山东淄博市桓台县实验学校2023-2024学年中考数学模拟试题

**基本信息** 初四数学练习题注重基础与能力梯度，通过文化情境（如《苔》诗句考科学记数法）、生活实际（梯子滑动问题）及综合探究（抛物线与几何综合），考查抽象能力、推理意识和模型观念，适配一模备考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|实数、整式运算、图形变换等|第4题旋转变换考查空间观念，第5题反证法强化推理意识| |填空题|5/20|概率、反比例函数、圆的性质等|第14题结合弧度数求角度，体现几何直观与运算能力| |解答题|8/90|不等式组、圆的切线、函数综合等|19题梯子滑动问题培养应用意识，23题抛物线与几何综合考查模型观念|

初 四 数 学 练 习 题 （时间：120分钟） 本试卷共 6 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1．答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将学校、姓名、考试号、座号填写在 答题卡规定位置，并核对条形码。 2．第一题每小题选出答案后，用 2B 铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3．第二、三题必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案。严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改。不允许使用计算器。 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记。 5．不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列整数中，与无理数最接近的是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（　　） A．8.4×10﹣5 B．8.4×10﹣6 C．8.4×10﹣7 D．8.4×106 3．下列运算正确的是（　　） A．（﹣x﹣1）（x﹣1）＝1﹣x2 B．（x﹣2）2＝x2﹣4 C．（﹣2a2）3＝﹣8a8 D．（a+2b）2＝a2+4ab+2b2 4．点A（4，3）经过某种图形变化后得到点B（﹣3，4），这种图形变化可以是（　　） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．绕原点逆时针旋转90° D．绕原点顺时针旋转90° 5．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（　　） A．直角三角形的每个锐角都小于45° B．直角三角形有一个锐角大于45° C．直角三角形的每个锐角都大于45° D．直角三角形有一个锐角小于45° 6．如图所示，在4×4的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　） A．△ACD的外心 B．△ACD的内心 C．△ABC的内心 D．△ABC的外心 7．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝100°30'，OA＝20，将扇形OAB沿着过点B的直线折叠，点O恰好落在AB的点D处，折痕交OA于点C，则的长为（　　） A．4.5π B．5π C．π D．7.2π 8．如图，是一圆锥的左视图，根据图中所示数据，可得圆锥侧面展开图的圆心角的度数为（　　） A．60° B．90° C．120° D．135° 9．如图，将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A′、B′．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（　　） A．y＝（x﹣2）2﹣2 B．y＝（x﹣2）2+7 C．y＝（x﹣2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2+4 10．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6，点D是边AB上一点，且BD＝2，点P是边BC上一动点（D、P两点均不与端点重合），作∠DPE＝60°，PE交边AC于点E．若CE＝a，当满足条件的点P有且只有一个时，则a的值为（　　） A．4 B． C． D．5 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分.请直接填写最后结果. 11．一个不透明的袋子中，装有4个红球、2个白球和2个黄球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，当摸到红球的概率是摸到白球概率的2倍时，需再往袋子里放入　 　个红球． 12．若双曲线y＝向右平移2个单位后经过点（4，1），则k的值是 　 　． 13．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个实数根，则x1x2﹣x1﹣x2的值为　 　． 14．如图，AB，CD是圆O的两条相等的弦，弧AD，弧BC的度数分别为30°，120°，P为劣弧AB上一点，则∠APB＝　 　°． 15．将两个等腰Rt△ADE，Rt△ABC（其中∠DAE＝∠ABC＝90°，AB＝BC，AD＝AE）如图放置在一起，点E在AB上，AC与DE交于点H，连接BH、CE，且∠BCE＝15°，下列结论：①AC垂直平分DE；②△CDE为等边三角形；③tan∠BCD＝；④ 其中正确的结论是　 　（填写所有正确结论的序号）． 三、解答题：本大题共 8 个小题，共 90 分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分10分） 解不等式组请按下列步骤完成解答： （Ⅰ）解不等式①，得　 　； （Ⅱ）解不等式②，得　 　； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （Ⅳ）原不等式组的解集为　 　． 17．（本小题满分10分） 如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF，连接AE，CF． （1）求证：△AOE≌△COF； （2）若AC⊥EF，连接AF，CE，判断四边形AECF的形状，并说明理由． 18.（本小题满分10分） 甲、乙两人在相同的条件下各射靶5次，每次射靶的成绩情况如图所示： （1）请你根据图中的数据填写表： 姓名 平均数 众数 甲 　 　 7 乙 6 　 　 （2）请通过计算方差，说明谁的成绩更稳定． 19.（本小题满分10分） 如图，一个梯子AB斜靠在一面墙上，梯子底端为A，梯子的顶端B距地面的垂直距离为BC的长． （1）若梯子的长度是10m，梯子的顶端B距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端A向外滑动多少米？ （2）设AB＝c，BC＝a，AC＝b，且a＞b，请思考，梯子在滑动的过程中，是否一定存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况？若存在，请求出这个距离；若不存在，说明理由． 20.（本小题满分12分） 如图，线段AB是圆O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交圆O于点D，点P是圆O上的一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC． （1）求证：CD是圆O的切线； （2）求的值． 21.（本小题满分12 分） 如图，P为正方形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交AB于点E，过P作MN⊥DE分别交BC，AD于M，N． （1）如图1，求证：MN＝DE； （2）如图2，点F与点C关于直线DE对称，连接FA并延长交直线DE于点G，连接BG． ①设∠ADE的度数为x，求∠DGF的度数； ②猜想AF与BG之间的数量关系，并证明． 22.（本小题满分13 分） 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，AD交⊙O于F，FM⊥AB于H，分别交⊙O、AC于M、N，连接MB，BC． （1）求证：AC平分∠DAE； （2）若cosM＝，BE＝1， ①求⊙O的半径； ②求FN的长． 23.（本小题满分13 分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标； （2）找出图中与∠DAB相等的一个角，并证明； （3）若点P是第二象限内抛物线上的一点，当点P到直线AC的距离最大时，求点P的坐标． 初四数学练习题参考答案 （仅供参考） 1、 选择题（每小题4分，共计40分.） 1.C 2.B 3.A 4.C 5.A 6.A 7.A 8.C 9.D 10.C 2、 填空题（每空4分，共计20分） 11．0 12. 3 13.1 14.127.5° 15. ①②③④ 三、解答题（共8个题，共计90分） 16.(10分) 解：（Ⅰ）解不等式①，x≤1； （Ⅱ）解不等式②，x≥﹣3； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （Ⅳ）原不等式组的解集为﹣3≤x≤1． 故答案为：x≤1，x≥﹣3，﹣3≤x≤1． 17.（10分） （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝OC，BO＝OD， ∵BE＝DF， ∴OE＝OF， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF． （2）解：结论：四边形AECF是菱形． 理由：∵OA＝OC，OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥EF， ∴四边形AECF是菱形． 18.（10分） 解：（1）甲的平均数为：＝7， 乙中3、7、8出现了一次，6出现了2次， 故众数为6； 故答案为：7，6； （2）S甲2＝[（6﹣7）2 +（7﹣7）2+（8﹣7）2+（7﹣7）2+（7﹣7）2] ＝； S乙2＝[（3﹣6）2+（6﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2+（8﹣6）2] ＝． 因为S甲2＜S乙2， 所以甲比乙更稳定． 19．（10分） 解：（1）由题意知：AB＝10m，BC＝8m， 由勾股定理得：AC＝（m）， 当梯子的顶端下滑1m时，如图， ∴CB'＝7m， 由勾股定理得A'C＝（m）， ∴AA'＝A'C﹣AC＝（﹣6）m， ∴梯子的底端A向外滑动（﹣6）m； （2）存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况，设梯子底端向外滑动x米， 则（a﹣x）2+（b+x）2＝c2， 解得x1＝a﹣b，x2＝0（舍）， ∴x＝a﹣b， 即梯子底端向外滑动（a﹣b）米． 20.（12分） 证明：如图，连接OD，DB， ∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D， ∴DE垂直平分OB， ∴OB＝DO，OE＝BE， ∵BC＝OB，OB＝OD， ∴， ∵∠DOE＝∠COD， ∴△EOD∽△DOC， ∴∠CDO＝∠DEO＝90°， ∴CD是圆O的切线； （2）解：如图，连接OP， 由已知可得：OP＝OB＝BC＝2OE， ∴， ∵∠COP＝∠POE， ∴△OEP∽△OPC， ∴， 21.(12分) 证明：（1）作NH⊥BC于H， ∴四边形ABHN是矩形，HN＝AB＝AD， ∵MN⊥DE， ∴∠EDA+∠DNP＝90°， ∵∠HNM+∠DNP＝90°， ∴∠EDA＝∠HNM， 在△HNM与△ADE中， ， ∴△HNM≌△ADE（ASA）， ∴MN＝DE； （2）①∠DGF＝45°， ∵点F与点C关于直线DE对称，且四边形ABCD是正方形， ∴DC＝DF＝AD，∠CDG＝∠FDG＝（90﹣x）°， ∴∠FDA＝∠FDG﹣∠ADG＝（90﹣2x）°， 在等腰△DAF中，∠DAF＝（45+x）°， ∵∠DAF＝∠ADG+∠DGF， ∴∠DGF＝45°； ②AF＝BG， 连接CG，CF， 由对称性可知GC＝GF，∠DGC＝∠DGF＝45°， ∴△CGF是等腰Rt△， ∴， ∵， ∴， ∵∠ACF＝∠BCG＝45°＝∠ACG， ∴△CAF∽△CBG， ∴， ∴AF＝BG． 22.(13分) （1）证明：连接OC，如图， ∵直线DE与⊙O相切于点C， ∴OC⊥DE， 又∵AD⊥DE， ∴OC∥AD． ∴∠1＝∠3 ∵OA＝OC， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴AC平分∠DAE； （2）解：①∵AB为直径， ∴∠AFB＝90°， 而DE⊥AD， ∴BF∥DE， ∴OC⊥BF， ∴＝， ∴∠COE＝∠M， 设⊙O的半径为r， 在Rt△OCE中，cos∠COE＝＝，即＝，解得r＝4， 即⊙O的半径为4； ②连接BF，如图， 在Rt△AFB中，cos∠FAB＝， ∴AF＝8×＝ 在Rt△OCE中，OE＝5，OC＝4， ∴CE＝3， ∵AB⊥FM， ∴， ∴∠5＝∠4， ∵FB∥DE， ∴∠5＝∠E＝∠4， ∵＝， ∴∠1＝∠2， ∴△AFN∽△AEC， ∴＝，即＝， ∴FN＝． 23.(13分) 解：（1）把点B（1，0），点C（0，3）代入y＝ax2﹣2x+c， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴顶点D的坐标为（﹣1，4）； （2）图中与∠DAB相等的一个角是∠ACB， 令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝1， ∴A点坐标为（﹣3，0）， ∴OA＝OC＝3， ∴∠CAO＝∠OCA＝45°， 在Rt△BOC中，tan∠OCB＝＝， ∵A点坐标为（﹣3，0），B点坐标（1，0），C点坐标为（0，3）， ∴AC＝3，DC＝，AD＝2， ∴AD2+DC2＝20，AD2＝20， ∴AD2+DC2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°， ∴tan∠DAC＝＝， ∴∠DAC＝∠OCB， ∴∠DAC+∠CAO＝∠BCO+∠OCA， 即∠DAB＝∠ACB； （3）设点P的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3）， 当点P到直线AC的距离最大时，△PAC的面积最大， 过点P作PH⊥x轴于点H，交AC于点E， 设直线AC的函数关系式为：y＝kx+b， 把点A（﹣3，0），C（0，3）代入， 得， 解得：， ∴直线AC的函数关系式为：y＝x+3， ∴点E的坐标为（m，m+3）， ∴S△PAC＝ ＝[﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）]×3 ＝﹣m2﹣m ＝﹣（m+）2+， 由二次函数性质，当m＝﹣时，△PAC的面积最大，即点P到直线AC的距离最大， ∴点P坐标为（﹣，）． 初四数学　第8页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $