专题01比.比例及其性质复习讲义(知识梳理+16大题型+突破题型)2025-2026学年沪教版五四制六年级数学下册

专题01比.比例及其性质复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解比的含义，分清比、比值概念，理清比与分数、除法的联系。 2.掌握比的基本性质，会化简各类比和最简连比。 3.理解比例的意义与比例基本性质，认识比例各部分名称，学会解比例。 4.认识比例尺，掌握图上距离与实际距离的换算方法。 1.会运用比的知识解决按比例分配等基础生活问题。 2.能借助比例性质列式计算，解决简单实际应用题型。 3.学会知识相互转化，提升分析和简单推理的能力。 1.熟练完成化简比、求比值、解比例等基础计算题，减少计算失误。 2.掌握比例尺、比例应用类题型的解题思路，规避常见易错点。 3.夯实基础知识点，为后续正反比例的学习做好铺垫。 题型01.比的意义 题型02.必读读法.写法及各部分名称 题型03.求比值 题型04.比的性质 题型05.比例尺的意义 题型06.比的化简 题型07.比与分数.除法的关系 题型08.比例的意义 题型09.比例的基本性质 题型10.比的应用 题型11.解比例 题型12.比例的应用 题型13.图上距离与实际距离的换算 题型14.图形的放大与缩小 题型15.比例尺应用 题型16.按比例分配问题 解答题7题 知识点 01：比与比值 知识点0 2：比的基本性质 知识点 03：比例 知识04解比例 定义：已知比例中的三项，求未知项的过程，叫做解比例。 解题步骤（结合示例）：示例：解比例 3:4=x:8 1 依据比例基本性质，转化为乘法方程：4x=3×8 2 解方程：4x=24，解得 x=6 3 检验：将 x=6 代入原比例，验证比值是否相等（3:4=0.75，6:8=0.75，成立）。 知识点05:比例尺 知识点06:易错点辨析 题型01.比的意义 【典例】下列说法正确的是（   ） A．化成最简整数比是 B．厘米米的比值是 C．如果，那么， D．如果，则 【跟踪专练1】如图，阴影部分面积与大长方形面积的比是______，在这个长方形中能画出___个与阴影部分面积相等的三角形． 【跟踪专练2】一辆汽车小时行驶千米，它行驶的路程与时间的比值是( )，这个比值表示( )． 题型02.必读读法.写法及各部分名称 【典例】已知，在这个比例式中，比例中项是______． 【跟踪专练1】可以写成，比值也是，都读作五分之三．( ) 理由________________________． 【跟踪专练2】比的前项是0.8，比值是，比的后项是（ ）． A． B． C． D．无法确定 题型03.求比值 【典例】如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】求比值：小时分钟_______． 【跟踪专练2】研究领先的通用人工智能底层模型与技术，挑战人工智能前沿性难题．在回答关于学校六七年级人数的问题中，给出的答案是“六年级人数等于七年级人数”、“六年级男生人数等于六年级女生人数”、“七年级男生人数与七年级女生人数之比是”，根据．的回答，六七年级的男生人数之和，与六七年级的总人数之比是___________． 题型04.比的性质 【典例】若，则______． 【跟踪专练1】若一个比的前项为15，比值为，则这个比的后项是___________． 【跟踪专练2】一个比例式，两个外项的和是16，一个外项是另一个外项的3倍，两个比的比值是．这个比例式是（） A． B． C． D． 题型05.比例尺的意义 【典例】在一幅地图上，图上距离是厘米，表示实际距离千米，这幅地图的比例尺是( )． 【跟踪专练1】把下图改写成数值比例尺是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在一幅地图上，用表示哈东站到医大二院地铁的实际距离，这幅地图的比例尺是______． 题型06.比的化简 【典例】化成最简整数比：________． 【跟踪专练1】把50克糖放入1千克水中，糖和糖水的重量比是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】甲比乙多，甲比丙少，则甲乙丙______．（填最简整数比） 【跟踪专练3】甲数比乙数少，甲乙两数的比是（ ）． A． B． C． D． 题型07.比与分数.除法的关系 【典例】________________∶15． 【跟踪专练1】酒文化在中国源远流长，已深深融入到生活、艺术等多个领域．李白因“无酒不成诗”被誉为“酒中仙”．假如李白喝了一壶酒的，接着又往酒壶里添加了剩余酒量的，那么现在酒壶里的酒比原来( )．（填多或少） 【跟踪专练2】海底世界为了吸引游客，开展了消费积分换礼品的活动，小慧用10个积分换了4个海豚玩偶，按照这样的兑换规则，小智用25个积分可以兑换多少个海豚玩偶呢？ 四位同学分别表示出了积分和玩偶的数量关系，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型08.比例的意义 【典例】下列各数中，可以与3、4、8构成比例的是（   ） A．2 B．5 C．6 D．9 【跟踪专练1】一个扇形的圆心角为，则这个扇形的面积占整个圆面积的____． 【跟踪专练2】如果、2、3、5这四个数组成比例，那么___________． 【跟踪专练3】“六一”儿童节，实验小学六（3）班的购物情况如下表．淘气、笑笑和乐乐根据表格信息分别写出几个比例．他们所写的比例中，正确的有（　　）个． 垫板夹 阅读架 多功能笔袋 马克笔 单价/元 12 19.8 20 39 总价/元 600 990 1000 1950 淘气： 笑笑： 欢欢： 乐乐： A．1 B．2 C．3 D．4 题型09.比例的基本性质 【典例】根据，改写成比例正确的是（ ）． A． B． C． D． 【跟踪专练1】四个数2、4、6、x，成比例，则x的值为______． 【跟踪专练2】在比例中，如果将第一个比的后项增加20，第二个比的后项应该增加( )才能使该比例成立． 【跟踪专练3】已知，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 题型10.比的应用 【典例】根据《中国少年先锋队标志礼仪基本规范》，少先队队旗为长方形，长与宽之比为，下列对于队旗通用尺寸的描述（单位：），符合规格的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如果圆上一段弧长为15.7，它所对的圆心角为，那么这个圆的半径为 __（取3.14）． 【跟踪专练2】已知，比较与的大小：______． 【跟踪专练3】盒子里有黑白两种棋子，先放入一些白棋子，这样使得盒子中黑、白棋子的比是，然后又放入一些黑棋子，这样使得盒子中的黑、白棋子的比是，如果放入的黑棋子和白棋子的数量比是，那么原来盒子中黑、白棋子的数量之比是（   ） A． B． C． D． 题型11.解比例 【典例】已知第一、第二、第三个比例项分别是2、4、5，则第四比例项为___________． 【跟踪专练1】已知3是2和的比例中项，则等于（   ） A．8 B．1 C．2 D． 【跟踪专练2】已知2、3、、6成比例，则的值是________． 【跟踪专练3】（快、慢钟问题）一个坏表，每个小时比实际要快18分钟，已知时坏表的时间是准确的，那么当坏表是时，实际是（   ）． A． B． C． D． 题型12.比例的应用 【典例】两地的实际距离是600千米，在地图上的距离是6厘米，这幅地图的比例尺是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知，且，则______． 【跟踪专练2】在三个齿轮组成的传动系统中，齿轮A与齿轮啮合，齿轮与齿轮啮合，且齿轮有32齿，齿轮有24齿，齿轮有48齿，齿轮的转速为圈/分钟，那么齿轮的转速是___________圈/分钟． 【跟踪专练3】一个坏表，每个小时比实际要快18分钟，已知时坏表的时间是准确的，那么当坏表是时，实际是（　　） A． B． C． D． 题型13.图上距离与实际距离的换算 【典例】画在图纸上的某一零件的长度是25，若比例尺是，则该零件实际长度是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练1】第七届中国国际进口博览会（简称“进博会”）于年月日至日在国家会展中心（上海）隆重举办，以“新时代、共享未来”为主题，是世界上首个以进口为主题的国家级博览会．小海在地图上（如图）测量他家与国家会展中心（上海）的距离为厘米．那么请帮小海计算出他家与国家会展中心（上海）的实际距离为___________千米． 【跟踪专练2】在一幅地图上标出的线段比例尺如下图，把它改写成数值比例尺的形式是( )；如果两地之间的距离为，那么在这幅地图上的图上距离是( )． 【跟踪专练3】在比例尺为的地图上量得温州至杭州的距离是厘米，两地实际相距 ____千米，如果一辆汽车以每小时千米的速度于上午时分从温州开出，那么到达杭州的时间是 ____． 题型14.图形的放大与缩小 【典例】将一个平面图形按放大，下面各量中变为原来的2倍的是（   ） A．图形的面积 B．平面图形的角度 C．图形的周长 D．以上皆是 【跟踪专练1】把一个边长为的正方形按放大，放大得到的图形的面积是______． 【跟踪专练2】一个正方形的边长是，如果把它按缩小，那么边长变为___________，面积变为___________． 题型15.比例尺应用 【典例】在比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的直线距离为24厘米，则甲、乙两地的实际直线距离是_______千米． 【跟踪专练1】在一幅地图上，量得A、B两城市间的距离是0.08米，而A、B两城市间的实际距离是4000米，这幅地图的比例尺是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在比例尺是的地图上，量得甲、乙两地间的铁路长6厘米．两列火车分别从甲、乙两地同时相对开出，已知从甲地开出的火车每小时行驶125千米，从乙地开出的火车每小时行驶115千米，________ 小时后两车相遇． 【跟踪专练3】在一幅地图上，用厘米的线段表示千米的实际距离，那么这幅地图的比例尺是（　　）． A． B． C． D． 题型16.按比例分配问题 【典例】已知，且，则______． 【跟踪专练1】如果，且，则的值是（   ） A．72 B．36 C．18 D．9 【跟踪专练2】将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友，原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比是，实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为，其中一位小朋友比原计划多得了15块糖果，那么这位小朋友是________（填“甲”“乙”或“丙”），他实际所得的糖果数为________块． 【解答题】 1．已知，且，求的值． 2．如果，求的比值． 3．已知，求 4．在一张地图上量得上海与南京两地的距离为3.2厘米，又已知上海与南京、北京两地的实际距离分别约为300千米和1080千米，那么在这张地图上，上海与北京两地的距离为多少厘米？ 5．已知，． 求： (1)； (2)若，求的值 6．六年级学生参加消防知识大赛，参加的男、女生人数之比是．获奖的共220人，其中男、女生人数比为，未获奖的学生中，男、女生人数比是．参加这次消防知识大赛的六年级学生共多少人？ 7．小明家距离医院1000米． (1)观察图，写出这幅图的比例尺_______________．（填数值比例尺） (2)小明家到学校的实际距离是__________米． (3)政府要在小明家的东南方向1500米处建少年宫，请你在图上画出少年宫的位置． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01比.比例及其性质复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解比的含义，分清比、比值概念，理清比与分数、除法的联系。 2.掌握比的基本性质，会化简各类比和最简连比。 3.理解比例的意义与比例基本性质，认识比例各部分名称，学会解比例。 4.认识比例尺，掌握图上距离与实际距离的换算方法。 1.会运用比的知识解决按比例分配等基础生活问题。 2.能借助比例性质列式计算，解决简单实际应用题型。 3.学会知识相互转化，提升分析和简单推理的能力。 1.熟练完成化简比、求比值、解比例等基础计算题，减少计算失误。 2.掌握比例尺、比例应用类题型的解题思路，规避常见易错点。 3.夯实基础知识点，为后续正反比例的学习做好铺垫。 题型01.比的意义 题型02.必读读法.写法及各部分名称 题型03.求比值 题型04.比的性质 题型05.比例尺的意义 题型06.比的化简 题型07.比与分数.除法的关系 题型08.比例的意义 题型09.比例的基本性质 题型10.比的应用 题型11.解比例 题型12.比例的应用 题型13.图上距离与实际距离的换算 题型14.图形的放大与缩小 题型15.比例尺应用 题型16.按比例分配问题 解答题7题 知识点 01：比与比值 知识点0 2：比的基本性质 知识点 03：比例 知识04解比例 定义：已知比例中的三项，求未知项的过程，叫做解比例。 解题步骤（结合示例）：示例：解比例 3:4=x:8 1 依据比例基本性质，转化为乘法方程：4x=3×8 2 解方程：4x=24，解得 x=6 3 检验：将 x=6 代入原比例，验证比值是否相等（3:4=0.75，6:8=0.75，成立）。 知识点05:比例尺 知识点06:易错点辨析 题型01.比的意义 【典例】下列说法正确的是（   ） A．化成最简整数比是 B．厘米米的比值是 C．如果，那么， D．如果，则 【答案】B 【分析】本题考查了比和比值的定义，解题的关键是掌握相关概念．根据比和比值的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，故该选项错误； B、厘米米厘米厘米，故该选项正确； C、如果，那么和的值不一定是和，故该选项错误； D、如果，那么不一定是，故该选项错误； 故选：B． 【跟踪专练1】如图，阴影部分面积与大长方形面积的比是______，在这个长方形中能画出___个与阴影部分面积相等的三角形． 【答案】 1 2 无数 【分析】此题主要考查比的意义，关键要弄清三角形的底和高与长方形的关系．阴影部分为三角形，三角形的底等于长方形的长，三角形的高等于长方形的宽，三角形的面积底高，长方形的面积长宽，所以三角形的面积与长方形面积的比是；在长方形中可以画出无数条与宽相等的高，所以可以画出无数个与阴影部分面积相等的三角形． 【详解】解：阴影部分面积与大长方形面积的比是，在这个长方形中能画出无数个与阴影部分面积相等的三角形． 故答案为：1；2；无数． 【跟踪专练2】一辆汽车小时行驶千米，它行驶的路程与时间的比值是( )，这个比值表示( )． 【答案】 汽车行驶的速度 【分析】本题考查了比的意义以及求比值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据比的意义，用汽车行驶的路程行驶的时间，再根据求比值的方法：用比的前项除以比的后项即可；根据速度路程时间，这个比值表示汽车行驶的速度（答案不唯一）． 【详解】解：， ， ， 一辆汽车小时行驶千米，它行驶的路程与时间的比值是，这个比值表示汽车行驶的速度， 故答案为：，汽车行驶的速度． 题型02.必读读法.写法及各部分名称 【典例】已知，在这个比例式中，比例中项是______． 【答案】6 【分析】根据比例中项的定义，直接判断已知比例式中的比例中项即可. 【详解】解：如果三个数，，满足比例，则叫做和的比例中项. 已知比例式为，符合的形式，其中，因此该比例式的比例中项是. 【跟踪专练1】可以写成，比值也是，都读作五分之三．( ) 理由________________________． 【答案】 比的分数形式读法依然读作几比几，比值是一个数值读作几分之几 【分析】本题主要考查了比的读法、写法及各部分的名称、求比值，将比写成分数形式：比的前项作为分数的分子，后项作为分母，此时这个分数依旧读作几比几；比值等于前项除以后项，得到的分数是一个数值，读作几分之几．据此可判断得出答案． 【详解】解：3∶5可以写成，读作3比5；比值是，读作五分之三，故此说法错误． 理由是：比的分数形式读法依然读作几比几，比值是一个数值读作几分之几． 故答案为：；比的分数形式读法依然读作几比几，比值是一个数值读作几分之几． 【跟踪专练2】比的前项是0.8，比值是，比的后项是（ ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】此题考查了比的基本性质、比的读法、写法及各部分的名称，根据比的后项前项比值，列式计算即可． 【详解】 ∴比的后项是． 故答案为：C． 题型03.求比值 【典例】如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得： ，且 ，等式两边同时除以 ，得， 即 【跟踪专练1】求比值：小时分钟_______． 【答案】 【分析】求不同单位的两个量的比值，需要先统一单位，再根据比值的定义，用比的前项除以后项计算结果． 【详解】解：小时分钟， 则小时分钟分钟分钟． 【跟踪专练2】研究领先的通用人工智能底层模型与技术，挑战人工智能前沿性难题．在回答关于学校六七年级人数的问题中，给出的答案是“六年级人数等于七年级人数”、“六年级男生人数等于六年级女生人数”、“七年级男生人数与七年级女生人数之比是”，根据．的回答，六七年级的男生人数之和，与六七年级的总人数之比是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查比例关系的应用及代数表达式的建立，需要学生根据题目中的条件，合理设定变量，通过比例分配计算各部分人数，最终求出指定比例． 【详解】解：设六年级和七年级人数均为x，则总人数为， 六年级男生人数为，七年级男生人数为， 男生总人数为：， 六七年级的男生人数之和，与六七年级的总人数之比是： 故答案为：． 题型04.比的性质 【典例】若，则______． 【答案】 【分析】根据比例的基本性质，将已知等式变形即可得到结果. 【详解】解：∵， ∴. 【跟踪专练1】若一个比的前项为15，比值为，则这个比的后项是___________． 【答案】10 【分析】本题主要考查比与比值的定义，根据比值等于比的前项除以比的后项，可推得比的后项等于比的前项除以比值，由此计算求解． 【详解】解：由比值的定义可得，这个比的后项为 ． 【跟踪专练2】一个比例式，两个外项的和是16，一个外项是另一个外项的3倍，两个比的比值是．这个比例式是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的基本性质和比值的应用 ，解题关键是先根据外项关系求出外项，再结合比值求出内项从而确定比例式． 先根据两个外项的和以及倍数关系求出两个外项的值，再结合比值分别求出两个内项的值，进而确定比例式． 【详解】解：设较小的外项为，因为一个外项是另一个外项的倍，则较大的外项为． 两个外项的和是16，可列方程 ，即， 解得， 那么， 所以两个外项分别是和12． 情况一：当12是第一个比的前项，是第二个比的后项时 因为两个比的比值是，第一个比的后项为；第二个比的前项为， 所以，，此选项不在给定答案中． 情况二：当是第一个比的前项，；第二个比的前项为， 所以，符合题意． 故选：B． 题型05.比例尺的意义 【典例】在一幅地图上，图上距离是厘米，表示实际距离千米，这幅地图的比例尺是( )． 【答案】 【分析】先统一单位，再根据比例尺的定义，即图上距离：实际距离比例尺，计算化简得到结果． 【详解】解：千米厘米 因此这幅地图的比例尺是． 【跟踪专练1】把下图改写成数值比例尺是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题目主要是考查我们对比例尺的认识，首先我们要明白比例尺的含义，比例尺是表示图上距离比实际距离缩放的程度，用公式表示为：比例尺=图上距离/实际距离，因此我们要熟练掌握比例尺的含义，在实际题目中灵活运用． 【详解】解：∵千米厘米， ∴ ， 故选B． 【跟踪专练2】在一幅地图上，用表示哈东站到医大二院地铁的实际距离，这幅地图的比例尺是______． 【答案】 【分析】本题考查了比例尺的意义，化简比，注意图上距离与实际距离的单位要统一．根据比例尺是图上距离与实际距离的比作答即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 题型06.比的化简 【典例】化成最简整数比：________． 【答案】 【分析】找到三个分数分母的最小公倍数，将各项同时乘三个分母的最小公倍数去掉分母，即可得到最简整数比． 【详解】解： ． 【跟踪专练1】把50克糖放入1千克水中，糖和糖水的重量比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算糖水的质量为克，糖与糖水的质量比是化简即可． 【详解】解：∵把克糖放入千克水中， ∴糖水的质量为（克）， 故糖与糖水的质量比是． 【跟踪专练2】甲比乙多，甲比丙少，则甲乙丙______．（填最简整数比） 【答案】 【详解】解：设甲为，乙为，丙为， 根据题意得：，， ∴，， ∴甲乙丙． 【跟踪专练3】甲数比乙数少，甲乙两数的比是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比的意义、比的化简、比一个数多/少百分之几的数是多少． 将乙数看成单位“1”，则甲数表示为，再用甲数比乙数即可，利用比例的基本性质，化简为最简整数比． 【详解】解：， 甲∶乙 ． 故选：C． 题型07.比与分数.除法的关系 【典例】________________∶15． 【答案】 5 25 【分析】先将带分数化为假分数得到第一个空的结果，再根据比与分数的关系，结合比的基本性质计算得到第二个空的结果． 【详解】解：． 【跟踪专练1】酒文化在中国源远流长，已深深融入到生活、艺术等多个领域．李白因“无酒不成诗”被誉为“酒中仙”．假如李白喝了一壶酒的，接着又往酒壶里添加了剩余酒量的，那么现在酒壶里的酒比原来( )．（填多或少） 【答案】少 【分析】本题考查求一个数的百分之几是多少、单位“1”的认识与确定．把这壶酒的量看作单位“1”，用1减去得出剩余的酒量，再用剩余的酒量乘得出现在酒壶里的酒量，再与1进行比较即可． 【详解】解： ， 因为，所以现在酒壶里的酒比原来少． 故答案为：少． 【跟踪专练2】海底世界为了吸引游客，开展了消费积分换礼品的活动，小慧用10个积分换了4个海豚玩偶，按照这样的兑换规则，小智用25个积分可以兑换多少个海豚玩偶呢？ 四位同学分别表示出了积分和玩偶的数量关系，其中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的应用，设25个积分可以兑换个海豚玩偶，根据题意列出比例关系，即可求解． 【详解】解：设25个积分可以兑换个海豚玩偶， 根据题意，即， 解得：， 故25个积分可以兑换个海豚玩偶，且兑换比例为， 只有选项B不合符题意． 故选：B． 题型08.比例的意义 【典例】下列各数中，可以与3、4、8构成比例的是（   ） A．2 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了比例的定义，根据比例的定义进行判断，即可得到结论．正确的列出比例式是解题的关键． 【详解】解：A．由，可得本选项不合题意； B．，可得本选项不合题意； C．由，可得本选项符合题意； D．由，可得本选项不合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】一个扇形的圆心角为，则这个扇形的面积占整个圆面积的____． 【答案】 【详解】解：整个圆的圆心角为，该扇形的圆心角为， 因此所求比例为：． 【跟踪专练2】如果、2、3、5这四个数组成比例，那么___________． 【答案】，， 【分析】分情况讨论，求出结果即可． 【详解】解：和2组成比例外项时：， 解得：； 和3组成比例外项时：， 解得：； 和5组成比例外项时：， 解得：； 综上：，，． 【跟踪专练3】“六一”儿童节，实验小学六（3）班的购物情况如下表．淘气、笑笑和乐乐根据表格信息分别写出几个比例．他们所写的比例中，正确的有（　　）个． 垫板夹 阅读架 多功能笔袋 马克笔 单价/元 12 19.8 20 39 总价/元 600 990 1000 1950 淘气： 笑笑： 欢欢： 乐乐： A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了比例的概念，两个比相等的式子叫做比例，据此判断下面4个比例是否正确即可，熟知比例的概念是解题的关键． 【详解】解：淘气：，所以该选项正确； 笑笑：，所以该选项正确； 欢欢：，所以该选项正确； 乐乐：，所以该选项错误； 他们所写的比例中有3个是正确的． 故选：C． 题型09.比例的基本性质 【典例】根据，改写成比例正确的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用比例的基本性质：在比例中，两个外项的乘积等于两个内项的乘积，将各选项的比例式转化为乘积式，与已知对比即可得到答案． 【详解】解：A 、由可得，与已知等式一致，符合题意； B 、由可得，与已知等式不一致，不符合题意； C 、由可得，与已知等式不一致，不符合题意； D 、由可得，与已知等式不一致，不符合题意． 【跟踪专练1】四个数2、4、6、x，成比例，则x的值为______． 【答案】12或3或 【分析】四个数成比例未确定排列顺序，需分情况讨论，利用比例的基本性质计算其值. 【详解】根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，分三种情况计算： (1) 当时 解得 (2) 当时 解得 (3) 当时 解得 故x的值为或或. 【跟踪专练2】在比例中，如果将第一个比的后项增加20，第二个比的后项应该增加( )才能使该比例成立． 【答案】12 【分析】求出第一个比的后项增加20后的比，再根据比的性质，进行求解即可. 【详解】解：由题意，， ； 故第二个比的后项应该增加12才能使该比例成立． 【跟踪专练3】已知，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用设参法进行判断即可. 【详解】解：∵，且， ∴设，则，即， ∴； 只有选项C正确，其余选项均不一定成立，说法错误. 题型10.比的应用 【典例】根据《中国少年先锋队标志礼仪基本规范》，少先队队旗为长方形，长与宽之比为，下列对于队旗通用尺寸的描述（单位：），符合规格的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项的长与宽作比，化简后和要求的对比，即可得到符合规格的选项. 【详解】解：A选项，不符合要求.； B选项，符合要求； C选项，不符合要求； D选项，不符合要求. 【跟踪专练1】如果圆上一段弧长为15.7，它所对的圆心角为，那么这个圆的半径为 __（取3.14）． 【答案】9 【分析】弧长与圆周长的比等于扇形圆心角与的比，设出圆的半径，代入已知条件列方程即可求解． 【详解】解：设这个圆的半径为， 根据题意，得， 解得， 这个圆的半径为9． 故答案为：9． 【跟踪专练2】已知，比较与的大小：______． 【答案】 【分析】设，得，计算比较求解即可； 【详解】解：设， 得， 故， ， 当时， 由 ， 故； 当时，， ， 当时，， ， 故； 【跟踪专练3】盒子里有黑白两种棋子，先放入一些白棋子，这样使得盒子中黑、白棋子的比是，然后又放入一些黑棋子，这样使得盒子中的黑、白棋子的比是，如果放入的黑棋子和白棋子的数量比是，那么原来盒子中黑、白棋子的数量之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比的应用，巧妙的设立未知数梳理关系是解题的关键． 设原来黑棋子有个，白棋子有个，第一次放入白棋子后，黑、白棋子比为，此时白棋子数量为，故放入的白棋子数量为；第二次放入黑棋子后，黑、白棋子比为，此时黑棋子数量为，故放入的黑棋子数量为，根据放入的黑、白棋子数量比为，建立方程求解． 【详解】解：设原来黑棋子为，白棋子为， 第一次放入后黑、白比为，则白棋子数量变为，放入的白棋子数量为； 第二次放入后黑、白比为，黑棋子数量变为，放入的黑棋子数量为； 则放入的黑、白数量比为， 即：， 移项化简得：，即， 因此，原来黑、白棋子的数量之比为． 故选：D． 题型11.解比例 【典例】已知第一、第二、第三个比例项分别是2、4、5，则第四比例项为___________． 【答案】 10 【分析】根据第四比例项的定义列出比例式，再利用比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）计算求解． 【详解】解：设第四比例项为， 根据第四比例项的定义可得，， 根据比例的基本性质得，， 计算得，， 系数化为，得， 故答案为：10． 【跟踪专练1】已知3是2和的比例中项，则等于（   ） A．8 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】根据题意，2与x的比例中项为3，也就是，然后再进一步解答即可． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得． 【跟踪专练2】已知2、3、、6成比例，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查比例，列出比例式求出x的值即可． 【详解】解：∵2、3、、6成比例， ∴， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练3】（快、慢钟问题）一个坏表，每个小时比实际要快18分钟，已知时坏表的时间是准确的，那么当坏表是时，实际是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解比例，设实际经过了x小时，根据坏表的时间和实际的时间的比不变，列出比例式求解即可． 【详解】解：设实际经过了x小时， ， ， ， ∴实际经过时间为小时， 小时小时18分， ∴实际时间为， 故选：B． 题型12.比例的应用 【典例】两地的实际距离是600千米，在地图上的距离是6厘米，这幅地图的比例尺是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先进行单位换算，然后求比例解题即可． 【详解】解：600千米厘米， 所以这幅地图的比例尺是， 故选C． 【点睛】本题考查比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一． 【跟踪专练1】已知，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查比例线段及比例的性质，设，则，，，构建方程即可解决问题． 【详解】解：设， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】在三个齿轮组成的传动系统中，齿轮A与齿轮啮合，齿轮与齿轮啮合，且齿轮有32齿，齿轮有24齿，齿轮有48齿，齿轮的转速为圈/分钟，那么齿轮的转速是___________圈/分钟． 【答案】120 【分析】本题考查齿轮传动中转速与齿数的反比例关系，解题关键是利用“相互啮合齿轮单位时间走过齿数相同，转速与齿数成反比”来建立关系计算． 根据两个相互啮合的齿轮，在同一时间内转动时，它们走过的齿数是相同的这一原理，先求出齿轮A与齿轮B的转速关系，再求出齿轮B与齿轮C转速关系，进而得出齿轮C的转速． 【详解】解：因为，齿轮有32齿，转速圈/分钟；齿轮有24齿，设齿轮转速为．   所以，， 则圈/分钟 ．   同理，齿轮与齿轮啮合，齿轮有24齿，转速圈/分钟；齿轮有48齿，设齿轮转速为．   所以，， 则圈/分钟 ．   故答案为：120． 【跟踪专练3】一个坏表，每个小时比实际要快18分钟，已知时坏表的时间是准确的，那么当坏表是时，实际是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，坏表走的时间与实际时间的比值固定，先求出二者的比，再利用比例关系列方程求解实际经过的时间即可． 【详解】∵实际经过1小时（60分钟）时，坏表比实际快18分钟， ∴坏表走1小时的时间为分钟， ∴坏表时间:实际时间， 当坏表显示时，坏表共经过了3小时，设实际经过x小时， 可得 ， ∴， 解得 小时， ∵0.3 小时分钟， ∴实际经过约2小时18分钟， 又∵时坏表时间准确， ∴实际时间为， 故选：B． 题型13.图上距离与实际距离的换算 【典例】画在图纸上的某一零件的长度是25，若比例尺是，则该零件实际长度是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查比例线段，解题关键在于掌握运算法则． 比例尺＝图上距离：实际距离．依题意列出比例式，根据比例的基本性质即可得出零件的实际长度． 【详解】解：根据比例尺＝图上距离：实际距离． 设零件的实际长度为x， ； 解得：（）； 故选C． 【跟踪专练1】第七届中国国际进口博览会（简称“进博会”）于年月日至日在国家会展中心（上海）隆重举办，以“新时代、共享未来”为主题，是世界上首个以进口为主题的国家级博览会．小海在地图上（如图）测量他家与国家会展中心（上海）的距离为厘米．那么请帮小海计算出他家与国家会展中心（上海）的实际距离为___________千米． 【答案】 【分析】根据比例尺图上距离与实际距离的比，由此即可计算． 【详解】设小海家与国家会展中心（上海）的实际距离为厘米， ∴， ∴， 厘米千米， 故小海家与国家会展中心（上海）的实际距离为千米． 【跟踪专练2】在一幅地图上标出的线段比例尺如下图，把它改写成数值比例尺的形式是( )；如果两地之间的距离为，那么在这幅地图上的图上距离是( )． 【答案】 【详解】解：由题意得，图上距离表示实际距离，， 所以写成数值比例尺的形式是：； 由， 所以在这幅地图上的图上距离是． 【跟踪专练3】在比例尺为的地图上量得温州至杭州的距离是厘米，两地实际相距 ____千米，如果一辆汽车以每小时千米的速度于上午时分从温州开出，那么到达杭州的时间是 ____． 【答案】 下午时分 【分析】本题考查了图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，路程速度时间公式，掌握以上知识是解答本题的关键． 要求两地间实际距离是多少千米，根据“图上距离比例尺实际距离”，代入数值，解答即可； 根据“路程速度时间”求出从温州到杭州所需时间． 【详解】解： （厘米）， 厘米千米， （小时）， 时分+时=时分， 即下午时分， 答：那么到达杭州的时间是下午时分， 故答案为： ，下午时分． 题型14.图形的放大与缩小 【典例】将一个平面图形按放大，下面各量中变为原来的2倍的是（   ） A．图形的面积 B．平面图形的角度 C．图形的周长 D．以上皆是 【答案】C 【分析】本题考查了比例的意义，理解比例的意义是解题关键． 【详解】解：将一个平面图形按放大，则图形的面积变为原来的4倍，平面图形的角度不变，图形的周长变为原来的2倍， 故选：C． 【跟踪专练1】把一个边长为的正方形按放大，放大得到的图形的面积是______． 【答案】225 【分析】本题考查比例的应用，求出放大后的正方形的边长，进行求解即可． 【详解】解：由题意，放大后的正方形的边长为， ∴放大得到的图形的面积是； 故答案为：225． 【跟踪专练2】一个正方形的边长是，如果把它按缩小，那么边长变为___________，面积变为___________． 【答案】 2 4 【分析】根据比例的性质和正方形公式计算求解即可． 【详解】解：， ． 故答案为：2，4． 【点睛】本题主要考查了比例以及正方形的面积公式，理解并掌握比例的应用是解题关键． 题型15.比例尺应用 【典例】在比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的直线距离为24厘米，则甲、乙两地的实际直线距离是_______千米． 【答案】120 【分析】用图上距离除以比例尺求出实际距离即可． 【详解】解：厘米， 厘米千米， 故甲、乙两地的实际直线距离是120千米． 【跟踪专练1】在一幅地图上，量得A、B两城市间的距离是0.08米，而A、B两城市间的实际距离是4000米，这幅地图的比例尺是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据比例尺的定义，比例尺等于图上距离比实际距离，即可得到结果 【详解】解：∵ 比例尺 图上距离 实际距离， ∴ 比例尺 给比的前后项同时除以得： ∴ 这幅地图的比例尺为 【跟踪专练2】在比例尺是的地图上，量得甲、乙两地间的铁路长6厘米．两列火车分别从甲、乙两地同时相对开出，已知从甲地开出的火车每小时行驶125千米，从乙地开出的火车每小时行驶115千米，________ 小时后两车相遇． 【答案】5 【分析】根据实际距离=图上距离÷比例尺，可求出甲、乙两地的实际距离，再根据相遇问题的数量关系：相遇时间=总路程÷速度和，代入数据计算即可． 【详解】解：厘米， 厘米千米， （小时）． 【跟踪专练3】在一幅地图上，用厘米的线段表示千米的实际距离，那么这幅地图的比例尺是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据比例尺的意义求解即可． 【详解】解：千米厘米， ． 所以这幅地图的比例尺是． 故选：C． 【点睛】本题考查了比例尺，掌握比例尺=图上距离：实际距离是解题的关键．注意单位要统一． 题型16.按比例分配问题 【典例】已知，且，则______． 【答案】1 【分析】利用设法进行计算，即可解答． 【详解】解：， 设，，， ， ， 解得：， ，，， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键． 【跟踪专练1】如果，且，则的值是（   ） A．72 B．36 C．18 D．9 【答案】A 【分析】根据a、b、c三个数的和以及这三个数的比例可求出a、c的值，进而可得的值． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴． 【跟踪专练2】将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友，原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比是，实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为，其中一位小朋友比原计划多得了15块糖果，那么这位小朋友是________（填“甲”“乙”或“丙”），他实际所得的糖果数为________块． 【答案】 丙 150 【分析】糖果总数不变，分别计算原计划与实际甲、乙、丙三人所得糖果占总数的比例，比较比例大小找出占比增加的小朋友，再根据多得的糖果数求出糖果总数，最后按实际比例计算该小朋友实际所得糖果数． 【详解】解：原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的总份数为． ∴原计划三人所得糖果数分别占总数的，，． 实际上甲、乙、丙三人所得糖果数的总份数为． ∴实际三人所得糖果数分别占总数的，，． ∴，，甲占比减小； ，，乙占比不变； ，，丙占比增加， ∴这位多得糖果的小朋友是丙． ∴总糖果： （块）， ∴实际所得的糖果数． 【解答题】 1．已知，且，求的值． 【答案】 【分析】根据，得出，，根据，求出，，，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 即，， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴． 2．如果，求的比值． 【答案】 【分析】根据比例的性质，利用设参数法进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴， 设，则， ∴， ∴. 3．已知，求 【答案】 【分析】先化简已知的两个单比，再根据比的基本性质统一两个比中的份数，即可求出三个数的连比． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 4．在一张地图上量得上海与南京两地的距离为3.2厘米，又已知上海与南京、北京两地的实际距离分别约为300千米和1080千米，那么在这张地图上，上海与北京两地的距离为多少厘米？ 【答案】11.52厘米 【分析】根据地图上距离的比值等于实际距离的比值即可求解． 【详解】解：设在这张地图上，上海与北京两地的距离为x厘米． 根据题意得到：． 解得x＝11.52， 答：在这张地图上，上海与北京两地的距离为11.52厘米． 【点睛】本题主要考查了地图上距离的比值等于实际距离的比值，关键是根据题意得出方程解答． 5．已知，． 求： (1)； (2)若，求的值 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：①， ， ； ②， ， ； （2）解：令，，，代入，得 ， 解得， ． 6．六年级学生参加消防知识大赛，参加的男、女生人数之比是．获奖的共220人，其中男、女生人数比为，未获奖的学生中，男、女生人数比是．参加这次消防知识大赛的六年级学生共多少人？ 【答案】360人 【分析】先根据获奖总人数和获奖男女生人数比求出获奖男女生人数，再根据参加总人数的比例设未知数，结合未获奖人数的比例关系列方程求解． 【详解】解：男生获奖人数为：（人）， 女生获奖人数为：（人）， 设男生参加人数为，则女生参加人数为人， 由题意得：， 即， 解得， （人）， 答：参加这次消防知识大赛的六年级学生共360人． 7．小明家距离医院1000米． (1)观察图，写出这幅图的比例尺_______________．（填数值比例尺） (2)小明家到学校的实际距离是__________米． (3)政府要在小明家的东南方向1500米处建少年宫，请你在图上画出少年宫的位置． 【答案】(1) (2)2000 (3)见解析 【分析】本题主要考查了图上距离、实际距离、方位角等知识点，求出图上1厘米代表实际多少米是解题的关键． （1）计算出图上1厘米代表实际多少厘米即可解答： （2）由（1）可知图上1厘米代表实际500（米），然后用小明家到学校的图上距离乘以比例尺即可解答； （3）先找到小明家的东南方向，由（1）可知图上1厘米代表实际500（米），再进一步计算图上到少年宫需要（厘米）即可． 【详解】（1）解：米厘米，即比例尺为：． 故答案为：． （2）解：由（1）可知图上1厘米代表实际500（米）， 小明家到学校的实际距离是米． 故答案为：2000． （3）解：由（1）可知图上1厘米代表实际500（米）， 则小明家到少年宫的距离为：（厘米） 故作图如下： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $