安徽滁州中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 滁州中学高二下期中数学卷聚焦导数、数列、概率等核心知识，通过大学生宣讲安排、工厂生产等真实情境设计解答题，考查抽象能力与模型意识，函数零点证明等题分层体现逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|导数几何意义、等比数列求和|基础概念辨析，如可导性判断| |多选题|3/18|二项式定理、独立事件概率|选项分层，如展开式性质判断| |填空题|3/15|切线方程、二项式系数、期望计算|情境简洁，如体育比赛得分期望| |解答题|5/77|排列组合、函数单调性、数列综合|实际应用与推理结合，如工厂不合格品计算、零点证明|

数学答案及评分细则 一、选择题（本题共有8小题，每小题5分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 3 4 5 6 > 8 0 D 0 二.多选题（每题6分，部分选对得部分分，有错选得零分) 9 10 11 BCD ABC ACD 三.填空题（每天5分，共15分） 12.120 ·13. x-y+1=0/y=x+1 .14.E5=」 17 四.解答题 15.解：（1)安排方案有2种 ①(3,1,1型)C3A=60(种)3分 ②（2,2,1型) CC4=90(种)…6分 共有60+90=150（种）…7分 (2)若甲乙进入同一个班级，有两种情况： ①甲乙与另外一人进入同一个班级：CA=18种 ②甲乙两人进入同一个班级：CA=18种 所以甲、乙不能对同一个班级宣讲，共有150-18-18=114种.…13分 高二下学期期中考试数学试卷第1页共5页 16.解：（1)f'(x)=e-a,…1分 ①当a≤0时，f(x)>0,f()在R上单调递增…4分 ②当a>0时，令f'(x)=0得x=lna f()在R上单调递增.5分 ∴.当xe(-o,a)时，f'(w)<0,f(x)单调递减 当x∈a,+0)时，f(x)>0,f)单调递增…7分 (2)由(1)知当a≤0时，f(x)>0,f(x)在R上单调递增 所以当x<0时，f(x)=e-ar-1<e°-a×0-1=0,所以不符合题意。…9分 当a>0时，由(1)的单调性知只需f(x)mn=f血)=a-alma-1≥0…11分 令p(a=a-alna-l(a>0),p(a=-na∴.p(a在(0,1)↑，在(1，+o)↓ p(d）mx=p①=0.…14分 所以要使得f()mm=fna)=a-alna-1≥0，只能是a=1…15分 17.解：（1)an=1100×1.1-1=1000×1.1.…3 bn=1-[90%+0.4%n-1)]=0.104-0.004n-…6 (2)由(1)可得：cn=1.1"(104-4m-7' Sn=1.1×(104-4×1)+1.12×104-4×2)+.+1.1×(104-4×11)+1.12×(104-4×12)…① 1.1Sn=1.12×(104-4×1)+.+1.12×(104-4×11)+1.13×(104-4×12)…②…9分 ①-②得-0.1Sn=110-41.1+-1.12)-56×1.1310 -01s=10-4x11-11-56×11413 1-1.1 ∴.-0.1Sn=110+40×(1.12-1.13)-56×1.13=110+40×1.21-96×1.13 ∴.S2=960×1.13-1100-400×1.21=1776.-15 高二下学期期中考试数学试卷第2页共5页 18.解(1)设数列{bn}的公比为4，在4,4，之间插入两个数后☑，成为新数列的第4项， a4-6=(gy=8.q=23 a b ∴.bn=b×2-1=2”.6 (2)设b,是数列{an}中的第n项，则 b29=229=2×8-1=23m-2.29=3n-2, 该方程无整数解，故b2g不是数列{an}中的项.…11分 (3)由(1)知cn=2”+1 1+1++1 ,111 1 c。322+1++ .12分 C1 C2 2+1 1,1 32++ 1 <一 .-15分 2n 1 白 高二下学期期中考试数学试卷第3页共5页 19.解：（1)令f(x)=0→a=2 exlnx,设g(x)=2 ex Inx(x>0),8'(x)=2e(hx+1) 因为=8网在(@←)上单词造始，由g)=0得}之 所以g()在o单调递减，仁+切)单调递增.……3分 fx)。=f白)=-24分 当x→0时，f(x)→0， 0 当x∈(0,1)时，f(x)<0,x∈1，+o)时f(x)>0.5分 y=a 如右图我们有：当a∈(-2,0)时，y=f(x)有两个零点.6分 1 (2)由(2)可知：设0<x<二<x2<1 e 2 2 要证明x+x2>二，只要证明x,>二-x7 0 e 2 又因为x,·。,均在函数g()的单调递增区间上， 故只需证明：8，)>g2-x),又因为g)=gs)=a 故只需证明：8)-g2-x)>08 记)=g)-g2-.x∈0， e :w()=g')+g2-)=2emx+hn2-)+2)） =2(2-x》+2 g x+ <24(号3+21=24h白+21-01r 所以)在(0，。上单调递减，)>白=012 高二下学期期中考试数学试卷第4页共5页 ②过O,A两点的直线方程为y=-2ex,设直线OA与 直线=a的交点的横坐标为=一名令 h(x)=-2ex, 则g()-h(g=2erhx+2ex=2exmx+1)且x∈(0, ⊙ 所以g(x)<h(x),故有 X h(x)>g(x)=h(x) 12= 又因为h(x)单调递减，.x<x-14 类似的过AB的直线方程为y=22, (x-1),设直线AB e-1 与直线y=a的 交点的横坐标为x=1+aeD,令m6)=2x-D 2e e-1 则G()=g6)-m()=2ex血x- e-0 G日-60=0，G6)=2血x+1-在D上单调适抛， o哈=六0o0=1-片0 由根的存在性定理知，x,∈仁，1)，G(化)=0 所以Gw)在（仁，x,)单调递减，在(x,）上单调递增。 所以当x∈（仁，1）时有G(x)<0,即g(x)<(x) .(x2)>g(x2)=m(x2),又(x)单调递增，.x2>,-16 由相小-=1+子17 x2>x3 高二下学期期中考试数学试卷第5页共5页 滁州中学2024级高二下学期期中考试 数学试卷 注意事项： 1. 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。 2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 一、选择题（本题共有8小题，每小题5分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1.若函数在处可导，则（ ） 2.下列函数求导正确的是（ ） 3.若等比数列的前和为，则数列的前9项中所有偶数项之和与奇数项之和的比为（ ） 4. 的正因数的个数为（ ） 5.已知数列满足，则（ ） 6.在的展开式中，含项的系数是（ ） 7.一个不透明的袋子中有3个黑球和3个白球，这6个小球除颜色外大小、质地完全相同. 从中任意取出3个球，设为取出的黑球的个数，则 （ ） 8.已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ） 二. 多选题（每题6分，部分选对得部分分，有错选得零分） 9.关于的展开式，下列说法正确的是（ ） 展开式中共有9项 10.已知随机变量满足，则（ ） 11.在一个有限样本空间中，，且与相互独立，与互斥，则（ ） ，则与互斥 三. 填空题（每天5分，共15分） 12.已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数为： . 13.曲线在点处的切线方程为 . 14.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局. 三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军. 已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为，，，各项目的比赛结果相互独立. 用表示甲学校的总得分，则 . 四.解答题（本大题共计77分） 15.（本题13分）现有甲、乙、丙、丁、戊5位优秀的大学生利用假期回母校，对高三（1）班、高三（2）班、高三（3）班的同学进行学法指导和介绍丰富多彩的大学生活，要求：每个班级至少有一位大学生进行宣讲，每位大学生必须且只能选择一个班级. （1）共有多少种不同的安排方案？ （2）若甲、乙不能对同一个班级宣讲，共有多少种不同的分配方案？ 16.（本题15分）已知函数. （1） 讨论的单调性. （2） 若恒成立，求的值. 17.（本题15分）某工厂去年12月试生产1100个智能机器人产品，产品合格率为90%，从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品. 1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高10%，产品合格率比前一个月增加0.4%，设从今年1月起，各月的产量以及不合格率分别构成数列，.（可能用到的参考数据：） （1） 求数列，的通项公式. （2） 设从今年1月起，各月的不合格品的数量构成出列，求的值. 18. （本题17分）已知等比数列的首项，公比，在数列中每相邻两项之间都插入个数，使得它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列. （1） 求数列的通项公式. （2） 是不是数列中的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由. （3） 记，证明：. 19.（本题17分）已知函数 （1）若函数有两个零点，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，设函数的两个零点分别为. ①证明： ②证明： 页脚 高二下学期期中考试数学试卷第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $