇形所在的弧长是60厘米．乙扇形所在的弧长是40厘米，则甲扇形的圆心角比乙扇形的圆心角大______度． 【跟踪专练1】将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角大小为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动2周时，上的点P随之旋转，则__． 题型08.圆的面积 【典例】周长相等时，（   ）的面积最大． A．长方形 B．正方形 C．圆 D．无法确定 【跟踪专练1】如图，已知三角形的面积是4平方厘米，则圆的面积为 __________ 平方厘米（取3.14）． 【跟踪专练2】中国建筑中经常能见到“外圆内方”和“外方内圆”的设计，如图，在外圆内方图案中，圆与正方形面积比是（   ） A． B． C． D． 题型09.圆环的面积 【典例】有一个环形铁片，如下图所示：它的外圆半径是5厘米，内圆半径是3厘米．这个环形铁片的面积是______平方厘米．（取） 【跟踪专练1】环形铁片的外半径是，内直径是，它的面积是（   ）（取） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示，一张桌面直径的圆形折叠桌，桌面折叠后成了正方形，折叠部分的面积是_________． 题型10.扇形的周长和面积 【典例】圆心角为的扇形面积为，该扇形所在圆的半径是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如果扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩短为原来的，那么这个扇形的面积是原来的______． 【跟踪专练2】如图所示，把圆心角为，半径为6的扇形在直线l上向右作无滑动翻滚一周，那么圆心O所经过的路径长为________．（计算结果保留π） 题型11.含圆的组合图形的计算 【典例】如图，三角形是边长为的等边三角形，分别以，，三点为圆心，为半径长画弧，那么阴影部分的周长为________．（结果保留两位小数） 【跟踪专练1】如图，由直径分别为厘米、厘米和厘米的三个半圆所组成的图形，则图中阴影部分的面积为____平方厘米．（结果保留 ） 【跟踪专练2】如图，长方形的长厘米，宽厘米．、分别为、上的点，且，，一个半径为厘米的圆，沿着长方形的外侧从点经过点滚动到点，则圆滚过的面积为________平方厘米．（答案保留） 题型12.组合图形的面积 【典例】如图、小圆乙的半径为，大圆甲的半径是小圆乙半径的3倍，则甲空白部分面积比乙空白部分面积多______．（保留） 【跟踪专练1】如图所示，像图中这样从圆环上截取的部分叫扇环（实线围成部分），则该扇环的面积为___________．（取3.14） 【跟踪专练2】图A阴影部分面积比图B的阴影部分面积小______．（结果保留π） 题型13.阴影部分的周长和面积 【典例】已知大正方形边长为2厘米，阴影部分的面积是( )平方厘米． 【跟踪专练1】如图，长方形面积等于圆的面积．已知圆的半径为2厘米，那么，阴影部分的面积是_______平方厘米． 【跟踪专练2】如图，以正方形的4个顶点为圆心的4个圆都经过该正方形的中心．如果每个圆的半径都是，那么阴影部分的总面积是（　　）平方厘米 A．8 B． C．24 D．32 题型14.不规则图形的面积 【典例】下列四个图中，阴影部分面积不等于正方形面积的的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知图1、图2中两个半圆的半径相等，、分别是两圆的圆心，图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，则与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【跟踪专练2】如图，如果直角三角形的面积是平方厘米，那么圆内空白部分的面积是( )平方厘米． 【解答题】 1．春节期间亲戚来访，爸爸让小梁到便利店买罐易拉罐饮料，营业员将罐易拉罐捆扎在一起（接口不计），中间形成一个正方形，如图所示，且易拉罐的直径为厘米，那么捆圈至少用绳子多少厘米？ 2．如图，扇形的圆心角是，弧的长度是厘米，的长是15厘米．求阴影部分的周长．（取） 3． 如图是一座立体交叉桥的示意图（道路宽度忽略不计），为入口，为出口，其中直行道为，且米，弯道为以点为圆心的一段弧，且所对的圆心角均为，半径为米．甲车由口驶入立交桥，以米/秒的速度行驶，从口驶出用时多少秒？ 4．在半径为的圆中，一个圆心角所对的弧长为，求这个圆心角的度数．（π取3.14） 5．如图，正方形的边长是6，求阴影部分的面积．（结果保留） 6．看图列算式并解答． (1) (2)花坛周围建有宽的水泥路，水泥路的面积是多少平方米？（π取3.14，单位：m） 7．一个扇形的元素有：半径（r）、圆心角（n）、弧长（l）、面积（）．它们之间存在相关的数量关系．我们分别进行探究： (1)填空：________；________．根据这两个公式推导出． (2)当扇形面积不变，圆心角减少时，求它的半径增加了百分之几． (3)当扇形周长为40厘米时，请用含圆心角的代数式表示半径．（结果保留） (4)当一个扇形圆心角增大所对应的弧长减小时，它的面积增大还是减小？如果增大，求出增大了百分之几；如果减小，求出减小了百分之几． 8．一个场馆铺设了一块装饰草坪，草坪的形状如图所示，若每平方米的铺设费用是100元，则该场馆铺设该草坪需要多少费用？（取3.14） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $