2026年山东省德州市禹城市、武城市中考数学一模试卷

2026年山东省德州市禹城市、武城市中考数学一模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1.截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台.将亿用科学记数法表示应为(    ) A. B. C. D. 2.清代乾隆款雯红瓷瓶，藏于开封市博物馆.该瓶呈玉壶春形，喇叭口，削肩，鼓腹，圈足，器口呈白色，圈足内无釉，有“大清乾隆年制”三行六字篆书款.如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是(    ) A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三视图均不相同 3.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是(    ) A. B. C. D. 5.小亮和爸爸计划乘动车外出旅游.在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座如图若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是(    ) A. B. C. D. 6.2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖AB和滑雪板DE平行，滑雪杖AB与大腿BC的夹角为，小腿CE与滑雪板DE的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为(    ) A. B. C. D. 7.若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为(    ) A. 0 B. 25 C. 26 D. 8.在中，已知，，如图所示，将绕点A按逆时针方向旋转后得到则图中阴影部分面积为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在中，按如下步骤作图： ①在CA和CB上分别截取CM，CN，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线CO交AB于点D， ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交AC于点E，交BC于点 根据以上作图，若，，，则线段AE的长为(    ) A. B. C. 5 D. 10.已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点.若对于，，都有，则a的取值范围是(    ) A. 或 B. 且， C. 或 D. 且， 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.因式分解        . 12.已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是        . 13.分式方程的解为非负数，且二次函数的图象在x轴上方，则符合条件的所有整数k的和为      . 14.如图，是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与的切点，则的度数为______ 15.如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在函数的图象上，点B在函数的图象上.若，则k的值为      . 16.如图，四边形ABCD是正方形，E为CD上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接EF，于点H，交BC于点G，若，，则CE的长为        . 三、解答题：本题共8小题，共86分。 17.计算： ； 先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解. 18.东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测.每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下. 一收集与整理 农村学校10名学生的艺术成绩单位：分：64，74，78，82，84，86，86，92，96，98； 城区学校10名学生的艺术成绩单位：分：62，70，79，83，85，87，87，90，97， 二描述与分析 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 84 a 86 c 城区 84 86 b 根据以上信息，回答下列问题： 直接写出表格中a，b，c的值，______，______，______； 三迁移与应用 若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率； 请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议. 19.某水上乐园有两个相邻的水上滑梯，如图所示，左边滑梯的长度AB为21m，倾斜角为，右边滑梯的高度DF为11m，倾斜角为，支架AC，NF都与地面垂直，AN，MD都与地面平行，两支架之间的距离CF为点B，C，F，E在同一条直线上 求两滑梯的高度差； 两滑梯的底端分别为B，E，求BE的长结果精确到参考数据：，，，，， 20.为培养学生的创新能力，某学校计划成立创客实验室，现需购买航拍无人机和编程机器人.已知航拍无人机的单价比编程机器人的单价多150元，用7500元购买航拍无人机的数量和用6600元购买编程机器人的数量相同. 求航拍无人机和编程机器人的单价分别是多少元？ 该校计划再次购买航拍无人机和编程机器人共15台，购买编程机器人的数量不超过航拍无人机数量的2倍，且商家给出了航拍无人机和编程机器人均打八折的优惠.问购买航拍无人机和编程机器人各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 21.如图，AB是的直径，点C，E在上，，点F在线段AB的延长线上，且 求证：EF与相切； 若，，求BC的长. 22.已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段OA上不与点A重合的一点.  求反比例函数的表达式；  如图1，过点B作y轴的垂线l，l与的图象交于点D，当线段时，求点B的坐标；  如图2，将点A绕点B顺时针旋转得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标.  23.已知二次函数是常数，且的图象经过点和点 若，求抛物线顶点坐标； 若存在实数k，使得，且，求m的取值范围； 当时，x的值增大，y的值先减小再增大，且y的最大值与y的最小值的差等于3，求m的值. 24.如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，，垂足为点求证：∽ 【问题解决】 如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，，延长BC到点H，使，连接求证： 【类比迁移】 如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，，，，求CF的长. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：亿 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2.【答案】A  【解析】解：雯红瓷瓶其主视图和左视图相同，俯视图与它们均不相同． 故选： 根据三种视角观察到的图形判定则可． 本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的观察方向是关键． 3.【答案】C  【解析】解：根据运用去括号法则，幂的乘方法则，同底数幂除法法则，完全平方公式逐项分析判断如下： 对选项A，，A错误，不符合题意； 对选项B，，B错误，不符合题意； 对选项C，，等式成立，C正确，符合题意； 对选项D，，D错误，不符合题意； 故选： 运用去括号法则，幂的乘方法则，同底数幂除法法则，完全平方公式，逐一计算即可判断选项正误． 本题考查了运用去括号法则，幂的乘方法则，同底数幂除法法则，完全平方公式，熟练掌握以上知识点是关键． 4.【答案】B  【解析】解：由题意可得：， 所以； 故选： 由题意易得，进而问题可求解． 本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方及合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘法及合并同类项是解题的关键； 5.【答案】C  【解析】解：列表如下： A B D E A B D    E   共有12种等可能的结果，其中小亮和爸爸相邻而坐的结果有；，，，，共4种， 小亮和爸爸相邻而坐的概率为 故选： 列表可得出所有等可能的结果数以及小亮和爸爸相邻而坐的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 6.【答案】D  【解析】解：过C作， ， ， ，， 故选： 过C作，得到，推出，，即可求出 本题考查平行线的性质，关键是过C作，由平行线的性质来解决问题． 7.【答案】C  【解析】解：是关于x的一元二次方程的实数根， ， ， ， ，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ， 故选： 先根据一元二次方程解的定义得到，则化为，再利用根与系数的关系得，然后利用整体代入的方法计算． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解． 8.【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了图形的旋转，扇形的面积公式，含角的直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解决问题的关键． 根据含角的直角三角形得到，利用勾股定理得到，然后根据扇形的面积公式即可得到结论. 【解答】 解：，，， ， 由勾股定理得到， 将绕点A按逆时针方向旋转后得到， ， 阴影部分面积 故选： 9.【答案】D  【解析】解：连接DE，    由作法得CD平分，  角平分线的定义，  垂直平分CD，  线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，  ，  ，  ，  ∽  相似三角形的对应边成比例，  ，，，  ，  ，  ，  ，    故选： 根据作法得AD平分，EF垂直平分CD，所以，，从而证明，可得∽，然后利用相似三角形性质可得，解比例方程即可求解． 本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，证明∽是解答本题的关键．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 10.【答案】D  【解析】解：由题意，， 可分、和讨论． ①当时，即， 在第一象限、第三象限均是y随x的增大而减小． 又，， ②当时，即， 在第二象限、第四象限均是y随x的增大而增大． 又，， 此时M、N两点在第四象限． 又， ③当时， ， 在第二象限、第四象限均是y随x的增大而增大． 又，， 此时点M在第二象限，点N在第四象限． 又关于原点的对称点在第二象限的图象上， 又， 又， 又当时，，不合题意， ，且， 故选： 依据题意，由，从而可以分、和讨论，然后结合反比例函数的性质进行判断可以得解． 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 11.【答案】  【解析】解：原式 故答案为： 先提取公因式2y，然后再运用完全平方公式因式分解即可． 本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，灵活运用提取公因式法和完全平方公式进行因式分解是解题的关键． 12.【答案】且  【解析】解：由条件可知，且， 解得且 故答案为：且 利用一元二次方程根的判别式以及一元二次方程定义即可求解． 本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 13.【答案】  【解析】解：由分式方程，可得，， 分式方程的解为非负数， 且， 解得，且， 二次函数的图象在x轴上方， ， 解得，， 由上可得，且， 的整数值是，，， 所有整数k的和为， 故答案为： 根据题意，可以求得k的取值范围，从而可以得到所有整数k的和，本题得以解决． 本题考查抛物线与x轴的交点、分式方程的解、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 14.【答案】36  【解析】解：如图，连接OM， ，N，F分别是AE，AB，CD与的切点， ，， ， ， ， ， 故答案为： 如图，连接OM，求出，再利用圆周角定理求解即可． 本题考查正多边形与圆，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 15.【答案】12  【解析】解：作于D， ， ， ， 设，则， 点B在函数的图象上， ， 故答案为： 作于D，由等腰三角形三线合一的性质得出，利用平行四边形的性质可知，故设，则，代入函数即可求得k的值． 本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，表示出点B的坐标是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：如图，连接EG， ，， ， 四边形ABCD是正方形， ，， 由旋转可得，≌， ，， ， 为EF的中点， 垂直平分EF， ， 设，则，，， ， 在中，， ， 解得； ； 故答案为： 连接EG，根据AG垂直平分EF，即可得出，设，则，，，再根据中，，即可得到DE的长． 本题考查了正方形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，旋转的性质等，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 17.【答案】 ，  【解析】解：原式 ； 原式 ， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为 为整数， 的值可取：，0，1， ，0，1， 只能取2， 当时，原式 先根据负整数指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可； 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再解不等式组求出x的值代入进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，实数的运算，一元一次不等式组的整数解，有理数的乘方，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，熟知以上运算法则是解题的关键． 18.【答案】   从平均数看，城区学校和农村学校的艺术成绩水平相同，建议继续保持城乡优质均衡发展；从中位数看，城区学校的艺术成绩的中位数高于农村学校的艺术成绩的中位数，建议加强农村学校艺术教学；从众数看，城区学校的艺术成绩的众数高于农村学校的艺术成绩的众数，建议提高农村学校艺术教学水平；从方差看，城区学校艺术成绩的方差大于农村学校艺术成绩的方差，城区学校艺术成绩波动较大，建议减小两极分化  【解析】解：； ； 故答案为：85；87；； 农村学校分以上学生有2人，分别记为，， 城区学校分以上学生有2人，分别记为，， 画树状图如下： ， 由树状图可知，共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选2名学生恰好都是城区学生的结果有2种， 所选2名学生恰好都是城区学生； 答案不唯一，只要能对平均数、中位数、众数、方差任一统计量进行比较，数据大小比较正确，建议合理即给满分． 例：从平均数看，城区学校和农村学校的艺术成绩水平相同，建议继续保持城乡优质均衡发展； 从中位数看，城区学校的艺术成绩的中位数高于农村学校的艺术成绩的中位数，建议加强农村学校艺术教学； 从众数看，城区学校的艺术成绩的众数高于农村学校的艺术成绩的众数，建议提高农村学校艺术教学水平； 从方差看，城区学校艺术成绩的方差大于农村学校艺术成绩的方差，城区学校艺术成绩波动较大，建议减小两极分化． 根据中位数、众数、方差的定义求解即可； 画树状图即可得解； 从对平均数、中位数、众数、方差任一统计量进行比较即可； 本题主要考查了数据分析、概率统计等相关内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19.【答案】在中，，，  ，  ，  ，  答：两滑梯高度差为；  在中，，，  ，  ，  在中，，，  ，  ，  ，  答：BE长  【解析】通过解，求出AC，再通过即可求出两滑梯的高度差；  通过解，求出BC，通过解，求出EF，再通过，代入数值计算即可得出答案． 本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 20.【答案】航拍无人机的单价为1250元，编程机器人的单价为1100元；   购买航拍无人机5台，购买编程机器人10台花费最少，最少费用为13800元．  【解析】设航拍无人机的单价为a元，编程机器人的单价为元， 由题意可得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：航拍无人机的单价为1250元，编程机器人的单价为1100元； 设购买航拍无人机x台，则购买编程机器人台，总费用为w元， 由题意可得：， 随x的增大而增大， 购买编程机器人的数量不超过航拍无人机数量的2倍， ， 解得， 当时，w取得最小值，此时，， 答：购买航拍无人机5台，购买编程机器人10台花费最少，最少费用为13800元． 根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程，然后求解即可； 根据题意和中的结果可以写出总费用与购买航拍无人机数量的函数关系，然后根据购买编程机器人的数量不超过航拍无人机数量的2倍，可以求得购买航拍无人机数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到最低费用及此时的购买方案． 本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和不等式，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． 21.【答案】证明：如图，连接OE， ， ， ， ， ， 又， ， 是的直径， ， ， ， 即， 是半径， 是的切线； 解：在中，设半径为r，即，则， ， ， ， 在中，，， ，   【解析】根据圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得即可； 根据锐角三角函数可求出半径，进而得到AB的长，再根据直角三角形的边角关系求出AC，由勾股定理求出BC即可． 本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数的定义以及勾股定理，掌握切线的判定方法，锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提． 22.【答案】解：将代入得，  ，  将代入 得，解得，  反比例函数表达式为；  设点，那么点，  由 可得，所以，  解得， 舍去，  ；  如图2，过点B作轴，过点E作于点H，  过点A作于点F，，    ，  点A绕点B顺时针旋转 ，  ，，    ，  ≌，  设点，，，  点，  点E在反比例函数图象上，  ，  解得，舍去  点  【解析】待定系数法求出反比例函数解析式即可；  设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可；  过点B作轴，过点E作于点H，过点A作于点F，，可得≌，则设点，，，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键． 23.【答案】顶点坐标；   ；   m的值是  【解析】解：若，则二次函数为， ， 顶点坐标； 二次函数是常数，且的图象经过点和点， ，， ， ， ； 二次函数， 对称轴为直线，顶点为， 当时，x的值增大，y的值先减小再增大， 在抛物线对称轴的左侧，点抛物线对称轴的右侧， 当时，y的最小值是， 若，即时，时，y有最大值为， ， 解得或舍去， 若，即，y的最大值是， 综上，m的值是 解析式化成顶点式即可求解； 表示出，，根据，求得，由，得到关于m的不等式组，解不等式组即可； 由题意可知在抛物线对称轴的左侧，点抛物线对称轴的右侧，当时，y的最小值是，然后分两种情况讨论求得最大值，根据最大值与y的最小值的差等于3列式计算即可． 本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键． 24.【答案】证明：四边形ABCD是矩形， ， ， ， ， ， ， ∽； 证明：四边形ABCD是正方形， ，，， 在和中， ， ， ， ， 点H在BC的延长线上， ， 在和中， ≌， ， ， ， ； 解：如图3，延长BC至点G，使，连接DG， 四边形ABCD是菱形， ，， ， 在和中 ≌， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 即CF的长为  【解析】由矩形的性质得，再证，即可得出结论； 证，得，再证≌，得，然后由平行线的性质得，即可得出结论； 延长BC至点G，使，连接DG，≌，得，，再证是等边三角形，得，即可解决问题． 本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $